(5.20) Sistemas de primeira ordem: Para sistemas de primeira ordem (5.21) com y(0)=m(0)=d(0)=0 Isto leva à seguinte função de transferência:

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1 5.2- Efeito do ontrole roorional na resosta de um roesso A resosta em malha fehada de um roesso é dada ela equação 5.7. Para simlifiar a análise vamos assumir que Gm(s) e Gf(s). Além disso, ara o ontrolador roorional G(s) e a equação 5.7 se transforma em: G Gd y(s) ys(s) + d(s) (5.20) G G 5.2.-Sistemas de rimeira ordem: Para sistemas de rimeira ordem dy + y m+ dd (5.2) dt om y(0)m(0)d(0)0 Isto leva à seguinte função de transferênia: y(s) m(s) + d d(s) (5.22) Então, ara o sistema sem ontrole temos: onstante de temo: Ganhos estátios: ara a variável maniulada e d ara a arga Substitua: G(s) e Gd(s) d na equação 5.20 e obtenha a resosta em malha fehada: y(s) ys(s) + d d(s) (5.23) que ode ser reesrita omo: d y(s) ys(s) + d(s) (5.24) s+ s+ em que e 54

2 d d Os arâmetros e d são onheidos omo ganhos estátios em malha fehada. Pela equação 5.24 odemos onluir que a resosta em malha fehada de um sistema de rimeira ordem tem as seguintes araterístias: - Permanee de rimeira ordem ara erturbações de arga e set oint. 2- A onstante de temo foi reduzida (ou seja, <), o que signifia que a resosta em malha fehada se tornou mais ráida do que a resosta em malha aberta ara mudanças no set oint ou arga. 3- O ganho estátio diminuiu. Para entender melhor o efeito do ontrolador roorional, onsidere um degrau unitário no set oint (roblema servo) e na arga (rblema regulatório) e examine as resostas em malha fehada. Para o roblema servo, ys(s)/s e d(s)0. então, a equação 5.24 leva a : y(s) s+ s e a inversão y(t) ( e t / ) A figura 5.4a mostra a resosta do sistema em malha fehada ara uma erturbação degrau unitário no set oint. Notamos que a resosta final, ata t, nuna atinge o novo valor desejado ys. Há semre uma disreânia hamada de offset que é igual a offset novo set oint - valor final da resosta Figura 5.4- Resosta de sistemas de rimeira ordem om ontrole P, ara (a) degrau unitário no set oint; (b) degrau unitário na arga. 55

3 O offset é um efeito araterístio do ontrole roorional. Ele diminui onforme aumenta e teoriamente offset 0 quando. Para o roblema regulatório, ys(s)0. Considere um degrau unitário na arga, ou seja, d(s)/s. Então a equação 5.24 leva a: y(s) d s+ s e deois da inversão t / y(t) ( e d ) A Figura 5.4b mostra esta resosta. Notamos novamente que o ontrolador roorional não onsegue manter a resosta no valor desejado, ao invés disso aaree um offset: offset (valor desejado) - (valor final da resosta) 0 d d O benefíio do ontrole roorional na resença de erturbações de arga ode ser visto na Figura 5.4b. Embora ele não onsiga manter a resosta no set oint e introduza um offset, a resosta está muito mais róxima ao set oint do que se não houvesse ontrole. Além disso, onforme aumentamos o ganho, o offset diminui e teoriamente offset 0 quando. Observações: - Embora o offset tenda a zero quando, nuna vamos usar valores muito altos de ara ontrole roorional. a razão vai se tornar lara no róximo aítulo, em que estudaremos a estabilidade de sistemas em malha fehada. 2- Proessos om o termo /s na sua função de transferênia (uramente aaitivos) quando ontrolados or ontrolador roorional não exibem offset ara mudanças de setoint, mas sim ara erturbações sustentadas na arga (or exemlo, erturbação degrau) Sistemas de segunda ordem (roblema servo) Neste aso examinaremos somente o aso servo. Uma análise similar ara o aso regulatório ode ser failmente realizada. A função de transferênia ara um sistema de segunda ordem é y(s) G(s) (5.25) m(s) 2 2 s + 2ξs+ Substitua esta equação na equação 5.20 e, lembrando que ara o roblema servo d(s)0, temos: 56

4 y(s) ys(s) (5.26) 2 2 ( ) s + 2ξ s+ em que ξ ξ a equação aima vemos que a resosta em malha fehada de um sistema de segunda ordem om ontrole roorional tem as seguintes araterístias: A resosta ontinua sendo de segunda ordem. O ganho estátio diminui. Tanto o eríodo natural quanto o fator de amorteimento diminuem. Isto signifia que um sistema suer amorteido, om ontrole roorional e valor aroriado de, ode se tornar sub amorteido (osilatório). Considere um degrau unitário no set oint (ys(s)/s). Então y(s) 2 2 ( ) s + 2ξ s+ s eendendo do valor de ξ, a inversa da exressão aima ode ser dada or: eq. 3.0 ara o aso suer amorteido (ξ > ), ou eq. 3. ara o aso ritiamente amorteido (ξ ), ou eq. 3.2 ara o aso sub amorteido (ξ < ) Indeendentemente do valor artiular de ξ, o valor final da resosta ode ser enontrado elo teorema do valor final. Então y(t ) lim[sy(s)] s 0 Consequentemente, novamente notamos a existênia de offset: offset novo set oint - valor final da resosta Novamente, offset 0 quando. Observações: 57

5 - Se ξ >, a resosta do sistema em malha fehada é suer amorteida e muito lenta. Então referimos aumentar o valor de e fazer ξ <. Assim, a resosta em malha fehada reage mais ráido, mas se torna osilatória. Além disso, aumentando o offset diminui. 2- O aumento da veloidade da resosta do sistema e diminuição do offset, araterístias desejáveis, levam a maiores overshoots (erros máximos) e resostas osilatórias or mais temo. Então, onforme aumenta, fazendo om que ξ diminua: ela equação que define o overshoot (ágina 39) vemos que este aumenta ela equação que define a razão de delínio (ágina 40) vemos que esta também aumenta ela equação que define o eríodo de osilação, T (ágina 40), vemos que este diminui Todas as araterístias desritas aima estão mostradas na Figura 5.5. Figura 5.5- Efeito do ganho do ontrolador roorional na resosta em malha fehada de um sistema de segunda ordem om ontrole roorional Efeito da ação de ontrole integral Nesta seção vamos reetir a análise feita na seção assada, mas usando um ontrolador integral ao invés de um roorional. Olharemos somente o roblema servo ara sistemas de rimeira ordem; no aso regulatório e ara sistemas de ordem maior a metodologia é a mesma. Para um sistema de rimeira ordem temos: G(s) E ara ontrole integral uro temos: G(s) s I Substituindo G e G na equação 5.20, om d(s)0, temos: 58

6 s Is y(s) + ys(s) s Is + ou y(s) ys(s) (5.27) 2 2 s + 2ξs+ em que: I (5.28) ξ I (5.29) 2 A equação 5.27 mostra um efeito imortante da ação de ontrole integral: ela aumenta a ordem da resosta em malha fehada. Assim, ara um sistema que é de rimeira ordem sem ontrole, a resosta em malha fehada se torna de segunda ordem e onsequentemente ode aresentar araterístias dinâmias omletamente diferentes. Além disso, omo vimos anteriormente, aumentando a ordem de um sistema tornamos a sua resosta mais lenta. Assim, a ação de ontrole integral ura deve fazer om que a resosta do sistema em malha fehada se torne mais lenta. vamos examinar o omortamento dinâmio de um sistema em malha fehada quando o set oint muda or um degrau unitário. a equação 5.27 temos: y(s) 2 s 2 + 2ξs+ s A forma da resosta y(t) deende do valor de ξ, mas o valor final da resosta ode ser enontrado usando o teorema do valor final: y(t ) Logo, offset-0 lim[sy(s)] s 0 Isto mostra o efeito mais araterístio da ação integral: A ação de ontrole integral elimina qualquer offset. Pode-se verifiar failmente que ara o roblema regulatório a ação de ontrole integral roduz uma resosta em malha fehada também sem offset. Observações: 59

7 A equação 5.29 mostra que a forma da resosta em malha fehada (ou seja, suer amorteida, ritiamente amorteida ou sub amorteida) deende do valor do ganho do ontrolador,, e da onstante de temo integral, I. Assim, sintonizar estes arâmetros é uma questão imortante que será disutida mais tarde. a equação 5.29 vemos, ainda, que, onforme aumenta, o fator de amorteimento ξ diminui. As onsequênias da diminuição de ξ são: (a) A resosta em geral se transforma de lenta e suer amorteida em ráida orém osilatória e sub amorteida. (b) O overshoot e a razão de delínio da resosta em malha fehada aumentam. Assim, ode-se onluir que odemos melhorar a veloidade da resosta em malha fehada, mas aumentando os desvios e osilações. A Figura 5.6 mostra estas araterístias ara mudanças de set oint. a equação 5.29 vemos também que onforme I diminui, ξ diminui também. Entretanto, as onsequ~enias de diminuir I na resosta em malha fehada são as mesmas desritas aima. A figura 5.7 mostra estes efeitos. As onlusões aima odem ser resumidas da seguinte forma: Aumentando a ação de ontrole integral (ou seja, aumentando e diminuindo I ) a resosta em malha fehada se torna mais sensível. Mais tarde veremos que isto ode levar à instabilidade do sistema. Figura 5.6- Efeito do ganho roorional na resosta em malha fehada de sistemas de rimeira ordem om ontrole integral. 60

8 Figura 5.7- Efeito da onstante de temo integral na resosta em malha fehada de sistemas de rimeira ordem om ontrole integral Efeito da ação de ontrole derivativa Para ação de ontrole derivativa somente, temos: G s Assumindo ara simlifiação que GmGf, a resosta em malha fehada de um sistema de rimeira ordem om ação de ontrole derivativa é dada or: s y(s) + s + ( s) ( s) ys(s) ou s y(s) ys(s) (5.30) ( + )s+ A equação 5.30 leva às seguintes observações sobre os efeitos da ação de ontrole derivativo na resosta em malha fehada de um sistema: A ação de ontrole derivativa não muda a ordem da resosta. No exemlo aima o sistema ermaneeu de rimeira ordem. A equação 5.30 deixa laro que a onstante de temo efetiva da resosta em malha fehada é +, ou seja, maior do que. Isto signifia que a resosta do roesso ontrolado é mais lenta do que a do roesso de rimeira ordem original. Além disso, onforme aumenta, a onstante de temo efetiva aumenta e a resosta se torna rogressivamente mais lenta. 6

9 Outras observações: - É bastante interessante examinar o efeito da ação de ontrole derivativa na resosta de um sistema de segunda ordem. Assumindo novamente que GmGf, a resosta em malha fehada ara o roblema servo é: 2 2 s 2 s y(s) + ξ s 2 s + ξ + ou y(s) 2 s 2 + (2ξ+ s ( s) ( s) ys(s) ys(s) )s+ a última equação observamos que: (a) O eríodo natural de osilação da resosta em malha fehada ermanee o mesmo enquanto (b) O novo fator de amorteimento ξ é dado ela equação 2ξ 2ξ+ ou seja, ξ > ξ. Logo, a resosta em malha fehada é mais amorteida e o amorteimento aumenta onforme ou aumentam. Esta araterístia leva a um omortamento mais robusto do sistema ontrolado Efeito de ações de ontrole omostas Embora o ontrole roorional ossa ser usado sozinho, este quase nuna é o aso ara ontrole integral ou derivativo. Ao invés disso, os ontroladores roorional integral (PI) e roorional-integral-derivativo (PI) são os usualmente emregados Efeito do ontrole PI a ombinação dos modos de ontrole roorional e integral levam aos seguintes efeitos na resosta em malha fehada de um sistema: - A ordem da resosta aumenta (efeito do modo integral) 2- O offset é eliminado (efeito da ação de ontrole integral) 3- onforme aumenta, a resosta se torna mais ráida (efeito dos modos roorional e integral) e mais osilatória ara mudanças de set-oint (ou seja, o overshoot e a razão de delínio aumentam omo efeito do modo integral). Valores muito grandes de levam a resostas muito sensíveis, o que ode levar à instabilidade. 62

10 4- Conforme I aumenta, ara onstante, a resosta se torna mais ráida, mas também mais osilatória, om maiores overshoots e taxas de delínio (efeito do modo integral) Efeito do ontrole PI Combinação dos três modos de ontrole levam a resosta em malha fehada que tem em geral as mesmas araterístias do ontrole PI. Vamos desrever então o maior benefíio introduzido ela ação de ontrole derivativa. Já vimos que a resença do ontrole integral torna a resosta em malha fehada mais lenta. Para aumentar a veloidade da resosta em malha fehada odemos aumentar o valor do ganho. Mas aumentando o sufiiente ara obtermos veloidades aeitávis, a resosta se torna mais osilatória e ode levar à instabilidade. a introdução do modo derivativo leva a um efeito estabilizante do sistema. Assim, odemos onseguir uma resosta aeitável seleionando um valor aroriado ara o ganho e ainda onseguindo manter overshoots e razões de delínio moderados. A Figura 5.8 mostra o efeito do ontrolador PI na resosta de roessos em malha fehada. Note que, embora aumente levando a resostas mais ráidas, o overshoot ermanee quase o mesmo e o temo de assentamento é menor. Ambos são resultados da ação de ontrole derivativa. Figura 5.8- Efeito do ganho na resosta em malha fehada de um sistema de rimeira ordem om ontrole PI. 63