E II Filtros Analógicos

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1 E II Filtro Analógico Introdução Definição de Filtro: Em entido geral, um filtro é um itema que procea diferentemente frequência diferente aída diferente da entrada e repota em frequência não é contante. Em entido retrito, um filtro é um itema que elecciona faixa de frequência (ou no tempo) banda de paagem, de atenuação e de tranição. Equalizador é um filtro que trata diferentemente frequência diferente (em amplitude e/ou fae) ma não há ditinção entre banda de paagem e atenuação. J. Gerald III - 1

2 Introdução (cont.) Repota em Frequência: x(t) X() Função de Tranferência: Y() j ( ) T() T( j) T( j) e X() Directa:, Invera: Ganho: G( ) 20log T( j) db Atenuação: A( ) 20log T( j) db Atrao: ( ) E II Filtro Analógico Projecto de um Filtro - 2 Etapa: Sitema Linear y(t) Y() 1 X() H ( ) T ( ) Y () Epecificaçõe Função de tranferência Circuito ou itema Aproximação Realização J. Gerald III - 2

3 EII Filtro Analógico Introdução (cont.) Epecificaçõe: Paa-Baixo (Low-Pa LP) T() Ideal 1 A() (db) A>A A A< 0 p (rad/) p frequência de corte frequência de atenuação p (rad/) Banda de Banda de Banda de Paagem Tranição Atenuação (Paband) (Tranition (Stopband) Band) J. Gerald III - 3

4 E II Filtro Analógico Introdução (cont.) Epecificaçõe: Paa-Alto (High-Pa HP) A() (db) A>A A A< p (rad/) p frequência de corte frequência de atenuação Banda de Atenuação (Stopband) Banda de Tranição (Tranition Band) Banda de Paagem (Paband) J. Gerald III - 4

5 E II Filtro Analógico Introdução (cont.) Epecificaçõe: Paa-Banda (Band-Pa BP) A() (db) A>A A A>A A A< Banda de Atenuação (Stopband) 1 Banda de Tranição (Tranition Band) p1 Banda de Paagem (Paband) p2 2 Banda de Tranição (Tranition Band) Banda de Atenuação (Stopband) (rad/) J. Gerald III - 5

6 Introdução (cont.) Epecificaçõe: Rejeita-Banda(Band-Reject BR) E II Filtro Analógico A() (db) A>A A A< A< p1 1 2 p2 (rad/) Banda de Paagem (Paband) Banda de Tranição (Tranition Band) Banda de Banda de Banda de Atenuação Tranição Paagem (Stopband) (Tranition (Paband) Band) J. Gerald III - 6

7 E II Filtro Analógico Introdução (cont.) Tipo de Filtro: Paivo RLC, normalmente etrutura LC em ecada com terminaçõe reitiva (duplamente terminado). L ou C ou agregado dete Activo RC+Ampop, etrutura originai ou imulação de paivo. J. Gerald III - 7

8 Introdução (cont.) Secçõe Biquadrática: E II Filtro Analógico J. Gerald III - 8

9 Introdução (cont.) Secçõe Biquadrática: E II Filtro Analógico J. Gerald III - 9

10 Introdução (cont.) Secçõe Biquadrática: E II Filtro Analógico J. Gerald III - 10

11 Problema da Aproximação Aproximação de Butterworth Localização do Pólo: H(Ŝ)H*(Ŝ)= H(Ŝ) 2 tem a raíze igualmente ditribuída obre uma circunferência unitária, com imetria no eixo imaginário. Para H(Ŝ) ecolhem-e a raíze que e ituam no SPCE (para que o filtro eja etável). E II Filtro Analógico J. Gerald III - 11

12 E II Filtro Analógico Introdução (cont.) Aproximação de Butterworth Caracterítica: Polinomial Monotónica Maximamente plana na origem A(W) (db) A(W)=10log(1+e 2 W 2n ) A Procedimento: 1) A(1)=10log(1+e 2 )= e 2) A(W )=10log(1+e 2 W 2n ) A n 1 3) T ( ) H ( S) ^ ^ S n e p 1 W p 1) 2) W = / p W = / p (rad/) J. Gerald III - 12

13 Problema da Aproximação (cont.) Aproximação de Butterworth Polinomial e Maximamente Plana: k 2 2 H ( jw) 1 k( jw) com k( jw) ew k W k( jw) en( n 1)...( n k 1) W Atenuação aimptótica: W>>1 A(W) E II Filtro Analógico nk A(W) 10log(eW n ) 2 = 20loge + 20nlogW n e=1 } 20ndB/dec J. Gerald W III - 13

14 Problema da Aproximação (cont.) Aproximação de Chebyhev Caracterítica: Polinomial Ondulação na banda de paagem Procedimento: 1) A(1)=10log(1+e 2 )= e 2) A(W )=10log[1+e 2 C n2 (W )] A n 3) T () k H( S) S p E II Filtro Analógico A(W) (db) A(W)=10log[1e 2 C n2 (W)] 1) 1 W W = / p p (rad/) W = / p 2) J. Gerald III - 14 A

15 E II Filtro Analógico Problema da Aproximação (cont.) Aproximação de Chebyhev Localização do Pólo: H(S) tem a ua raíze obre uma elípe Polinómio de Chebyhev: polinómio C n (W)=co[nco -1 (W)] C 0 (W)=1 W <1 W >1 C 1 (W)=W C 2 (W)=2W 2-1 C 3 (W)=4W 3-3W C 4 (W)=8W 4-8W 2 +1 C n (W)=2WC n-1 (W)-C n-2 (W), n 2 C n (W)=coh[ncoh -1 (W)] A(W)=10log[1e 2 C n2 (W)] J. Gerald III - 15

16 Problema da Aproximação (cont.) Aproximação de Chebyhev Atenuação aimptótica: W>>1: A B (W) 20loge + 20nlogW A C (W) 20loge + 20log2 n-1 W n E II Filtro Analógico A C (W)=A B (W)+6(n-1) db A(W) =0, W W J. Gerald III - 16

17 Problema da Aproximação (cont.) Exp: Pretende-e um filtro de 2ª ordem com =0,5 db e p = 300 rad/. Filtro de Butterworth 1) A(1)=10log(1+e 2 )= =0,5 e=0,35 2) Como é dada a ordem paa-e directamente para 3) ^ 1 3) T ( ) H ( S) ^ H(Ŝ)= Ŝ 2 +1,414 Ŝ+1 V i S L C R n e p E II Filtro Analógico V o Vo () V() i 2 T () 5 2,574x ,574x R=1 1 L=2,79mH LC 1 1 C=1,39 mf RC LC Z=Zxa J. Gerald III - 17

18 Problema da Aproximação (cont.) Exp: Pretende-e um filtro de 2ª ordem com =0,5 db e p = 300 rad/. Filtro de Chebyhev 1) A(1)=10log(1+e 2 )= =0,5 e=0,35 2) Como é dada a ordem paa-e directamente para 3) 3) T () L k H( S) V i R 1 C R 2 S 2 p T () V o E II Filtro Analógico 1,43 T () S 1, 426S1,52 S k =R 2 /(R 1 +R 2 ) 1 k ' Vo () LC V() i RC LC p 5 1, 287x10 4, 278x10 1,368x R=R 1 +R 2 =1 L=3,1mH C=2,3 mf k =0,94 Z=Zxa J. Gerald III - 18

19 Tranformaçõe de Frequência Tranlacção na Frequência (LP-LP) A() (db) E II Filtro Analógico =/b A() (db) S=/ p 1 (rad/) 1 b (rad/) Circuito RLC Circuito RC-activo T()=T(R,L,1/C) R R Z az R ar T(/b)=T[R,(L/b),1/(C/b)] L L/b L al/b C C/b C C/ab T()=T(R,1/C) R R Z Z/b R R/b T(/b)=T[R,1/(C/b)] C C/b C C J. Gerald III - 19

20 Tranformaçõe de Frequência (cont.) A Paa-Baixo : Paa-Alto (LP-HP) A(W) (db) E II Filtro Analógico A S= p / A A() (db) A W W p 0 Epecificaçõe HP Epecificaçõe LP N H LP (S) T HP () Circuito RLC: LP HP R R p 1 1 SL L, C ' C ' L L ', L ' SC p pc C p W Circuito RC-activo: LP R HP R 1 1 SC p C L ' Z=Z/(a) (rad/) J. Gerald III - 20 p W = p / R 1 a, C ' a C ' R 1 1 R', R' a C a C p p

21 E II Filtro Analógico Tranformaçõe de Frequência (cont.) Paa-Baixo : Paa-Banda (LP-BP) Filtro imétrico: imetria geométrica 02 = p1 p2 Epecificaçõe devem er imétrica: A 1 =A 2 e 1 2 = 0 2 Reduzir ao pior cao (banda de tranição mai etreita: A() (db) A 1 A 2 A 1 1 p1 2 (rad/) No final: 02 = p1 p2 = 1 2 e A 1 =A 2 p2 2 J. Gerald III - 21

22 Tranformaçõe de Frequência (cont.) A Paa-Baixo : Paa-Banda (LP-BP) S B A(W) (db) E II Filtro Analógico A W 2 1 p2 p1 A W W A W A() (db) LP HP R R L 1 1 SL L + L ' B B B C L C 1 1 SC C + C ' B B B L C A B= p2 - p1 A 2 p2 0 p p1 0 (rad/) J. Gerald III - 22 p2 2

23 Tranformaçõe de Frequência (cont.) A Paa-Baixo : Rejeita-Banda (LP-BR) A(W) (db) E II Filtro Analógico A S B W p2 p1 2 1 W 1 0 A 1 W W A() (db) LP HP R R A B= p2 - p C ' SL B L BL BL L L' SC B C BC BC C (rad/) p2 2 1 p1 p1 1 (rad/) J. Gerald III p2

24 Realização de Filtro E II Filtro Analógico Filtro paivo (RLC) mai uado em energia ou como protótipo Filtro RC-Activo uado em tecnologia híbrida ou VLSI (MHz) Filtro digitai uado em VLSI e baixa/média frequência Filtro com condenadore comutado (em reitência, VLSI, MHz) Filtro de trancondutância(ota) (VLSI, em reitência, pouco GHz) Filtro electromecânico (100 khz a 100 MHz) Filtro de onda acútica uperficial (SAW) (pouco GHz) Filtro de microonda (200 MHz 100 GHz) J. Gerald III - 24

25 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Filtro Paivo LC em ecada (ladder) duplamente terminado R 1 Exp: LP L 1 L 3 L 5 V i C 2 C 4 C 6 R 6 V o Filtro em grade (lattice) Filtro em ponte (bridge) J. Gerald III - 25

26 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Deenho de Filtro RC-Activo Por imulação (directa ou operacional) do melhore filtro paivo Filtro LC em ecada duplamente terminado. Exemplo de imulação directa: Generalized Immittance Converter (GIC) Por cadeia de ecçõe biquadrática (com 1 ou mai ampop). Exemplo de ecçõe biquadrática com 1 ampop: Sallen&Key, Rauch. Exemplo de ecçõe biquadrática com mai ampop: TIL J. Gerald III - 26

27 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Critério de avaliação do filtro: Índice de Seniblidade Relativa S Y x lim x 0 Y Y x Y T Sx i x Y x x xi T T x i Simplemente terminado: 2 a 20. Duplamente terminado: 0,2 a 2. Seniblidade mai baixa: 1º Filtro LC em ecada duplamente terminado 2º Filtro com malha (loop) encaixado 3º Secçõe biquadrática J. Gerald III - 27

28 Realização de Filtro (cont.) Secçõe Biquadrática em Cadeia E II Filtro Analógico B() i 2 zi 2 zi Qzi 2 pi 2 pi Qpi Organizar a aociação de pólo e zero por forma a que ao longo da cadeia de ecçõe não haja, na banda paante, nem inai muito grande (aturação do ampop) nem muito pequeno (má relação inal/ruído). Sec. Biq. com 1 ampop: Baixo conumo Meno componente (imple=barato) Senibilidade média Q<10, f p <GxLB/100 Sec. Biq. com mai de 1 ampop: Senibilidade menore Q maiore, f p <GxLB/50 Ajute independente do parâmetro Vário tipo de filtro no memo circuito Maior conumo Mai componente J. Gerald III - 28

29 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Secção de Rauch v I Y 1 Y 3 Y 5 v O K=- y 6 =0 Y 2 Y 4 Vo Y1Y 3 V ( Y Y Y Y ). Y Y. Y i Tipo de filtro Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Paa-baixo 1/R 1.C 2 1/R 3 1/R 4.C 5 Paa-alto.C 1 1/R 2.C 3.C 4 1/R 5 Paa-banda 1/R 1 1/R 2.C 3.C 4 1/R 5 J. Gerald III - 29

30 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Y 4 Secção de Sallen & Key vi Y1 Y3 vo k>0 e finito y 5 =0 R 2 =R(k-1) R 1 =R Y2 Y5 Vo ky1y 3 V ( Y Y Y Y ). Y ( Y Y ). Y (1 k) Y Y i R(k-1) R Tipo de filtro Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Paa-baixo 1/R 1 0 1/R 3 C 4.C 5 Paa-alto C 1 0.C 3 1/R 4 1/R 5 Paa-banda 1/R 1.C 2.C 3 1/R 4 1/R 5 J. Gerald III - 30

31 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) TIL Two Integrator in Loop T () HP 2 k Q T () BP 0k Q T () LP 2 k0 Q J. Gerald III - 31

32 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) KHN: Kervin-Huelman-Newcomb R f 1 R R3 2Q 1 R 2R3 k R R 1 Equaçõe de Dimeniopnamento Para obter zero de tranmião: R R R V R R R () k Vi Q F 2 F F o H B L J. Gerald III - 32

33 Realização de Filtro (cont.) Tow-Thoma E II Filtro Analógico Equaçõe de Dimeniopnamento C 1 =AC, R 1 =R/B, R 2 =R/E, R 3 =R/D 2 2 Vo A 0( B D) E0 () Vi Q J. Gerald III - 33

34 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Simulação Directa - Generalized Imittance Converter (GIC) 1 2 y 2 y 3 y 4 y y ( V V ) I y ( V V ) y ( V V ) y ( V V ) y V y 1 3 y 6 y 1 yyy yy Bobine à maa: Y L =1/L Condenadore em 3 ou 5. O reto reitência. Bobine flutuante: 2 GIC, um de cada lado! Não é razoável. Método de Bruton J. Gerald III - 34

35 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Método de Bruton (converão de impedância) Se multiplicarmo toda a impedância de um circuito pelo memo factor, a função de tranferência não e altera (poi é função homogénia de grau zero). G C 1/L Y x k G Super condenador (Frequency Dependent Negative Reitor FDNR) C 2 D O uper condenadore à maa imulam-e uando GIC com 2 condenadore ditribuído por 2, 4, ou 6. Ma o ampop não ão ideai! Têm GxLB finito. Então não é indiferente a ecolha da localização do condenadore. Elemento a imular Localização Condição de compenação Bobine C 5 C 3 G 3 =G 4 B 1 G 6 =B 2 G 5 Supercondenador C 2, C 6 C 2, C 4 C 4, C 6 G 3 =G 4 B 1 G 6 =B 2 G 5 impoível J. Gerald III - 35

36 Realização de Filtro (cont.) Exemplo: Filtro paa-baixo de 3ª ordem L 1 L 3 E II Filtro Analógico Y x k R 1 R 3 V in C 2 R 3 V in D 2 C 3 R 1 V in R 3 C 2 R 3 R 4 R 5 C 6 C 3 V out Equaçõe de dimenionamento k G1 L 1 k G3 L3 k C3 R3 C 2G 4C 6 D2 kc2 GG 3 5 C 2 =C 6 e R 3 =R 4 =R 5 e poível J. Gerald III - 36

37 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) 0 Q C 1 LC 6 0 6R6 0 Q R C C R R R C C R2 R R R R 2 Paa-baixo v i + - L C R v o R C 1 vo ZR // ZC R 1 C LC v // R C i ZL ZR ZC L R 1 C CR LC v v o 1 K L C com R R R C eq eq R2 C R L C 6 6 eq 6 J. Gerald III - 37 L

38 E II Filtro Analógico Realização de Filtro (cont.) Paa-alto v i + - C L R v o LR 2 vo ZR // ZL R L v // 1 LR i ZC ZR ZL C R L CR LC Paa-banda v v o K V o com Leq R2 C R L C 6 6 eq 6 R R R C v i + - R C L v o L C 1 vo ZL // ZC L 1 C CR v Z Z // Z L C 1 1 i R L C 2 R L 1 C CR LC vo C6R6 R1 R3R5C 4 com Leq v R2 K 1 J. Gerald C6R6 LeqC6 III - 38 V o