11 Métodos de sintonia convencionais: Métodos de Cohen-Coon e Zigler Nichols. Avaliação das performances da malha fechada usando Scilab.

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1 Métodos de sintonia onvenionais: Métodos de Cohen-Coon e Zigler Nihols. Avaliação das erformanes da malha fehada usando Silab. O desemenho de sistemas de ontrole ode ser julgado ela resosta transiente da saída a uma variação eseífia na entrada. A variação na entrada ode ser uma variação no setoint ou na erturbação. A seleção dos ajustes de ontroladores PD é baseada em ritérios de resosta transiente.. Tios de Entrada O termo resosta transiente signifia a resosta de um sistema de ontrole a qualquer tio de entrada, mas normalmente refere-se a uma variação degrau no setoint ou na arga. A variação degrau é usada mais or onveniênia; as soluções a essa entrada são mais fáeis de se obter do que ara qualquer outro tio de erturbação. A variação degrau também é o tio mais severo de erturbação, e a resosta ao degrau mostra o erro máximo que oorreria ara uma eventual variação na erturbação. Se vários sistemas de ontrole ou ajustes de ontrolador são omarados, o sistema om a melhor resosta à variação na arga terá a melhor resosta a flutuações randômias dessa arga. Quando a questão da estabilidade é analisada, não imorta qual entrada é variada ou qual tio de variação é feita, desde que o sistema seja linear. Um sistema em malha fehada instável a uma entrada, é instável a todas as entradas.. Critérios de erformane ara sistemas em malha fehada Sistemas em malha fehada devem satisfazer os seguintes ritérios de erformane: - O sistema em malha fehada deve ser estável. - Os efeitos da erturbação devem ser minimizados (rejeição à erturbação). 3 - Resostas ráidas e suaves a variações no setoint. 4 - Sem offset. 5 - Evitar ações de ontrole exessivas (reduzir o desgaste na válvula de ontrole). 6 - O sistema de ontrole deve ser robusto, isto é, insensível a variações nas ondições do roesso e erros no modelo do roesso. Os roessos reais raramente são lineares e invariantes no temo, embora muitas vezes sejam modelados ela linearização em torno de um onto de oeração, assumindo que a variação no temo seja lenta. Portanto, em oeração normal, os arâmetros diferirão dos valores 90

2 nominais sobre os quais é baseado o rojeto do roesso. dealmente o ontrolador deve ser robusto, isto é, oerar satisfatoriamente na resença de variações nos arâmetros da lanta. Em roblemas tíios de ontrole, não é ossível alançar todas essas metas, ois elas envolvem onflitos inerentes e balaneáveis. Por exemlo, ajustes de ontrolador PD que minimizam os efeitos da erturbação tendem a roduzir grandes overshoots ara variações no setoint. Por outro lado, se o ontrolador é ajustado ara dar uma resosta ráida e suave a variações no setoint, geralmente ele resulta em ontrole lento ara erturbações. Assim, um balaneamento é requerido ara seleionar os ajustes dos ontroladores de modo que sejam satisfatórios tanto ara variações na arga omo no setoint. Um segundo balaneamento é requerido entre robustez e erformane. Normalmente um sistema de ontrole ode ser feito robusto esolhendo-se valores onservativos (or exemlo, equeno e τ grande), mas essa esolha resulta em resostas lentas a variações na arga e no setoint, em outras alavras, ontrole de alta erformane não é onseguido. Há diversas abordagens ara a eseifiação dos ajustes de ontroladores: - Método da síntese direta - Controle om modelo interno 3 - Relações de sintonia 4 - Ténias de resosta frequenial 5 - Simulação em omutador usando modelo 6 - Sintonização de amo aós instalação Os ino rimeiros são baseados em modelo do roesso, e, ortanto, odem ser usados ara determinar os ajustes dos ontroladores antes que o sistema de ontrole esteja instalado. Entretanto, a sintonia de amo dos ontroladores aós a instalação freqüentemente é requerida, ois o modelo do roesso raramente é exato. Conseqüentemente, o objetivo dos ino métodos é forneer valores aroximados ara os ajustes de ontroladores PD que serão usados omo onto de artida ara a sintonia de amo..3 RELAÇÕES DE PROJETO PARA CONTROLADORES PD Nesta seção onsideraremos algumas relações de rojeto bastante onheidas, baseadas em algum modelo eseífio, rinialmente o modelo de rimeira ordem om temo morto t e d s G(s) = τs + (.) G = G G G (.) f m Os três arâmetros (, d t e τ ) do modelo odem ser failmente determinados utilizando dados de resosta ao degrau. 9

3 .3. Cohen-Coon Em 953, Cohen e Coon ubliaram algumas relações de rojeto desenvolvidas emiriamente ara se obter resosta em malha fehada om razão de delínio /4. O roedimento de Cohen e Coon também fiou onheido omo Método da urva de reação do roesso. Considere o sistema de ontrole que foi aberto desligando o ontrolador do elemento final de ontrole (Figura.). ntroduz-se um degrau de amlitude A na variável que atua sobre o elemento final de ontrole. Registra-se a resosta da saída om o temo. A urva y m (t) é hamada de urva de reação do roesso. G y m (s) (s) = G f (s)g (s)g m (s) (.3) (s) PRC = Figura. Teste degrau ara sistema de ontrole aberto. Cohen e Coon observaram que a resosta da maioria dos roessos a uma variação degrau aresenta uma forma sigmoidal omo a da Figura., que ode ser adequadamente aroximada ela resosta de um sistema de rimeira ordem om temo morto. 9

4 Figura. Curva de reação do roesso e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto. G PRC (s) = y m (s) (s) t ds e τs + (.4) que ontem três arâmetros: ganho estaionário, temo morto t e onstante de temo τ. d O ganho estaionário ode ser failmente determinado lendo-se o valor final de y m na Figura., isto é, y m ( ) = B. Assim saida B = = (.5) entrada A τ = B S, em que S é a tangente no onto de inflexão da resosta sigmoidal t d = interseção da tangente om a abissa é tomada omo o temo morto aarente Com base no modelo aroximado, Cohen e Coon rouseram as relações de rojeto sumarizadas na Tabela.. Tabela. Relações de rojeto de ontroladores or Cohen e Coon. Controlador Ajustes Cohen-Coon P τ t + d t d 3τ P τ 9 t d + t 0 τ d 93

5 PD PD τ τ D τ τ D t d t t d d τ τ τ 5 t d + t d 4 6τ 6 t d τ t d + 3t τ τ 4 t d + t d 3 4τ t d τ t d 3 + 8t τ t d 4 t d d + d τ Esse ritério de erformane (razão de delínio /4) aresenta algumas desvantagens - Resostas om razão de delínio /4 são onsideradas muito osilatórias elos oeradores. - O ritério onsidera aenas dois ontos da resosta em malha fehada, os dois rimeiros ios. Observação Para roessos que aresentam atraso or transorte muito equeno (temo morto), isto é, t d róximo de zero, a urva de reação do roesso se assemelha à da resosta de um sistema de rimeira ordem simles. Os ajustes de Cohen e Coon indiarão valor extremamente elevado ara o ganho roorional. Na rátia usa-se o maior valor ossível ara reduzir o offset se um ontrolador roorional for emregado. Se for usado um ontrolador P, o valor do ganho será determinado elas araterístias da resosta desejada. Exemlo. Ajuste de ontroladores feedbak elo método de Cohen e Coon. Proesso Dois sistemas de rimeira ordem em série G (s) = (.6) ( τ s + )( τ s + ) Medidor e válvula de ontrole têm dinâmias de rimeira ordem G m = m τ s + (.7) m 94

6 G f = f τ s + (.8) f G PRC f m = G G G = (.9) f m ( τ s + )( τ s + )( τ s + )( τ s + ) f m Temos quatro sistemas de rimeira ordem em série, ortanto urva sigmoidal. Para = f = m = τ = 5 τ = 0 τ f = 0 τ m = A urva de reação do roesso é mostrada na Figura.3. A figura mostra também a reta tangente no onto de inflexão. Figura.3 Curva de reação do roesso. A Figura.4 mostra a urva de reação do roesso juntamente om a resosta aroximada or um sistema de rimeira ordem om temo morto. 95

7 Figura.4 Curva de reação do roesso do exemlo e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto. Da urva de reação do roesso, ode-se determinar os seguintes valores: nlinação no onto de inflexão S = 0, Resosta final B = 0, 999 B 0,999 Constante de temo efetivo τ = = =, 0 S 0,04755 Temo morto t d = 3, 5909 B 0,999 Ganho = = = 0, 999 A A rigor, a resosta final seria B =, mas esse valor só será atingido quando valores aima, a função de transferênia da urva de reação do roesso fia t. Com os G PRC 0,999 e =,0s + 3,5909s (.0) Utilizando a Tabela., os ajustes de Cohen-Coon odem ser alulados Controlador P = 6,

8 Controlador P = 5, 354, τ = 8, 834 Controlador PD = 8, 0588, τ = 8, 543, τ D =, 664 Vamos examinar agora o desemenho de ada um desses ontroladores. As Figuras.5 a.7 mostram as resostas a uma variação degrau unitário no setoint usando os ajustes de Cohen-Coon. O ontrolador roorional resultou em um erro em regime ermanente. O ontrolador roorional integral não aresenta esse erro, mas a resosta é bastante osilatória, e o ontrolador roorional integral derivativo amenizou bem as osilações. Figura.5 Resosta em malha fehada a uma variação degrau unitário no setoint om ontrole P. 97

9 Figura.6 Resosta em malha fehada a uma variação degrau unitário no setoint om ontrole P. Figura.7 Resosta em malha fehada a uma variação degrau unitário no setoint om ontrole PD. 98

10 O método da tangente utiliza aenas um onto ara estimar a onstante de temo. Uma desvantagem desse método é a difiuldade em loalizar o onto de inflexão devido a ruídos nas medidas (erros). Sundaresan e rishnaswamy (977) rouseram a utilização de dois ontos da urva da resosta ao degrau orresondente a 35,3 e 85,3% do valor final da resosta e t e t são, resetivamente, os instantes em que oorrem. O temo morto e a onstante de temo são então alulados elas equações t d =,3t 0,9t (.) ( ) τ = 0,67 t t (.) Esses valores de τ e t d minimizam aroximadamente a diferença entre a resosta medida e o modelo no sentido dos mínimos quadrados. Observação A estimativa de, τ e t d de modelos aroximados de rimeira ordem usando dados de resosta ao degrau ode variar onsideravelmente deendendo das ondições de oeração do roesso, da amlitude do degrau e da direção da variação. Normalmente, essas diferenças odem ser atribuídas à não linearidade nos roessos. Exemlo. É o mesmo Exemlo. só que o modelo aroximado é obtido usando o método de Sundaresan e rishnaswamy. A Figura.8 mostra a urva de reação do roesso e os dois ontos utilizados ara aroximar a urva or uma urva de rimeira ordem om temo morto. 99

11 Figura.8 Curva de reação do roesso. O ganho é obtido or B 0,999 = = = 0,999 A Os dois ontos são obtidos diretamente da urva ara os seguintes valores da saída: y = 0,353 t =, 0353 y = 0,853 t = 7, 8853 Com as equações. e., alulamos os seguintes: τ =,895 t d = 6,59 Portanto, a função de transferênia é dada or G PRC 0,999 e = 7,8853s + 6,59s (.3) A Figura.9 mostra as urvas da resosta real e da urva aroximada a uma variação degrau unitário na entrada. 00

12 Figura.9 Curva de reação do roesso do exemlo e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto. De osse do modelo de rimeira ordem om temo morto, odemos utilizar a Tabela. e alular os ajustes de Cohen-Coon, os quais são: Controlador P =, 388 Controlador P =, 708, τ = 9, 8656 Controlador PD =, 657, τ =, 689, τ D =, 0676 O desemenho de ada um desses ontroladores ode ser visualizado nas Figuras.0,. e., ara os ontroladores P, P e PD, resetivamente. Perebe-se nitidamente que o melhor desemenho é do ontrolador PD. 0

13 Figura.0 Resosta em malha fehada a uma variação degrau unitário no setoint om ontrole P. Figura. Resosta em malha fehada a uma variação degrau unitário no setoint om ontrole P. 0

14 Figura. Resosta em malha fehada a uma variação degrau unitário no setoint om ontrole PD..3. Regras de Ziegler-Nihols Regras ara determinação dos arâmetros do ontrolador PD baseadas nas araterístias da resosta transitória de determinada lanta. Foram dois os métodos ubliados or Ziegler e Nihols (ZN) em 94. Ambos os métodos foram desenvolvidos emiriamente visando à obtenção de uma de razão de delínio de /4. o Método - Via osilação limite Consiste em determinar exerimentalmente o ganho último u, isto é, o valor do ganho no qual a malha está no limite da estabilidade (marginalmente estável) om um ontrolador roorional. O ontrolador é oerado em malha fehada om o sistema a ser ontrolado. Os modos integral e derivativo (se existirem) são mantidos inoerantes ( τ =, τ D = 0 ), e o ganho roorional é aumentado lentamente até atingir o valor em que omeça a oorrer a osilação ontínua das variáveis do sistema. Esse valor do ganho roorional orresonde a do método Ziegler-Nihols. O eríodo de osilação resultante é hamado de eríodo u último, P u (minutos or ilo). Os ajustes ZN são então alulados a artir de u e P u usando as fórmulas dadas na Tabela. ara os três tios de ontroladores. Note que ganho menor é usado quando a ação integradora é inluída no ontrolador (P) e a adição de ação derivativa ermite um ganho maior e ajuste mais ráido. Se a saída não exibir osilações sustentadas ara nenhum valor que ossa assumir, então este método não se alia. 03

15 A maneira mais simles de introduzir um distúrbio é mover o setoint durante um equeno intervalo de temo e então voltá-lo a seu valor original. Esse roedimento equivale a introduzir uma função ulso no erro, fazer om que o sistema resonda e ainda ermaneer dentro de uma faixa estreita em torno do onto de oeração normal do roesso. Um tio alternativo de distúrbio seria introduzir equenas variações degrau no setoint. Se forem usadas variações degrau ara induzir transientes, as suessivas variações degrau devem alternar em torno do onto de oeração normal do roesso. É imortante que o distúrbio seja o menor ossível, eseialmente quando o ganho do ontrolador é aumentado, assim a válvula e demais omonentes não exedem seus limites físios. Figura.3 Diagrama de bloos ara a determinação exerimental do ganho último. Figura.4 Osilação ontínua da variável do sistema. Tabela. Ajustes Ziegler-Nihols ara ontroladores. Controlador τ τ D P u P u, P u, PD u, 7 P u P u 8 As relações de sintonia ZN foram desenvolvidas emiriamente ara dar uma razão de deaimento /4. Essas relações de sintonia têm sido largamente utilizadas na indústria e servem omo um aso base onveniente ara omarar esquemas de ontrole alternativos. Para algumas malhas de ontrole, o grau de osilação assoiado om a razão de delínio ¼ e o grande overshoot orresondente ara variação no setoint são indesejáveis. Assim, ajustes mais onservativos são referidos, tais omo os ajustes ZN modifiados. Tabela.3 Ajustes Ziegler-Nihols original e modifiados ara ontrolador PD. τ τ D 04

16 Original (razão de delínio ¼) Pequeno overshoot Sem overshoot 0,6 u P u P u 8 0,33 P u 3 u u 0, P u 3 P u P u o Método Via ensaio de resosta ao degrau O segundo método ara ajustar o ontrolador é o método da urva de reação do roesso. Este método é baseado em um teste exerimental aliado om o ontrolador no modo manual. É introduzida uma equena erturbação degrau na saída do ontrolador registrando-se a urva da variável medida versus temo. As erturbações devem ser sufiientemente equenas ara assegurar a oeração na faixa linear. A urva de saída é hamada de urva de reação do roesso. Deve-se admitir que não oorram variações de arga durante o teste. Uma urva de reação do roesso tíia é dada na Figura.5. Se a urva de reação do roesso aresenta forma sigmoidal, usualmente o seguinte modelo ode forneer um ajuste satisfatório: Figura.5 Levantamento da urva de reação do roesso. y m (s) = G (s) f (s)g (s)g m tds e (s) τs + (.4) Tabela.4 Relações de sintonia de Ziegler-Nihols (método da urva de reação do roesso). Tio de ontrolador P P PD τ τ D τ 0 t d,9 τ 3,33t 0 t d, τ t 0,5t t d 0 d d d Se a resosta não aresenta uma urva em forma de S, este método não se alia. Na verdade, as relações de sintonia de Cohen-Coon foram desenvolvidas originalmente omo uma modifiação da abordagem da urva de reação do roesso ara os asos onde o roesso não ode ser modelado adequadamente ela equação.4. 05

17 Exemlo.3 Determine o ganho limite e o eríodo limite ara o modelo de roesso G(s) = (.5) ( s + ) 3 A equação araterístia à malha fehada é + G(s) = 0 (.6) + 0 (.7) = 3 s 3 ( s + ) + 3s + 3s + + = 0 (.8) Para a determinação de u odemos usar o método da substituição, que onsiste em substituir s or j ω (raízes sobre o eixo imaginário): s = jω = u (.9) 3 jω 3ω + 3jω + + = 0 (.0) 3 ( 3ω + + ) + j( ω + 3ω) = 0 u u (.) A equação é satisfeita om ω + + = 0 (.) 3 u e 3 ω + 3ω = 0 (.3) ( ω + 3) = 0 ω (.4) ω = ± 3 (.5) Substituindo na equação. tem-se u = 8 (.6) π P u = = 3,676 (.7) ω Exerimentalmente, o ganho-limite e o eríodo-limite são determinados or tentativa e erro seguindo os assos a seguir. 06

18 Passo. τ =, τ D = 0 Passo. equeno Passo 3. Aumentar até que oorram osilações mantidas ara equenas variações no setoint ou na arga. A Figura.6 mostra alguns resultados do roedimento exerimental, em que foi variado o valor do. Note que ara = 8 a resosta aresenta osilação ontínua om eríodo de osilação de 3,60 unidades de temo, ortanto u = 8 e P u = 3, 60. O valor de u obtido exerimentalmente está de aordo om o valor obtido analitiamente. Figura.6 Resultados exerimentais da resosta ao imulso ara valores resentes de. Exemlo.4 Sintonia do ontrolador PD usando as regras Z-N Para o modelo de roesso 3,5s 4e G(s) = 7s + (.8) Para obter o valor de temo morto u analitiamente, odemos usar a aroximação de Padé / ara o 07

19 e 3,5s,75s = +,75s (.9) Com essa aroximação, a equação araterístia fia + 3,5s 4e 7s + = 7s e 0 3,5s = 0 (.30) (.3),75s 7s = 0 (.3) +,75s ( 7s )( +,75s ) + 4 (,75s ) = 0 + (.33),5s + 8,75s s = 0 (.34) ( 8,75 7 ) s + ( + 4 ) = 0,5s + (.35) Pelo ritério de Routh, as ondições neessárias ara que o sistema seja estável são 8,75 7 > 0 <, > 0 0, 5 > Usando o método da substituição ara determinação de s = jω = u ( 8,75 7 ) jω + ( + 4 ) = 0 u, temos que substituir s or j ω,5ω + u u (.36) ( 4,5ω ) + j( 8,75ω 7 ω) 0 u u = + (.37) + 4,5ω 0 (.38) u = ( 8,75 7 ) 0 8,75ω 7 u ω = ω u = (.39) A equação é satisfeita om 8,75 7 = u 0 =, 5 u Substituindo na equação.37, tem-se 08

20 π ω = ±0,6999 P u = = 8, 9773 ω Um ambiente roíio ara simular sistemas em malha fehada é o Xos. Uma das riniais vantagens em usar o Xos é que os temos mortos são failmente manuseados sem neessidade de usar aroximações. É reomendável que o leitor tenha algum onheimento sobre este software que aomanha o Silab. wong (0) mostra aliações de Xos em ontrole de roessos. O modelo em Xos ara simular o sistema de ontrole é elo diagrama de bloos da Figura.7. Os arâmetros dos bloos Função de Transferênia, Temo Morto e do Controlador PD são mostrados na Figura.8. Para obter o ganho limite do ontrolador roorional, odemos mudar o valor de do bloo PD e simular a resosta em malha fehada até que a saída osile de forma sustentada omo mostra a Figura.9. O valor de orresonde então ao ganho-limite. u Figura.7 Modelo em Xos ara simular o sistema de ontrole. (a) 09

21 (b) () Figura.8 Parâmetros dos bloos do modelo em Xos. (a) Bloo Função de Transferênia; (b) bloo Temo Morto; () bloo PD. Figura.9 Resosta da lanta no ensaio de osilação limite. Assim, os valores exerimentais são u = 0,95 P u = Com esses valores limites, os ajustes do ontrolador PD elo método de Ziegler e Nihols via osilação limite são 0

22 = 0,57 τ = 6 τ D =,5 O quadro a seguir mostra os valores dos ajustes elos diferentes métodos de Ziegler e Nihols. Z-N original 0,57 6,0,5 Pequeno overshoot 0,3 6,0 4,0 Sem overshoot 0,9 6,0 4,0 τ τ D Exemlo.5 Para o modelo de roesso G(s) = e s ( 0s + )( 5s + ) (.40) a equação araterístia é + e s = ( 0s + )( 5s + ) s ( 0s + )( 5s + ) + e 0 0 = (.4) (.4) 50s + 5s + + e s = 0 (.43) Para obter o valor de temo morto u analitiamente, odemos usar a aroximação de Padé / ara o 0,5s 50s + 5s + + = 0 (.44) + 0,5s ( 5,5 ) s + + = 0 3 5s + 57,5s + (.45) Fazendo a substituição de s or j ω ( 5,5 ) jω + + = 0 3 5jω 57,5ω + (.46) 3 (,5ω + + ) + j( 5ω + 5,5ω ω) = 0 57 (.47) Essa equação é satisfeita om

23 57,5ω + + = 0 (.48) e 3 5ω + 5,5ω ω = 0 (.49) ( ω + 5,5 ) = 0 ω 5 (.50) 5ω + 5,5 = 0 (.5) A solução das equações.48 e.5 é u = 8,058 π ω = ±0,5455 P u = =, 58 ω Os valores exerimentais na osilação limite são u = 7,88 P u =,6 e estão de aordo om o valores obtidos analitiamente. Assim, os ajustes do ontrolador PD elo método de Ziegler e Nihols via osilação limite são = 4,73 τ = 5,8 τ D =,45 Exemlo.6 Considere o sistema reresentado ela Figura.0. Figura.0 Diagrama de bloos. Para inativar os modos integral e derivativo, imomos

24 τ =, τ 0 D = A função de transferênia global fia y(s) y (s) s = (.5) s ( s + )( s + 5) + A equação araterístia do sistema em malha fehada é s 3 + 6s + 5s + = 0 (.53) O arranjo de Routh ara essa equação é s s s s Se = 30 osilações mantidas u = 30 Para ahar a freqüênia de osilação mantida, substituímos s = jω na equação araterístia 3 (jω) + 6(jω) + 5(jω) + 30 = 0 (.54) ( ω ) + jω( 5 ω ) = (.55) que é satisfeita om ω = 5 ou ω = 5 Portanto, π π P u = = =,8 ω 5 Assim, os ajustes do ontrolador PD elo método de Ziegler e Nihols via osilação limite são: = 0,6 u = 8 τ =,5P,405 τ 0 u = D = 0,5P u = 0,354 3

25 Exemlo.7 Um resultado ineserado Para o sistema de ontrole mostrado na Figura., determine os ajustes do ontrole P usando o método Z-N e o método C-C usando a urva de reação do roesso. Figura. Diagrama de bloos. A resosta ao degrau unitário é dada or y(t) t 6 t e 3 t = (.56) t Para ahar a reta tangente no onto de inflexão, derivamos duas vezes y (t) om relação a t. 6 t t 3 y(t) ɺ = e (.57) y(t) = e 6 3 ( 3t t ) t ɺ (.58) A loalização do onto de inflexão da resosta ao degrau y (t) ode ser obtida igualando a segunda derivada a zero. 6 3 ( 3t t ) t 0 = e (.59) Resolvendo ara t enontramos t = 3, e a tangente neste onto é 3 3 y(3) ɺ = 3 e = 0,4 (.60) 6 Assim S = 0,4 O valor de y no onto de inflexão é y (3) = 0, 353. O temo morto orresonde ao instante t onde a reta tangente orta o eixo- t, e ode ser alulado or 4

26 0,353 0 = S = 0,4 3 t d t d =, 4 τ = B S = 0,4 = 4,46 A Figura. mostra a urva de reação do roesso juntamente om a resosta aroximada or um sistema de rimeira ordem om temo morto. Figura. Curva de reação do roesso do exemlo e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto. Utilizando a Tabela. obtém-se os seguintes arâmetros do ontrolador P: =,9 τ =,86 Um resultado ineserado Usando esses valores de foi obtida. e τ, a resosta ao degrau no setoint e mostrada na Figura.3 5

27 Figura.3 Resosta ao degrau no setoint elo método de Cohen-Coon baseado na linha tangente no onto de inflexão. Para nossa surresa, o sistema é instável. Examinemos agora a estabilidade desse sistema de ontrole om os ajustes determinados elas relações de Cohen-Coon s ( s + ) = (.6) τ 4 ( τ + τ ) s τ s + 4τs + 6τs + 4τs + = (.6),86s ,44s + 7,6s +,44s +,8s +,9 = 0 (.63),86,44 4,3 3,0759 3,07353,9 7,6,44 0,455,9 0,86,9 0 Há duas inversões de sinal, o que india a existênia de duas raízes om artes reais ositivas na equação araterístia; ortanto, elo ritério de Routh, o sistema é instável, onfirmando assim a resosta da Figura.3. Mas omo isso é ossível? Não vamos nos reiitar em julgar erroneamente as relações de Cohen-Coon. 6

28 Vejamos agora o uso do método de Sundaresan e rishnaswamy. Os instantes t e t odem ser determinados elas equações y(t = (.64) 6 3 t ) 0,353 = t + t + t + e y(t = (.65) 6 3 t ) 0,853 = t + t + t + e ujas soluções são dadas or t = 3, 000 e t = 6, Assim, t d = =,3t 0,9t,475 (.66) ( t t ), 04 τ = 0,67 = (.67) e o modelo aroximado é,475 e G(s) =,04s + (.68) A Figura.4 omara a urva obtida elo método de Sundaresan e rishnaswamy om a urva de reação do roesso. Figura.4 Curva de reação do roesso do exemlo e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto obtida elo método de Sundaresan e rishnaswamy. 7

29 Utilizando as relações de Cohen-Coon (Tabela.) obtêm-se os seguintes arâmetros do ontrolador P: = 0,9389 τ =,370 Note que o valor de agora é bem menor do que o valor anterior, o que leva à exetativa de que a resosta será estável. Usando esses valores de setoint mostrada na Figura.5 foi obtida. e τ, a resosta ao degrau no Figura.5 Resosta ao degrau no setoint elo método de Cohen-Coon usando modelo identifiado elo método de Sundaresan e rishnaswamy. Um método mais sofistiado é a dos arâmetros do modelo via mínimos quadrados, onde uma rotina de otimização numéria seleionará a melhor ombinação dos arâmetros de modo que minimize o erro do ajuste. O erro do ajuste é definido elo esalar i ( ) J = y ex y modelo i =,,3, (.69) O Silab ontém algumas funções que odem ser utilizadas ara resolver roblemas de otimização. Uma delas é a função fminsearh, que alula o mínimo irrestrito de uma função elo algoritmo de Nelder e Mead. A forma mais simles de usar é: x=fminsearh(ostf,x0) 8

30 onde ostf x0 nome da função que ontém a função objetivo vetor om os hutes iniiais Programa //Curva de reação do roesso ajustada or um sistema de rimeira ordem //om temo morto // lear l learglobal funtion f=fodt(x) //Calula a soma dos quadrados dos erros global t tau=x() td=x() for i=:length(t) ylant(i)=-(/6*t(i)^3+/*t(i)^+t(i)+)*ex(-t(i)) if t(i)<=td ymodel(i)=0 else ymodel(i)=-ex(-(t(i)-td)/tau) end end e=ylant'-ymodel' f=e*e' //esalar J endfuntion global t t=0:0.:0; //Estimativa iniial tau=; td=; //Minimiza a soma dos quadrados dos erros x0()=tau; x0()=td; x=fminsearh(fodt,x0'); tau=x() td=x() for i=:length(t) ylant(i)=-(/6*t(i)^3+/*t(i)^+t(i)+)*ex(-t(i)); if t(i)<=td ymodel(i)=0; else ymodel(i)=-ex(-(t(i)-td)/tau); end end //Plota as urvas da resosta real e a resosta aroximada sf() lf lot(t,ylant,'k-',t,ymodel,'k:') xlabel('t') ylabel('y') 9

31 legend(['planta','modelo'],4) //Ganho do roesso de rimeira ordem aroximado =ymodel($); //mrime os arâmetros do modelo FOPDT dis('parâmetros do modelo FOPDT') rintf('\n') rintf(' = %f\n',) rintf('tau = %f\n',tau) rintf('td = %f\n',td) Aliando a identifiação mínimos quadrados, foram roduzidos os resultados mostrados na janela de omandos do Silab. Parâmetros do modelo FOPDT = tau = td =.8447 Assim, o modelo identifiado é dado or 0,9996 e G (s) =,387s +,844s (.70) uja urva é omarada om a urva de reação do roesso na Figura.6. 0

32 Figura.6 Curva de reação do roesso do exemlo e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto obtida or mínimos quadrados. Utilizando as relações de Cohen-Coon (Tabela.), obtêm-se os seguintes arâmetros do ontrolador P: =,0 τ =,40 Usando esses valores de mostrada na Figura.7. e τ, foi obtida a resosta ao degrau unitário no setoint Figura.7 Resosta ao degrau no setoint elo método de Cohen-Coon usando modelo baseado no ajuste or mínimos quadrados. Exeríios Exeríios resolvidos. Em uma malha de ontrole temos os seguintes elementos: G (s) = 5e 4s ( 0s + )( 3s + )

33 G v (s) = s + G m (s) = s + e retendemos usar um ontrolador P. Daí, ede-se: a) Usar o Silab ara obter a resosta ao degrau unitário da malha aberta sem o ontrolador. b) Usar o método da urva de reação ara obter o modelo aroximado da forma G (s)g v (s)g m (s) = τ e tds s + ) Sintonizar o ontrolador usando os métodos de Cohen-Coon e Ziegler-Nihols. d) Comarar as resostas da malha fehada om os dois ontroladores onsiderando um degrau no setoint. e) Comarar as resostas ara uma variação no distúrbio, onsiderando que G d (s) = 0s + Solução Como o roesso ontém temo morto, vamos usar o Xos ara gerar a urva de reação do roesso. Figura.7 Modelo em Xos ara simular a malha aberta.

34 Figura.8 Curva de reação do roesso. Figura.9 Reta tangente à urva no onto de inflexão. 3

35 = 0,0 τ = 9,50 t d = 8,34 Usando a Tabela., odemos obter os ajustes de Cohen-Coon: τ 9 t d = + t 0 τ = d t d τ τ = t d = 7, t τ d 0,36 Usando a Tabela.4, odemos obter os ajustes de Ziegler-Nihols: 0,9 τ = t d = τ = 3,33t d = 7,9 d) 0,37 Figura.30 Modelo em Xos ara simular o sistema de ontrole. 4

36 Figura.3 Resosta ao degrau no setoint elo método de Cohen-Coon baseado na linha tangente no onto de inflexão. Figura.3 Resosta ao degrau no setoint elo método de Ziegler-Nihols baseado na linha tangente no onto de inflexão. 5

37 e) Figura.33 Resosta ao distúrbio degrau elo método de de Cohen-Coon baseado na linha tangente no onto de inflexão. 6

38 Figura.34 Resosta ao distúrbio degrau elo método de Ziegler-Nihols baseado na linha tangente no onto de inflexão. Exeríios roostos. Na malha do exeríio anterior, usar o método de Sundaresan e rishnaswamy ara obter o modelo aroximado do item b). Resintonizar os ontroladores do item ) e omarar as resostas da malha fehada om as resostas do exeríio anterior..3 Na malha de ontrole do Exeríio., usar o método da osilação ermanente de Ziegler-Nihols ara sintonizar um ontrolador P e outro PD. Comarar as resostas da malha om os dois ontroladores..4 Para o sistema do Exeríio., usar o modelo aroximado ara sintonizar os ontroladores P e PD elo método da osilação ermanente. Comarar as resostas da malha fehada..5 Pretende-se ontrolar um roesso om resosta inversa reresentado or ( s) ( 0s + )( s ) G (s) = + om um ontrolador P, que é o mais omum ara esse tio de roesso. Admitindo que G (s) = G (s), sintonizar o ontrolador elos seguintes métodos: m v = 7

39 a) Método de Ziegler-Nihols da osilação ermanente. b) Método da urva de reação. Comarar as resostas dos dois ontroladores..6 O ontrolador PD interativo tem os modos integral e derivativo em série, ou seja: G (s) = ( τ s + )( τ s + ) τ s D ao ontrário do PD onvenional que tem os modos integral e derivativo em aralelo, ou seja: G + τ (s) = + Ds τs Verifiar se existe diferença no omortamento dos dois ontroladores ara o sistema do Exeríio., usando a sintonia obtida no Exeríio.3. 8

40 Método de sintonia baseado em otimização om Silab. Comaração om métodos onvenionais.. Relações de rojeto baseadas em ritério de erro integral As relações de rojeto baseadas em ritério de erro integral utilizam índies de erformane que onsideram a resosta toda da malha fehada ( t = 0 até atingir o estado estaionário). Um índie de erformane é um número que india a qualidade da erformane do sistema. O riníio é seleionar um determinado índie de desemenho, obtendo-se assim uma únia solução de rojeto orresondente. Vários índies de erformane têm sido roostos na literatura. Três índies oulares são ntegral do valor absoluto do erro (AE) AE = ε(t)dt (.) 0 onde o sinal erro ε (t) é a diferença entre o setoint e a medida. ε ( t) = ys (t) y(t) (.) A integração é de 0 a orque o término da resosta não ode ser fixado de antemão. Uma interretação gráfia do índie de erformane AE é mostrada nas Figuras. e.. A área hahurada é o valor do AE. Figura. ntegral do erro absoluto (variação no setoint). 9

41 Figura. ntegral do erro absoluto (variação na erturbação). ntegral do erro ao quadrado (SE) SE = ε (t)dt (.3) 0 A integral de ε (t) de 0 a é a área total abaixo da urva ε (t). Uma araterístia deste índie de erformane é que ele dá eso maior ara erros grandes e eso menor ara erros equenos. ntegral do erro absoluto onderado elo temo (TAE) 0 TAE = t ε(t)dt (.4) Este ritério tem omo araterístia que, na resosta ao degrau unitário do sistema, um erro iniial grande é onderado om eso menor, e erros que oorrem mais tarde na resosta transitória são bastante enalizados. Em todos os ritérios de erformane definidos aima, o limite suerior ode ser substituído or T, que é esolhido grande o sufiiente ara que ε (t) seja desrezível ara t > T. Note, que a menos que lim ε(t) = 0 t os índies de erformane tendem a infinito. Se lim ε(t) t não tende a zero, odemos definir (.5) ε ( t) = y( ) y(t) (.6) Com essa definição do erro, os índies resultarão em números finitos, se o sistema é estável. Exemlo. 30

42 Considere o sistema da Figura.3. Figura.3 Diagrama de bloos. As funções de transferênia dadas or 0 G (s) = (.7) s + G d (s) = (.8) s + G (s) = + (.9) τs G (s) = G (s) (.0) m f = Em malha fehada temos G (s)g f (s)g (s) y(s) = + G (s)g (s)g (s)g f m y (s) s (s) + + G (s)g G f d (s) (s)g (s)g m d(s) (s) 0 s + s + y(s) τ = y (s) s s + + d(s) (.) s + s s + s + τ + τ 3

43 τ s τs + 0 y(s) = y s (s) + d(s) (.) τ τ s + τ s s s τ ou ( τ 0 ) τs + s (s) = ys (s) + d(s) (.3) τ s + ζτs + τ s + ζτs + y em que τ 0 τ = (.4) τ ( + 0 ) ζ = (.5) 0 Para seleionar os melhores valores de e τ, odemos usar SE, AE ou TAE omo ritério de erformane. Além disso, odemos esolher se a variação é na erturbação ou no setoint. Finalmente, mesmo que tenhamos esolhido variação no setoint, reisamos deidir que tio de variação iremos onsiderar (isto é, degrau, senoidal, imulso). Vamos usar SE e variação degrau unitário no setoint. Assim, τs + (s) = (.6) τ s + ζτs + s y (se ζ < ) ζt τ e τ t t ζ y (t) = + sen ζ sen ζ + tan (.7) ζ τ τ ζ τ resolve-se o seguinte roblema de otimização: [ y y(t) ] dt MinimizarSE = (.8) τ, ζ 0 As ondições de otimalidade são s SE τ SE = = 0 ζ (.9) que resulta em * τ e * ζ ótimos e, onsequentemente, τ e ótimos. 3

44 Analogamente, odemos usar TAE e variação degrau unitário no setoint. MinimizarTAE = t y y(t)dt (.0) τ, ζ 0 As ondições de otimalidade são s TAE τ TAE = ζ = 0 (.) que resulta em * τ e * ζ ótimos e, onsequentemente, τ e Considerando agora variação degrau unitário na erturbação: ( τ 0 ) ótimos. s (s) = (.) τ s + ζτs + s y (se ζ < ) y(t) = ( τ 0 ) τ e ζ ζt τ sen ζ t τ (.3) Têm sido desenvolvidas relações de rojeto ara ontroladores PD que minimizam esses ritérios de erro integral ara modelos de roessos simles e um tio artiular de variação na erturbação ou no setoint. O ritério SE tende a enalizar mais os erros maiores do que os ritérios AE ou TAE. Em geral, TAE é o referido dentre os ritérios de erro integral, desde que resulte em ajustes mais onservativos ara os ontroladores. A Tabela. aresenta algumas relações de rojeto que minimizam o índie de erformane TAE. Essas relações foram obtidas usando modelo de rimeira ordem om temo morto e ontrolador PD. Note que os ajustes ótimos do ontrolador são diferentes deendendo se a resosta ao degrau é ara variação na erturbação ou no setoint. Para variação na erturbação, as funções de transferênia da erturbação e do roesso são assumidas idêntias, isto é, G = G. d Tabela. Relações de rojeto baseadas no índie de erformane TAE e um modelo de sistema de rimeira ordem om temo morto a. Distúrbio Setoint Tio de Modo A B A B ontrolador P P 0,490 -,084 P P 0,859-0,977 0,674-0,680 PD P,357-0,947 0,84-0,738 D 0,38 0,995 33

45 P P 0,586-0,96,03 b -0,65 b PD P 0,965-0,855 0,796 b -0,47 b D 0,308 0,99 a Relação de rojeto: ( ) B Y = A t d τ, em que Y = ara o modo roorional, τ τ ara o modo integral e τ D τ ara o modo derivativo. τ τ = A + B t τ. b Para variações no setoint, a relação de rojeto ara o modo integral é ( ) Relações de rojeto semelhantes também foram obtidas ara os outros dois índies. Essas relações são mostradas nas Tabelas. e.3 ara os índies AE e SE, resetivamente. Tabela. Relações de rojeto baseadas no índie de erformane AE e um modelo de sistema de rimeira ordem om temo morto a. Distúrbio Setoint Tio de Modo A B A B ontrolador P P 0,90-0,985 P P 0,984-0,986 0,608-0,707 PD P,435-0,9 0,878-0,749 D 0,48,37 P P 0,758-0,86,0 b -0,33 b PD P,086-0,869 0,740 b -0,30 b D 0,348 0,94 a Relação de rojeto: ( ) B Y = A t d τ, em que Y = ara o modo roorional, τ τ ara o modo integral e τ D τ ara o modo derivativo. τ τ = A + B t τ. b Para variações no setoint, a relação de rojeto ara o modo integral é ( ) Tabela.3 Relações de rojeto baseadas no índie de erformane SE e um modelo de sistema de rimeira ordem om temo morto a. Distúrbio Setoint Tio de Modo A B A B ontrolador P P,4-0,97 P P,305-0,959 0,49-0,739 PD P,495-0,945,0-0,77 D 0,560,006 a Relação de rojeto: ( ) B Y = A t d τ, onde Y = ara o modo roorional, τ τ ara o modo integral e τ D τ ara o modo derivativo. d d 34

46 Exemlo. Use a abordagem da integral do erro ara obter os ajustes do ontrolador P ara variação na erturbação do roesso om a função de transferênia: s 0e G(s) = s + (.4) Suonha que a esolha do índie seja o TAE, então onsultando a Tabela. om erturbação omo tio de entrada e P omo o tio de ontrolador; a relação de rojeto ara o modo roorional é B 0,977 t d = A 0 = 0,859 =, 69 τ (.5) ortanto, =,69 = 0,69 (.6) 0 e a relação de rojeto ara o modo integral é τ τ t d = A τ B 0,680 = 0,674 =, 08 τ (.7) ortanto, τ = =,85 (.8),08 Caso a esolha do índie seja o AE, a tabela a ser onsultada seria a Tabela.. E no aso da esolha do índie SE, seria a Tabela.3. O resultado final está sumarizado no quadro a seguir. τ SE 0,45,44 AE 0,95,0 TAE 0,69,85 Exemlo.3 Para o modelo de roesso: 35

47 3,5s 4e G(s) = 7s + (.9) alule os ajustes do ontrolador P e PD baseados nas relações de rojeto TAE ara variações na erturbação e no setoint. Da Tabela. e ara o ontrolador P, temos: Variação na erturbação O ganho é alulado or 0,977 = 3,5 = 0,859 7,69 (.30),69 = = 0,43 (.3) 4 O temo integral é alulado or τ τ 3,5 = 0, ,680 =,08 (.3) 7 τ = = 6,48 (.33),08 Variação no setoint 0,96 = 3,5 = 0,586 7,06 (.34),06 = = 0,76 (.35) 4 O temo integral é alulado or τ τ 3,5 =,03 0,65 = 0, (.36) 7 τ = = 7,39 (.37) 0,9475 Da Tabela. e ara o ontrolador PD, temos Variação na erturbação 36

48 O ganho é alulado or 0,947 = 3,5 =,357 7,66 (.38),66 = = 0,654 (.39) 4 O temo integral é alulado or τ τ 3,5 = 0,84 7 0,738 =,404 (.40) 7 τ = = 4,98 (.4),404 O temo derivativo é alulado or τd τ 3,5 = 0,38 7 0,995 = 0,9 (.4) τ = 0,9(7),34 (.43) D = Variação no setoint O ganho é alulado or 0,855 = 3,5 = 0,965 7,739 (.44),739 = = 0,435 (.45) 4 O temo integral é alulado or τ τ 3,5 = 0,796 0,465 = 0,78 7 (.46) 7 τ = = 9,69 (.47) 0,78 O temo derivativo é alulado or τd τ 3,5 = 0, ,99 = 0,68 (.48) 37

49 τ = 0,68(7),3 (.49) D = Exemlo.4 Para o sistema de ontrole da Figura.4, omare as resostas ao degrau unitário na erturbação e no setoint quando o ontrolador P é sintonizado ara AE distúrbio e AE setoint. Figura.4 Sistema de ontrole. A função de transferênia do roesso: G(s) = (.50) ( 0s + )( 5s + ) ode ser aroximada or: G ~ (s) 4.3s e,s + (.5) elo método de Sundaresan e rishnaswamy. As resostas ao degrau estão mostradas na Figura.5. 38

50 Figura.5 Resosta do roesso ao degrau e sua aroximação or um sistema de rimeira ordem om temo morto. Cohen Coon,07 8,048 AE distúrbio,644 9,36 AE setoint 0,864,500 τ A Figura.6 omara as resostas ao degrau na erturbação usando a sintonia do mínimo AE e de Cohen Coon. Note o bom desemenho eserado do ontrolador P sintonizado elo AE erturbação, enquanto que o ontrolador sintonizado elo AE setoint não teve bom desemenho. 39

51 Figura.6 Comaração das resostas de ontroladores P om ajustes AE e Cohen Coon. A Figura.7 omara as resostas ao degrau no setoint usando a sintonia do AE mínimo e de Cohen Coon. Note que agora o melhor desemenho foi do ontrolador P sintonizado elo AE setoint, enquanto que o ontrolador sintonizado elo AE distúrbio teve um desemenho razoável. 40

52 Figura.7 Comaração das resostas de ontroladores P om ajustes AE e Cohen Coon. Das Figuras.6 e.7 odemos observar que o rojeto de ontroladores AE ara variações na erturbação resulta overshoots maiores ara variações no setoint, enquanto que o rojeto ara variações no setoint roduz resostas mais lentas a distúrbios na erturbação. Exemlo.5 Para o mesmo sistema de ontrole do Exemlo.4, omare as resostas ao degrau unitário na erturbação om o ontrolador P sintonizado ara os ritérios TAE, AE e SE mínimos ara variações na erturbação. Figura.8 Comaração das resostas de ontroladores P om ajustes TAE, AE e SE. Nessa omaração, odemos verifiar que o ontrolador SE forneeu erros relativamente menores do que os outros dois ontroladores, uma vez que o SE ondera mais os erros grandes e ondera menos os erros menores. Exemlo.6 Neste exemlo, mostraremos a minimização do índie AE ara variação no setoint diretamente sobre a lanta e não sobre o modelo FOPDT. Para isso, onsideremos o seguinte roesso: G(s) = ( s + ) 4 4

53 O ontrolador é o P. Assim, minimização do índie e τ serão determinados or um roedimento de AE = ε(t)dt 0 que orresonde à função objetivo do roblema de otimização. Os dois arâmetros orresondem às variáveis de otimização. Para tanto, odemos usar a função fminsearh que alula o mínimo irrestrito de uma função. Programa //Ajuste de ontrolador minimizando AE distúrbio // lear learglobal l lf funtion =AE(x) global G Gd Gf Gm ys t s =x() tau=x() if >=0 & tau>=0 then G=*(+/(tau*s)) Gload=Gd/(+G*Gf*G*Gm) raizes=roots(denom(gload)) for i=:length(raizes) if real(raizes(i))>0 then =e0 else sl=syslin('',gload) y=sim('ste',t,sl) e=abs(ys-y) =sum(e) end end else =e0 end endfuntion global G Gd Gf Gm ys t s s=oly(0,'s'); //ou s=%s; //Proesso Gm= //função de transferênia do medidor Gf= //função de transferênia do elemento final de ontrole G=/(s+)^4 //função de transferênia do roesso Gd=G //função de transferênia do roesso Gd tf=50 ste=0.0 t=0:ste:tf ys=zeros(,length(t)) //setoint x0=[0.9367;3.4779] //estimativa iniial de e de tau x=fminsearh(ae,x0) //busa do mínimo 4

54 //Simulação da malha om a sintonia enontrada =x() tau=x() G=*(+/(tau*s)) Gload=Gd/(+G*Gf*G*Gm) sl=syslin('',gload) y=sim('ste',t,sl) dis('sintonia AE distúrbio enontrada ela otimização da lanta') rintf(' = %f\n',) rintf('tau = %f\n',tau) lot(t,ys,t,y) xlabel('t') ylabel('y') Resultados Aliando a função fminsearh, foram roduzidos os resultados mostrados na janela de omandos do Silab. A Figura.9 mostra a resosta transiente em malha fehada a uma variação degrau unitário na erturbação om a sintonia obtida via minimização do índie AE. Sintonia AE distúrbio enontrada ela otimização da lanta = tau = Figura.9 Resosta transiente a uma variação degrau unitário na erturbação minimizando AE. 43

55 Usando esse roedimento, foram obtidos os ajustes do ontrolador P utilizando os outros dois índies, SE e TAE. O quadro a seguir mostra os resultados. AE distúrbio,6568 4,604 SE distúrbio,4494 5,5058 TAE distúrbio,74 3,809 AE setoint,09 3,595 SE setoint a,638 5,3884 TAE setoint 0,7036,709 τ A aroximação deste roesso or um modelo FOPDT elo método de Sundaresan e rishnaswamy foi obtida no Caítulo e reroduzida aqui or omodidade.,475 e G(s) =,04s + De aordo om este modelo, as sintonias AE, SE e TAE são AE distúrbio 0,9367 3,4779 SE distúrbio,440 4,3047 TAE distúrbio 0,88 3,33 AE setoint 0,76,9998 TAE setoint 0,5598,3830 τ A Figura.0 traz uma omaração da resosta transiente om ontrole P utilizando os ajustes AE distúrbio da Tabela. e os ajustes obtidos ela minimização de AE da rória lanta ontrolada. A urva resosta AE distúrbio mostra um omortamento menos osilatório e mais lento, ois os ajustes AE distúrbio são mais onservativos do que os ajustes via minimização de AE. 44

56 Figura.0 Comaração de ontroladores P om ajustes AE distúrbio da Tabela. e AE mínimo. Exeríios Exeríios resolvidos. Em uma malha de ontrole onde: G (s) = G v (s) = G m (s) = G (s) = d e s ( s + ) 4 ( s + ) 4 e o ontrolador é PD. É dado o rograma sintonia_pd em Silab ara ajustar arâmetros de ontroladores PD usando rotinas de otimização em roessos que ontêm temo morto: Daí, ede-se 45

57 a) Sintonizar o ontrolador ara: ) otimizar o SE ara um degrau no setoint; ) otimizar o SE ara um degrau no distúrbio. b) Reetir o item anterior usando na otimização o AE. Programa //Sintonia do P or otimização //Índie SE ou AE ara variação no setoint ou no distúrbio // lear l funtion J=E(x) global A B C D Ad Bd Cd Dd y_ yd_ dt Nsim td ys disturbane =x() tau=x() [nr,n]=size(a) [nrd,nd]=size(ad) //Closed loo resonse t=0 x=zeros(nr,) xd=zeros(nrd,) em=0 em=0 u=0 J=0 for k=:nsim e=ys-(y_($)+yd_($)) t=t+dt u=u+*(e-em)+/tau*e*dt d=disturbane em=em em=e x=x+(a*x+b*u)*dt xd=xd+(ad*xd+bd*d)*dt y_=[c*x y_(:$-)] yd_=[cd*xd yd_(:$-)] y(k)=y_($)+yd_($) //J=J+abs(e)*dt //<--AE end endfuntion J=J+e^*dt //<--SE global A B C D Ad Bd Cd Dd y_ yd_ dt Nsim td ys disturbane s=%s G=/(s+)^4 //<--função de transferênia G(s) sem temo morto td= //<--temo morto sl=tfss(g) A=sl() B=sl(3) C=sl(4) D=sl(5) Gd=/(s+)^4 //<--função de transferênia Gd(s) sem temo morto tdd= //<--temo morto sld=tfss(gd) Ad=sld() Bd=sld(3) 46

58 Cd=sld(4) Dd=sld(5) t0=0 tf=00 dt=0. y_=zeros(,round(td/dt)) yd_=zeros(,round(tdd/dt)) Nsim=round(tf/dt) ys= //<--setoint disturbane=0 //<--disturbane //PD initial arameters = tau= x0=[;tau] ot=otimset("tolx",e- 4,"MaxFunEvals",0000*length(x0),"Maxter",000*length(x0)) [x,j]=fminsearh(e,x0,ot) =x() tau=x() dis('parâmetros ótimos') rintf(' = %f\n',) rintf('tau = %f\n',tau) rintf('\nj = %f\n',j) [nr,n]=size(a) [nrd,nd]=size(ad) //Simulating the losed loo with otimum tuning t=0 x=zeros(nr,) xd=zeros(nrd,) y_=zeros(,round(td/dt)) yd_=zeros(,round(tdd/dt)) em=0 em=0 u=0 for k=:nsim e=ys-(y_($)+yd_($)) t=t+dt u=u+*(e-em)+/tau*e*dt d=disturbane em=em em=e x=x+(a*x+b*u)*dt xd=xd+(ad*xd+bd*d)*dt y_=[c*x y_(:$-)] yd_=[cd*xd yd_(:$-)] y(k)=y_($)+yd_($) end //Ploting the results t=0:dt:tf sf() lf lot(t,ys*ones(length(t),),'b:',t,[0;y],'b-') xlabel('t') ylabel('y') legend(['ys';'y']) title('p-se ='+string()+' tau='+string(tau)+'') //<-- 47

59 Solução a) Otimização do SE Mudança do setoint. Parâmetros ótimos = tau = J = Figura. Resosta ao degrau unitário no setoint. Distúrbio degrau unitário. Parâmetros ótimos =.0769 tau = J =

60 Figura. Resosta ao distúrbio degrau unitário. b) Otimização do AE Mudança do setoint. Parâmetros ótimos = tau = J =

61 Figura.3 Resosta ao degrau unitário no setoint. Distúrbio degrau unitário. Parâmetros ótimos = tau = J =

62 Figura.4 Resosta ao distúrbio degrau unitário. Exeríios roostos. Considere o sistema do Exeríio.5. Obtenha a sintonia do ontrolador P otimizando o índie SE ara variações no setoint. Comare a sintonia om a sintonia que foi obtida elo método da osilação ermanente no Exeríio.5..3 Considere a malha de ontrole estudada no Exeríio 8.4: 3 Considere também que G (s) =, G (s) = e G (s) = 5 s + 0s + Sabendo-se G (s) é um ontrolador P, ede-se: 5

63 (a) determinar os arâmetros desse ontrolador que minimizem o SE ara uma variação em degrau em d. (b) reita o item anterior ara variação em degrau em d. () omare as resostas da malha om as duas sintonia ara variações em d e d..4 Reita o item (a) do exeríio anterior, onsiderando que a malha seundária interna está aberta. Para variação em d omare as resostas do ontrolador om essa sintonia e a sintonia do item (a) onsiderando que a malha seundária está fehada. 5

64 3 Malhas omlexas: Malhas em asata. Controle anteiatório. Comensação de temo morto. Sintonia de malhas omlexas. Até agora, aresentamos e estudamos diversas ferramentas ara a síntese e a análise de sistemas de ontrole or realimentação. Existem situações onde a ação de ontrole or realimentação não é sufiiente ara roduzir a resosta desejada de um dado roesso. ntroduziremos neste aítulo várias estruturas de ontrole avançado que odem ser usadas, tais omo ontrole em asata, ontrole anteiatório, ontrole om omensação de temo morto et, que visam melhorar o omortamento da malha de ontrole do roesso em relação ao que ode ser onseguido om o ontrole onvenional PD. 3. Controle em asata Pelo que vimos até agora, é laro que maniulando aenas uma entrada, onseguimos ontrolar aenas uma saída. Entretanto, em alguns sistemas temos mais de uma saída medida que odem ser usadas no ontrole da saída rinial. Uma desvantagem do ontrole feedbak onvenional é que ações orretivas ara erturbações não se iniiam até que a variável ontrolada se desvie do seu setoint e gere um erro na variável ontrolada. Uma maneira alternativa que melhora a resosta dinâmia a variações na erturbação é usar uma medida seundária e um ontrolador feedbak seundário ara o ontrole da variável seundária. A medida seundária deve ser tal que reonheça os efeitos do distúrbio mais raidamente do que a variável ontrolada rinial, embora a erturbação não seja neessariamente medida. Essa maneira de usar múltilas malhas feedbak é hamada de ontrole em asata. Para mostrar a onfiguração do ontrole em asata, vamos onsiderar um sistema onsistindo de duas artes, omo mostra a Figura 3.: roesso e roesso. O roesso (rimário) tem a saída y omo a variável que queremos ontrolar. O roesso (seundário) tem uma saída y que não temos interesse em ontrolar, mas que afeta a saída que queremos ontrolar, e deve ser, se ossível, a rinial erturbação ara a variável ontrolada rinial. Podemos observar que a erturbação d afeta a saída y de forma mais ráida do que a erturbação d, ois d tem que assar antes elo roesso antes de afetar y e, além disso, a variável maniulada u (entrada do roesso ) atua sobre a saída do roesso e esta, or sua vez, é que afetará a saída y, que é a variável ontrolada. 53

65 Figura 3. Proesso em malha aberta. O ontrole feedbak onvenional ara esse sistema é mostrado na Figura 3.. Nessa onfiguração, o ontrolador atua tanto ara variações na erturbação d quanto na erturbação d, só que omensa om maior efiiênia as variações em d, or razões oloadas anteriormente. Figura 3. Controle feedbak onvenional. Agora, se udermos ontrolar a saída do roesso, y, que é entrada do roesso, u, a deseito de variações em d, então estas variações não hegarão a afetar signifiativamente a saída y. Essa é a idéia do ontrole em asata. A Figura 3.3 mostra uma malha tíia de ontrole em asata. A malha é onstituída basiamente or duas malhas de ontrole or realimentação, sendo uma hamada de mestre (rimária) e a outra de esrava (seundária). A variável ontrolada ara a malha mestre é a rória variável que se deseja ontrolar, enquanto a variável ontrolada ara a malha esrava deve ser, se ossível, a rinial erturbação que afeta o sistema. 54

66 Figura 3.3. Controle em asata. A Figura 3.3 mostra laramente o rinial benefíio om o ontrole em asata, em que erturbações vindas da malha seundária são orrigidas elo ontrolador seundário antes que elas afetem o valor da saída ontrolada rimária. Esse imortante benefíio levou ao uso extensivo do ontrole em asata nos roessos químios. O diagrama de bloos om as resetivas funções de transferênia da estrutura de ontrole em asata da Figura 3.3 é mostrado na Figura 3.4. Figura 3.4 Diagrama de bloos. Desse diagrama de bloos, as seguintes relações odem ser desenvolvidas: u G G = y = ys + d (3.) + G G G + G G G m m u = y = G y + G d (3.) s s load e y G G sg G loadg = ys + d + d (3.3) + G G G G + G G G G + G G G G s m s m s m A sintonia dos dois ontroladores de um sistema de ontrole em asata é feita em duas etaas: Primeira etaa. Determinam-se os ajustes do ontrolador seundário G usando um dos métodos de sintonia já vistos. Em geral, é usado na malha seundária um ontrolador P ou P. Qualquer offset gerado elo ontrolador P na malha seundária não é relevante, uma vez que não temos interesse em ontrolar a saída do roesso seundário y em um setoint definido. 55