Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes Definição: O rojeto de ontroladores realizado a artir do diagrama do lugar das raízes ermite o ontrole da loalização de ao menos alguns dos ólos de malha fehada de um sistema, o que rooriona, até erto onto, o ontrole da resosta transitória deste sistema. Logiamente, este rojeto também influenia a resosta em estado estaionário. A idéia do rojeto de ontroladores utilizando o método do lugar das raízes é adiionar ólos e zeros om o objetivo de alterar o desenho do lugar das raízes de uma lanta. Como já menionado a inlusão de ólos e zeros alteram a resosta de um sistema, a inlusão de um ólo tem o efeito de desloar o diagrama de lugar das raízes ara a direita, tendendo diminuir a estabilidade relativa do sistema e fazendo om que a resosta do sistema seja mais lenta. Por sua vez a adição de um zero tem o efeito de desloar ara a esquerda o diagrama de lugar das raízes de um sistema, deixando o sistema mais estável e ráido. Em nosso urso iremos aliar as ténias de rojetos de ontroladores or meio do método do lugar das raízes ara rojetar ontroladores de rimeira ordem, omo oderá ser observado a seguir. - Controladores gerais de rimeira ordem O ólo e o zero z da função de transferênia de um ontrolador de rimeira ordem aresentada na róxima seção estão loalizados, usualmente, no semi-lano esquerdo do lano omlexo. Assim, z e são números reais negativos. Desta maneira, existem duas ossibilidades: i) z ii) z No rimeiro aso, o zero está mais róximo da origem que o ólo, o que resulta em uma ontribuição ositiva ara o ritério dos ângulos do lugar das raízes. Esta ontribuição é mostrada na figura abaixo, na qual o ângulo é semre maior que 2, ara valores de s loalizados no semi-lano suerior do lano omlexo. O ontrolador de rimeira ordem que se enaixa no aso exosto é hamado ontrolador de avanço de fase. Fase do ontrolador de rimeira ordem O ontrolador de rimeira ordem araterizado elo segundo aso, no qual o ólo está mais róximo da origem que o zero, é hamado de ontrolador de atraso de fase. Neste ontrolador, a ontribuição ara o ritério dos ângulos do lugar das raízes é semre negativa. Os termos avanço e atraso de fase terão um signifiado mais laro quando o rojeto de ontroladores for realizado elos métodos da resosta em freqüênia, assunto que será abordado osteriormente. Os roedimentos de rojeto são diferentes ara ada tio de ontrolador, assim omo sua influênia no sistema em malha fehada. SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes 2- Projeto em avanço de fase A função de transferênia de um ontrolador de avanço de fase de rimeira ordem é dada or s s z s () na qual z. Os arâmetros, z e devem ser determinados de forma a satisfazer os ritérios de desemenho desejados. Para o rojeto analítio de ontroladores de avanço de fase é onveniente exressar a função de transferênia do ontrolador sob a forma a s a bs s (2) O objetivo do rojeto é determinar a, a e b tais que, a artir do ólo de malha fehada desejado s, seja satisfeita a equação s s H s ss (3) Assim, o rojeto visa a obtenção de um ontrolador que osiione uma das raízes da equação araterístia do sistema em s s. Em geral, s é um número omlexo. Na equação 3 têm-se quatro inógnitas, a, a e b e somente duas relações que devem ser satisfeitas (magnitude e fase). Em outras alavras, existem dois graus de liberdade no rojeto. Como a s a b s s (4) nota-se que existem, de fato, aenas três inógnitas indeendentes. Assim, faz-se e o roesso de álulo fia simlifiado. Das equações anteriores, ara, tem-se a s a s s H s s s s H s bs (5) Como, em geral, o ólo s desejado é omlexo, as relações de magnitude e fase determinam que a s bs a s H s (6) a s a 8 arg arg s H s bs (7) 2 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes Deve-se notar que existem aenas duas equações ara a determinação de três arâmetros. Neste aso, eseifia-se um valor adequado ara um dos arâmetros e ombinam-se as equações 6 e 7 de forma a alular os arâmetros restantes. Em geral, a loalização do ólo dominante s desejado é obtida a artir das eseifiações de resosta transitória desejadas ara o sistema em malha fehada. Além disso, o valor do ganho DC do ontrolador, a, deve ser determinado ara atender às eseifiações da resosta em estado estaionário. Para esta situação, as inógnitas das equações 6 e 7 são os arâmetros a e b. O roedimento de álulo é desrito a seguir. Primeiramente, é onveniente exressar o ólo dominante desejado omo j s s e (8) e também j s H s s H s e A solução analítia das equações 6 e 7 ara os arâmetros a e b leva a (9) a b sen a s H s sen s s H s sen sen a s H s sen s sen () Aesar de este roedimento osiionar um ólo de malha fehada em s s, a loalização dos demais ólos de malha fehada são desonheidas e odem não ser satisfatórias. De fato, ode haver ólos no semi-lano direito, o que resultará em um sistema instável. Para o aso em que 8, s loaliza-se sobre o eixo real negativo, e as relações da equação se reduzem a únia equação b s a s os os a () s H s s H s Para a aliação da equação, basta atribuir valor a um dos arâmetros e obter o segundo. 3 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes Exemlo : Projeto em avanço de fase. Seja o sistema de ontrole do ângulo de inlinação de um satélite rígido, mostrado na figura abaixo. Satélite Modulador Satélite Torque Ângulo de inlinação Exemlo de rojeto Para este sistema, tem-se s s H s 2 O ritério de desemenho exige que o ólo de malha fehada seja j s s e 2 j2 2 2 e o que resulta na relação de amorteimento, 77 e na onstante de temo 5, s. Assim, s 2 j2 j35 j 27 s H s s H s e e. 2 s 8 Desta feita, onluí-se que 35 e 27. Para esta aliação, esolhe-se um ganho DC igual a 8 3 de forma que ritérios de desemenho desejados ara a resosta em estado estaionário sejam verifiados. A aliação das relações da equação leva aos arâmetros a sen 2 3 sen35 8 3 8 sen45 8 2 2 8 27 24 3 b 2 2sen 27 2 3 sen 35 8 3 8 sen35 2 2 6 Logo, o ontrolador roosto é definido or s s 8 3 8 3 6 s No Exemlo o valor de a, que reresenta o ganho DC do ontrolador, foi esolhido de maneira que eseifiações de desemenho no estado estaionário, tais omo erro em estado estaionário, rejeição à distúrbios e eseifiações de sensibilidade, fossem satisfeitas. As equações que desrevem o erro de estado estaionário são de grande valia nesta análise. 4 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes Deve-se manter em mente que, via de regra, modelos matemátios são reresentações aroximadas da realidade. Logo, não se ode eserar que o sistema físio resonda da mesma maneira que seu modelo. Assim, diversos rojetos devem ser testados via simulação, sendo esolhido aquele que melhor se adata ao roblema em estudo. O exemlo a seguir ilustra este oneito. Exemlo 2: Esolha do ganho DC. Neste exemlo, verifia-se o efeito da esolha de diferentes ganhos DC ( a ) ara o ontrolador de avanço de fase do Exemlo. As funções de transferênia dos ontroladores examinados são mostradas na Tabela 8.. Deve-se lembrar que o sistema em malha fehada é de tereira ordem, om dois dos ólos loalizados em s 2 j2. A loalização do tereiro ólo (real), determinada omutaionalmente, também é mostrada na Tabela a seguir. Os ganhos examinados variam na faixa de, a 6,, uma vez que ganhos sueriores a 7, tornam o sistema instável (verifique!). Resultados do exemlo 2 anho a,, 2,667 6, s 8, 23s, 45 s 4, 5, 29s 4, 57 s 4, 57 6, s 6, s 6 56, s 96, s 6, Loalização do tereiro ólo Ultraassagem erentual, 56 7%, 57 23% 2, 33% 2, 3% Note que, à medida que o ganho DC do omensador aumenta, a onstante de temo do tereiro ólo de malha fehada diminui de aroximadamente 2 s ara,83 s. As resostas ao degrau ara os sistemas examinados são vistas na Figura abaixo. Saída Resostas ao degrau dos sistemas do Exemlo 2 5 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes A análise da figura aima mostra que a ultraassagem erentual das resostas ao degrau aumenta om o ganho DC do ontrolador. A mesma figura india que se deve adotar uma solução de omromisso entre o temo de assentamento e a ultraassagem erentual, uma vez que os sistemas examinados que ossuem equena ultraassagem são lentos. Em ontraartida, o aumento da veloidade da resosta ausa aumento da ultraassem erentual. O ontrolador esolhido deve ser testado, via simulação, em um sistema mais requintado no qual a lanta ossui um modelo mais elaborado e são ontemlados todos os sensores e atuadores, inluindo suas não-linearidades intrínseas. 3- Projeto em atraso de fase O ontrolador de atraso de fase tem função de transferênia dada or s s z s (2) Nas seções anteriores, mostrou-se que o efeito da omensação em avanço de fase é desloar o diagrama do lugar das raízes ara a esquerda. Em ontraartida, no ontrolador de atraso de fase tem-se z, o que aarreta semre em uma ontribuição negativa ara o ritério dos ângulos do lugar das raízes. Assim, o ontrolador de atraso de fase tende a desloar o lugar das raízes ara a direita do lano omlexo. Portanto, a ontribuição do ontrolador de atraso de fase ara o ritério dos ângulos deve ser equena, de modo a evitar instabilidades. Este aseto é garantido ao osiionar róximos o ólo e o zero do ontrolador. Ângulos ara omensação em atraso de fase Como o desloamento do lugar das raízes ara a direita deve ser equeno, as araterístias da resosta transitória dos ólos dominantes não são alteradas de forma areiável ela inserção do ontrolador de atraso de fase. Portanto, o uso deste tio de ontrolador é reomendável ara obter um arimoramento do omortamento do sistema em estado estaionário. Para o enaminhamento do rojeto, é onveniente assumir que o ganho DC do ontrolador de atraso de fase seja unitário, ou seja, Portanto, s s z (3) (4) z 6 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes O rojeto segue om a hiótese de que o sistema sem omensação a ser ontrolado ossui um ólo em s quando o ganho do sistema é, e que este ólo fornee uma resosta transitória satisfatória. Uma vez que a equação araterístia do sistema é obtém-se, ara o ganho, s H s (5) s H s Como menionado anteriormente, esolhem-se valores do zero z e do ólo aroximadamente iguais e, or razões que fiarão evidentes osteriormente, om magnitude equena quando omarada a s. Assim, s z s s (6) Logo, o ganho neessário ara a loalização de um ólo em s é dado or (7) s s H s s H s Uma vez que, a artir da equação 4,, deve-se ter. Como o ontrolador de atraso de fase ossui ganho unitário, o ganho DC do sistema foi aumentado sem alterar de forma signifiativa sua resosta transitória. Assim, o resultado da omensação em atraso de fase é arimorar a resosta em estado estaionário. Deve-se notar que, ao esolher os arâmetros z e om magnitude equena, quando omarada a s, a equação 6 ontinua satisfeita. Isto torna na equação 4 muito menor que a unidade, o que imlia em uma melhora signifiativa da resosta em estado estaionário. Caso as magnitudes de z e sejam elevadas quando omaradas a s, deve-se ter z ara que a equação 6 seja satisfeita e, onseqüentemente, seria muito róximo da unidade. Neste aso, a equação 7 não india melhora areiável no omortamento estaionário. Os assos ara o rojeto de um ontrolador de atraso de fase odem ser resumidos omo se segue:. Esolhe-se (na equação 5) do sistema sem omensação que osiiona o ólo desejado em s ; 2. Calula-se o valor de que garante a resosta em estado estaionário desejada, assumindo ganho DC unitário ara o ontrolador. A seguir, determina-se o ganho a artir da equação 7; 7 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes 3. Esolhe-se a magnitude do zero do ontrolador, z, equena quando omarada a s ; 4. Resolve-se a equação 3 ara o ólo do ontrolador, z. A função de transferênia do ontrolador é dada ela equação 2 e o ganho do sistema é alterado ara o valor alulado no asso 2. Exemlo 3: Projeto em atraso de fase. O intuito deste exemlo é rojetar o sistema de ontrole de rastreamento or radar mostrado na figura do Exemlo. A função de malha aberta sem omensação é dada or s H s e o lugar das raízes do sistema é mostrado na figura abaixo. s s 2 Figura 8.7: Lugar das raízes do sistema do Exemlo 8.3 Suonha que as eseifiações de desemenho do sistema são satisfeitas om uma onstante de temo de s e relação de amorteimento, 77. Desta forma, é neessário um ólo loalizado em s j. Esta loalização já ertene ao lugar das raízes, sem omensação, quando 2 (verifique!). Assim, om relação ao asso do roedimento de rojeto, s j e 2. O sistema de rastreamento é onebido de forma a seguir aeronaves que desenvolvem veloidade (aroximadamente) onstante, o que se traduz em uma entrada tio rama. Em outras alavras, é neessário que a antena do radar se movimente a uma veloidade angular onstante, e ontinue aontando diretamente ara a aeronave rastreada. Adiionalmente, suonha que é aeitável um erro em estado estaionário de 2, ara entrada tio rama unitária. Assim, o erro em estado estaionário ara o sistema em malha fehada é determinado or e ss lim s s s H s v s Como o ganho DC do ontrolador é unitário, tem-se lim s s s H s lim s s s 2 2 8 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos
Aula 5 Projeto de Sistemas de Controle or meio do Método do Lugar das Raízes e, onseqüentemente, ess 2. Logo, um ganho é neessário ara satisfazer às eseifiações de desemenho no estado estaionário (asso 2 do rojeto). A artir das equações 4 e 7, obtém-se o z 2 No asso 3 do rojeto, esolhe-se z,, que ossui magnitude equena, omarada a s 2. Portanto, z, 2 no asso 4. Finalmente, a função de transferênia do ontrolador de atraso de fase é dada or s e um ganho é neessário ara o sistema., 2 s, s, 2 No Exemlo 3, o sistema em malha fehada aresenta dois ólos em s j. Entretanto, a inserção do ontrolador aumenta a ordem do sistema ara três. A loalização do tereiro ólo ode ser obtida a artir do diagrama do lugar das raízes do sistema omensado, tarefa deixada a argo do leitor. 9 SCS Sistemas de Controle / Servomeanismos