Aula 5 O Método dos Volumes Finitos

Universidade Federal do ABC Aula 5 O Método dos Volumes Finitos EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

Método dos volumes finitos (MVF) Origens: mecânica estrutural, cálculo das variações para condições de contorno elípticas. Problemas de Condições de Contorno Problemas de Minimização o funcional contém derivadas de ordem inferior soluções a partir de uma ampla classe de funções são admissíveis condições de contorno para domínios complexos podem ser facilmente manipulados às vezes não há funcional associado às condições de contorno originais Técnicas modernas: formulação via resíduos ponderados (forma fraca da EDP)

Teoria 1: minimização de problemas 1D

Condição necessária em um dos extremos arbitrária

Lemma de Du Bois Reymond

Exemplo: eq. Poisson 1D Restrições impostas à solução w = u do problema de minimização Euler-Lagrange condição de contorno essencial condição de fronteira natural Equação de Poisson: a solução minimiza o functional em (0, 1) cond. contorno Dirichlet cond. contorno Neumann

Exemplo: eq. Poisson 2D

O Método de Rayleigh-Ritz

Exemplo: má escolha das funções de base Considere a base polinomial A é conhecida como a matriz de Hilbert que é definida-positiva. Mas, é completa e não é bem organizada, de modo a que a solução é computacionalmente cara e corrompida por erros de arredondamento. Para A ser esparsa, as funções de base devem ter um suporte compacto.

Fundamento do Método dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos é uma abordagem sistemática para a geração de trechos de funções polinomiais de base com propriedades favoráveis. O domínio computacional W é subdividido em um número de subdomínios K, chamados de elementos: A triangulação Th é admissível se a intersecção de quaisquer dois elementos for um conjunto vazio ou um vértice/aresta/face da grade comum. O subespaço de elementos finitos V h é composto por trechos de funções polinomiais, tipicamente da forma Qualquer função v V h é unicamente determinada por um número finito de graus de liberdade (valores ou derivadas em certos pontos chamados de nós). Cada função de base j i representa exatamente um grau de liberdade e tem uma estrutura compacta: as matrizes resultantes são esparsas.

Aproximação via elementos finitos Um elemento finito é representado por uma tripla (K, P, S), onde K é um subconjunto fechado de W P é o espaço polinomial para as funções de forma S é o conjunto de graus de liberdade locais Funções de base possuem a propriedade Solução aproximada: os valores nodais u 1,..., u N pode ser calculada pelo método de Ritz desde que exista um problema de minimização equivalente.

Exemplo: eq. Poisson 1D Encontrar os valores nodais u 1,..., u N que minimizam o funcional Funções base locais para Solução aproximada para x e i contínua e linear por partes

Exemplo: eq. Poisson 1D O método de Ritz produz um sistema linear da forma Au = F, onde Estas integrais podem ser avaliada exatamente ou numericamente (usando uma regra de quadratura) Stiffness matrix e load vector para uma grade uniforme Este é o mesmo sistema linear como o obtido para o método de diferença finita!

Existência de um problema de minimização As condições suficientes para que uma EDP eliptica seja ma equação de Euler-Lagrange de um problema variacional são: O operador L deve ser linear. O operador L deve ser auto-adjunto (simétrico) O operador L deve ser definido positivo para todos os u,v admissíveis. Neste caso, a única solução u minimiza o funcional ao longo do conjunto de funções admissíveis. Condições de contorno não-homogêneas modificam este conjunto, podendo dar origem a outros termos do funcional a ser minimizado.

Método dos Mínimos Quadrados corresponde a uma derivada do EDP inicial. requer condições de contorno adicionais e suavidade adicional. faz sentido reescrever uma EDP de alta ordem como um sistema de primeira ordem Vantagem: as matrizes de uma discretização pelo método dos mínimos quadrados são simétricos

Formulação via resíduos ponderados Ideia: tornar o resíduo ortogonal a um espaço de funções de teste. Seja a solução de O resíduo é zero se a sua projeção sobre cada função de teste for igual a zero. Funções de teste Formulação fraca: encontrar u V 0 tal que onde Integração por partes: é uma forma bilinear e

Discretização de elementos finitos

Exemplo: eq. Poisson 1D Problema de valor de contorno Formulação fraca Integração por partes Solução aproximada Problema contínuo Problema discreto Este é um sistema (esparso) linear da forma Au = F, onde (método de Galerkin) Os métodos de Galerkin e Ritz são equivalentes se existe o problema de minimização