MA12 - Unidade 18 Probabilidade Condicional Paulo Cezar Pinto Carvalho PROFMAT - SBM 4 de Abril de 2014
Um dado honesto é lançado duas vezes. a) Qual é a probabilidade de sair 1 no 1 o lançamento? b) Qual é a probabilidade que que tenha saído 1 no 1 o lançamento, sabendo que a soma dos resultados foi 5? a) O espaço amostral é S = {(1, 1),..., (6, 6)}; há 36 casos possíveis. O evento 1 no 1 o lançamento é A = {(1, 1),..., (1, 6)}; há 6 casos favoráveis. A probabilidade de sair 1 no 1 o lançamento é 6 36 = 1 6. b) Como a soma foi 5, podemos reduzir o espaço amostral a B = a soma é 5 = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}; há 4 casos possíveis, todos igualmente prováveis. São favoráveis os casos que também estão em A, ou seja, os elementos de A B = {(1, 4)}; portanto, há apenas 1 caso favorável. Logo, a probabilidade desejada é P(A B) = n(a B) n(b) = 1 4. Note que P(A B) = n(a B)/n(S) n(b)/n(s) = P(A B) P(B) PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 2/11
Probabilidade Condicional Dados dois eventos A e B, com P(B) 0, a probabilidade condicional de A na certeza de B (ou simplesmente, a probabilidade de A dado B) é o número P(A B) = P(A B). P(B) A ideia: redistribuir proporcionalmente os valores de probabilidade, de modo a atribuir a B probabilidade igual a 1. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 3/11
A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de uma escola, por sexo e por carreira pretendida. Feminino Masculino Total Científica 12% 33% 45% Humanística 40% 15% 55% Total 52% 48% 100% Um aluno da escola é escolhido ao acaso. Sejam F, M, C e H os eventos em que o aluno selecionado é do sexo feminino, do sexo masculino, pretende carreira científica e pretende carreira humanística, respectivamente. Calcule P(F C) e P(H M). P(F C) = P(F C) P(C) = 0,12 0,45 = 4 15 0, 27. P(H M) = P(H M) P(M) = 0,15 0,48 = 5 16 0, 31. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 4/11
Independência Da definição de probabilidade condicional: P(A B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A). Esta expressão é útil para calcular a probabilidade da interseção de dois eventos, principalmente em experimentos realizados em etapas. Quando P(A B) = P(A)P(B), os eventos A e B são independentes. Equivale a dizer que: P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B), (desde que P(A) 0 e P(B) 0). PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 5/11
Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Se ela for lançada 5 vezes, qual é a probabilidade de que saiam exatamente duas caras? Os eventos sair cara no i-ésimo lançamento (i = 1,..., 5) são independentes. A probabilidade de que saia uma dada sequência com 2 caras(c) e 3 coroas(k) (por exemplo, cckkk) é igual ao produto das probabilidades dos eventos correspondentes a cada lançamento; logo, é igual a 0, 4 2 0, 6 3. Como há C5 2 sequências deste tipo, a probabilidade de observarmos exatamente duas caras é C5 2 0, 42 0, 6 3 = 0, 3456. A probabilidade de se observarem k sucessos em n realizações independentes de um experimento com probabilidade p de sucesso é C k n p k (1 p) n k (modelo binomial). PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 6/11
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. a) Qual é a probabilidade de ambas serem brancas? b) Qual é a probabilidade de que a segunda bola seja branca? c) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca, sabendo que a segunda é branca? a) Sejam B 1 = {a primeira bola é branca} e B 2 = {a segunda bola é branca}. A probabilidade pedida é: P(B 1 B 2 ) = P(B 1 ) P(B 2 B 1 ) = 4 10 3 9 = 2 15. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 7/11
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. a) Qual é a probabilidade de ambas serem brancas? b) Qual é a probabilidade de que a segunda bola seja branca? c) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca, sabendo que a segunda é branca? b) Há duas possiblidades: A primeira é branca (B 1 ) e a segunda é branca (B 2 ) ou A primeira é preta (P 1 ) e a segunda é branca (B 2 ) Logo: P(B 2 ) = P((B 1 B 2 ) (P 1 B 2 )) = P(B 1 B 2 ) + P(P 1 B 2 ) = P(B 1 ).P(B 2 B 1 ) + P(P 1 ).P(B 2 P 1 ) = 4 10. 3 9 + 6 10. 4 9 = 36 90 = 2 5. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 8/11
Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas dessa urna. a) Qual é a probabilidade de ambas serem brancas? b) Qual é a probabilidade de que a segunda bola seja branca? c) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca, sabendo que a segunda é branca? c) A probabilidade condicional pedida (P(B 1 B 2 )) está na ordem inversa da realização do experimento. P(B 1 B 2 ) = P(B 1 B 2 ) P(B 2 ) = 4 10. 3 9 4 10. 3 9 + 6 10. 4 9 12 12+24 = 1 3 = P(B 1 ).P(B 2 B 1 ) P(B 1 ).P(B 2 B 1 )+P(P 1 ).P(B 2 P 1 ) = PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 9/11
Árvore de Probabilidades São uma forma conveniente de representar experimentos realizados em diversos estágios. Os valores nos ramos do primeiro estágio representam probabilidades e os demais, probabilidades condicionais. A probabilidade de uma sequência de ocorrências é obtida multiplicando-se os valores nos ramos. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 10/11
Para estimar a proporção p de usuários de drogas em certa comunidade, pede-se ao entrevistado que jogue uma moeda: se o resultado for cara, responda a você usa drogas? e, se o resultado for coroa, responda a sua idade é um número par?. Assim, caso o entrevistado diga sim, o entrevistador não saberá se ele é um usuário de drogas ou se apenas tem idade par. Se 30% dos entrevistados respoderem sim, qual é o valor estimado de p? s = P(sim) = 0, 5p + 0, 5 0, 5. Daí, p = 2s 0, 5 = 2 0, 3 0, 5 = 0, 1. PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 18, Probabilidade Condicional slide 11/11