Processamento Digital de Sinais - ENG420

Processamento Digital de Sinais - ENG420 Fabrício Simões IFBA 22 de julho de 2016 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 1 / 46

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Parte I Conceitos Básicos Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 3 / 46

Conceitos Básicos Sinal : Função (ou uma grandeza física) de uma ou mais variáveis que transporta algum tipo de informação. Exemplos Sinal de voz, de vídeo, de um sensor, sinal de recepção e de transmissão, sinal dos sensores de pressão, de temperatura, sinais médicos, entre outros. Processamento de Sinais é a disciplina que estuda como os sinais se relacionam e, principalmente, como manipular os sinais de forma a se obter um resultado desejado (Nalon, 2014). Processamento de Sinais é a representação, transformação e a manipulação de sinais e da informação que os sinais contém (Oppenheim, 2012) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 4 / 46

Tipos de Sinais Sinal Contínuo (Sinal Analógico): Contínuo no tempo e na amplitude; Sinal Discreto: Discretizado no tempo e contínuo na amplitude; Sinal Digital: Amplitude e tempo discretos. x(t) x(nt ) x 1 0 1 1 1 0 1 1 t T n T t (a) (b) (c) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 5 / 46

Sinais Discretos Os sinais discretos (ou sinais de tempo discreto) são representados matematicamente como uma sequência de números (Oppenheim, 2012). Exemplo : x[n] = {..., x[ 2], x[ 1], x[0], x[1], x[2],...} Essa sequência pode ser obtida a partir da amostragem de um sinal analógico, conforme x[n] = x(nt ) = x(t) t=nt x(t) Conversão x[n] = x(nt ) X(ω) C/D X d (ω) Tempo de Amostragem (T) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 6 / 46

Processamento Digital de Sinais Sistema de Processamento Digital de Sinais Consiste em amostrar o sinal, realizar um processamento digital de sinais e reconstruir o sinal. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 7 / 46

Conversão Analógico-Digital x(t) Sample and x o(t) Quantização / bits Hold (S/H) Codificação x(t) x o(t) x 1 0 1 1 0 1 1 1 t T t T t Cada amostra = palavra digital; Sequência digital : 1011 0111; Representação Matemática: Sinal discreto x(t ) x(2t ). Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 8 / 46

Passo 1 : Circuito Sample and Hold amostrador t = nt x(t) + M1 C + T xo(t) sinal de controle Figura : Diagrama simplificado do circuito Sample and Hold. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 9 / 46

Passos 2 e 3 : Quantização e Codificação. O valor das amostras de sinal na saída do circuito Sample and Hold são aproximadas para um conjunto finito de L valores, chamados de níveis de quantização. 4 amostras do sinal xo(t) sinal quantizado 1,45 V 1,4 V 1,36 V 0,91 V Quantização (Aproximação) 0,9 V 0,85 V 0,8 V L Níveis de Quantização : {...; 1,4V; -0,9V; -0,8V;...}. Código Binário : {(10), (11) e (01) } Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 10 / 46

Conversores A/D - Comerciais SNR q = L2 q 2 /4 q 2 /12 = 3L2, considerando a potência de pico do sinal analógico. Padrões Comerciais Padrão Comercial Freq. de Amostragem Nbits Níveis de Quantiz. CD 44100 Hz 16 65536 Voz 8000 Hz 8 256 Arduino 9600 Hz 10 1024 DSP Texas C6416 96000 Hz 16 65536 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 11 / 46

Parte II Transformada de Fourier DTFT Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 12 / 46

A ideia da Transformada Transformar : Mudar o domínio da variável. Transformada Direta T [.] f(x) Laplace, Fourier, Z, Wavelet,... G(y) Transformada Inversa T 1 [.] Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 13 / 46

Mas, vamos começar com a Série de Fourier A série de Fourier para sinais periódicos e discretos é dada por x(nt ) = N 1 m=0 c md e jmωont c md = 1 N N 1 n=0 x(nt )e jmωont Como a série de Fourier pode ser aplicada a sinais não-periódicos? Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 14 / 46

Sinais Periódico e Não Periódico Considere o sinal periódico abaixo x(nt ) 1 n N amostras Fazendo N, o sinal x(nt ) torna-se não periódico. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 15 / 46

Obtendo a Transformada Direta de Fourier Os coeficientes c md estão associados a frequência mω o. Por isso, considere a equação c md = 1 N N 1 n=0 x(nt )e jmωont Multiplicando ambos os lados da equação por N, temos Nc md = (N 1)/2 n= (N 1)/2 x(nt )e jmωont Definindo Nc md como a função X d (mω o ), obtém-se X d (mω o ) = (N 1)/2 n= (N 1)/2 x(nt )e jmωont (1) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 16 / 46

Obtendo a Transformada Direta de Fourier Sabendo que ω o = 2π NT, quando N e ω o dω, a equação X d (mω o ) = (N 1)/2 n= (N 1)/2 x(nt )e jmωont torna-se a Transformada Direta de Fourier X d (ω) = x(nt )e jωnt n= Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 17 / 46

Transformada de Fourier: Exercício Determine a Transformada de Fourier do sinal x(nt ) = a nt u(nt ), 0 < a < 1. Gráfico de X d (ω). 2 1.8 1.6 Espectro 1.4 1.2 1 0.8-3 -2-1 0 1 2 3 Frequencia Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 18 / 46

Obtendo a Transformada Inversa de Fourier A seguir, considere a equação de composição do sinal x(nt ) a partir dos coeficientes x(nt ) = em que c md = X d (mω o) N, ou seja: x(nt ) = 1 N N 1 m=0 N 1 m=0 c md e jmωont, (2) X d (mω o )e jmωont e como N = 2π ω ot, a equação é reescrita como x(nt ) = T 2π N 1 m=0 X d (mω o )e jmωont ω o. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 19 / 46

Obtendo a Transformada Inversa de Fourier Quando N, ω o dω. Portanto, x(nt ) = T 2π 0 X d (ω)e jωnt dω Mas, como X d (ω) se repete a cada 2π/T, então x(nt ) é calculado no intervalo de Nyquist, obtendo a Transformada Inversa de Fourier x(nt ) = T 2π x(nt ) = T 2π 2π/T 0 ou π/t π/t X d (ω)e jωnt dω X d (ω)e jωnt dω Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 20 / 46

Qual o significado de X d (ω)? A Transformada Inversa é obtida a partir de N 1 T x(nt ) = lim X d (mω o )e jmωont ω o. N 2π considerando N, ω o dω. m=0 Qual a unidade de X d (ω)? De X d (mω o )? [ T x(nt ) = lim N 2π X d(0)ω o + T ] 2π X d(ω o )e jωont ω o +.... X d (ω) é uma densidade. Uma concentração de tensão (V/rad/s) ou de corrente(a/rad/s) ao longo da frequência. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 21 / 46

Propriedades da Transformada de Fourier Linearidade ax(nt ) + by(nt ) F ax d (ω) + by d (ω) Deslocamento no Tempo e na Frequência x((n ± n o )T ) F e ±jωnot X d (ω) y(nt ) = x(nt )e ±jωont F Yd (ω) = X d (ω ω o ) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 22 / 46

Propriedades da Transformada de Fourier Reflexão no Tempo x(nt ) F X d (ω) x( nt ) F X d (ω) Teorema da Convolução x(nt ) h(nt ) F X d (ω)h d (ω) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 23 / 46

Propriedades da Transformada de Fourier Produto no Tempo ( ) x(nt )y(nt ) F Xd (ω) Y d (ω) 2π/T Teorema de Parseval E x = n= x(nt ) 2 = T 2π π/t π/t X d (ω) 2 dω Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 24 / 46

Propriedade e Critério de Convergência da Trasformada de Fourier Periodicidade ( X d (ω) = X d ω ± k 2π ) T Convergência da Transformada de Fourier x(nt ) < n= Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 25 / 46

Exercícios 1 Determine a Transformada de Fourier dos sinais abaixo: 1 x[n] = δ[n n o ] 2 Sabendo que F[x(nT ) = k] = 2π T δ(ω), determine a Transformada de Fourier de x(nt ) = ke jmωont 3 x(nt ) = cos(ω o nt ) 4 x(nt ) = [a nt u(nt )] cos(ω o nt ) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 26 / 46

Transformada de Fourier de um Sinal Periódico Considere a Série de Fourier x(nt ) = N 1 m=0 c md e jmωont Aplicando Transformada de Fourier sobre x(nt ) Obtém-se : no qual X d (ω) = F [ N 1 m=0 X d (ω) = 2π T c md = 1 N c md e jmωont ] = N 1 m=0 N 1 n=0 N 1 m=0 c md F c md δ(ω mω o ), x(nt )e jmωont [ e jmωont ], Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 27 / 46

Exercício Qual a Transformada de Fourier do sinal abaixo? x(nt ) 1...... -8-4 4 8 n Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 28 / 46

Parte III Amostragem Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 29 / 46

Amostragem de Sinais Contínuo no Tempo 1 Uma sequência de amostras é obtida a partir de sinais contínuos no tempo de acordo com a relação x[n] = x(nt ) = x(t) t=nt, no qual T é o tempo de amostragem e ω a = 2π/T, frequência de amostragem. 2 Representação ideal do Conversor Contínuo-Discreto. x(t) Conversão x[n] = x(nt ) X(ω) C/D X d (ω) Tempo de Amostragem (T) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 30 / 46

Representação Matemática do Conversor C/D Matematicamente, o processo de amostragem pode ser representado por dois estágios, conforme a figura abaixo. Conversor Contínuo/Discreto Ideal x(t) X(ω) x s (t) X s (ω) Conversor Trem de Impulsos/Sinal Discreto no Tempo x(nt ) = x[n] X d (ω) r(t) Estágio 1 Estágio 2 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 31 / 46

Qual a relação entre X (ω) e X d (ω)? Inicialmente, considere o sinal x s (t), saída do modulador de trem de impulsos x s (t) = x(t)r(t) = x(t) n= δ(t nt ) Representação Matemática da Amostragem x s (t) = x(nt )δ(t nt ) n= Sinal amostrado x s (t) é uma representação contínua no tempo do sinal discreto x(nt ). Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 32 / 46

Qual a relação entre X (ω) e X d (ω)? Aplicando a Transformada de Fourier para sinais contínuos sobre x s (t), obtém-se [ ] X s (ω) = F[x s (t)] = F x(nt )δ(t nt ) X s (ω) = X s (ω) = n= n= n= x(nt )F [δ(t nt )] x(nt )e jωnt = F d [x(nt )] O termo em vermelho da equação anterior corresponde a Transformada de Fourier do sinal x(nt ), ou seja X s (ω) = X d (ω) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 33 / 46

Qual a relação entre X (ω) e X d (ω)? Agora, sabemos que X s (ω) = X d (ω) Mas, qual a relação entre X (ω) e X s (ω)? Considere x s (t) = x(t)r(t) e aplique Transformada de Fourier. X d (ω) = X s (ω) = F [x(t)r(t)] = X d (ω) X (ω) R(ω), R(ω) = 2π 2π T Resolvendo a convolução, obtém-se k= δ(ω kω a ). X d (ω) = 1 T k= X (ω kω a ) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 34 / 46

Representação Gráfica entre X d (ω) e X (ω) 1 Para comprender o comportamento da equação X d (ω) = 1 T k= X (ω kω a ), considere um sinal x(t) cuja Transformada de Fourier é mostrada abaixo X(ω) 1 ω max ω max ω Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 35 / 46

Relação entre as Frequências de Amostragem (ω a ) e Máxima do Sinal (ω max ) 1 Para ω a > 2ω max. X d (ω)... 1/T 1/T 1/T... ω a ω max ω max ω a ω π/t π/t Intervalo de Nyquist 2 Preservação do espectro original de x(t). Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 36 / 46

Relação entre as Frequências de Amostragem (ω a ) e Máxima do Sinal (ω max ) Para ω a < 2ω max. X d (ω) 1/T 000 111 0000 1111... 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 000000000 111111111 ω a ω max 1/T 1/T 000 111 0000 1111 00000 11111 000000 111111 00000000 11111111 000000000 111111111 ω max ω a... ω aliasing Devido ao aliasing, o espectro de frequência original do sinal não é preservado. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 37 / 46

Teorema da Amostragem Um sinal contínuo x(t) limitado em banda somente pode ser recuperado a partir de suas amostras se a frequência de amostragem ω a for no mínimo igual ao dobro da frequência máxima ω max. ω a 2ω max Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 38 / 46

Filtro Anti-Alias Se o sinal contínuo x(t) não for limitado em banda é necessário usar o filtro Anti-Alias; Filtro Anti-Alias é usado para limitar a largura de banda do sinal contínuo x(t) e assegurar o cumprimento do teorema da Amostragem. x(t) Filtro Anti-Alias ˆx(t) C/D ˆx(nT ) = ˆx[n] H anti (ω) ω c1 ω T H anti (ω) = 1 se ω < ω c1 π/t ; 0 se ω ω c1. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 39 / 46

Recuperação do Sinal: Conversor D/C Ideal x[n] = x(nt ) Conversão D/C x r (t) Tempo de Amostragem (T) Conversor Discreto / Contínuo Ideal x(nt ) = x[n] Conversor Sequência / Trem de Impulso x r (t) = h r (t) x s (t) H r (jω) x s (t) x r (t) x s (t) = n= x(nt )δ(t nt ) Estágio 1 Estágio 2 T Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 40 / 46

Conversor D/C : Análise no Domínio da Frequência Influência da resposta em frequência do filtro de recuperação X d (ω) = X s (ω) H r (ω)... 1/T 1/T T 1/T... ω a ω c ω max ω max ω c ω a ω π/t π/t ω a ω max Equações da resposta em frequência do filtro H r (ω) e do sinal recuperado X r (ω). { T se ω ωc ; H r (ω) = 0 se ω > ω c. X r (ω) = H r (ω)x s (ω) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 41 / 46

Conversor D/C Ideal : Análise no Domínio do Tempo Resposta do impulso do filtro ideal h r (t) h r (t) = sen(πt/t ) πt/t Sinal x r (t) no domínio do tempo: x r (t) = n= Considere o sinal x(t) a ser amostrado. sen(π(t nt )/T ) x(nt ) (π(t nt )/T ) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 42 / 46

Representação Gráfica do Sinal Recuperado Representação matemática da amostragem. Sinal obtido na saída do filtro de Recuperação h r (t). Interpolação entre as amostras. Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 43 / 46

Processamento Discreto de Sinais Contínuos Sistema Discreto H r (ω) x(t) X(ω) Conversão C/D X d (ω) H d (ω) Y d (ω) Conversão D/C y r (t) Y r (ω) T x[n] = x(nt ) y[n] = y(nt ) T Qual a relação entre X (ω) e Y r (ω)? Analisando a partir da saída y r (t). Y r (ω) = H r (ω)y d (ω) Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 44 / 46

Processamento Discreto de Sinais Contínuos O sistema discreto tem resposta em frequência H d (ω), ou seja Y r (ω) = H r (ω)h d (ω)x d (ω) X d (ω) depende de X (ω) conforme a equação X d (ω) = 1 T k= X (ω kω a ) Considerando o filtro ideal H r (ω) = T p/ ω ω c. A equação anterior é reescrita como Y r (ω) = H d (ω)x (ω) Os sinais contínuos x(t) e y(t) são modificados pelo sistema H d (ω). Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 45 / 46

Exemplo Determine a frequência de amostragem ω a ; Esboce Y r (ω) sem o sistema H d (ω); Esboce Y r (ω) com o sistema H d (ω). Sistema Discreto H r (ω) x(t) X(f) Conversão C/D X d (f) H d (ω) Y d (f) Conversão D/C y r (t) Y r (f) 1 X(ω) T x[n] = x(nt ) 1 y[n] = y(nt ) H d (ω) T 2000-2000 ω 1000-1000 ω Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 22 de julho de 2016 46 / 46