Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades FUVEST Prova A 10/janeiro/01 MATEMÁTICA 01. O polinômio p(x) x 4 + ax 3 + bx + cx 8, em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes. a) Sendo p(x) x 4 + ax 3 + bx + cx 8, com coeficientes reais e 1 + i raiz, também teremos como raízes 1 i, α e α (α e α simétricas) Pelas relações de Girard, temos: α α + 1 + i + 1 i a \ a α. α. (1 + i) (1 i) 8 \ α + ou α (1 + i) (1 i) + (1 + i) (1 + i) (1 i) + (1 i) b \ b (1 + i) (1 i) + (1 + i) (1 i) 4(1 + i) 4(1 i) c \ c 8 Logo: a, b e c 8 e as raízes são 1 i, 1 + i, e. b) Sendo as raízes de p(x), 1 + i, 1 i, e e subtraindo 1 de cada uma dessas raízes, temos i, i, 1 e 3. p'(x) k(x i) (x + i) (x 1) (x + 3) p'(x) k(x 4 + x 3 x + x 3) com k Î CPV fuvfjan1 1
b 1 1 oub não convém 1 FUVEST 10/01/01 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 0. No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento BC do lado mede 1/, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α/. Sabe-se, também, que Nessas condições, calcule a) o valor de sen α; b) o comprimento do lado AC. cos(α) + 3cos α + 1 0 a) Considerando a expressão dada, temos: cos (α) + 3 cos α + 1 0 cos α 1 ( cos α 1) + 3 cos α + 1 0 4 cos α + 3 cos α 1 0 donde vem cos α 1 (não convém) e cos α 1 4 (convém) Sendo α agudo: sen α 1 1 1 16 16 a c ( ) α b sen α 1 4 b) De cos x 1 sen x, vem sen α 6 4 a a b c b c Aplicando a Lei dos Senos no triângulo dado, temos: Þ c b α senα α sen sen 1 4 Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo dado, temos: c 1 + b 1.. b cos a 1 4 b 1 Donde vem + b 1 1.. b. Þ 1b + b 1 6 0 4 1 1 Portanto b oub não convém 1 ( ) Logo AC 1 1 CPV fuvfjan1
Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades FUVEST 10/01/01 3 03. a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio. a) Para o grupo A, podemos escolher 4 meninas entre 10: 10 10! ( 4 ) 10 4! 6! Para o grupo B, podemos escolher 4 meninos entre 6: 6 6! ( 4) 1 4!! Para o grupo C, podemos escolher 4 meninas entre 6: 6 6! ( 4) 1 4!! O grupo D será formado pelas crianças restantes. O número de maneiras de escolher os 4 grupos é 10. 1. 1 47.0 b) Consideramos a probabilidade de uma menina vencer dentre as possibilidades de cada final acontecer: Maria x Marta: P(1). 4 Maria x José: P() 3. 1. 1 Marta x João: P(3) 3. 1. 1 A probabilidade de uma menina ser campeã é P(1) + P() + P(3) 44 1 fuvfjan1 CPV
4 FUVEST 10/01/01 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 04. A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado l, contido no plano α. Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano de α determinado pela reta BC e que não contém o lado AC. Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles de base BC cuja altura forma, com o plano α, um ângulo θ, em que 0 < θ < π/. Sendo PB l /, determine, em função de l e θ, a) o volume do tetraedro PABCD; b) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB; c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD. Obs: O enunciado fala de um tetraedro PABCD, mas a figura apresenta uma pirâmide pentaédrica de base quadrada. a) No triângulo PBC, temos: P l l PM 1 + PM l l C l M l B Se chamarmos a projeção ortogonal de P sobre o plano α de P', temos θ PMP' e a altura da pirâmide PABCD igual a PP'. Daí: sen θ PP ' PP' l. sen θ PP' PM l O volume da pirâmide PABCD será: V PABCD 1 l. sen θ. l. 3 3.sen VPABCD q 6 b) No ΔPP'H, temos: l sen θ l PH + ( ) PH 1 + sen θ c) No ΔPP'N, temos PN l sen θ l sen θ l + + Daí: PN +4cos q N M H P CPV fuvfjan1
Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades FUVEST 10/01/01 0. Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade x 10x + 1 3x 1. a) x 10x + 1 3x 1 0 \ f g f(x) x 10x + 1 e g(x) 3x 1 Considerando as raízes de f e g (x 3, x 7 ou x ), podemos construir a tabela para o estudo de sinais. 3 7 f x 10x + 1 x + 10x 1 x + 10x 1 x 10x + 1 g 3x + 1 3x + 1 3x 1 3x 1 f g x 7x + 6 x + 13x 36 x + 7x 6 x 13x + 36 para x < 3 : x 7x + 6 0 Þ 1 x < 3 para 3 x : x + 13x 36 0 Þ 3 x 4 para < x < 7 : x + 7x 6 0 Þ 6 x < 7 para x 7 : x 13x + 36 0 Þ 7 x < 9 Portanto: S {x Î 1 x 4 ou 6 x 9} fuvfjan1 CPV
6 FUVEST 10/01/01 Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades 06. Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO. Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3 e BC 3. Nessas condições, determine a) a medida do segmento CD; b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura. a) Pela potência do ponto C, temos: CD CB. CA 3. 8 3 CD 4 3 b) No triângulo ADC, sendo R o raio da circunferência, temos: AD + CD AC (R) + (4 3) (8 3) R 6 c) sen (DÂC) 4 3 8 3 Þ DÂC 30º No triângulo AOB, A^OB + 30º + 30º 180º Þ A^OB 10º A área do triângulo AOB pode ser calculada por: A AOB 1. 6. 6. sen (A^OB) 18. A AOB 9 3 3 d) A área da região hachurada pode ser calculada subtraindo-se a área do ΔAOB da área do setor circular de 10º: A Hach 1 3. π(6) 9 3 A Hach 1π 9 3 A Hach 3(4π 3 3) CPV fuvfjan1
Seu Pé Direito nas Melhores Faculdades FUVEST 10/01/01 7 COMENTÁRIO DO CPV A prova do 3 o dia da a fase da FUVEST/01 manteve sua tradição, trazendo questões trabalhosas e que exigem do vestibulando alto grau de concentração. É importante ressaltarmos que o estilo e a distribuição dos assuntos pouco mudam ano a ano, possibilitando uma adequada preparação por parte dos candidatos. Na questão 4, notamos um equívoco da banca examinadora ao chamar o pentaedro apresentado na figura de tetraedro. Visto que a prova fora preparada para um grupo específico de vestibulandos, a equipe de matemática do CPV acredita que a banca alcançará, novamente, seus objetivos, selecionando os melhores candidatos. fuvfjan1 CPV