(recomendação principal para escoamento turbulento) Uso do diâmetro hidráulico O procedimento de cálculo da orça de atrito é sumarizado a seguir:!"para o cálculo da orça de atrito, a deinição e cálculo dos termos de Ec c, A c, e Re permanecem os mesmos para tubos exceto que o diâmetro interno do tubo é substituído pelo diâmetro equivalente ou diâmetro hidráulico, d, deinido como: d área da seção transversal do conduíte/canal = 4rh = 4 perímetro molhado do conduíte/canal sendo, r h conhecido como o raio hidráulico. Ou seja, teremos: π Fat = d Lρv 8 m ρv d µ m Reh =!"Para o cálculo da queda de pressão no BQM a área da seção transversal deve ser tomada em relação à área de um tubo com diâmetro equivalente ao diâmetro hidráulico (veja procedimento de cálculo da queda de pressão à p.104). Exemplo 01: Exemplo 0: tubo π d d 4 4 = = d π d espaço anular entre dois tubos πd πd1 d 4 4 4 = = d d πd + πd 1 1 Exemplo 03: duto retangular de lados a e b d ab ab = 4 = a+ b a+ b Exemplo 04: canais retangulares abertos ou parcialmente enchidos d 4( by) = b + y (y altura de líquido pelo canal) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 101
(Perry's Chemical Engineer's andbook) Outros exemplos consulte manual do Perry & Green Exercícios: exercício 01: Calcular o diâmetro hidráulico correspondente ao duto da igura a seguir, em que L=1m. exercício 0: Calcular o diâmetro hidráulico correspondente ao escoamento pela seção hachurada no duto da igura a seguir. O diâmetro do casco vale 1m e cada um dos quatro tarugos tem 10cm de diâmetro. Observações importantes: (é importante para a (1) É necessário saber deduzir as órmulas dos diâmetros equivalentes prática da engenharia), assim use os exemplos anteriores como exercícios! () A origem da deinição do raio hidráulico e diâmetro equivalente remonta à caracterização da área de atrito e da área da seção transversal de escoamento (veja exposição de White à página 50), ou seja, a idéia do uso do diâmetro hidráulico é substituir o duto não circular por um duto circular com diâmetro D h que tenha orneça um atrito equivalente ao duto não circular. (3) No diagrama de Moody (e correlações a ele equivalentes), no lugar do diâmetro usa-se o diâmetro equivalente e a rugosidade relativa é deinida como ε. A precisão do uso do diagrama de Moody é surpreendente. White aponta erros de apenas 15% na região de escoamento turbulento. Inelizmente para escoamento em regime laminar, erros bem mais signiicativos ocorrem! (4) Quando é possível obter o ator de atrito de considerações teóricas (é o caso dos escoamentos laminares), deve-se usar este ao invés da aproximação via o uso do diâmetro equivalente. É o caso de escoamento entre placas paralelas e no espaço anular de tubos. Para o último caso, o uso apenas do diâmetro equivalente nos projetos leva a erros de 10%. White mostra como minimizar este erro (p. 53-54). Daí se percebe a utilidade de se obter os peris de velocidade... UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 10 D h
Obtenção de correlações a partir de peris de velocidade conhecidos (escoamento laminar) O cálculo do ator de atrito para escoamento laminar em duto de seção anular cilindro interno de raio externo r 1 e cilindro externo de raio interno r é obtido da seguinte equação: 64ζ = Re h sendo ζ um ator de correção para o diâmetro hidráulico deinido na tabela a seguir (extraída de White, p. 54) : r1 Re h r ( r r 4 4 1 ) r r1 ln r 1 r1 ζ = r r r r ( 1 ) ( 1 ) 0 64 1 10-5 70.09 0.913 10-4 71.78 0.89 10-3 74.68 0.857 10-80.11 0.799 5 10-86.7 0.74 0.1 89.37 0.716 0. 9.35 0.693 0.4 94.71 0.676 0.6 95.59 0.670 0.8 95.9 0.667 1 96 0.667 Para o cálculo do ator de atrito em dutos de retangulares e triangulares a seguinte tabela extraída de White (capítulo 6) pode ser usada: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 103
CÁLCULO DA QUEDA DE PRESSÃO EM DUTOS NÃO CIRCULARES DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE A PARTIR DO BQM E DO USO DO DIÂMETRO IDRÁULICO Para escoamento em regime permanente, desenvolvido, incompressível, isotérmico, sem alteração de composição, em dutos horizontais de área constante, temos do BQM que: Fat P = (E1) A ST A órmula para o ator de atrito é dada como: 1 1 Fat = EccAc = ρvmac 4 8 Sendo a área característica do atrito A c obtida como sendo a área supericial do duto, a saber: Ac = PML sendo, P M o perímetro molhado e L o comprimento do duto De orma que: 1 Fat = ρvmpml (E) 8 Por exemplo podemos obter as seguintes equações para a orça de atrito: Para tubos: Para dutos de seção quadrada de lado l: 1 Fat = ρvmπdl 8 1 Fat = ρvml L 8 Substituindo (E) em (E1) temos que: 1 PM L P= ρvm (E3) 8 A ST Mas sabemos que: d A = 4 ST (E4) P M E assim, substituindo (E4) em (E3) temos que: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 104
1 L P= ρvm (QP) d Exemplo de cálculo: Para tubos: 1 L P= ρvm d Para dutos de seção quadrada de lado l: d 1 L P= ρvm l Note que a dedução da equação (QP) corresponde a se calcular a queda de pressão como a seqüência a seguir: = l 1 Fat = ρvmπdl 8 π d AST = 4 Fat P = A ST Para tubos: 1 1 4 1 L Fat = ρvmπdl P = ρv mπll = ρvm 8 8π d d Para dutos de seção quadrada de lado l: d = l 1 1 4 1 L Fat = ρvmπll P = ρv mπll = ρvm 8 8πl l Observação 1: π d a não consideração que AST = leva a erros acentuados. Por 4 exemplo para o duto de seção quadrada o erro na previsão da queda π de pressão será de um ator de, ou seja, a não reinterpretação da 4 área leva a uma previsão de queda de pressão praticamente 5% menor. Observação : erros de previsão de queda de pressão sempre existirão, uma vez que a órmula do ator de atrito de Newton é empírica! Exemplos recomendados para leitura: White: exemplo 6.14, 6.15 UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 105
Exercícios recomendados da lista: White: P6.18, P6.89, P6.96 Exercícios: Exercício 01:(adaptado do exemplo 6.15 de White) Por um duto horizontal quadrado de 9mm de lado e 30m de comprimento de rugosidade 0.091mm escoa um luido à temperatura de 0 o C. Pede-se calcular a queda de pressão para o escoamento de: a-) ar a uma vazão de 0.708m 3 /s. Considere que o escoamento seja incompressível. Admita a massa especíica do ar e viscosidade cinemática como sendo 1. kg/m 3 e 1.46 10-5 m /s. resp.: 58 Pa b-) glicerina a uma velocidade média de 5 m/s. Exercício 0: Ar à pressão atmosérica e a 0 o C escoa com uma velocidade média de 36 m/s pelo casco de um trocador casco e tubo de diâmetro interno de 6cm. Cada um dos 7 tubos internos ao casco tem cm de diâmetro externo, conorme a igura ao lado. Admitindo todas as superícies como sendo lisas, determine a queda de pressão por unidade de comprimento no lado do casco. Admita a pressão atmosérica local de 10 5 Pa, a massa molar do ar de 8.8 g/mol e a constante universal dos gases de 8.314 (Pa m 3 )/(mol K). UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 106
Exercício 03: Fabricantes de válvulas para tubos citam que a seguinte equação, chamada de equação de válvula é válida para descrever a vazão volumétrica que escoa por uma válvula parcialmente aberta: P Q= cv ρ sendo, c v chamado de coeiciente ou constante da válvula e P a dierença entre a pressão na entrada e saída da válvula. Use o BQM e a órmula de Newton para a orça de atrito para obter a equação acima, mostrando o signiicado do termo c v e discuta se a constante da válvula é de ato um número constante ou uma variável. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 107
Observação: As iguras a seguir mostram válvulas de controle (aquelas que permitem uma manipulação automática da abertura da válvula) típicas. Para válvulas de controle, a recomendação da ISA (Instrumentation Society o America) para a apresentação da equação da válvula para luidos incompressíveis é: Q= c V P ρ O cálculo do ator depende da abertura da válvula e do tipo de válvula e as válvulas de controle podem ser agrupadas no que tange ao cálculo deste ator em dois grupos principais (Luyben, 1989): válvulas lineares: ( A v ) = A v sendo, A v a abertura da válvula. válvulas de igual percentagem: ( ) α A v Av 1 = sendo, α um ator dependente da válvula considerada e em geral compreendido na seguinte aixa de valores: 0 α 50. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 108
Ainda, para o cálculo do ator costuma-se adotar para a abertura da válvula a ração aberta, i.e. 0 A v 1 ao invés de 0 A v 100 (%). Reerência citada: LUYBEN, W,L., Process Modeling, Simulation and Control or Chemical Engineers, MacGraw ill, a edição, 1989 Exercício 04: (prova da turma 3E do o semestre de 00) A igura a seguir apresenta dois tubos concêntricos, sendo que nitrogênio a 5 o C e 1 atm (1atm=1.0135 10 5 Pa) escoa pelo espaço anular em regime estacionário, laminar e desenvolvido. Pode-se demonstrar que o peril de velocidades nestas condições é representado pela seguinte equação: Pe P s r r1 r v= r r ln 4µ L r ln r r 1 Pede-se: 1. A equação do peril de velocidades obedece à condição de não escorregamento? Justiique. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 109
. Determine a expressão do diâmetro hidráulico para o escoamento. Lembre-se que o diâmetro hidráulico é deinido como: d área da seção transversal do conduíte/canal = 4rh = 4 perímetro molhado do conduíte/canal 3. Qual o valor da densidade do nitrogênio? (Dados: massa molar = 8 g/mol; constante universal dos gases = 8.314 Pa m 3 mol -1 K -1 ) 4. Qual o valor da viscosidade do nitrogênio a 5 o C? É dada a seguinte tabela, extraída de Geankoplis (1993) Viscosidade de alguns gases em (cp 1cP=10-3 no SI) Temperatura ( o C) O N CO CO -17.8 0.00800 0.0181 0.0158 0.0156 0.018 0 0.00840 0.019 0.0166 0.0165 0.0137 10.0 0.0086 0.0197 0.0171 0.0169 0.0141 37.8 0.00915 0.013 0.0183 0.0183 0.0154 65.6 0.00960 0.08 0.0196 0.0195 0.0167 93.3 0.0101 0.041 0.008 0.008 0.0179 11.1 0.0106 0.056 0.00 0.00 0.0191 148.9 0.0111 0.067 0.030 0.031 0.003 176.7 0.0115 0.08 0.040 0.04 0.015 04.4 0.0119 0.093 0.050 0.051 0.05 3. 0.014 0.0307 0.060 0.064 0.06 60.0 0.018 0.0315 0.073 0.076 0.047 UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 110
5. A partir da tabela apresentada no item 4, percebe-se que a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Este comportamento também é esperado para líquidos? Justiique. 6. Veriique se o escoamento é de ato laminar, sabendo-se que o diâmetro interno do tubo maior é.664cm e o diâmetro externo do tubo menor é de 1.373cm. A velocidade média do escoamento é m/s. 7. Pode-se mostrar que a velocidade média do escoamento pode ser calculada a partir da seguinte órmula: Pe P s r r vb = r + r 8µ L ln r1 1 1 r Qual o valor da queda de pressão ao longo de 1 m de tubulação? 8. Qual das seguintes órmulas você escolheria para calcular o ator de atrito de Darcy para o escoamento? Os tubos são de aço comercial. Justiique. 64 (a) = Re 1.1 1 6.9 ε (b) = 1.8log + d Re 3.7 (c) = 0.184 Re 0. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 111
9. Eetue um balanço de quantidade de movimento macroscópico e aplicando a órmula de Newton para a orça de atrito, veriique se o mesmo valor da queda de pressão é obtido em relação ao valor do item 7. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 11