4.1 Aproximação por Bode

4. Aproximação por Bode é poível atender a epecificaçõe de algun filtro a partir do traçado do diagrama de Bode (termo de ª e ª orden) Exemplo 4.) Aproximar um filtro paa-baixa que atifaça a epecificaçõe motrada abaixo. íntee e Filtro

4. Aproximação por Bode º Pao: definir a ordem do filtro de00 a 400 oitava 35 db oitava 7,5dB oitava Concluão: filtro de ordem 3, ão neceário 3 zero 8 db oitava íntee e Filtro

4. Aproximação por Bode º Pao: definir a FT do filtro Para reolver o problema é neceário: H ( ) ( ) z z Q K z z - correção de zero imple 3 db - correção de zero complexo conjugado -0 log 0 Q Z 3º Pao: definir o parâmetro (contante) da FT - z z p 00 rad/ - a correção em p deve er menor ou igual à A MAX, ou eja: 3 0log Qz 3 0log0 Qz 0 0log0 Qz 0 Qz 0 íntee e Filtro 3

4. Aproximação por Bode H ( ) ( )( 00 00 0000) K - calculando a contante K pelo gráfico pela FT igualando Finalmente: H ( ) H(j0 ) db 0 db 00x0000 H (0) K 00x0000 K ou K H(j0 ) 6 0 ( )( 00 00 0000) 0 6 íntee e Filtro 4

4. Aproximação por Bode No Matlab: H ( j00) 3.003 db e H ( j400) 36.47 db íntee e Filtro 5

4. Aproximação por Bode - Ordem íntee e Filtro 6 p p MIN 0 MIN 6log A 0log A n Generalizando a aproximação por Bode Ob.: para A MAX < 3dB, a ordem deve er empre maior que.

4. Aproximação por Bode - FT para n ímpar H ( ) ( ) p p Q z n p p n - Determinando Q z para n ímpar 0 ( n ) 3 0 0( n )log Q z 3 A 0 MÁX 0( n) log Q 0 z Q z A 3 A MÁX MÁX íntee e Filtro 7

4. Aproximação por Bode - FT para n par H ( ) n p p Q z n p - Determinando Q z para n par n 0 log 0nlog Q z 0 0 A 0 MÁX 0n Q Q z z A A MÁX MÁX íntee e Filtro 8

4. Aproximação Butterworth Paa Baixa (PB) aproximação maximamente plana na faixa de paagem e monótona crecente na faixa de rejeição íntee e Filtro 9

4. Aproximação Butterworth Forma geral para paa baixa () () endo: çã çã () () # íntee e Filtro 0

4. Aproximação Butterworth No Butterworth $ % endo: $ contante n ordem do filtro Portanto: () 5 6(78) 5 9 (78) $ 8 8 : % em dc(0) () quando () $ 8 8 : % íntee e Filtro

4. Aproximação Butterworth Perda em db é dada por: n A ( ) 0log 0 ε Para p p ( ) A( ) 0log 0 ε p íntee e Filtro

4. Aproximação Butterworth Pela epecificação do filtro, a perda em p A MAX é conhecida, então: A Max ε 0log 0 A 0 Max 0 ( ε ) ε 0 0,A Max íntee e Filtro 3

4. Aproximação Butterworth Para >> A( ) 0log0 ε p n Coniderando a frequência normalizada como: Ω ε n p então, podemo ecrever a perda normalizada como: n 0 Ω 0log0 ( n ) A( Ω) 0log Ω íntee e Filtro 4

4. Aproximação Butterworth Paa Baixa Perda Normalizada para @ ABC 3E $ íntee e Filtro 5

4. Aproximação Butterworth Detaque na Perda Normalizada para Ω íntee e Filtro 6

4. Aproximação Butterworth íntee e Filtro 7 Determinando a ordem do filtro 0 0, 0 0, 0, 0 log 0 log 0 0 0log ) ( p A A n p A n p Min n p Min Min Min n A A ε ε ε ε

4. Aproximação Butterworth Exemplo 4.) Encontre a perda em 40 rad/ para um filtro Butterworth de ordem n5 que tenha perda máxima de db na frequência de paagem P 0 rad/. ε A( Ω 0 ) 0,x 0log A( ) 0log 0 0 0,509 3,49 0,509 A( Ω ) 0 Ω 0log 40 0 A( ) ε 0 5 0 40 0 3,49 ( 0 3,49 ) 54,3dB 54,3dB íntee e Filtro 8

4. Aproximação Butterworth íntee e Filtro 9 Obtendo a Função de Tranferência [ ] ( ) n n n p n n p O I H( jω (jω Ω H(jΩ ε Ω j V j V j H ) temo :, como Portanto, ) ) então, como ) ( ) ( ) ( ε

4. Aproximação Butterworth Raíze de H() H ( ) H ( ) ( ) 0 olução deta equação: n π k n j n k e, com k,, L, n módulo unitário etão toda obre um círculo unitário n raíze π Igualmente epaçada em intervalo de radiano n Função Perda normalizada é H() é dada por: H() ( endo j j j ) a n raíze localizada no PE. íntee e Filtro 0

4. Aproximação Butterworth Exemplo da raíze para n3 e para n4 íntee e Filtro

4. Aproximação Butterworth íntee e Filtro Função Perda normalizada é H() é dada por: no PE. raíze localizada a endo ) ( ) n H( j j j Defazendo a normalização para obter o polinômio que atenda à epecificaçõe do filtro deejado Ω p n normalizado p n p n j j j j ε ε ε

4. Aproximação Butterworth Exemplo 4.3) Encontre a função perda para um filtro Butterworth paa baixa normalizado de ordem 3. Raíze de H() k 3 5 e e e e π k j 3 π j 3 4π j 3 jπ H ( ) ( H ( ) (, 0,5 j0,866 0,5 j0,866 )( )( com k,, 3, 4, 5, 6 0,5 j0,866)( ) 4 6 e e e jπ 5π j 3 7π j 3 0,5 0,5 0,5 j0,866) j0,866 j0,866 íntee e Filtro 3

4. Aproximação Butterworth Polinômio normalizado de Butterworth para n,,..., 0 N Numerador de H() Butterworth Den..44 3 3 4 4.63 3 3.44.63 5 5 3.36 4 5.36 3 5.36 3.36 6 6 3.8637 5 7.464 4 9.46 3 7.464 3.8637 7 7 4.494 6 0.0978 5 4.598 4 4.598 3 0.0978 4.494 8 8 5.58 7 3.37 6.846 5 5.6884 4.846 3 3.37 5.58 9 9 5.7588 8 6.587 7 3.634 6 4.9864 5 4.9864 4 3.634 3 6.587 5.7588 0 0 6.395 9 0.437 8 4.80 7 64.884 6 74.334 5 64.884 4 4.80 3 0.437 6.395 íntee e Filtro 4

4. Aproximação Butterworth Polinômio normalizado de Butterworth para n,,..., 0 N Numerador de H() Butterworth Den. () (.44) 3 ( )() 4 ( 0.7654)(.8478) 5 ( 0.680)(.680)() 6 ( 0.576)(.44)(.939) 7 ( 0.4450)(.470)(.809)() 8 ( 0.390)(.)(.669)(.966) 9 ( 0.3473)( )(.53)(.8794) () 0 ( 0.39)( 0.9080)(.44)(.9754) (.780) íntee e Filtro 5

4. Aproximação Butterworth Exemplo 4.4) Encontre o filtro Butterworth paa baixa com a eguinte epecificaçõe: A Max 0,5dB, A Min db, P 00 rad/ e 400 rad/. ε 0 0,x0,5 0,35 - ordem do filtro : n 0,A 0 log0 ε log 0 p Min n log 0 log 0,x 0 0,35 0 400 00,73 n íntee e Filtro 6

4. Aproximação Butterworth - Pela tabela: H(),44 - Denormalizando: - Finalmente: ε n 0,35 normalizado 0, 0059 p 00 H() H() H ( ) (0,0059) 0,0059 ( 39,6,44(0,0059 ) 877,4 39,6 877,4 877,4) íntee e Filtro 7

4. Aproximação Butterworth íntee e Filtro 8 - verificando: db j H j H x j j H db j H j H x j j H db j H j H j j H P 5,05 400) ( 5,66 400) ( 877,4 400 39,6 400 877,4 400) ( 400 p/ 0,494 00) (,058 00) ( 877,4 00 39,6 00 877,4 00) ( 00 p/ 0 0) ( 0) ( 0 p/ 877,4 39,6 877,4 ) (

4. Aproximação Butterworth imulando no Matlab bode([ 39.6 877.4],877.4,[ 0:0:000]),grid íntee e Filtro 9

4. Aproximação Butterworth Zoom na faixa de paagem bode([ 39.6 877.4],877.4,[ 0:0:00]),grid íntee e Filtro 30

4. Aproximação Butterworth Atenção: reolvendo o memo exemplo por Bode Variação de db / oitava 6 db / oitava implica ordem n Porém a correção é de 3 db em P, não atendendo a epecificaçõe do filtro olução: utilizar zero (n) complexo conjugado com correção de -0log 0 Q z 0,5 íntee e Filtro 3

4.3 Aproximação Chebyhev Paa Baixa (PB) caracterítica equiripple na faixa de paagem e monótona crecente na faixa de rejeição íntee e Filtro 3

4.3 Aproximação Chebyhev Função Chebyhev paa baixa de n-éima ordem C n ( Ω) co( nco Ω) para Ω coh(ncoh Ω) para Ω > endo Ω P a frequência normalizada Forma recuriva do polinômio de Chebyhev Da Equação acima podemo ecrever: C n (Ω) C n (Ω) co [(n ) co co(n co Ω co Ω] co [(n ) co Ω) co(n co Ω] Ω co Ω) íntee e Filtro 33

4.3 Aproximação Chebyhev Uando a identidade co(ab)co(a-b) coacob podemo reduzir a equação anterior a: C C n n (Ω) C (Ω) C n n (Ω) (Ω) co(n co ΩC (Ω) n Ω) co( co Ω Ω) Portanto : C n (Ω) ΩC (Ω) n C n (Ω) íntee e Filtro 34

4.3 Aproximação Chebyhev endo : C n ( Ω) Então : para n para n abendo que C o polinômio de ordem uperior 0(Ω) e C (Ω) Ω, ão obtido da equação recuriva, ou eja: C C C C M 3 4 5 0 (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) Ω 4Ω 8Ω 3 4 6Ω co( nco C ( Ω) 3Ω 8Ω 5 0 C ( Ω) 0Ω co(0 co co(co 3 Ω) 5Ω Ω) Ω) Ω íntee e Filtro 35

4.3 Aproximação Chebyhev Filtro paa baixa Chebyheh H ( jω) para A MAX 0log ε C p Ω 0 n P ( Ω) H ( jω) p 0log 0 C ( ) n co( nco ) ( ) 0,A ε ε 0 MAX íntee e Filtro 36

4.3 Aproximação Chebyhev Portanto, para um dado @ ABC, variando a ordem n do filtro Chebyhev, a funçõe perda normalizada podem er plotada íntee e Filtro 37

4.3 Aproximação Chebyhev Perda do PB normalizado para @ ABC 0,5dB íntee e Filtro 38

4.3 Aproximação Chebyhev Detaque na Perda do PB normalizado para Ω íntee e Filtro 39

4.3 Aproximação Chebyhev Perda do PB normalizado para @ ABC 0,5 db íntee e Filtro 40

4.3 Aproximação Chebyhev Perda do PB normalizado para @ ABC db íntee e Filtro 4

4.3 Aproximação Chebyhev Exemplo 4.5) Qual a ordem neceária para um filtro paa-baixa Chebyhev que atenda a eguinte epecificaçõe: f p 000Hz, f 5000Hz, A MAX db e A MIN 35dB Ω p π 5000 π 000 5000 000,5 n 4 íntee e Filtro 4

4.3 Aproximação Chebyhev íntee e Filtro 43 Raíze da Função Perda H() Pode er motrado que a raíze ão: endo: j C n H H H Ω Ω ) ( ) ( ) ( ) ( ε, 0,,, para ± n k j k k k K σ ± ε π ε π σ coh co enh n n k enh n enh n k en k k

4.3 Aproximação Chebyhev íntee e Filtro 44 Como @ @, então: Lugar da raíze Elipe Eq. coh ε ε σ enh n enh n enh k k

4.3 Aproximação Chebyhev Como no filtro Butterworth, omente a raíze com parte real negativa (PE) etão aociada a H(), ou eja: H ( ) ( j ) K j endo K uma contante para prover perda mínima de 0 db na faixa de paagem. Defazendo a normalização A funçõe aproximada por Chebyhev preciam er denormalizada para a epecificação deejada, ou eja: jω j p, como Normalizado j, então: p íntee e Filtro 45 p

4.3 Aproximação Chebyhev Funçõe de Chebyhev normalizada para @ ABC 0,5 db N Numerador de H() Chebyhev AMAX0,5dB Den 4.08 4.08.797.4.054 3 3.534.97.07.07 4 4.45 3.053.3860.379 0.535 5 5.44 4.5 3.76 0.98930.568 0.568 6 6.394 5.47 4.045 3.483 0.59730.3 0.84 7 7.38 6.705 5.375 4.09 3.08 0.37770.0649 0.0649 8 8.375 7.945 6.706 5.634 4.5 3 0.7455 0.9 0.0309 0.03303 9 9.369 8 3.88 7 3.039 6 3.3 5.06 4.49 3 0.4663 0.730.0605 0.0605 0 0.366 9 3.433 8 3.373 7 4.07 6.775 5.903 4 0.8446 3 0.00804 0.33 0.0690.00858 íntee e Filtro 46

4.3 Aproximação Chebyhev Funçõe de Chebyhev normalizada para @ ABC 0,5 db N Numerador de H() Chebyhev AMAX0,5dB Den (4.08) 4.08 (.797.4).054 3 ( 0.767.3386)(0.767).07 4 ( 0.450.60)(.060.4548) 0.535 5 ( 0.70.0954)( 0.70700.5364))(0.4370) 0.568 6 ( 0.868.063)( 0.5030.630)( 0.6970.97) 0.84 7 ( 0.369.045)( 0.38360.7059)( 0.55430.89) (0.3076) 8 ( 0.046.0339)( 0.9800.7633)( 0.44600.3806) ( 0.560.00) 9 ( 0.086.064)( 0.3780.8066)( 0.36430.4697) ( 0.44690.735)(0.378) 0 ( 0.0668.0)( 0.9400.8395)( 0.300.5456) ( 0.38070.58)( 0.400.070) 0.0649 0.0309 0.0605 0.00804 íntee e Filtro 47

4.3 Aproximação Chebyhev Funçõe de Chebyhev normalizada para @ ABC 0,5 db N Numerador de H() Chebyhev AMAX0,5dB Den.863.863.46.56.43 3 3.53.5350.757 0.757 4 4.97 3.77.050.379 0.3578 5 5.7 4.937 3.3 0.7550.789 0.789 6 6.59 5.7 4.59 3.7 0.4340.09476 0.08946 7 7.5 6.43 5.869 4.648 3 0.7557 0.80.04473 0.04473 8 8.46 7.657 6.49 5.84 4.49 3 0.5736 0.55 0.037 0.0369 9 9.43 8.903 7.49 6.78 5.6 4 0.9836 3 0.3408 0.094 0.08 0.08 0 0.4 9 3.5 8.7 7 3.44 6.44 5.57 4 0.67 3 0.00559 0.373 0.04990.00593 íntee e Filtro 48

4.3 Aproximação Chebyhev Funçõe de Chebyhev normalizada para @ ABC 0,5 db N Numerador de H() Chebyhev AMAX0,5dB Den (.863).863 (.46.56).43 3 ( 0.665.44)(0.665) 0.757 4 ( 0.3507.0635)( 0.84670.3564) 0.3578 5 ( 0.39.0358)( 0.5860.4768)(0.363) 0.789 6 ( 0.553.030)( 0.4430.5900)( 0.57960.570) 0.08946 7 ( 0.40.06)( 0.3940.6769)( 0.4660.539) 0.04473 (0.56) 8 ( 0.087.09)( 0.4840.743)( 0.3780.3587) 0.037 ( 0.43860.088) 9 ( 0.0689.009)( 0.9840.7894)( 0.30400.455) ( 0.3790.563)(0.984) 0.08 0 ( 0.0558.0073)( 0.690.857)( 0.50.538) 0.00559 ( 0.3780.379)( 0.3530.0563) íntee e Filtro 49

4.3 Aproximação Chebyhev Funçõe de Chebyhev normalizada para @ ABC db N Numerador de H() Chebyhev AMAX,0dB Den.965.965.098.03 0.986 3 3 0.9883.380.493 0.493 4 4 0.958 3.454 0.7460.756 0.457 5 5 0.936 4.689 3 0.9744 0.58050.8 0.8 6 6 0.983 5.93 4.0 3 0.9393 0.3070.0689 0.064 7 7 0.93 6.76 5.49 4.358 3 0.5486 0.370.0307 0.0307 8 8 0.998 7.43 6.655 5.837 4 0.8468 3 0.4478 0.0535 0.0730.073 9 9 0.975 8.67 7.88 6.378 5.0 4 0.7863 3 0.44 0.07060.007677 0.007677 0 0 0.959 9.99 8.08 7.98 6.63 5.44 4 0.003838 0.4554 3 0.85 0.03450.004307 íntee e Filtro 50

4.3 Aproximação Chebyhev Funçõe de Chebyhev normalizada para @ ABC db N Numerador de H() Chebyhev AMAX,0dB Den (.965).965 (.098.03) 0.986 3 ( 0.4940.994)(0.494) 0.493 4 ( 0.790.9865)( 0.67370.794) 0.457 5 ( 0.7890.9883)( 0.46840.493)(0.895) 0.8 6 ( 0.440.9907)( 0.33980.5577)( 0.4640.47) 0.064 7 ( 0.0940.997)( 0.560.6535)( 0.3700.305) (0.054) 8 ( 0.07000.994)( 0.9940.735)( 0.9840.3409) ( 0.3500.0703) 0.0307 0.0535 9 ( 0.05530.995)( 0.5930.7754)( 0.440.4386) ( 0.9940.44) (0.593) 0 ( 0.04480.996)( 0.300.844)( 0.060.505) ( 0.5530.66)( 0.8300.0450) 0.007677 0.003838 íntee e Filtro 5

4.3 Aproximação Chebyhev Exemplo 4.6) Encontre um filtro PB Chebyhev que atenda a epecificaçõe: p 00 rad/, 600 rad/, A MAX 0,5dB e A MIN 0dB Ω 600 3 00 Da tabela de A MAX 0,5dB, temo: p H ( ) verificar a Denormalizando para K # MM, temo: H ( ) H ( ) 00 ordem no gráfico ( 0,6646,445 )( 0,6646) 0,757 0,6646,445 00 0,757 ( 5,9 45698)( 5,3) 575600 0,6646 00 íntee e Filtro 5

4.3 Aproximação Chebyhev imulando no Matlab: bode(conv([ 5.9 45698],[ 5.9]),[575600],[ 0:0:e3]),grid íntee e Filtro 53

4.3 Aproximação Chebyhev Zoom na faixa de paagem bode(conv([ 5.9 45698],[ 5.9]),[575600],[ 0:00]),grid íntee e Filtro 54

4.4 Aproximação Elíptica Paa Baixa (PB) é a aproximação mai comumente utilizada no deenvolvimento de filtro função perda não é mai monótona crecente na faixa de rejeição ripple na faixa de paagem o ripple na faixa de rejeição x íntee e Filtro 55

4.4 Aproximação Elíptica Normalização Ω a frequência normalizada P Denormalização jω j p, como j, então: p Normalizado p Tabela baeada na teoria da funçõe elíptica, dependem de Ω e A MAX íntee e Filtro 56

4.4 Aproximação Elíptica Função Perda Elíptica para A MAX 0,5 db e Ω,5 N Numerador de H() Denominador de H() A MIN (db).0353.6039 0.3854( 3.9705) 8.3 3 3.98.9505.96 0.34(.8060).9 4 4.750 3.7668.0959 0.05397( 4 4.6349 30.6784) 36.3 0.5003 5 5.597 4.036 3.407 0.8850.53 0.0997( 4 7.863 3.89) 50.6 N Numerador de H() Denominador de H() A MIN (db) (.0353.6039) 0.3854( 3.9705) 8.3 3 ( 0.4586.6039) 0.34(.8060).9 (0.76695) 4 ( 0.5496.06044) 0.05397(.53555) 36.3 ( 0.9000.4783) (.0993) 5 ( 0.6346.0389) ( 0.57030.5760)(0.4597) 0.0997(.455) ( 5.43764) 50.6 íntee e Filtro 57

4.4 Aproximação Elíptica Função Perda Elíptica para A MAX 0,5 db e Ω,0 N Numerador de H() Denominador de H() A MIN (db).4504.5979 0.033( 7.464) 3.9 3 3.300.5080.7949 0.544( 5.53) 3. 4 4.857 3.7393 0.0036987( 4 8.805.88) 48.6.06350.4360 5 5.657 4.9743 3.3574 0.880.3 0.004605( 4 4.937 46.76) 66. N Numerador de H() Denominador de H() A MIN (db) (.4504.5979) 0.033( 7.464) 3.9 3 ( 0.53787.4849) 0.544( 5.53) 3. (0.69) 4 ( 0.306.0658) 0.0036987( 4.5936) 48.6 ( 0.884560.403) ( 4.7) 5 ( 0.955.0340) ( 0.580540.55)(0.396) 0.004605( 4.36495) ( 0.56773) 66. íntee e Filtro 58

4.4 Aproximação Elíptica Função Perda Elíptica para A MAX 0,5 db e Ω 3,0 N Numerador de H() Denominador de H() A MIN (db).3575.5553 0.083974( 7.4858).5 3 3.4.53030.7476 0.063(.878) 4.8 4 4.94 3.756 0.0006046( 4 68.964 6.3377) 64..0480.408 5 5.696 4.954 3.39 0.77950.94 0.00077547( 4 34.974 48.485) 85.5 N Numerador de H() Denominador de H() A MIN (db) (.3575.5553) 0.083974( 7.4858).5 3 ( 0.5894.4559) 0.063(.878) 4.8 (0.6563) 4 ( 0.3979.0638) 0.0006046( 0.4554) 64. ( 0.86580.37787) ( 58.47) 5 ( 0.066.035) ( 0.58440.496388)(0.3745) 0.00077547( 9.8955) ( 5.0769) 85.5 íntee e Filtro 59

4.4 Aproximação Elíptica Exemplo 4.7) Encontre o filtro elíptico que atenda a mema epecificaçõe do exemplo 4.6, ou eja, p 00 rad/, 600 rad/, A MAX 0,5dB e A MIN 0dB. Pela tabela: Ω Denormalizando: H ( ) p 600 00 3,3575 H ( ) 0,083974 00 p verificar na,5553 ( 7,4858),3575,5553 00 00 0,083974 7,4858 00 tabela 7,43 6,8 0,083974 ( 6994, ) íntee e Filtro 60

4.4 Aproximação Elíptica No Matlab: bode([ 7.43 6.8],0.083974*[ 0 6994.],[, 0:0:0000]),grid H ( j00) 0.5000dB H ( j600).57db íntee e Filtro 6

4.4 Aproximação Elíptica No Matlab: zoom na faixa de paagem íntee e Filtro 6

4.4 Aproximação Elíptica No Matlab: zoom na faixa de rejeição íntee e Filtro 63

4.5 Aproximação por Beel Aproximaçõe anteriore ó têm a preocupação de atender a caracterítica de perda (ganho) Em tranmiõe digitai a ditorçõe de fae não podem er negligenciada Funçõe de Beel têm preocupação com a fae, obtendo um atrao plano na faixa de paagem Exemplo de Fç. Perda com ordem n4: Butterworth x Chebyhev x Beel íntee e Filtro 64

4.5 Aproximação por Beel Exemplo de Fç. Perda com ordem n4: Butterworth x Chebyhev x Beel Atrao íntee e Filtro 65

4.5 Aproximação por Beel Exemplo de Fç. Perda com ordem n4: Butterworth x Chebyhev x Beel Repota ao Degrau íntee e Filtro 66

4.5 Aproximação por Beel Epecificaçõe de Regime Tranitório, upondo um LTI com condiçõe iniciai nula (itema relaxado) td tempo de atrao (delay time) tr tempo de ubida (rie time) Mp máxima ultrapaagem (overhoot) tp tempo de pico t tempo de aentamento ou acomodação (etting time) íntee e Filtro 67

4.5 Aproximação por Beel Caracterítica de atrao ideal v ( t) v ( t t ) VO ( ) V ( ) e o i o I T O Função Ganho H() V O ( ) V ( ) I e T O no domínio da frequência para j, temo: H(j) e jt O H(j) H(j) T o Atrao d H(j) d T o íntee e Filtro 68

4.5 Aproximação por Beel íntee e Filtro 69 Função normalizada T O (0) ) ( H() n n B B e endo B n () o polinômio de Beel de n-éima ordem. Forma Recuriva ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 B B n B B B n n n

4.5 Aproximação por Beel Tabela normalizada n Numerador de H() Den de H() 33 3 3 ( 3.67786.45944)(.39) 5 4 ( 5.79949.403)( 4.0758.4878) 05 5 ( 6.70394.75)( 4.649348.563)(3.64674) 945 Denormalização Ω T o Normalizado jω T o jt Ω o T íntee e Filtro 70 o

4.5 Aproximação por Beel Gráfico normalizado íntee e Filtro 7

4.5 Aproximação por Beel Exemplo 4.8) Encontre o filtro PB aproximado por Beel que atenda a epecificaçõe a eguir: a) O atrao deve er plano com variação de % do valor dc até khz b) A atenuação em 6kHz deve er maior que 5dB. % de (valor dc) 0,99 Pelo gráfico de Delay, upondo n4 f Ω khz,9ω p 6kHz Ω Ω 6/ *,9 5,7 pelo gráfico de Perda db não erve Pelo gráfico de Delay, upondo n5 f Ω khz,5ω p 6kHz Ω Ω 6/ *,5 7,5 pelo gráfico de Perda 30dB atende íntee e Filtro 7

4.5 Aproximação por Beel Pela tabela: H ( ) Denormalizando: Ω T ( 6,7039 4,75)( 4,64934 8,563 )( 3,64674) o T ubtituindo o Ω Normalizado 945,5 7,5,989 0 π 000 π 6000 4,989 0 dividindo numerador e denominador por,989 4 ( 4 0 ) 5 H ( ) 4 8 4 8 4 ( 3,37 0 3,608 0 )(,338 0 4,5894 0 )(,8335 0 ) 3,0360 0 íntee e Filtro 73

Exercício Propoto do Capítulo 4 Primeira parte: Alguma repota: 5, 8 0,, 8, 9, 0, 3 e 4 ) O P 3E O Q,E; O P 0E O Q,4E ) 4, db 3) 87,8 Hz 5) (a)n4, (b) 70,47 db e (c),3065 e,9694 8) K0,5, LH, C C F 9) n4, P (K) TQ U VWXX 0) 6964,3 Hz ) n4 e K3,6 8) n3 e 49,6 db 9) n4 e 33 db 0) n5 e 7 db 3) 34 db e 73 db 4) n4, K,5Y0 Z e 30,3 rad/, 48dB, 500rad/ íntee e Filtro 74

4.7 -Tranformaçõe em Frequência íntee e Filtro 75

4.7. Filtro Paa-Alta Exemplo: [ # #\[ # Portanto : PA p PB íntee e Filtro 76

4.7. Filtro Paa-Alta Função Paa-Alta Típica Função Paa-Baixa Normalizada PA PB Normalizado 0 - Ω - P Ω P - 0 Normalização P Ω P P P Ω P i i i P Ω íntee e Filtro 77

4.7. Filtro Paa-Alta íntee e Filtro 78 Denormalização PB PA P PB P P P P P H H j j j Ω ) ( ) ( ou eja : Para a aproximação Butterworth 3dB A Para ) ( ) ( MAX n PB PA P n PB P n H H ε ε ε

4.7. Filtro Paa-Alta Exemplo 4.9) Encontre o filtro PA aproximado por Butterworth que atenda a eguinte epecificaçõe: A MIN 5dB, A MAX 3dB, p 000 rad/ e 500 rad/. Ω P 000 000 e Ω 000 500 íntee e Filtro 79

4.7. Filtro Paa-Alta Conultando o gráfico n3 íntee e Filtro 80

4.7. Filtro Paa-Alta Da Tabela H ( ) PB Normalizad o ( )( ) Denormalizando H ( ) H ( ) PA PA 000 000 000 ( 6 000 0 )( 000) 3 3 3 íntee e Filtro 8

4.7. Filtro Paa-Alta No Matlab: bode(conv([,000,e6], [,000]),[,0,0,0],[, 0:0:0000]),grid H ( j000) 3.003dB H ( j500) 8.9dB íntee e Filtro 8

4.7. Filtro Paa-Alta No Matlab: zoom na faixa de paagem íntee e Filtro 83

4.7. Filtro Paa-Faixa Função Paa-Faixa Típica Função Paa-Baixa Normalizada íntee e Filtro 84

4.7. Filtro Paa-Faixa Tranformação neceária PF PB Normalizado 0-3 -Ω -Ω P - 0 0 Ω P log log o Determinação de o 0 0 o o log 0 log log 0 0 log 0 média geométrica ( ) 4 Ω PB o, endo B banda de paagem do PF B íntee e Filtro 85

4.7. Filtro Paa-Faixa íntee e Filtro 86 verificando a tranformação propota ubtituindo jω e j, teremo: ( ) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω o o o j j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o o o para para para para para Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 0 4 4 4 4 3 3 3 3 0

4.7. Filtro Paa-Faixa íntee e Filtro 87 Aumindo frequência de paagem e de rejeição imétrica a frequência central ], temo: 4 3 4 3 o o ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 4 4 3 3 3 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 4 Daí:

4.7. Filtro Paa-Faixa Função Paa-Faixa Típica Função Paa-Baixa Normalizada Epecificação do Paa-Baixa Normalizado Denormalização A MAX, A MIN, Ω P e Ω Q 8^_8` H ) PF H ( ) PB 8 W _8 V ( Normalizado o B íntee e Filtro 88

4.7. Filtro Paa-Faixa Denormalização para Filtro Butterworth H ( ) PF H ( ) PB Normalizado Para AMAX 3dB ε n o B ε n íntee e Filtro 89

4.7. Filtro Paa-Faixa Epecificaçõe Não-imétrica Correção na frequência quando [ a Z b 3 ' 4 ' 4 Correção na atenuação A MIN A MIN porque A MIN A MIN 3 íntee e Filtro 90

4.7. Filtro Paa-Faixa Exemplo 4.0) Encontre o filtro PF Elíptico que atenda a eguinte epecificaçõe: A MAX 0,5dB, A MIN 0dB, banda de paagem de 500Hz até 000Hz e banda de rejeição de dc até 75Hz e de 000Hz ao. Epecificaçõe não-imétrica f f f f f3 f4 f4' 88Hz f 3 Ω Ω 4 3 3 f f 4 f f 3 88 75 000 500 3,08 íntee e Filtro 9

4.7. Filtro Paa-Faixa íntee e Filtro 9 Pela Tabela n 7,4858) 0,083974(,5553,3575 ) ( H PB Normalizado x x x B H H o PB PF o Normalizad π π π π 000 0 500) (000 000 500 4 ) ( 6 Denormalizando 7,4858 000 0 0,083974,5553 000 0,3575 000 0 ) ( 6 6 6 x x x H PF π π π π π π ) 0 3,896 0, 0,083974( 0 3,896 0 8,46 548880,7 463,6 ) ( 4 8 4 4 0 3 4 x x x x H PF

4.7. Filtro Paa-Faixa No Matlab: bode([ 463.6 548880.7 8.46e0 3.896e4],0.083974*[ 0.e8 0 3.896e4]),grid H ( jπ 75) H ( jπ 000) H ( jπ88) 8.5dB.59dB H ( jπ 500) H ( jπ000) 0.5034dB íntee e Filtro 93

4.7. Filtro Paa-Faixa No Matlab: zoom na faixa de paagem íntee e Filtro 94

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa Função Rejeita-Faixa Típica Função Paa-Baixa Normalizada íntee e Filtro 95

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa Tranformação neceária Para epecificaçõe imétrica RF PB Normalizado 0 0 o endo 3 4 o 3 4 Ω P 3 0 Ω o o centro a faixa de rejeição 4 -Ω -Ω P - - PB B, endo B largura da faixa de paagem do RF o íntee e Filtro 96

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa íntee e Filtro 97 verificando a tranformação propota ubtituindo jω e j, teremo: ( ) ( ) ( ) Ω Ω o o j j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 4 4 3 4 4 4 0 3 4 3 3 3 3 0 P o o o o P o para para para para para para Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω

4.7.3 Filtro Paa-Faixa íntee e Filtro 98 ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 3 4 3 4 4 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 3 3 Daí:

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa Função Rejeita-Faixa Típica Função Paa-Baixa Normalizada Epecificação do Paa-Baixa Normalizado Denormalização A MAX, A MIN, Ω P, Ω 4 3 H ( ) H ( ) PB Normalizado B o íntee e Filtro 99

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa Denormalização para Filtro Butterworth H ( ) H ( ) PB Normalizado ε n B o Para A MAX 3dB ε n íntee e Filtro 00

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa Epecificaçõe Não-imétrica Correção na frequência quando [ a Z b 3 ' 4 ' 3 4 Correção na atenuação A MAX A MAX A MAX A MAX porque A MAX < A MAX íntee e Filtro 0

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa Exemplo 4.) Encontre o filtro RF Chebyhev que atenda a eguinte epecificaçõe: A MIN 50dB, A MAX 0,3dB, banda de paagem de dc até 00Hz e 000Hz ao, e banda de rejeição de 400Hz até 500Hz. Ω P e Ω f f 000 00 500 400 4 3 f4 f3 8 íntee e Filtro 0

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa íntee e Filtro 03 Pelo Gráfico n3 Pela Tabela: ( )( ),070 0,767,33863 0,767 ) (. H Normal PB Denormalizando: 5 0 8 600 00 000 4 00) (000 ) ( ) ( x x x B H H o PB RF o Normalizad π π π π,070 0,767 0 8 600,33863 0 8 600 0,767 0 8 600 ) ( 5 5 5 x x x H RF π π π π π π 0 4 4 7 6 0 7 4 3 4 7 5 6 0 4,9 0,87 0,369 0 4,9 0 5,88 0 4,85 0,76 0 6,44 9433 ) ( x x x x x x x x H RF

4.7.3 Filtro Rejeita-Faixa No Matlab H ( jπ 00) 0.5dB H ( jπ 400) H ( jπ 500) 53.854dB H ( jπ000) 0. 5dB íntee e Filtro 04

Exercício Propoto do Capítulo 4 egunda parte: Alguma repota: 30 33, 35, 36 e 38 30) n6 3) n 3) n8 33) n3, PB (K) PcTQ `XXX U 35) n3, PB (K) PcdQ X,`eV ` fxxxg U 36) n4, Ph (K) PciQ U W j`wxxxxg W 38) kh # W \bl W m[m f # W \[nomml#\bl W m[m f ^XXgU íntee e Filtro 05