Introdução ao Curso de Algoritmos Numéricos II /
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- Isaque Domingues Amaral
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1 Introdução ao Curso de Algoritmos Numéricos II / Computação Científica Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga avalli@inf.ufes.br, luciac@inf.ufes.br March 19, 2018 Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
2 Computação Científica - Definição O que é Computação Científica É uma área multidisciplinar que cresce rapidamente com conexões para ciências, engenharia, matemática e computação. Projeto e análise de algoritmos para resolver numericamente problemas matemáticos em ciência e engenharia. Reconstrução ou predição de fenômenos e processos. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
3 Técnicas de Solução Teórica: Utiliza informações teóricas conhecidas para obter, em geral, uma expressão expĺıcita para a solução de um problema. Ex: 1 x2 1 x dx = = 0. Experimental: Utiliza equipamentos de medição para simular processo físicos nas mais diversas áreas do conhecimento. Numérica: Utiliza ferramentas numéricas e computacionais para simular numericamente problemas nas mais diversas áreas do conhecimento. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
4 Computação Científica - Simulação A simulação é hoje em dia um parceiro igual e indispensável no avanço do conhecimento científico junto à investigação teórica e experimental. Os objetivos dependem da tarefa concreta da simulação: reconstruir e compreender cenários conhecidos desastres naturais. otimização de cenários conhecidos processos técnicos. predição de cenários não conhecidos previsão do tempo, estudos de novos materiais. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
5 Computação Científica - Tipos Técnica Vantagens Desvantagens Teórica mais geral restrita a geometrias e processos físicos simples fórmula fechada geralmente restrita a problemas lineares Experimental mais realista equipamento exigido problemas de escala dificuldade de medição custo operacional Numérica não há restrição à linearidade erros de truncamento e arredondamento geometria e problemas complicados custos operacionais evolução temporal do processo prescrição das condições de contorno apropriadas Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
6 Exemplos de aplicação da Computação Científica dinâmica de fluidos: a aerodinâmica de carros e aeronaves, processos de combustão, espalhamento de agentes poluentes. tecnologia de semicondutores: criação de cristais, processos de oxidação; clima e previsão do clima: acompanhamento de tornados, aquecimento global; física: simulações de partículas, dobramento de proteínas, design de drogas. matemática financeira: previsão de preços de ações e de opções aplicações financeiras. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
7 Por que Simulação Numérica? Algumas vezes experimentos são impossíveis! Astrofísica: ciclo de vida de galáxias Geofísica: deslocamento do campo magnético da terra Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
8 Por que Simulação Numérica? Algumas vezes experimentos são impossíveis! Pesquisa sobre clima: Corrente do Golfo, Efeito La ñina Previsão do tempo: tornados, enchentes Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
9 Por que Simulação Numérica? Algumas vezes experimentos são impossíveis! Segurança: Ataque de bombas Medicina: Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
10 Por que Simulação Numérica? Algumas vezes experimentos não são bem-vindos! Testes de armas nucleares: Estabilidade de edificações: Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
11 Por que Simulação Numérica? Algumas vezes experimentos são extremamente custosos! Imunoterapia para tratamento do câncer: Dinâmica molecular: Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
12 Por que Simulação Numérica? Algumas vezes simulações são mais baratas e apresentam respostas mais rápidas! aerodinâmica, turbulência: Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
13 Do fenômeno a predição Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
14 Do fenômeno a predição: J. Tinsley Oden Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
15 Modelagem Matemática Modelagem é uma abstração formal (simplificada) da realidade. Desafios na obtenção do modelo matemático: Quais quantidades tem influência e o quanto elas são importantes? Quais relações existem entre elas? Qual é a tarefa determinante do processo (resolver, otimizar, etc)? Desafios na análise do modelo matemático: O que pode ser dito sobre a existência e unicidade da solução? Os resultados dependem de que forma dos dados de entrada? Como a acurácia do modelo pode ser representada? O modelo é bem-representado pelo tratamento numérico? Não há um único modelo correto, mas vários modelos são possíveis. Hierarquia do modelo: Acurácia Complexidade Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
16 Etapas para uma solução: Exemplo simples Problema Real: Calcular a área sob uma curva. Modelo Matemático: Area = b a f (x)dx onde a, b, f (x) são dados conhecidos do problema. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
17 Etapas para uma solução: Exemplo simples Algoritmo Numérico: Area = AreaTrapezio + Erro Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
18 Etapas para uma solução: Exemplo simples Algoritmo Numérico: 4 Area = A n + Erro n=1 Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
19 Etapas para uma solução: Exemplo simples Código Computacional: usar uma linguagem computacional (C,Fortran,C++,etc) para implementar o modelo numérico. Verificação do Algoritmo Computacional: construir, sempre que possível, problemas com solução conhecida e verificar a acurácia da solução aproximada obtida; Resolução de Aplicações: obter soluções numéricas de problemas de interesse prático. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
20 Simulação Numérica - O que há para ser feito? Na prática: modelos tipicamente não podem ser resolvidos analiticamente. Solução: Métodos Numéricos (aproximativos e baseados em implementação computacional) Métodos Numéricos não são triviais: frequentemente é necessário analisar processos em geometrias complicadas - simplificações normalmente são consideradas. quando maior acurácia for requerida, mais dados devem ser manipulados - necessidade de muita memória. tratamento de problemas que dependem de evolução temporal. convergência fraca para métodos padrões - longos tempos de execução. fenômenos multi-físicos (ex. escoamentos turbulentos) - metodologias avançadas de solução. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
21 Simulação Numérica - Tratamento Numérico de Modelos Aproximações e compromissos: Representação de números: número fixos de dígitos ao invés de números reais. Representação de funções: aproximações polinomiais ao invés de séries. Representação de domínios: poĺıgonos limitados e representados por pontos fixos. Representação de operadores: quocientes de diferenças ao invés de derivações. Representação de espaços de funções: somente espaços de dimensão finita. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
22 Simulação Numérica - Tratamento Numérico de Modelos Requerimentos a serem cumpridos por algoritmos numéricos: Eficiência: elevada acurácia com investimento moderado em armazenamento. Rapidez: solução aproximada é calculada em pouco tempo computacional. Estabilidade: erros qualitativamente pequenos (não significativos) nos resultados. Robustez: pode ser aplicado para uma classe de problemas de mais abrangentes. Principais tarefas: Descrever: equações discretizadas. Solucionar: sistemas resultantes de equações discretas. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
23 Erros em Computação Científica û h : solução aproximada Medidas de erros: u : solução exata u û h ɛ Erro Absoluto u û h u ɛ Erro Relativo Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
24 Acurária Precisão Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
25 Erros em Computação Científica Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
26 Erros em Computação Científica 1 Erros na Modelagem: erros obtidos pelo uso de dados experimentais errados ou pela própria representação matemática errada de um modelo físico. 2 Erros de Truncamento: é o erro devido à aproximação de uma fórmula por outra, ou seja, quando são feitas aproximações para representar procedimentos matemáticos exatos. Exemplo: sen(x) = n=0 x 2n+1 (2n+1)! 3 Erros de Arredondamento (ou de Ponto Flutuante): é o erro causado pela imperfeição na representação de um número, ou seja, quando uma quantidade limitada de algarismos significativos são usados para representar números. Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
27 Um exemplo Prático - Tsunami Baía de Guanabara 2004 Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
28 Crescimento Tumoral Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
29 Laboratórios e Intituições Membro: Laboratório de Computação e Alto Desempenho (LCAD/DI/UFES): Laboratório de Otimização (LABOTIM/DI/UFES): Doutorado e Pós-Doutorado: Núcleo Avançado de Computação de Alto Desempenho (NACAD/Coppe/UFRJ): Institute for Computational Engineering and Science (ICES/UT at Austin): Colaborações: Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCC/MCTI): Núcleo Avançado de Computação de Alto Desempenho (NACAD/Coppe/UFRJ): Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
30 Curso Algoritmos Numéricos II / Computação Científica Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos (Revisão) Métodos Iterativos Estacionários (Revisão) Métodos Iterativos Não-Estacionários Precondicionadores Introdução: Um breve estudo sobre Dinâmica dos fluidos Computacional Problema de Valor no Contorno - PVC Discretização de equações estacionárias Discretização de equações não-estacionárias Discretização de equações multidimensionais Estudo de Armazenamento de Matrizes Esparsas Solução de Sistemas Não-Lineares Outras aplicações na manipulação de matrizes esparsas Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI/UFES March 19, / 30
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