SÉRIE CADERNOS ECONÔMICOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS SÉRIE CADERNOS ECONÔMICOS DUOPÓLIOS E JOGOS Texto didátio n. Autores: André Carraro Gabrielito Menezes Rodrigo Fernandez PELOTAS Março 00

2 DUOPÓLIOS E JOGOS André Carraro Gabrielito Menezes Rodrigo Fernandez 3. O uso da teoria dos jogos ara o estudo do omortamento das firmas O estudo do omortamento das firmas assou, nos últimos anos, or um imortante roesso de evolução, omo sugere Siffert (995,.05), ao desontentamento om o instrumental ofereido ela miroeonomia lássia na análise do omortamento e da estrutura industrial. Seguindo esta evolução, a organização industrial deixa de seu uma simles aliação da teoria dos reços omo oloada or Bain (968), Stigler (968) e Caves (980) ara assar a estudar o omortamento estratégio das firmas ue omõem uma indústria, já ue agora, estudando merados imerfeitos, uma firma é aaz de afetar o omortamento de suas rivais. Neste novo ambiente de ometição, o termo omortamento estratégio surge omo uns dos riniais oneitos no estudo dos merados e das estratégias das firmas. Já a teoria nos jogos não ooerativos é uma linguagem de estratégia e euilíbrio, ou seja, o objetivo da teoria dos jogos é reresentar o omortamento estratégio dos agentes num jogo, examinando as estratégias individuais, de tal forma ue, alançando o euilíbrio de Nash, nenhum jogador ossui ualuer inentivo unilateral a mudar de estratégia. Dessa forma, a teoria dos jogos surge omo um imortante instrumental a ser usado na análise da interação estratégia entre agentes eonômios 4 forneendo a ossibilidade de avanços teórios na análise da atual organização dos merados. Doutor em Eonomia ela UFRGS e Professor do Mestrado em Organizações e Merados PPGOM/UFPEL. andre.arraro@gmail.om Mestrando em Organizações e Merados PPGOM/UFPEL. gabrielitorm@gmail.om 3 Mestrando em Organizações e Merados PPGOM/UFPEL rodrigo@rodrigofernandez.om.br 4 Neste trabalho os agentes eonômios serão reresentados elas firmas.

3 3. O ue é um jogo? Para desrever a situação de interação estratégia or meio da um jogo nós neessitamos onheer três oisas: () Os jogados do jogo; () As estratégias ossíveis de serem esolhidas or ada jogador, onheidas omo esaço estratégio ou onjunto de estratégias; (3) O ganho reebido or ada jogador de ada ombinação de estratégias ue oderia ser ossível de ser esolhida elos jogadores; Os jogadores do jogo são os agentes eonômios ue estão assando or uma situação de interação estratégia. Podem ser reresentados or firmas, onsumidores ou or ualuer outro agente ou instituição eonômia. Já as estratégias ossíveis de serem adotadas or ada jogador é formada elo onjunto de todas as ações ossíveis de serem esolhidas or ada jogador. Por exemlo, em um jogo disutado or firmas rivais, as ossíveis ações a serem esolhidas or ada firma odem ser formadas or: reço alto ou reço baixo. Finalmente, o ganho reebido or ada jogador de ada ossível ombinação de estratégias a serem esolhidas, nada mais é do ue uanto ada jogador irá reeber se adotarem uma ombinação de estratégias ualuer. Utilizando o exemlo aima das firmas, omo ada firma ose esolher entre estabeleer um reço alto ou reço baixo ara seu roduto, ada ombinação ossível de estratégias forneerá um luro (ganho) diferente ara ada firma. Agora ue já foi araterizado o jogo, odemos definir ue: um jogo é a reresentação de uma situação na ual um número determinado de agentes interagem de forma estratégia. Isto é, o bem-estar de ada agente deende não somente das suas ações mas, também, das ações dos outros agentes envolvidos no jogo. Ou dito de outra forma, a melhor (no sentido de ótima) ação ue ada jogador ossa tomar deende do ue este jogador esera ue os outros façam. Note ue ao ontrário da análise da onorrênia erfeita, o ganho de ada jogador deende não somente das suas ações, mas também das ações dos seus onorrentes. Assim, a função de ganho de ada jogador deende da ombinação de ações esolhidas or todos os jogadores.

4 4 Um jogo ode ser reresentado na forma normal ou na forma extensiva. A diferença básia está ue na reresentação de um jogo sob forma extensiva dedia-se uma maior atenção ao temo do jogo. Este tio de reresentação fornee informações mais detalhadas sobre omo os jogadores esolheram suas ações no assado. Já a reresentação de um jogo na sua forma normal é mais utilizado uando lidamos om jogos onde os jogadores esolhem suas ações de forma simultânea 5. Conheendo-se os jogadores ue fazem arte do jogo, seu onjunto de estratégias e a função de ganho, um jogo ode ser reresentado na sua forma normal omo no exemlo abaixo. Exemlo : Na forma norma de um jogo, ada jogador esolhe somente uma estratégia 6 esolhidas elos jogadores determinará os ganhos de ada jogador. Jogo da Moeda Jogador Cara Coroa Jogador Cara, - -, Coroa -,, - Neste jogo existem dois jogadores, jogador e o jogador, ada jogador ossui duas estratégias ossíveis: jogar ara ou jogar oroa. Cada jogador simultaneamente oloa uma moeda na osição ara ou oroa (ou seja, a fae virada ara ima ou virada ara baixo) de tal forma ue o seu oonente não saiba ual foi a sua estratégia adotada. Se ambos oloarem ada moeda na mesma osição (ambos ara, ou ambos oroa), o jogador ganha R$,00 e o jogador erde R$,00, or outro, se a osição das moedas estiver (ara-oroa ou oroa-ara) o jogador erde R$,00 e o jogador ganha r$,00 7. Os ganhos dos dois jogadores, uando uma determinada ombinação de estratégias é esolhida, são dados na aroriada élula da matriz. Por onvenção, o ganho do jogador linha, 5 O leitor oderá observar nas seções seguintes ue o Duoólio de Cournot e de Bertrand são exemlos da reresentação de um jogo na sua forma normal, enuanto ue o Duoólio de Stakelberg é reresentado na forma extensiva. 6 Por simlifiação, neste trabalho não será abordado os asos onde os jogadores ossuem alguma dívida sobre omo o seu oonente irá agir. Para resolver-se um jogo nesta forma é neessário a utilização do oneito de estratégias mistas. Assim, neste trabalho é utilizado somente o oneito de estratégias uras. Para o leitor ue estiver interessado no estudo destes asos, reomenda-se a leitura de Gibbons (99). 7 Este jogo é um exemlo de um jogo om soma zero, onde ara um ganhar o outro neessariamente deve erder.

5 5 hamado neste jogo de jogador, é o rimeiro ganho dado, seguido elo ganho do jogador oluna (aui, jogador). Exemlo : Jogador Jogo da Pedra-Pael-Tesoura Jogador Pedra Pael Tesoura Pedra 0,0 -,,- Pael,- 0,0 -, Tesoura -,,- 0,0 Novamente há dois jogadores, e, mas agora, ada jogador ossui três estratégias ossíveis de serem adotadas (Pedra, Pael e Tesoura). Este jogo é semelhante ao nostálgio jogo do disordar. As regras do jogo são as seguinte: o ael domina a edra, já ue o ael ode embrulhar a edra, a edra domina a tesoura já ue a edra bate na tesoura e, a tesoura domina o ael, já ue ode ortar o ael. Os ganhos da ombinação de ada estrategia ossível de ser esolhida está reresentando na matriz. Note ue ada jogo não neessariamente reisa ontar om somente duas três estratégias distintas, nem é neessário ue ada jogador ossua a mesma uantidade de estratégias do seu oonente. Os exemlos aresentados neste texto somente ossuem uma uantidade limitada de estratégias ara failitar a visualização do jogo. 3. Resolvendo um Jogo Aós a reresentação de um jogo na sua forma normal, o róximo asso é resolver o jogo. Primeiramente é introduzido o oneito de estratégias estritamente dominadas, baseado no argumente ue jogadores raionais nuna esolherão uma estratégias ue fornee ganhos semre menores, não imortando ual a estratégia adotada elo oonente. Logo aós é aresentado o oneito de euilíbrio de Nash ara um jogo. 3. O Proesso de Eliminação Seüenial das Estratégias Estritamente Dominadas (PESEED)

6 6 Considere o jogo reresentado no exemlo 3 abaixo. Neste jogo os jogadores são uma emresa monoolista ue deve deidir se roduz um roduto de alta ualidade ou um roduto de baixa ualidade e o onsumidor ue deve deidir se está disosto a agar um reço alto ou se está disosto a agar um reço baixo. Exemlo 3: Problema na Determinação da Qualidade do Produto Consumidor Preço Alto Preço Baixo Emresa Qualidade Alta 6,8,0 Qualidade Baixa 0, 3,4 Neste jogo o onsumidor terá um ganho maior (maior satisfação) agando um reço baixo elo roduto e, a emresa terá um luro maior roduzindo um roduto de baixa ualidade, já ue neste aso o usto de rodução é menor. Qual é a solução ara este jogo? Existe somente uma reosta orreta. Uma forma de resolver este jogo é introduzindo o oneito do PESEED, na ual nenhum jogador jogará uma estratégia estritamente dominada. No roblema de determinação da ualidade do roduto, aresentado no exemlo aima, se a emresa deidir roduzir um roduto de alta ualidade, o onsumidor irá esolher agar um reço baixo, já ue o ganho roveniente da esolha desta estratégia é maior ue o ganho roveniente da esolha de agar um reço alto (0 > 8). Caso a emresa deida roduzir um roduto de baixa ualidade, a sua estratégia ótima a ser adotada é agar um reço baixo (4>). Ou seja, ara o onsumidor indeendente da estratégia adotada ela emresa, o ganho obtido or otar agar semre um reço baixo é maior do ue se ele ota-se or agar um reço alto. Logo, omo o onsumidor é um agente raional ele nuna irá jogar a estratégia Preço Alto e, desta forma, a estratégia Preço Alto está sendo estritamente dominada ela estratégia Preço Baixo. Olhando agora ara a emresa. Como a emresa onhee os ganhos do jogo, e sendo ela aaz de resolver o roblema do onsumidor om a mesma habilidade ue o onsumidor ossui, então a emresa monoolista sabe ue a estratégia Preço Baixo domina a estratégia Preço Alto ara o onsumidor e logo, a emresa sabe ue o onsumidor somente está

7 7 disosto a agar um reço baixo tanto ara um roduto de baixa ualidade. Assim, a emresa omara seus ganhos obtidos or ambas estratégias ossíveis de serem esolhidas e obta or roduzir um roduto de baixa ualidade (já ue 3 > ). Logo a solução ara este jogo é a emresa roduzir um roduto de baixa ualidade om o onsumidor agando um reço baixo. O PESEED aesar de ossuir a idéia de ue jogadores raionais não jogam estratégias estritamente dominadas ossui dois roblemas. Primeiro, asa asso reuer um novo ressuosto sobre o ue os jogadores sabem de ada outro raionalmente. Se o objetivo for de aliar o roesso ara um número arbitrário de assos, nós neessitamos ue existe um onheimento omum. Isto é, torna-se neessário assumir ue não somente todos os jogadores são raionais, mas também, ue todos os jogadores sabem ue todos os jogadores são raionais e ue todos sabem ue todos sabem ue todos são raionais e assim or diante. O segundo roblema é ue este roesso roduz freüentemente muitas redições imrevistas sobre o resultado do jogo. No exemlo abaixo não há estratégias estritamente dominadas a serem eliminadas. Exemlo 4: Jogador Problema no PESEED Jogador L C R T 0,4 4,0 5,3 M 4,0 0,4 5,3 B 3,5 3,5 6,6 Para resolver o roblema de redição uando não há estratégia estritamente dominada a ser eliminada é usado o oneito de euilíbrio de Nash omo solução do jogo, de tal forma ue uma estratégia ue é o euilíbrio de Nash assa elo roesso de eliminação das estratégias estritamente dominadas. Ou seja, se uma dada estratégia é solução do jogo forneida elo oneito de euilíbrio de Nash, então esta estratégia não é dominada or nenhuma outra estratégia. Contudo, o inverso não é verdade, nem toda a estratégia ue sobrevive ao PESEED é um euilíbrio de Nash.

8 8 3. O Euilíbrio de Nash Num euilíbrio de Nash ada estratégia esolhida or ada jogador é a melhor resosta ossível de ser adotada, dadas as estratégias a serem adotadas elos seus oonentes. Sendo a estratégia adotada a sua melhor resosta à ação de seu oonente, nenhum jogador ossui ualuer estímulo ara desviar de sua estratégia de Nash, logo o euilíbrio de Nash, logo o euilíbrio de Nash é estável. Comarando os oneitos de PESEED e o euilíbrio de Nash, ode-se dizer ue o rimeiro o jogador está fazendo o melhor ue ode, indeendente do ue seu oonente esteja fazendo já no oneito de Nash ada jogador está fazendo o melhor ue ode dado ação do seu oonente. Considere o jogo simultâneo de dois jogadores aresentando no exemlo 5 abaixo. Este jogo lássio é onheido omo Dilema dos Prisioneiros. Exemlo 5: Prisioneiro Dilema dos Prisioneiros Prisioneiro Não Confessa Confessa Não onfessa -,- -9,0 Confessa 0,-9-6,-6 A desrição do jogo é a seguinte: dois risioneiros foram ausados de terem ooerado entre si durante um rime ratiado. Os úmlies enontram-se arisionados em salas distintas, não havendo omuniação entre eles. No mesmo momento foi efetuada, ara ambos os úmlies, a seguinte roosta: se ambos os risioneiros onfessarem, não havendo olaboração entre eles, ada um reeberá uma ondenação de seis meses de risão. Se nenhum dos dois onfessarem, havendo olaboração entre eles, ada um reeberá omo ondenação um mês de risão. Por outro lado, se um dos risioneiros onfessar o rime mas o outro não, auele ue onfessou sairá livre, enuanto o outro será ondenado à nove meses de risão. Se voê fosse um dos risioneiros, ual seria a sua oção? Confessar ou não Confessar? A matriz de ganhos (anos de ondenação) reresenta todas as ossíveis ombinações de estratégias entre o risioneiro e o risioneiro. Note ue o luro negativo reresenta a ondenação de ada um dos jogadores.

9 9 Como sugere o nome deste jogo, ambos os jogadores estão enfrentando um dilema. Se ambos risioneiros udessem entrar em aordo (formando um onluio) ada um assaria somente um mês na risão. Entretanto, eles estão inomuniáveis; e ainda ue a omuniação fosse ossível, será ue oderiam onfiar um no outro? Se o risioneiro não onfessar, ele estará orrendo o riso de benefiiar seu úmlie às suas ustas. Caso o risioneiro, resolvendo o roblema de maximização do risioneiro, saiba ue este irá adotar a estratégia não onfessar, a sua melhor resosta seria jogar onfessar, saindo livre no mesmo dia, enuanto ue o seu omanheiro egaria uma ondenação de 9 meses de risão. Da mesma forma ue o jogador onsegue resolver o roblema do jogador, este também ode resolver o roblema do jogador om a mesma habilidade ue o jogador resolve o seu roblema. Assim, ambos sabem ue aso esolham, jogar a estratégia não onfessar seu oonente irá, ertamente, esolher a estratégia onfessar. Para evitar fiar nove meses vendo o sol nasendo uadrado é ue ambos irão jogar onfessar e ambos serão ondenados a seis meses de risão. Note ue aui surge um roblema om o oneito de euilíbrio de Nash. Nem semre o resultado forneido elo uso do oneito de euilíbrio de Nash será o Pareto Suerior. No Dilema dos Prisioneiros, visivelmente a ombinação das estratégias onfessar onfessar fornee um resultado onde ambos os jogadores estariam numa situação melhor, já ue um ano na risão é estritamente referível a seis anos. Neste jogo o resultado não onfessar não onfessar é onsiderado um resultado Pareto Ótimo Inferior. As emresas oligoolistas também enfrentam situações semelhantes ao Dilema dos Prisioneiros. Por exemlo, elas neessitam deidir se onorrerão agressivamente rourando amliar sua artiiação no merado, ou se irão ooerar om seus onorrentes oexistindo no merado de forma aífia. Caso isto aonteça ambas emresas manterão suas fatias de merado inalteradas formando um artel onde as uantidades ofertadas no merado oderão ser limitadas e o reço mantido elevado, onseguindo assim maiores luros. Porém, omo veremos (na róxima seção), este resultado de onluio não é estável ao longo do temo (da mesma forma ue o Dilema dos Prisioneiros a ooeração não era uma estratégia sustentável), não sendo ortanto, um euilíbrio de Nash. A artir da róxima seção será analisado o omortamento estratégio das emresas num merado duoolista onde as firmas omortam-se omo desrito num duoólio de Cournot Bertrand e Stakelberg. O omortamento das firmas num duólio de Cournot e Bertrand é reresentado or um jogo estátio, onde as ações das firmas são tomadas de forma simultânea, omo no Dilema do Prisioneiro.

10 0 4. A Aliação da Teoria dos Jogos num Merado Duoolista O merado duoolista é formado or duas emresas ue estão ometindo num merado é um aso de interação estratégia, sendo a teoria dos jogos um ótimo instrumento ara a análise deste merado. Como rimeiro aso de aliação da teoria dos jogos no estudo do omortamento das firmas em merados oligoolistas, é aresentado o aso de ometição estátia, onde os movimentos das firmas são simultâneos (Duoólio de Cournot e Bertrand), e aós será aresentado o aso de ometição dinâmia, onde uma firma (onheida omo firma líder) age rimeiro ue a outra firma (seguidora) O Duoólio de Cournot 7 No duoólio de Cournot duas firmas, a firma A e a firma B, roduzem um roduto homogêneo estando ometindo elos níveis de rodução ou seja, neste merado a variável de esolha é a uantidade a ser ofertada, A e B. Assim a oferta agregada do merado é formada ela soma das uantidades ofertadas elas duas firmas, Q = A + B. O reço assoiado om esta uantidade (função de demanda inversa) é tomada ela função ( A, B ) = a - b ( A + B ), onde b>0. A firma i ossui uma função usto dada or, C i : i (y i ) ara todo i = A, B, note ue não há usto fixo e o usto marginal é onstante. Observe ue neste jogo existem dois jogadores: a firma A e a firma B. O onjunto de estratégia é formado ela esolha das uantidades i = [ 0, + π) e o ganho de ada firma é dado ela sua função luro (π i = i. i i. i ). O roblema de maximização da firma A é: Max π A ( A, B ) =. A A. A () Substituindo ela função reço na euação () temos: 6 Dentre o onjunto formado elos jogos simultâneos esta seção esta restrita ara os jogos om informação omleta. Isto é, ada função de ganho dos jogadores é de onheimento omum de todos os jogadores. 7 Este modelo foi ela rimeira vez analisado elo eonomista franês Augustin Cournot em 838 na sua obra Reherhes sur les Prinies Mathématiues de la Théorie des Rihesses.

11 Max π A ( A, B ) = [ a b ( A + B )] A A. A () Resolvendo o roblema aima de otimização não ondiionada, obteremos a uantidade ótima ara a firma A. π A / A = a b A b B A = 0 (3) isolando A na euação (3) a b B A *( = ) B b (4) A A euação (4) é onheida omo a função de reação da firma A. Esta função mostra omo a firma A irá reagir a uma ação da firma B. Ou seja, a função de reação da firma A demonstrar ual a uantidade ótima a ser roduzida ela firma A dado ue a firma B adotou determinada estratégia de rodução. Note ue a uantidade ótima ( * A ) da firma A não deende somente das suas variáveis de esolha, mas deende também da uantidade B. Quanto maior for a uantidade ofertada ela firma B, menor será a uantidade ofertada ela firma A. Isto orue o reço do roduto está negativamente relaionado om as uantidades. Como a uantidade ótima a ser ofertada ela firma A deende da uantidade a ser ofertada ela firma B, o luro da firma A aaba sendo influeniado fortemente ela deisão a ser tomada ela firma B. A firma B or sua vez, deverá resolver o seu roblema de maximização dos luros da seguinte forma: Max π B ( A, B ) =. B B. B (5) Substituindo ela função reço na euação (5) temos: Max π B ( A, B ) = [ a b ( A + B )] B B. B (6) Resolvendo o roblema aima, da mesma forma ue foi feito ara a firma A obteremos a uantidade ótima ara a firma B.

12 π B / B = a - b B - b A B = 0 (7) isolando B na euação (7), B *( A ) a b = A b B (8) A euação (8) reresenta a função de reação da firma B. Ou seja, ual é a melhor resosta da firma B uando a firma A esolher roduzir A unidades do roduto. Agora, odese observar ue o luro da firma B será influeniado não somente or suas ações, mas também ela ação da firma rival. A uantidade esolhida ela firma A entra na função da firma B influeniando-a de forma negativa. Substituindo, na função de reação da firma A, B ela função de reação da firma B ( B * ( A )), obtêm-se a uantidade ótima a ser ofertada ela firma A. Tem-se então: A [ a b( a b / b ) ]/ b * A = (9) B A e realizando as oerações neessárias: a = A B * A (0) 3b Fazendo o mesmo ara a firma B obtemos ue: a = B A * B () 3b As uantidades ( A * ; B * ) formam o Euilíbrio de Nash, já ue neste onto, omo ada firma está fazendo o melhor ue ode dado a ação de sua rival, nenhuma firma ossui ualuer inentivo unilateral de desviar deste resultado final. A rinial araterístia do

13 3 Duoólio de Cournot é ue no onto de euilíbrio ada firma obtém ⅓ do merado, fiando ⅓ do merado sem atendimento. Podemos reresentar grafiamente as funções de reação das firmas A e B da seguinte forma. Figura As urvas de Reação e o Euilíbrio de Nash A Curva de Reação da Firma A Euilíbrio de Nash ( A * = B * ) Curva de Reação da Firma B A * B * B Agora ue já foi aresentado a forma geral de resolução de um roblema de Duoólio de Cournot, vamos resolver um exemlo rátio, dando números aos oefiientes de tenologia e de demanda. Exeríio : Considere duas firmas (firma e a firma ) disutando um merado segundo o Duoólio de Cournot. A urva de demanda inversa é dada or: (, ) = 50 ( + ). As funções de usto são resetivamente 9 : ( ) = 0,5 ( ) = 0,4 Neste exeríio vamos montar a matriz dos ganhos (luros) e ahar o euilíbrio de Nash. Para isto, devemos resolver o roblema de maximização dos luros ara ada firma uando ambas disutam o merado de forma airrada (não ooeração), uando ambas formam um artel (ooeração) e uando uma das firmas trai a outra desviando do resultado forneido elo artel. Vamos, então, resolver este exeríio em três artes distintas: 9 Note ue neste exemlo o usto marginal não é onstante omo foi assumido antes.

14 4 ª Parte: Ahando os luros uando as firmas não ooeram: Primeiro vamos montar o roblema de maximização ara a firma. π = () [ 50 ( + )] 0, π = 5 (3) π / = 50 4 = 0 (4) ( ) isolando, temos 50 * = 5 (5) A euação (5) é a função de reação da firma. Agora, resolvendo o roblema de maximização ara a firma, temos ue: π = (6) [ 50 ( + )] 0, π = 4 (7) π / = ,8 = 0 (8) ( ) isolando, temos 50 * = 4,8 (9) A euação (9) é a função de reação da firma. Para aharmos as uantidades ótimas, vamos substituir a função de reação da firma na função de reação da firma. Assim, a função de reação da firma torna-se: * ( ) = (0) 4,8

15 5 Resolvendo a euação (0) ahamos ue a uantidade ótima ara a firma é: * = 7,5. Substituindo a uantidade ótima da firma na função de reação da firma, obteremos a uantidade ótima da firma. Ou seja: 50 ( ) ( 7,5) = * () 5 Resolvendo a euação () ahamos ue a uantidade ótima ara a firma é: *= 7. Agora ue já foi desoberto as uantidades ótimas de ambas as firmas, temos ue o reço de euilíbrio do merado será: (, ) = 50 ( * + *) (, ) = 50 (7 + 7,5) = Substituindo as uantidades ótimas desobertas nas funções luros de ambas firmas, euações (3) e (7), obteremos o luro obtido or ada firma. Resetivamente, π =,5 e π = 35. ª Parte: Ahando os luros uando as firmas ooeram. Quando as duas firmas resolvem ooerar, formando um artel, o objetivo assar a ser o de maximizar o luro do artel. Max = ( + )* [ + ] ( ) ( ) π () Max = [ 50 ( + )]* ( + ) 0,5 0,4 π (3) Derivando a função luro do artel em relação a uantidade de ambas firmas: π / = = 0 (4) 50 4 = 5 (5) π / = = 0 (6)

16 50 4 = 4,8 (7) Novamente, substituindo na função de reação da firma, ahamos a uantidade ótima ara a firma ( * = 6,5) e, substituindo * na função de reação da firma, obteremos * = 5,0. 6 Substituindo as uantidades na função reço obtemos o reço de euilíbrio uando as firmas ofertam as uantidades obtidas. P(, ) = 50 ( + ) P (, ) = 50 ( 6,5 + 5) P (, ) = 7, 50 Agora ue já ossuímos as uantidades ótimas a ser ofertadas or ada firma e o reço de euilíbrio do merado, odemos obter o luro de ada firma. O luro da firma é dado or: π =. π = 7,5 (5) 0,5 (5) e, obtemos π = 5,0. Já o luro da firma é dado or: π =. π = 7,5 (6,5) 0,4 (6,5) e, obtemos π = 56,5. Somando os luros de ambas as firmas e obtemos o luro do artel, π = 8,5. 3ª Parte: Quando uma das emresas ooera enuanto ue a outra não ooera. a) Vamos ensar, rimeiro, no aso em ue a firma ooera, mas a firma não ooera. Neste aso, a firma vai manter a sua uantidade ofertada no nível = 6,5. Dado ue a firma vai ofertar 6,5 unidades, a firma vai resolver o seu roblema de maximização, enontrando a sua melhor resosta [ * ( )] ara a estratégia = 6,5 da firma. A firma vai maximizar: π = P (, ) 0,5 (7)

17 7 π = [50-(, ) ] 0,5 (8) π / = 50 4 = 0 (9) e, obtemos a função de reação da firma : ( ) = 50 5 (30) Como = 6,5, odemos substituir na euação (30) e ahamos * = 7,5. O reço de euilíbrio será: P (, ) = 50- (7,5 + 6,5) =,5 E, finalmente, o luro de ada firma será: π =,5 (7,5) 0,5 (7,5) π = 40,65 π =,5 (6,5) 0,4 (6,5) π = 5,0 Agora, or último, vamos ensar em ue a firma ooere, mas a firma não-ooere. Neste aso, a firma vai manter a sua uantidade ofertada fixa em 5 unidades mas, a firma vai desviar do aordo ue formou o artel. Resolvendo o seu roblema de maximização, a firma enontrará a sua melhor resosta a estratégia esolhida ela firma ( = 5). A firma vai maximizar: π = P (, ) 0,4 (3) π = [50-(, ) ] 0,4 (3) π / = ,8 = 0 (33) e, obtemos a função de reação da firma : ( ) = 50 4,8 (34)

18 8 Como = 5, odemos substituir na euação (34) e ahamos * = 8,33. O reço de euilíbrio será: P (, ) = 50- (5 + 8,33) = 3,34. E, finalmente, o luro de ada firma será: π = 3,34 (5) 0,5 (5) π = 04,0 π = 3,34 (8,33) 0,4 (8,33) π = 66,66 Tendo ahado todos os ganhos relaionados om todas as ombinações de estratégias ossíveis de serem esolhidas, odemos montar a matriz de luro. Firma Matriz de Luro Firma Cooerar Não ooerar Cooerar 5; 56,5 04,0; 66,66 Não ooerar 40,6; 5,5; 35 Agora odemos visualizar o dilema em ue as firmas estão enfrentando. Caso ambas ooerassem, o luro obtido or ada firma seria maior se omarado om o ganho obtido uando elas ometem elo merado. No entanto, a ombinação de estratégias Cooerar- Cooerar não é sustentável, já ue se uma firma realmente ooerar, a outra firma ossui o inentivo de desviar do aordo e ofertar uma uantidade maior do roduto 0 Logo, o euilíbrio de Nash deste jogo é ambas as firmas não ooerarem, om a firma tendo um luro maior já ue sua função usto é menor da função de usto da firma. 0 A ooeração somente oderá tornar-se um euilíbrio estável aso o jogo fosse reetido infinitas vezes.

19 9 4. O Duoólio de Bertrand Neste modelo as firmas A e B ometem or reços e não or uantidades, omo oorre no modelo de duoólio de Cournot. Assim, no modelo de Bertrand a variável de esolha de ada firma é reço ( A B ). Nesta seção será analisado dois asos ossíveis: rimeiro, uando ambas firmas roduzem rodutos difereniados (rodutos heterogêneos) e, neste aso, os seus reços são difereniados. Segundo, o aso de firmas ue roduzem rodutos homogêneos e logo, ambas ossuem o mesmo reço. 4.. Duoólio de Bertrand om Produtos Heterogêneos Neste modelo existem duas firmas maximizadoras de luro, firma A e firma B, num merado onde a função demanda, ara ada firma, é dada or A () = a b ( A ) + b ( ) e, B () = a + d ( A ) d ( B ), ou seja, a uantidade é função do reço. O objetivo de ada firma é maximizar a função luro dada or (π i =. i i. i ). O roblema de maximização da firma A é: Max π A ( A, B ) = A. A A. A (3) Substituindo A ela função uantidade da firma A na euação (3) temos: Max π A ( A, B ) = [a b A + b B ] A A [a b A + b B ] (3) Resolvendo o roblema aima, obteremos a uantidade ótima ara a firma A. a b b π / = + + = 0 (33) A A A A B b isolando A na euação (33) O modelo de Bertrand foi desenvolvido elo eonomista franês Joseh Bertrand em 883 no seu artigo Théorie Mathématiue de la Rihesse Soiale, ubliado no Journal des Savants.

20 0 * A ( ) B a b + + B = b A b (34) A euação (34) nada mais é do ue a função de reação da firma A. Diferente da função de reação do modelo de Cournot, onde uanto maior fosse a uantidade ofertada ela firma B, menor seria a uantidade ótima ofertada ela firma A, na função de reação do modelo de Bertrand uma esolha de um reço maior ela firma B, resultaria na adoção de um reço maior ela firma A. Ou seja, dado ue a firma B elevou os reços, a melhor estratégia ara a firma A é também aumentar os seus reços. A firma B or sua vez, deverá resolver o seu roblema de maximização dos luros da seguinte forma. (, ) =. π (35) B A B B B B B Max. Substituindo B ela função uantidade da firma B na euação (35) temos: (, ) = [ + ] [ + ] a d Max B A B A B B B A d π (36) a d d B a d d d π / = + + = 0 (37) B B B A B isolando B na euação (37) B ( ) a d d + + A B * = A (38) d Substituindo, na função de reação da firma A, B ela função de reação da firma B ( B * ( A )), obtêm-se o reço ótimo a ser esolhido ela firma A. Tem-se aós as oerações neessárias:

21 A ( a + b ) + ( + ) A d a d B b 4b d bd * = (39) Fazendo o mesmo ara a firma B, obtemos ue: B ( a + d ) + ( + ) B b d a Ab 4d b d b * = (40) As uantidades ( A * ; B * ) formam o euilíbrio de Nash, já ue neste onto, omo ada firma está adotando a melhor estratégia (reço) ossível dado a estratégia (reço) adotada ela sua rival, nenhuma firma ossui ualuer inentivo de desviar deste resultado final. Reresentando grafiamente as funções de reação das firmas A e B, obtemos: Figura As urvas de Reação e o Euilíbrio de Nash no modelo de Bertrand P A Curva de Reação da Firma A * A Euilíbrio de Nash Curva de Reação da Firma B B * B As funções de reação no modelo de Bertrand ossuem inlinação ositiva. A melhor resosta ara um aumento nos reços efetuados ela firma A é a firma B aumentar seus

22 reços. No onto em ue as duas urvas de reação se ruzam, obtemos os reços de ambas firmas no onto de euilíbrio de Nash. 4.. Duoólio de Bertrand om Produtos Homogêneos No aso de um duoólio de Bertrand om rodutos homogêneos a função usto das firmas A e B são iguais ( A = B ). E, o reço de euilíbrio ara ambas as firmas A e B será: A = B =. Mas será ue este reço de euilíbrio é realmente estável? Será ue nenhuma firma ossui ualuer inentivo a desviar deste onto de euilíbrio? Claro ue não. Para rovar ue o modelo de Bertrand om rodutos homogêneos ossui um únio onto de euilíbrio onde A = B = vamos lembrar ue o usto ara ambas é igual a. Primeiro, suonha ue uma das firmas estabeleça um reço abaixo do usto. Neste aso a firma estará sofrendo rejuízos nas suas vendas tendo um inentivo a aumentar o seu reço até, no mínimo, igualar ao onto, onde seu luro é zero. Assim, este reço iniial abaixo do onto não é um euilíbrio de Nash. Agora, vamos ensar ue uma das firmas estabelee seu reço igual ao usto, enuanto a outra estabelee seu reço aima do onto. Neste aso a firma ue estabeleer seu reço igual ao usto estará vendendo ara todo o merado, orém não obtendo luro. Logo esta firma ossui um inentivo a desviar deste reço aumentando-o de tal forma ue ele fiue maior do ue o usto mas ainda menor do reço de sua firma rival, ermaneendo ainda om todo o merado mas, obtendo agora um luro ositivo. Novamente, este reço não é um euilíbrio de Nash. Por fim, suonha ue ambos os reços estejam aima do usto. Ora, neste aso, ualuer das firmas ossui um forte inentivo ara diminuir seu reço, aenas o sufiiente ara torná-lo menor ue o reço de sua rival, assando a dominar o merado or inteiro e ainda ossuindo um luro ositivo. Assim, ambos os reços esolhidos não formam um euilíbrio de Nash.

23 3 4.3 O Modelo de Duoólio de Stakelberh Até agora foi aresentado dois modelos onde ambas firmas tomavam suas deisões simultaneamente. Agora veremos um exemlo de um jogo dinâmio. No modelo de Stakelberg uma firma, hamada de firma líder, realiza rimeiro a esolha de uanto roduzir. No entanto momento do jogo, a segunda firma, onheida omo a firma seguidora, observa a ação da firma líder seguidora, observa a ação da firma líder e toma a sua deisão de uanto roduzir. As araterístias deste jogo são as seguintes: a) os movimentos oorrem em seuênia; b) todos os movimentos révios são observados antes do róximo movimento ser esolhido; ) os ganhos dos jogadores rovenientes de ada ombinação fatível de movimentos são de onheimento omum. Este tio de jogo é resolvido or meio da idéia da indução retroativa, ue nada mais é do ue resolver o jogo de trás ara frente, do último estágio ara rimeiro, omo segue abaixo: Vamos reresentar a firma líder omo sendo a firma e, a firma seguidora omo sendo a firma, além disto a função demanda inversa será reresentada omo (, ) = a- b(, ). Assim, uando hegar a vez da firma jogar, no segundo estágio do jogo, ela estará diante do seguinte roblema: omo maximizar o seu luro (ue deende da uantidade a ser roduzida) dado a ação adotada ela firma (líder) no rimeiro estágio do jogo. Ou seja, a firma deve: Máx π = (, ) ( ) (4) Máx π = [ a b ( + )] ( ) (4) Derivando a função luro da firma em função da sua uantidade, enontraremos a função de reação da firma seguidora, ( ), ou seja, ual a uantidade ótima a ser esolhida ela firma seguidora, no segundo momento, dado a ação ( ) adotada ela firma líder no rimeiro momento do jogo.

24 4 π / = a b b = 0 (43) a b isolando temos: * ( ) = b (44) Agora, voltando um asso, no rimeiro estágio do jogo, dado ue a firma onsegue resolver o roblema da firma tão bem omo a firma onsegue, a firma líder ode anteiar a ação a ser adotada ela firma seguidora e, então, esolher a uantidade a ser roduzida já onsiderando a reação da firma seguidora no segundo momento. Reresentando este omortamento, a firma líder irá no rimeiro momento: Máx [ + ()] - ( ) (45) Resolvendo este roblema de maximização, obteremos a uantidade ótima ( *) a ser esolhida ela firma líder no rimeiro estágio do jogo já onsiderando a reação da firma seguidora no estágio seguinte. Máx π = [ a b ( + ( )] ( ) (46) a b Máx π = a b ( + ) b (47) π / = a-b ba/b + b + /- = 0 (48) a + isolando, temos: * = b (49) Substituindo * na função de reação da firma, obtemos a uantidade ótimo a ser esolhida ela firma seguidora: a 3 + * = 4b (50) Agora ue já obtemos a uantidade ótima a ser ofertada or ada firma, odemos obter a uantidade total a ser ofertada no merado: Qt = +.

25 5 Qt = (a + + ) + (a ) = (3a ) b 4b 4b Relembrando ue no euilíbrio de Nash do modelo de duoólio de Cournot ada firma roduz (a ), odemos observar ue a uantidade total ofertada no modelo de Stakelberg 3 é maior ue no modelo de Cournot, sendo o reço de euilíbrio de merado menor no modelo de Stakelberg. Como as vendas são maiores no modelo de Stakelberg, o luro da firma (líder) será maior ue o luro da firma no modelo de Cournot. Porém, omo no agregado o luro do modelo de Cournot é maior do ue o Stakelberg, o luro da emresa seguidora será menor do ue o luro da emresa no modelo de Cournot. Podemos reresentar grafiamente este resultado onforme o gráfio abaixo. Figura 3 Y Comaração entre o euilíbrio de Cournot e Stakelberg Função de Reação da Firma Função de Reação da Firma Euilíbrio de Cournot Euilíbrio de Stakelberg Curvas de Isoluro da Firma Nota: O euilíbrio de Nash oorre uando as duas urvas de reação se interetam. O euilíbrio de Stakelberg oorre uando uma urva de reação é tangeniada ela urva de isoluro da outra firma. Exeríio 3. Vamos ensar ue duas firmas ( e ) estão disutando um merado onde a função demanda inversa é dada or = 50 ( + ). Ambas firmas ossuem ustos

26 6 marginais iguais a zero. Ahe o euilíbrio de Cournot e de Stakelberg. No aso do modelo de Stakelberg onsidere a firma omo a firma líder e a firma omo a firma seguidora. º Parte) na busa do euilíbrio de Cournot: A firma : Máx π = [50 ( + )] π / = 50 4 = 0 5 isolando, temos: () = Já a firma : Máx π = [50 ( + )] π / = 50 4 = 0 5 isolando, temos: () = Substituindo uma função de reação na outra ahamos os valores ótimos no euilíbrio de Cournot ara e, são eles: * = * = 8,33. ª) Na busa do euilíbrio de Stakelberg: A firma (seguidora) no segundo estágio do jogo: Máx π = [ 50 ( + )] π / = 50 4 = 0 5 isolando temos: () = A firma (líder) no rimeiro estágio do jogo: Máx π = [ 50 ( + ( ) ) ] 5 Máx π = [ 50 +

27 7 π / = 5 = 0 Isolando, obtemos * =,5, substituindo na função de reação da firma, ahamos * = 6,5. Visualmente os resultados, na tabela abaixo, odemos onfirmar as relações entre os modelos: Tabela Comaração dos resultados nos Duoólios de Cournot e Stakelberg Duoólio de Cournot Duoólio de Stakelberg Preço de euilíbrio 6,68,5 Quantidade da firma 8,33,5 Quantidade da firma 8,33 6,5 Luro da firma 38,94 56,5 Luro da firma 38,94 78, 5. Conlusão O objetivo rinial deste trabalho foi aresentar, de uma forma introdutória, a aliação da teoria dos jogos não ooerativos no estudo da organização industrial. Neste sentido, foi enfoado uniamente os jogos não ooerativos, ue além do grande desenvolvimento teório nas últimas déadas são, sem dúvida alguma, o tio de jogo mais utilizado no estudo do omortamento estratégio dos agentes eonômios. No entanto, a teoria dos jogos não se resume no estudo dos asos de jogos não ooerativos de informação omleta. Muito imortante, também, é o estudo de jogos reetidos onde a ooeração ode tornar-se um euilíbrio estável. Nos últimos anos, vários eonomistas, em diversas artes do mundo, assaram a esuisar e a desenvolver a teoria dos jogos ooerativos, ue também ossui grande aliação na organização industrial. Da mesma forma, este trabalho não enfoou a ossibilidade de informação inomleta, onde os agentes envolvidos no jogo não ossuem erteza sobre as estratégias a serem adotadas elos seus rivais. Neste aso, ada jogador deverá lançar uma distribuição de robabilidade sobre o onjunto de estratégias ossíveis de serem adotadas elos seus rivais.

28 8 O instrumental da teoria dos jogos ossui aliação em diversas áreas da Ciênias Eonômias, não resumindo-se ao estudo do omortamento das firmas em merados imerfeitos. Por exemlo, a análise de omortamento estratégio entre sindiatos e emresas ossibilita a utilização do instrumental da teoria dos jogos na área da eonomia do trabalho. Na área Maroeonômia, as olítias adotadas or um aís odem ter algum reflexo sobre outras eonomias, havendo, também, neste aso, um omortamento estratégio entre os aíses. Finalmente, omo visto aima, a teoria dos jogos ossui uma amla aliação na Ciênia Eonômia tendo este trabalho, aresentando ao leitor análise do omortamento estratégio. 6 Bibliografia BAIN, Joe. Industrial Organization. ed. New York : John Wiley and Sond, 968. CAVES, Rihard E. Cororate Strategy and Struture. Journal of Eonomis Literature. n. 8,. 64-9, marh 980. GIBBONS, Robert. A Primer in Game Theory. New York: Harvester Wheatsheaf, 99. KREPS, David M. A Course in Miroeonomi Theory. Prineton: Prineton University Press, 990. KREPS, David M. Teoría de Juegos Y Modelaión Eonómia. Méxio: Fondo de Cultura Eonómia, 994. MAS-COLLEL, Andreu; WHINSTON, Mihael; GREEN, Jerry. Miroeonomi Theory. New York: Oxford University Press, 995. Para o leitor interessado na aliação da teoria dos jogos na análise Maroeonômia, sugere-se a leitura de Sahs-Larrain (995, seção 4.8).