Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 1 GRUPO I 1. Considere num referencial ortogonal monométrico Oxyz um ponto P com coordenadas ( 1 a,a, 5 ), sendo a um número real. Qual é o conjunto de valores de a para os quais P pertence ao terceiro octante, incluindo os planos coordenados? (A) [ 1, ] (B) ],1] (C) ], ] (D) [,1]. Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, uma equação de uma superfície esférica de centro num ponto de coordenadas (,3,5 ) e tangente ao plano yoz é: (A) ( x + ) + ( y 3) + ( z 5) = 4 (B) ( ) ( ) ( ) x + + y 3 + z 5 = 9 (C) ( x + ) + ( y 3) + ( z 5) = 5 (D) ( ) ( ) ( ) x + y + 3 + z + 5 = 4 3. Considere que um ponto P se desloca num segmento de recta [AB], de comprimento 10, nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto B. Cada posição do ponto P determina em [AB] dois segmentos de recta, [AP] e [BP], sendo cada um deles lado de um quadrado, conforme se apresenta na figura. Para cada posição do ponto P, seja x a distância de P a A e seja a( x) = x 0x + 100 a soma dos dois quadrados, em função de x. O domínio da função a é: Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 009/010
(A) ] 0,10 [ (B) [ 0,10 ] (C) ] 0,5 [ (D) [ 0,5 ] 4. A Rita e a Inês são amigas. A Rita mora em Vilalta e a Inês mora em Altavila. Certo dia, saíram de casa à mesma hora. A Rita deslocou-se de Vilalta para Altavila, e a Inês de Altavila para Vilalta, utilizando a única estrada que liga as duas localidades. Ambas fizeram o percurso a pé. Seja f a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Rita, t minutos depois de ter saído de Vilalta. Seja g a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Inês, t minutos depois de ter saído de Altavila. Em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e g? 5. Na figura está o gráfico de uma função, de domínio R, definida por f ( x) = x a + b, em que a e b, designam dois números reais. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a > 0 e b > 0 (B) a > 0 e b < 0 (C) a < 0 e b > 0 (D) a < 0 e b < 0 Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 009/010
GRUPOII 1. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxy, o triângulo [ABC] Sabe-se que: o ponto O, origem do referencial, é o ponto médio do lado [AC] o vector AB o vector BC tem coordenadas ( 10, ) tem coordenadas ( 6, 8) 1.1. Determine as coordenadas do ponto A e as coordenadas do ponto C. 1.. Mostre que o ponto B tem coordenadas ( 8,5 ). 1.3. Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro [ AB ].. Na figura, está representado um triângulo [ ABC ], =. isósceles ( AB BC) Sabe-se que: [ BD] é a altura do triângulo [ ABC] relativa ao lado [ AC ] BD = 6 e AC = 8 Considere que um ponto Q se desloca sobre o segmento [ BD ], nunca coincidindo com D, e que um ponto P se desloca sobre o segmento [ AC ], de tal forma que se tem sempre PA = QB Para cada posição do ponto Q, seja x a distância de Q a B ( x = QB) Seja a a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do triângulo [ PQC ].1. Determine a( 5 ). Sugestão: Comece por desenhar o triângulo [ PQC ] que se obtém para x = 5... Qual é o domínio e qual é o contradomínio da função a? Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 009/010
.3. Mostre que a( x) da função a. x 14x + 48 = e verifique o resultado que obteve para o contradomínio 3. Na figura, estão parcialmente representados, num referencial o.n. Oxy, os gráficos das funções f e g, de domínio R, definidas, respectivamente, por ( ) 1 g( x) = x 6 3 Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f : A é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas; B é o ponto do gráfico que tem maior ordenada. Seja P um ponto que se desloca sobre [ AB ], nunca coincidindo com o ponto B. Para cada posição do ponto P, considere: o ponto Q, sobre o gráfico da função f, de modo que a recta PQ seja paralela ao eixo das abcissas; f x = x 6 + 8 e 3 os pontos R e S, sobre o gráfico da função g, de modo que [ PQRS] seja um rectângulo. Seja x a abcissa do ponto P e seja h a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do rectângulo [ PQRS ]. 3.1. Mostre que h( x) = 4 + 8x x e indique o domínio de h. 3.. Determine as dimensões do rectângulo que tem maior área. FIM Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 009/010
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Funções e Gráficos Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo. Trabalho de casa nº 1 Proposta de resolução GRUPO I 1. (A) Considere num referencial ortogonal monométrico Oxyz um ponto P com coordenadas ( 1 a,a, 5 ), sendo a um número real. Qual é o conjunto de valores de a para os quais P pertence ao terceiro octante, incluindo os planos coordenados? P pertence ao terceiro octante, incluindo os planos coordenados se e só se 1 a 0 a 1 a 0 1, a 5 0 [ ]. (A) Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, uma equação de uma superfície esférica de centro num ponto de coordenadas (,3,5 ) e tangente ao plano yoz, portanto com raio é ( ) ( ) ( ) x + + y 3 + z 5 = 4 3. (A) Considere que um ponto P se desloca num segmento de recta [AB], de comprimento 10, nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto B. Cada posição do ponto P determina em [AB] dois segmentos de recta, [AP] e [BP], sendo cada um deles lado de um quadrado, conforme se apresenta na figura. Para cada posição do ponto P, seja x a distância de P a A e seja a( x) = x 0x + 100 a soma dos dois quadrados, em função de x. O domínio da função a é: ] 0,10 [ porque P se desloca num segmento de recta [AB], de comprimento 10, nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto B. 4. (C) A Rita e a Inês são amigas. A Rita mora em Vilalta e a Inês mora em Altavila. Certo dia, saíram de casa à mesma hora. A Rita deslocou-se de Vilalta para Altavila, e a Inês de Altavila para Vilalta, utilizando a única estrada que liga as duas localidades. Ambas fizeram o percurso a pé. Seja f a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Rita, t minutos depois de ter saído de Vilalta. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 009/010
Seja g a função que dá, em quilómetros, a distância percorrida pela Inês, t minutos depois de ter saído de Altavila. Nas opções seguintes, a única onde podem estar representadas graficamente as funções f e g é (C) porque Terá de ser f ( 0) = g( 0) = 0 por tanto f como g representarem a distância, em quilómetros, percorrida e a Rita e a Beatriz saírem à mesma hora (assim excluímos (A) onde o que se representa são as distâncias a Altavila e (D) por traduzir que as duas amigas não saíram à mesma hora) Como o contradomínio tem de ser o mesmo por a distância percorrida ser a mesma nos dois casos, que é a distância de Altavila a Vilalta, temos de excluir B onde se traduz que a Inês andou mais em menos tempo que a Rita Assim o gráfico correcto é (C). 5. (B) Na figura está o gráfico de uma função, de domínio R, definida por f ( x) = x a + b, em que a e b, designam dois números reais. Daqui se conclui que a origem das duas semi-rectas é o ponto de coordenadas ( a,b ) ponto do 4º quadrante pelo que a > 0 e b < 0 Professora: Rosa Canelas 6 Ano Lectivo 009/010
GRUPOII 1. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxy, o triângulo [ABC] Sabe-se que: o ponto O, origem do referencial, é o ponto médio do lado [AC] o vector AB o vector BC tem coordenadas ( 10, ) tem coordenadas ( 6, 8) 1.1. Determinemos as coordenadas do ponto A e as coordenadas do ponto C, verificando que 1 A = O 1 AC e C = O + AC. AC = AB + BC = 10, + 6, 8 = 4, 6 Ora ( ) ( ) ( ) 1 Pelo que A = ( 0,0) ( 4, 6) = (,3 ) e C = ( 0,0) + ( 4, 6) = (, 3) 1.. Mostremos que o ponto B tem coordenadas ( 8,5 ) Ora B = A + AB = (,3 ) + ( 10,) = ( 8,5) 1.3. Averiguemos qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro [ AB ]. Comecemos por calcular: as coordenadas do centro M que é o ponto médio de [ AB ] : M =, = ( 3,4) o raio da circunferência que é metade da distância de A a B: ( 8) ( 3 5) AB + 100 + 4 6 r = = = = = 6 a distância da origem ao centro da circunferência 1 OM = 3 + 4 = 5 Como OM < r podemos concluir que O é interior à circunferência. + 8 3 + 5. Na figura, está representado um triângulo [ ABC ], isósceles ( AB BC) Sabe-se que: =. [ BD] é a altura do triângulo [ ABC] relativa ao lado [ AC ] BD = 6 e AC = 8 Professora: Rosa Canelas 7 Ano Lectivo 009/010
Considere que um ponto Q se desloca sobre o segmento[ BD ], nunca coincidindo com D, e que um ponto P se desloca sobre o segmento [ AC ], de tal forma que se tem sempre PA = QB Para cada posição do ponto Q, seja x a distância de Q a B ( x = QB) Seja a a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do triângulo [ PQC ].1. Determinemos a( 5 ) Comecemos por desenhar o triângulo [ PQC ] que se B x obtém para x = 5. As medidas são PC = 3 e QD = 1 pelo que ( ) a 5 3 1 3 = =.. o domínio da função a é [ 0,6 [ porque o ponto Q se desloca sobre [ BD ], nunca coincidindo com D e BD = 6 e o contradomínio da função a é ] 0,4 ] pois quando x = 6 a A x D Q P C área do triângulo é zero e quando x = 0 a área é a área do triângulo [ABC] que se calcula utilizando a fórmula da área do triângulo.3. Mostremos que a( x) 8 6 A = = 4 x 14x + 48 = e verifiquemos analiticamente o resultado que obtivemos para o contradomínio da função a. Comecemos por exprimir em função de x a base e a altura do triângulo [PQC] PC = 8 x e QD = 6 x Então ( ) a x ( ) a x ( 8 x)( 6 x) = x 14x + 48 = Dado que a abcissa do vértice da parábola é 7 e a parábola tem a concavidade voltada para cima podemos concluir que no intervalo [ [ 5 0 15 10 5 A x 10 0 30 0,6 a função é decrescente. O valor mínimo, B x D Q P C Professora: Rosa Canelas 8 Ano Lectivo 009/010
não atingido, de que se aproxima o contradomínio é ( ) máximo do contradomínio é ( ) contradomínio o intervalo ] 0,4 ] 36 14 6 + 48 a 6 = = 0 e o valor 0 14 0 + 48 a 0 = = 4, pelo que concluímos ser o 3. Na figura, estão parcialmente representados, num referencial o.n. Oxy, os gráficos das funções f e g, de domínio R, definidas, respectivamente, por ( ) 1 g( x) = x 6 3 Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f: A é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas; B é o ponto do gráfico que tem maior ordenada. Seja P um ponto que se desloca sobre [ AB ], nunca coincidindo com o ponto B. Para cada posição do ponto P, considere: o ponto Q, sobre o gráfico da função f, de modo que a recta PQ seja paralela ao eixo das abcissas; f x = x 6 + 8 e 3 os pontos R e S, sobre o gráfico da função g, de modo que [ PQRS] seja um rectângulo. Seja x a abcissa do ponto P e seja h a função que, a cada valor de x, faz corresponder a área do rectângulo [ PQRS ]. 3.1. Mostremos que h( x) = 4 + 8x x e indiquemos o domínio de h. Vamos começar por analisar o domínio de h. Dado que o ponto se desloca sobre [ AB ] nunca coincidindo com o ponto B e B tem coordenadas ( 6,8 ) podemos concluir que D [ 0,6[ = por a abcissa de P tomar os valores entre as abcissas de A(0) e de B(6) e porque o ponto P nunca coincide com B o domínio é aberto em 6. Vamos agora tentar encontrar as dimensões do rectângulo em função de x P x, x 6 + 8 3 PQ = 6 + 6 x x = 1 x e Q 6 + 6 x, x 6 + 8 3 pelo que Professora: Rosa Canelas 9 Ano Lectivo 009/010
1 S x, x 6 3 e 1 R 6 + 6 x, x 6 pelo que 3 1 PS = x 6 + 8 x 6 = x 6 + 8 mas como de acordo com o domínio 3 3 x 6 < será ( ) PS = 6 x + 8 = x + Finalmente h( x) = ( 1 x)( + x) = x 4x + 1x + 4 = x + 8x + 4 3.. Determine as dimensões do rectângulo que tem maior área. Podemos fazer de duas maneiras: Utilizando a calculadora para concluirmos que o máximo é 3 quando x é Pelo que as dimensões do rectângulo que tem maior área são PQ = 8 e PS = 4 Determinando analiticamente as coordenadas do vértice da parábola que representa a função o ( ) x + 8x = 0 x x + 8 x = 0 x = 4 donde concluímos ser a 0 + 4 abcissa do vértice h = = o A ordenada do vértice é k = 4 + 8 + 4 = 3 o Como o coeficiente de x é negativo a parábola tem a concavidade voltada para baixo e o valor de x que corresponde ao rectângulo de área máxima é pelo que PQ = 8 e PS = 4. Professora: Rosa Canelas 10 Ano Lectivo 009/010
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 1 Critérios de correcção Grupo I --------------------------------------------------------------------------------------------- 5 1 3 4 5 A A A C B Grupo II -------------------------------------------------------------------------------------------- 75 1..0 1.1.. 8 1 Reconhecer que A = O AC 1 e C = O + AC... 4 AC = AB + BC = 10, + 6, 8 = 4, 6... Calcular ( ) ( ) ( ) Calcular A = (,3 ) e C (, 3) 1.. calcular B = A + AB = (,3 ) + ( 10,) = ( 8,5) =... 4 1.3.. 8 + 8 3 + 5 Calcular as coordenadas do centro M =, = ( 3,4). Calcular o raio da circunferência AB r = = 6. Calcular a distância da origem ao centro OM = 3 + 4 = 5.. Concluir que O é interior à circunferência.... 30.1... 10 Desenhar o triângulo [ PQC ] que se obtém para x = 5 3 Concluir que as medidas são PC = 3 e QD = 1... 4 Calcular a( 5) 3 1 3 = =.. 3...... 10 O domínio da função a é [ 0,6 [ 5 o contradomínio da função a é ] 0,4 ] 5.3.. 10 Professora: Rosa Canelas 11 Ano Lectivo 009/010
Exprimir em função de x a base e a altura do triângulo [PQC] 4 Concluir que a( x) x 14x + 48 = Confirmar o contradomínio. 4 3.. 5 3.1.... 15 Concluir que D = [ 0,6[.. 4 encontrar as dimensões do rectângulo em função de x. 7 Concluir que h( x) = x + 8x + 4. 4 3..... 10 Calcular o maximizante da função.. 4 Calcular as dimensões PQ = 8 e PS = 4. 6 Total 100 Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 009/010