Transferência de Calor

Transferência de Calor Escoamento Interno - Parte 1 Filipe Fernandes de Paula filipe.paula@engenharia.ufjf.br Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Faculdade de Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia Mecânica 1/47

Introdução 2/47

Introdução O escoamento de líıquido ou de gás através de tubos ou dutos e comumente usado em aplicações de aquecimento e resfriamento; O fluido em tais aplicações é forcado a fluir por meio de um ventilador ou bomba atraves de uma seção de escoamento que seja suficientemente longa para proporcionar a transferência de calor desejada; A maioria dos fluidos, especialmente os ĺıquidos, são transportados em tubos circulares; Isso ocorre porque tubos com seção transversal circular podem suportar grandes diferenças entre pressão interna e externa sem sofrer deformações significativas; 2/47

Introdução Os tubos não circulares são normalmente usados em aplicações como sistemas de aquecimento e resfriamento de edifícios, em que a diferença de pressão é relativamente pequena e os custos de fabricação e instalação são mais baixos; Para uma área de superfície fixa, o tubo circular fornece a maior transferência de calor com a menor queda de pressão, o que explica a enorme popularidade dos tubos circulares em equipamentos de transferência de calor; 3/47

Considerações Hidrodinâmicas 4/47

Considerações Fluidodinâmicas Considere o escoamento laminar no interior de um tubo circular de raio r o, onde o fluido entra no tubo com uma velocidade uniforme; Quando o fluido entra em contato com a superfície, os efeitos viscosos se tornam importantes e uma camada-limite se desenvolve com o aumento de x; Esse desenvolvimento ocorre à custa do encolhimento da região de escoamento não viscoso e termina com a fusão da camada-limite no eixo central do tubo; 4/47

Considerações Fluidodinâmicas Após essa fusão, os efeitos viscosos se estendem ao longo de toda a seção transversal do tubo e o perfil de velocidades não mais se altera ao long de x; Diz-se, então, que o escoamento está plenamente desenvolvido e a distância entre a entrada do tubo e o ponto onde essa condição é atingida é conhecida por comprimento de entrada fluidodinâmica (ou hidrodinâmica), x cd,v ; 5/47

Considerações Fluidodinâmicas No escoamento laminar o perfil de velocidades na região de escoamento plenamente desenvolvido é parabólico; No escoamento turbulento, o perfil de velocidades é mais achatado devido à mistura turbulenta na direção radial. 6/47

Considerações Fluidodinâmicas A extensão da região de entrada depende se o escoamento é laminar ou turbulento; O número de Reynolds para o escoamento em um tubo circular é definido como; Re D = ρu md µ = u md ν Sendo u m a velocidade média do fluido na seção transversal. Em um escoamento plenamente desenvolvido, o número de Reynolds crítico, é: Re D,c 2300 (2) (1) 7/47

Considerações Fluidodinâmicas Para o escoamento laminar (Re D 2300), o comprimento de entrada fluidodinâmica pode ser obtido a partir de, ( ) xcd,v 0, 05Re D (3) D lam Para o escoamento turbulento tem-se: ( ) xcd,v 10 (4) D turb 8/47

Velocidade Média 9/47

Velocidade Média Uma vez que a velocidade varia ao longo da seção transversal e não há uma corrente livre bem definida, é necessário trabalhar com uma velocidade média ao lidar com escoamentos internos; Essa velocidade é definida de tal forma que, quando multiplicada pela massa específica do fluido ρ e pela área da seção transversal do tubo A tr, obtém-se a vazão mássica do escoamento; ṁ = ρu m A tr (5) A vazão mássica pode ser representada pela integral do fluxo de massa (ρu) na seção transversal: ṁ = ρu(r, x)da tr (6) A tr 9/47

Velocidade Média Assim, para o escoamento incompressível em um tubo circular, tem-se u m = 2 r0 r0 2 u(r, x)rdr (7) 0 Para o escoamento incompressível em regime estacionário em um tubo com área de seção transversal uniforme, ṁ e u m são constantes, independentes de x; Para o escoamento em um tubo circular (A tr = πd 2 /4), o número de Reynolds se reduz a: Re D = 4ṁ πdµ (8) 10/47

Perfil de Velocidades na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Laminar 11/47

Perfil de Velocidades na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Laminar Uma característica importante das condições fluidodinâmicas na região plenamente desenvolvida é que o componente radial da velocidade (v) e o gradiente do componente axial da velocidade ( u/ x), são iguais a zero qualquer que seja a posição; u x = 0 v = 0 (9) Assim, o componente axial da velocidade depende somente de r, u(x, r) = u(r); A dependência radial da velocidade axial pode ser obtida através da resolução da equação do momento na direção x. 11/47

Perfil de Velocidades na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Laminar Para as condições da equação 9, o fluxo ĺıquido de momento é nulo em qualquer ponto na região plenamente desenvolvida; Portanto, a exigência de conservação do momento se reduz a um simples equiĺıbrio entre as forças de cisalhamento e as forças de pressão no escoamento; Aplicando o equiĺıbrio de forças, chega-se a: µ r d dr ( r du ) = dp dr dx (10) 12/47

Perfil de Velocidades na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido Laminar Resolvendo a equação 10, tem-se: u(r) = 1 ( ) [ ( ) dp r 2 ] r0 2 1 4µ dx r 0 Substituindo a equação 11 em 7, obtêm-se: u m = r 0 2 dp 8µ dx Escrevendo u(r) em termos da velocidade média: [ ( ) u(r) r 2 ] = 2 1 u m r 0 (11) (12) (13) 13/47

Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido 14/47

Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido A queda de pressão em um escoamento interno determina a exigência de potência em bombas ou sopradores; Para determinar a queda de pressão, é conveniente trabalhar com o fator de atrito de Moody (ou de Darcy), que é um parâmetro adimensional definido pela expressão: f = (dp/dx)d ρu 2 m/2 (14) Essa grandeza não deve ser confundida com o coeficiente de atrito (C f ), algumas vezes também chamado de fator de atrito de Fanning, que é definido como: C f = τ s ρu 2 m/2 = f 4 (15) 14/47

Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido Utilizando a definição de número de Reynolds e a equação 12, tem-se que, para o escoamento laminar plenamente desenvolvido: f = 64 Re D (16) Para um escoamento turbulento plenamente desenvolvido, a análise é muito mais complicada e são utilizados resultados experimentais; Além de depender do número de Reynolds, o fator de atrito é uma função das condições na superfície do tubo e aumenta com a rugosidade da superfície (e); Pode-se utilizar equação 17 ou o diagrama de Moody para obtenção de f. [ ] 1 e/d 2, 51 = 2log + (17) f 3, 7 Re D f 15/47

Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido 16/47

Considerações Térmicas 17/47

Considerações Térmicas Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme T (r, 0), que é menor do que a temperatura da superfície, ocorre transferência de calor por convecção e uma camada-limite térmica começa a se desenvolver; Se a condição na superfície do tubo for fixada pela imposição de uma temperatura uniforme (T s é constante) ou de um fluxo térmico uniforme (q s é constante), termina-se por atingir uma condição térmica plenamente desenvolvida; 17/47

Considerações Térmicas A forma do perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T (r, x) difere em função da condição mantida na superfície, temperatura ou fluxo térmico uniformes; Entretanto, em ambas as condições superficiais, a diferença entre a temperatura do fluido e a sua temperatura na entrada (T (r, x) T ) aumenta com o aumento de x. 18/47

Considerações Térmicas Para o escoamento laminar, o comprimento de entrada térmico pode ser representado por: ( ) xcd,t 0, 05Re D Pr (18) D lam Para o caso turbulento pode-se assumir: ( ) xcd,t 10 (19) D turb 19/47

A Temperatura Média 20/47

A Temperatura Média Da mesma forma que o caso da camada limite de velocidade, a ausência de uma temperatura fixa na corrente livre exige o uso de uma temperatura média; Para fornecer uma definição para a temperatura média, começamos retornando à q = ṁc p (T sai T ent ) (20) Está implicito que a temperatura é uniforme nas seções transversais na entrada e na saída. 20/47

A Temperatura Média Defini-se a temperatura média de modo que o termo ṁc p T m seja igual à taxa real de advecção de energia térmica integrada na seção transversal; Essa taxa real de advecção pode ser obtida pela integração do produto entre o fluxo de massa (ρu) e a energia interna por unidade de massa (c p T ) em toda a seção transversal do escoamento; ṁc p T m = ρuc p T (r, x)da tr (21) A tr Assumindo que ρ e c p são constantes, tem-se T m = 2 u m r 2 0 r0 0 ut (r, x)rdr (22) Quando multiplicada pela vazão mássica e pelo calor específico, T m fornece a taxa na qual a energia térmica é carregada pelo fluido à medida que ele escoa ao longo do tubo. 21/47

Lei do Resfriamento de Newton 22/47

A Temperatura Média A temperatura média T m é uma temperatura de referência conveniente para escoamentos internos, desempenhando um papel muito semelhante àquele da temperatura na corrente livre T nos escoamentos externos; Consequentemente, a lei do resfriamento de Newton pode ser representada pela expressão: q s = h x (T s T m ) (23) Onde hx é o coeficiente de transferência de calor por conveção local; Para Ts = cte q s (x); Para q s = cte T s (x). 22/47

A Temperatura Média No entanto, há uma diferença essencial entre T m e T ; Enquanto T é constante no sentido do escoamento, T m tem que variar neste sentido; O valor de Tm aumenta com x se a transferência de calor for da superfície para o fluido (T s > T m ); Diminui com x se o oposto estiver acontecendo (Ts < T m ). 23/47

Condições Plenamente Desenvolvidas 24/47

Condições Plenamente Desenvolvidas Como existe transferência de calor convectiva entre a superfície e o fluido, a temperatura do fluido deve se alterar com x, pode-se questionar se condições térmicas plenamente desenvolvidas serão de fato atingidas; Se houver transferência de calor, dt m /dx e T / x em qualquer raio r, são diferentes de zero. Consequentemente, o perfil de temperaturas T (r) está continuamente mudando com x, levando a crer que uma condição plenamente desenvolvida nunca poderá ser atingida Essa contradição aparente pode ser resolvida trabalhando-se com uma forma adimensional da temperatura; θ = T s(x) T (r, x) T s (x) T m (x) (24) 24/47

Condições Plenamente Desenvolvidas Sabe-se que há condições nas quais essa razão se torna independente de x; Isto é, embora o perfil de temperaturas T (r) continue variando com x, a forma relativa desse perfil permanece inalterada e diz-se que o escoamento está termicamente plenamente desenvolvido; A exigência para tal condição é formalmente estabelecida pela expressão: [ ] Ts (x) T (r, x) = 0 (25) x T s (x) T m (x) Onde Ts é a temperatura da superfície do tubo, T é a temperatura local do fluido e T m é a temperatura média do fluido na seção transversal do tubo; Válido para q s e T s constantes. 25/47

Condições Plenamente Desenvolvidas Como a razão entre temperaturas é independente de x, a derivada dessa razão em relação a r também deve ser independente de x. Assim, ( ) Ts T = T / r r=r 0 f (x) (26) r T s T m r=r 0 T s T m Da Lei de Fourier, q s = k T y = k T y=0 r (27) r=r0 Da Lei de Resfriamento de Newton, q s = h x (T s T m ) (28) 26/47

Condições Plenamente Desenvolvidas Manipulando as equanções anteriores, pode-se chegar a: h x k f (x) (29) Portanto, no escoamento termicamente plenamente desenvolvido de um fluido com propriedades constantes, o coeficiente de transferência de calor por convecção local é uma constante, independente de x; Na entrada, h x varia com x. 27/47

Condições Plenamente Desenvolvidas 28/47

Balanço de Energia 29/47

Balanço de Energia Como o escoamento em um tubo é completamente confinado, um balanço de energia pode ser utilizado para determinar: Como a temperatura média T m (x) varia com a posição ao longo do tubo; Como a transferência de calor por convecção total qconv está relacionada à diferença entre as temperaturas na entrada e na saída do tubo; Considerando o escoamento em um tubo mostrado, o fluido escoando a uma vazão mássica constante ṁ e transferência de calor por convecção ocorrendo na superfície interna; Pode-se assumir as seguintes simplificações: Dissipação viscosa desprezível; Escoamento incompressível; Despreza-se a condução na direção axial. 29/47

Balanço de Energia Fazendo um balanço de energia global no tubo, chega-se a, q conv = ṁc p (T m,sai T m,ent ) (30) Expressão geral que se aplica independentemente da natureza das condições térmicas na superfície e no escoamento no tubo. 30/47

Balanço de Energia Aplicando o balanço energético a um volume de controle diferencial no tubo, tem-se: dq conv = ṁc p [(T m dt m ) T m ] (31) dq conv = ṁc p dt m (32) 31/47

Balanço de Energia A taxa de calor por convecção pode ser reescrita na seguinte forma, dq conv = q s Pdx (33) q s = h(t s T m ) (34) Onde P é o perímetro da seção transversal. Dessa forma, reescrevendo a relação 32, dt m dx = q s P = ṁc p P ṁc p h(t s T m ) (35) A solução para T m (x) depende da condição térmica na superfície. 32/47

Fluxo Térmico Constante na Superfície 33/47

Fluxo Térmico Constante na Superfície Para o caso de um fluxo de calor constante na superfície do tubo, encontra-se T m (x) resolvendo a seguinte equação: dt m dx = q s P (36) ṁc p T m (0) = T m,ent (37) Resolvendo 36 com a condição inicial 37, tem-se T m (x) = T m,ent + q s P x (38) ṁc p 33/47

Fluxo Térmico Constante na Superfície A troca de calor total pode ser determinada por: q conv = q s PL (39) 34/47

Fluxo Térmico Constante na Superfície 35/47

Exemplos 36/47

Exemplos Exemplo 1 - Um sistema para aquecer água de uma temperatura de entrada T m,ent = 20 C até uma temperatura de saída T m,sai = 60 C envolve a passagem da água através de um tubo de parede espessa, com diâmetros interno e externo de 20 e 40mm, respectivamente. A superfície externa do tubo encontra-se isolada e aquecimento elétrico no interior da parede fornece uma taxa de geração uniforme q = 10 6 W /m 3. (a) Para uma vazão mássica da água ṁ = 0, 1kg/s, qual deve ser o comprimento do tubo para que a temperatura de saída desejada seja alcançada? (b) Se a temperatura da superfície interna do tubo em sua saída for T s = 70 C, qual é o coeficiente de transferência de calor por convecção local na saída do tubo? 36/47

Exemplos 37/47

Temperatura Constante na Superfície 38/47

Temperatura Constante na Superfície Resultados para a taxa de transferência de calor total e para a distribuição das temperaturas médias são inteiramente diferentes para a condição de temperatura superficial constante; Para e o caso de temperatura constante, é preciso solucionar a equação: dt m dx = P h(t s T m ) (40) ṁc p Definindo T = T s T m, a equação 40 se torna: dt m dx = d( T ) = P h T (41) dx ṁc p 38/47

Temperatura Constante na Superfície Para resolver 41, separa-se as variáveis e integra-se a equação, O que resulta em, Tsai T ent d( T ) T = P ṁc p L 0 hdx (42) ln T sai T ent = PL ṁc p h L (43) Reordenando, tem-se ( T s T m,sai = exp PL ) h L T s T m,ent ṁc p (44) Sendo hl, o valor médio de h de todo tubo; 39/47

Temperatura Constante na Superfície Integrado da entrada do tubo até alguma posição x no interior do tubo, tem-se, Tx d( T ) T ent T = P x hdx (45) ṁc p 0 O que resulta em, ( T s T m (x) = exp Px ) h x T s T m,ent ṁc p (46) Sendo hx, o valor médio de h da entrada do tubo até a posição x; 40/47

Temperatura Constante na Superfície 41/47

Temperatura Constante na Superfície A determinação de uma expressão para a taxa de transferência de calor total q conv é dificultada pela natureza exponencial da diminuição da temperatura; Reescrevendo a equação 30, tem-se q conv = ṁc p ((T s T m,sai ) (T s T m,ent )) (47) q conv = ṁc p ( T sai T ent ) (48) E substituindo uma expressão para ṁc p retirada da equação 43, obtêm-se: q conv = h L A s T ml (49) 42/47

Temperatura Constante na Superfície Onde A s é a área superficial do tubo (A s = P L) e T ml é a média logarítmica das diferenças de temperaturas, T ml = T sai T ent ln( T sai / T ent ) (50) Onde T = T s T m. A equação 49 é a forma da lei do resfriamento de Newton para toda a extensão do tubo; A natureza logarítmica de T ml é devido à natureza exponencial da diminuição da temperatura. 43/47

Temperatura Constante na Superfície É importante observar que, em muitas aplicações, é a temperatura de um fluido externo, e não a temperatura superficial do tubo, que é especificada; 44/47

Temperatura Constante na Superfície Nestes casos, os resultados dessa seção ainda podem ser usados se T s for substituída por T e h L por U L (o coeficiente global de transferência de calor médio); Onde U L foi definido como: T sai = T ( T m,sai = exp U ) LA s T ent T T m,ent ṁc p (51) q = U L A s T ml (52) 1 U L A s = R tot (53) 45/47

Temperatura Constante na Superfície Reescrevendo as equações 51 e 52 em termos de R tot, tem-se T sai = T ( ) T m,sai 1 = exp T ent T T m,ent ṁc p R tot (54) q = T ml R tot (55) 46/47

Exemplos 47/47

Exemplos Exemplo 2 - Vapor de água condensando sobre a superfície externa de um tubo circular de parede fina, com diâmetro D = 50mm e comprimento L = 6m, mantém uma temperatura na superfície externa uniforme de 100 C. Água escoa através do tubo a uma vazão de ṁ = 0, 25kg/s e suas temperaturas na entrada e na saída do tubo são T m,ent = 15 C e T m,sai = 57 C. Qual é o coeficiente convectivo médio associado ao escoamento da água? 47/47