SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RESTRIÇÃO DE SEGURANÇA E CONTROLES DISCRETOS UTILIZANDO O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA

MARINA TEIXEIRA COSTA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RESTRIÇÃO DE SEGURANÇA E CONTROLES DISCRETOS UTILIZANDO O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA BAURU/SP Novembro/216

MARINA TEIXEIRA COSTA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RESTRIÇÃO DE SEGURANÇA E CONTROLES DISCRETOS UTILIZANDO O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA Dssertação apresentada junto ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca, da Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, Campus de Bauru, como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Engenhara Elétrca. Lnha de Pesqusa: Sstemas de Energa. Unversdade Estadual Paulsta "Júlo de Mesquta Flho" Faculdade de Engenhara de Bauru FEB Programa de Pós-graduação em Engenhara Elétrca Orentadora: Profª. Drª. Edméa Cássa Baptsta Co-Orentador: Prof. Dr. Leonardo Nepomuceno BAURU/SP Novembro/216

Costa, Marna Texera. SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RESTRIÇÃO DE SEGURANÇA E CONTROLES DISCRETOS UTILIZANDO O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA / Marna Texera Costa, 216 129 f. Orentador: Edméa Cássa Baptsta Co-Orentador: Leonardo Nepomuceno Dssertação (Mestrado) Unversdade Estadual Paulsta. Faculdade de Engenhara, Bauru, 216

Aos meus orentadores Edméa e Léo, e ao meu colega de pesqusa Adlson, este trabalho é dedcado a vocês.

AGRADECIMENTOS À mnha amada e admrada mãe, pelo apoo e ncentvo ncessantes aos meus estudos e por todo esforço dedcado a amparar mnha camnhada até o presente momento. Aos meus querdos e ncríves avós Thereznha e Carlos pelo amor, carnho e dedcação mensuráves e mprescndíves à mnha trajetóra. À mnha rmã Bruna pela nfânca delcosa e nesquecível que dvdmos e pela amzade e parcera de sempre mesmo na atual dstânca. E ao meu rmão Rc por ter presenteado nossa famíla com sua exstênca toda especal. A mnha famíla bauruense, mas do que amgos, rmãos do destno, por dvdrem comgo glorosos das festvos, e também os mas trágcos e fracassados: Mara Laura Parra, Amanda Caversan, Helen Gomes, Patríca Fassera, Matheus Sampao e Ana Fláva Sousa. Amgos como esses fazem a dstânca de casa ser menos dolorosa. Agradeço especalmente ao Professor Balbo, meu orentador de ncação centífca, pela oportundade de aprendzado, por encorajar e guar meus prmeros passos no unverso da pesqusa e ncentvar o meu ngresso na Pós-Graduação. Por me tranqulzar em momentos de desespero e me ensnar que no fnal tudo fca bem! Admrare por toda vda este exemplo de ser humano. A todos os amgos do LOESP - Laboratóro de Otmzação e Estudos Econômcos em Sstemas de Potênca, pelo pronto e constante compartlhamento de experêncas e conhecmentos, essencas ao andamento dessa pesqusa, em especal: Gabrela, Els, Dego, Rafael, Marana, Jéssca, Dasy e Augusto. À mnha orentadora Edméa e meu co-orentador Leonardo, pelo brlhante profssonalsmo e dedcação na orentação deste trabalho, por sempre acredtarem em mnha capacdade, pela amzade, compreensão e preocupação. Ao Adlson, pela partcpação em cada passo desse desafo. Ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca, todos os professores e funconáros envolvdos, pela oportundade da realzação deste curso de mestrado. À Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor (Capes), pela credbldade e apoo fnancero.

Se enxergue mas longe, fo porque me apoe sobre os ombros de ggantes (Isaac Newton)

Costa, M.T. (216). Solução do problema de fluxo de potênca ótmo com restrção de segurança e controles dscretos utlzando o método prmal-dual barrera logarítmca. Dssertação(Mestrado), Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca, FEB, Unesp, Bauru. RESUMO O problema de Fluxo de Potênca Ótmo determna a melhor condção de operação de um sstema elétrco de potênca. Há dferentes classes de problemas de Fluxo de Potênca Ótmo de acordo com os tpos de funções a serem otmzadas, e os conjuntos de controles e de restrções utlzados. Dentre elas, dá-se destaque ao problema de Fluxo de Potênca Ótmo com Restrção de Segurança, o qual é uma mportante ferramenta para os Operadores dos Sstemas de Transmssão, tanto para o planejamento operaconal, quanto para a precfcação da energa. Seu objetvo é mnmzar os custos operaconas de geração de energa levando em consderação as restrções decorrentes da operação do sstema sob um conjunto de contngêncas. Ele é formulado como um problema de otmzação não lnear, não-convexo de grande porte, com varáves contínuas e dscretas. Neste trabalho nvestga-se este problema em relação à sua formulação, dfculdades computaconas e método de solução. Para um tratamento do problema mas próxmo à realdade adotam-se alguns controles como varáves dscretas, ou seja, os taps dos transformadores. Estes são tratados através de um método que penalza a função objetvo quando as varáves dscretas assumem valores não dscretos. Desta forma, o problema não lnear dscreto é transformado em um problema contínuo e o método Prmal-Dual Barrera Logarítmca é utlzado em sua resolução. Testes computaconas são apresentados com o problema de Fluxo de Potênca Ótmo com Restrção de Segurança assocado ao sstema teste IEEE 14 barras em três etapas de teste. Os resultados obtdos e as comparações realzadas comprovam a efcênca do método de resolução escolhdo. PALAVARAS CHAVE: Fluxo de Potênca Ótmo, Fluxo de Potênca Ótmo com Restrção de Segurança, Método Prmal-Dual Barrera Logarítmca, Função Penaldade, Otmzação Não Lnear.

Costa, M.T. (216). Soluton of the optmal power flow problem wth securty constrant and dscrete controls usng the prmal-dual logarthmc barrer method. Dssertaton (Master degree), Post-Graduate Program n Electrcal Engneerng, FEB, Unesp, Bauru. ABSTRACT The Optmum Power Flow problem determnes the best operatng condton of an electrc power system. There are dfferent classes of Optmal Power Flow problems accordng to the types of functons to be optmzed, and the sets of controls and constrants used. Among them, the problem of Optmal Power Flow wth Securty Constrant s hghlghted, whch s an mportant tool for the Transmsson System operators, both for operatonal plannng and for energy prcng. Its objectve s to mnmze the operatonal costs of power generaton tang nto account the constrants arsng from the operaton of the system under a set of contngences. It s formulated as a nonlnear, nonconvex large optmzaton problem, of contnuous and dscrete varables. In ths wor, the problem n relaton to ts formulaton, computatonal dffcultes and soluton method s nvestgated. For a treatment of the problem closest to the realty, some controls such as dscrete varables,.e. the taps of the transformers, are used. These are treated by a method that penalzes the objectve functon when the dscrete varables assume non-dscrete values. Thus, the dscrete nonlnear problem s transformed nto a contnuous problem and the Prmal-Dual Logarthmc Barrer method s used n ts resoluton. Computatonal tests are performed wth the optmal power flow problem wth securty constrant assocated wth the test system of IEEE 14 bars n three test stages. The obtaned results and the realzed comparsons prove the effcency of the chosen resoluton method. KEY-WORD: Optmal Power Flow, Optmal Power Flow wth Securty Constrant, Prmal-Dual Logarthmc Barrer Method, Penalty Functon, Nonlnear Optmzaton.

LISTA DE FIGURAS Fgura 1 - Sstema de 2 barras.... 42 Fgura 2 - Despacho econômco puro... 42 Fgura 3 - Despacho econômco com Restrção de Segurança... 43 Fgura 4 - Despacho econômco com Restrção de Segurança com Redespacho Corretvo.... 44 Fgura 5 - Efeto dos parâmetros na função penaldade.... 55 Fgura 6-5 e 1.... 56 Fgura 7 -,5 e 1.... 56 Fgura 8 -,2 e 1.... 56 Fgura 9 - Dagrama unflar do Sstema Elétrco de 14 barras.... 59 Fgura 1 - Magntudes de tensão para o problema de FPO caso básco.... 63 Fgura 11 - Dagrama unflar do Sstema Elétrco de 14 barras com contngênca na lnha 2-4.... 64 Fgura 12 Magntudes de tensões Fgura 13 - Magntudes de tensão Fgura 14 - Magntudes de tensão Fgura 15 - Magntudes de tensão Fgura 16 - Magntudes de tensão Fgura 17 - Magntudes de tensão Fgura 18 - Magntudes de tensão Fgura 19 - Magntudes de tensão Fgura 2 - Magntudes de tensão Fgura 21 - Magntudes de tensão Fgura 22 - Magntudes de tensão V para o problema de FPORS preventvo.... 67 1 V s para o problema de FPORS preventvo.... 67 V para o problema de FPORS corretvo.... 7 1 V s para o problema de FPORS corretvo.... 7 1 V para o problema de FPORS corretvo.... 71 V para o problema de FPO básco.... 74 V para o problema de FPORS preventvo.... 76 1 V s para o problema de FPORS preventvo.... 76 V para o problema de FPORS corretvo.... 78 1 V s para o problema de FPORS corretvo.... 78 1 V para o problema de FPORS corretvo.... 79

LISTA DE TABELAS Tabela 1: Dados do sstema de duas barras da Fgura 1... 42 Tabela 2 - Coefcentes da função objetvo.... 6 Tabela 3 - Lmtes de fluxo de potênca nas lnhas.... 61 Tabela 4 - Canalzação das Potênca gerada... 61 Tabela 5 - Canalzação de Potênca Reatva gerada.... 62 Tabela 6 - Valores de ncalzação dos taps.... 62 Tabela 7 - Dmensões do problema FPO.... 62 Tabela 8 Valores obtdos para o problema de FPO.... 63 Tabela 9 - Valores obtdos para os taps dos transformadores... 64 Tabela 1 - Dmensões do problema de FPORS preventvo.... 65 Tabela 11 - Valores obtdos para o problema de FPORS preventvo.... 66 Tabela 12 - Valores obtdos para os taps dos transformadores t m... 67 Tabela 13 - Dmensões do problema de FPORS corretvo.... 68 Tabela 14 - Valores obtdos para o problema de FPORS corretvo.... 69 Tabela 15 - Valores obtdos para os taps dos transformadores... 71 Tabela 16 - Valores obtdos para o problema de FPO.... 73 Tabela 17 - Valores obtdos para os taps dos transformadores.... 74 Tabela 18 - Valores obtdos para o problema de FPORS preventvo.... 75 Tabela 19 - Valores obtdos para os taps dos transformadores... 76 Tabela 2 - Valores obtdos para o problema de FPORS corretvo.... 77 Tabela 21 Valores obtdos para os taps dos transformadores... 79 Tabela 22 - Comparação dos Métodos... 81

LISTA DE SÍMBOLOS x : vetor das varáves de estado; f( x ): função objetvo, traduz o crtéro a ser otmzado; gx: ( ) vetor das funções que representam o balanço de potênca atva e reatva; hx ( ): vetor das funções que representam as restrções funconas e os lmtes operaconas do sstema; C( Pg ): função objetvo de custo total de geração; Pg : potênca atva gerada pela undade geradora ; Qg : potênca reatva gerada pela undade geradora ; C ( Pg ): função custo ndvdual da undade geradora ; a, b, c : coefcentes de custo da undade geradora ; V : magntude da tensão da barra ; V : vetor das magntudes de tensão em todas as barras do sstema; t : vetor dos taps dos transformadores do sstema; : vetor dos ângulos das tensões em todas as barras do sstema; g : conjunto das barras de geração do sstema, exceto a barra slac; c : conjunto das barras de carga do sstema; r : conjunto de todos os ramos do sstema; B : conjunto de todas as barras do sstema; G : conjunto de undades geradoras do sstema; P m : expressão para o fluxos de potênca atva no ramo m ; Q m : expressão para o fluxo de potênca reatva reatva no ramo m ;

: conjunto das barras vznhas à barra ; : representa a confguração de contngênca sstema; x : vetor de varáves dependentes para o estado ; s x : vetor de varáves dependentes para o estado pós-contngênca preventvo; u : vetor de varáves controláves para o estado ; u : vetor de máxmo ajuste permtdo para as varáves de controle entre o caso base e o - ésmo estado de pós-contngênca; T : ntervalo de tempo dsponível para as ações corretvas; du / dt : representa a taxa de alteração das varáves de controle, em resposta a uma contngênca; L, L, L : denotam, respectvamente, os lmtes de operação de curto (emergênca), médo e s m l longo prazos (normal).

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 16 1.1 MOTIVAÇÃO... 18 1.2 OBJETIVO... 18 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO... 18 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA DO PROBLEMA DE FPORS... 2 3. OS PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO E FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RESTRIÇÃO DE SEGURANÇA... 24 3.1 O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO... 24 3.1.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE FPO... 25 3.1.1.1 DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS E EQUAÇÕES... 25 3.2 O PROBLEMA DE FPORS... 3 3.2.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE FPORS... 31 3.2.1.1 DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS E RESTRIÇÕES... 33 3.2.2 EXEMPLO... 42 4 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO... 45 4.1 O MÉTODO DE NEWTON... 45 4.2 MÉTODO DUAL-LAGRANGIANO... 47 4.3 O MÉTODO DE BARREIRA... 48 4.4 O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA-LOGARÍTMICA... 5 4.5 UMA FUNÇÃO PENALIDADE PARA O TRATAMENTO DE VARIÁVEIS DISCRETAS... 53 4.5.1 A FUNÇÃO PENALIDADE... 53 4.5.2 SENSIBILIDADE DA FUNÇÃO PENALIDADE SENOIDAL EM RELAÇÃO A E. 55 5 TESTES NUMÉRICOS... 58 5.1 PRIMEIRA ETAPA DE TESTES... 59 5.1.1 FPO... 59 5.1.2 FPORS preventvo... 64 5.1.3 FPORS corretvo... 68 5.2 SEGUNDA ETAPA DE TESTES... 71 5.2.1 A FUNÇÃO PENALIDADE SENOIDAL APLICADA AOS PROBLEMAS DE FPO E DE FPORS... 72 5.2.2 FPO... 72 5.2.3 FPORS preventvo... 75

5.2.4 FPORS corretvo... 77 5.3 TERCEIRA ETAPA DE TESTES... 79 5.3.1 IPOPT... 8 5.3.2 KNITRO... 8 5.3.3 COUENNE... 8 5.4 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS... 82 6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS... 83 7 TRABALHOS PUBLICADOS... 84 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 85 9 APÊNDICE A... 9

16 1. INTRODUÇÃO Atualmente, na Engenhara Elétrca, um problema que envolva a determnação do estado ótmo de um Sstema Elétrco de Potênca (SEP) é denomnado um problema de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO). O estado ótmo de um SEP é atenddo ajustando-se os controles dsponíves para mnmzar ou maxmzar uma função objetvo, sujeto a restrções operaconas e de segurança. O FPO é formulado como um problema de otmzação restrta, não lnear, não convexo, de grande porte e com varáves contínuas e dscretas. Dferentes classes de problemas de FPO podem ser determnadas dependendo dos objetvos escolhdos para serem otmzados, e os conjuntos de controles e de restrções utlzados. Essas classes de problemas de FPO podem ser tratadas como subconjuntos de um problema geral. Pode-se ctar algumas das prncpas classes de problemas FPO, como: o problema de despacho econômco, cujas formulações clásscas envolvem um problema quadrátco, que mnmza uma função assocada ao custo dos combustíves empregados na geração termoelétrca de energa e as restrções podem envolver os lmtes das varáves de controle, as equações de fluxo de potênca, o balanço de geração, entre outras (OLIVEIRA et al, 213); o problema de máxmo carregamento, o qual pode ser modelado como um problema de otmzação restrta, não-lnear, com varáves contínuas e dscretas, cujo objetvo é determnar o máxmo aumento de carga em um SEP, satsfazendo suas restrções operaconas (SOLER et al, 213); e o FPO com Restrção de Segurança (FPORS), o qual leva em consderação as restrções decorrentes da operação de um SEP sob um conjunto de contngêncas (nterrupção de lnhas de transmssão e/ou geradores) o qual é formulado como um problema não-lnear, não-convexo e de grande porte, e com varáves contínuas e dscretas (CAPITANESCU et al, 211). Segundo Captanescu et al. (211), o FPORS vem sendo abordado na lteratura por dversos autores, e é uma mportante ferramenta para os operadores dos sstemas de transmssão, tanto para o planejamento operaconal do sstema, quanto para a precfcação da energa. Város modelos são encontrados na lteratura para a representação desse problema. El-Hawary (27), destaca também que dversas técncas de solução têm sdo desenvolvdas para resolver os problemas de FPO. Em partcular, de acordo com Bhasar et al. (211), para o FPORS já foram utlzadas as seguntes abordagens de resolução: técnca de

17 decomposção de Benders, Método de Relaxação Dual, Método Dual-Smplex, Método Prmal-Dual de Pontos Interores, algumas heurístcas, entre outras. O desenvolvmento de novas abordagens para a resolução do problema FPORS pode ser baseado na assocação de métodos clásscos da Otmzação Não-Lnear (ONL) que exploram característcas especfcas de cada método. Entre os métodos utlzados para resolução do FPORS destaca-se neste trabalho, o método Prmal-Dual de Barrera Logarítmca e propõe-se a nvestgação do problema de FPORS, através do modelo apresentado por Captanescu et al. (211) e sua resolução utlzando o Método Prmal-Dual de Barrera Logarítmca, consderando a natureza dscreta dos taps dos transformadores. Destaca-se que, de modo geral, nas abordagens da lteratura para a resolução dos problemas de FPO, as varáves de controle dscretas, como por exemplo os taps dos transformadores, são modeladas como contínuas, o que dstanca os resultados obtdos pela resolução do problema da realdade do sstema elétrco, pos alguns controles podem ser ajustados apenas por passos dscretos. Fo utlzado neste trabalho um método para tratar as varáves dscretas do problema (os taps dos transformadores), através de uma função que penalza a função objetvo quando as varáves em questão assumem valores não dscretos. Desta forma, o problema com varáves dscretas é transformado em um problema de varáves contínuas e pode ser resolvdo pelo Método Prmal-Dual de Barrera Logarítmca. Observa-se que uma sequênca de problemas penalzados é resolvda através do Método Prmal-Dual de Barrera Logarítmca e suas penalzações são atualzadas a cada teração, até que essa solução dscreta seja encontrada. A formulação clássca do FPORS, a qual é descrta no capítulo 3 basea-se em Captanescu et al. (211) é apresentada como um problema de dos estágos de decsão. As prmeras decsões são denomnadas de controles preventvos, em um estado de funconamento do sstema totalmente conhecdo, e têm um efeto dreto sobre a função de custo. Os controles preventvos garantem a segurança do sstema no caso de ocorrênca de uma contngênca específca, sem ter a necessdade do Operador do Sstema de Transmssão (OST) tomar ações de correção após esta contngênca. As decsões do segundo estágo correspondem a controles corretvos hpotétcos, que só serão aplcados após a ocorrênca de certa contngênca para garantr a establdade de operação do sstema. Neste trabalho, a

18 contngênca consderada é a nterrupção de uma das lnhas do Sstema Elétrco. Essas ações são normalmente modeladas como decsões "a custo zero", pos elas devem ser mplementadas apenas após a ocorrênca de uma contngênca. O conjunto de "segunda fase" é fnto e se presume que seja conhecdo a pror. Seu tamanho é proporconal ao tamanho do sstema, pos o crtéro de segurança clássca "N-1" produz um cenáro possível para cada elemento de nterrupção. 1.1 MOTIVAÇÃO O FPORS destna-se a auxlar as etapas de tomada de decsão no planejamento, de planejamento da operação e de operação, para determnar estratégas ótmas de correção garantndo que, se eventos de contngênca, com uma probabldade sgnfcatva ocorrerem, o sstema contnuará a operar em condções normas (CAPITANESCU et al, 211). Captanescu et al. (211) destaca que uma das característcas mas desafadoras do problema de FPORS é em relação à dmensão do problema. Em comparação a um problema de FPO, o FPORS envolve um número muto maor de varáves e restrções, o que o torna um problema complexo de ser resolvdo. 1.2 OBJETIVO O objetvo deste trabalho é nvestgar a formulação do problema de FPORS apresentada em Captanescu et al. (211), levando em consderação a natureza dscreta dos taps dos transformadores, bem como suas dfculdades computaconas, e resolvê-lo com uma abordagem que transforma o problema dscreto em contínuo ao adotar uma função que penalza a função objetvo quando estas varáves não assumem valores dscretos. 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

19 O trabalho encontra-se dvddo da segunte forma: no capítulo 2, é realzada uma revsão bblográfca dos trabalhos relaconados ao problema de FPORS; no capítulo 3 são apresentadas as formulações dos problemas de FPO e FPORS e um exemplo numérco para caracterzar o problema de FPORS. Uma revsão dos métodos de otmzação é apresentada no capítulo 4, o qual nclu o Método Prmal-Dual Barrera Logarítmca e a função penaldade para o tratamento das varáves dscretas; testes computaconas são apresentados no capítulo 5, com o problema de FPORS assocado a um sstema de 14 barras e seus resultados são comparados ao de um FPO assocado ao mesmo sstema, e fnalmente, no capítulo 6 são apresentadas as consderações fnas e a proposta de contnudade do trabalho.

2 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA DO PROBLEMA DE FPORS Neste capítulo apresenta-se uma revsão bblográfca de trabalhos da lteratura que abordam o problema de FPORS, em relação à sua formulação e técncas de solução. Um dos prmeros trabalhos a ntroduzr o problema de FPORS fo o de Montcell et al. (1987) no qual é apresentada uma nova formulação para o problema de Despacho Econômco, denomnada de Reprogramação do Despacho Econômco com Restrção de Segurança. Neste, após a perda de uma lnha de transmssão, um novo despacho de geração deve ocorrer para elmnar as volações causadas por determnada contngênca. Técncas de decomposção são utlzadas na resolução do modelo. Em 1993, Osvaldo Méndez, utlza uma versão lnearzada do problema de FPORS e apresenta um algortmo para a solução em computadores paralelos, por meo de um método assíncrono baseado em construções e estruturas típcas da programação concorrente. O método fo mplementado em uma máquna paralela, tpo memóra compartlhada e barramento comum e em um computador de memóra dstrbuída com arqutetura hpercúbca, e os resultados foram comparados. Harsan et al. (1997) apresenta uma estratéga chamada de Análse de Segurança Cíclca para seleconar as possíves contngêncas do problema. Tal análse é dvdda em duas partes: a prmera analsa as pequenas alterações das varáves de controle causadas pelas contngêncas, as que não causam mpacto sgnfcatvo no sstema são elmnadas; já a segunda analsa as contngêncas que sobraram e então, são calculadas as varações de tensões de pós-contngênca através de um fluxo de carga desacoplado. Duas técncas para nclusão de contngêncas no modelo de mercado são propostas em Mlano et al. (25). A prmera leva em consderação as lnhas mas crítcas do sstema no caso de ocorrênca de uma contngênca. Já a segunda, consdera o resultado do problema sem contngêncas, e medante essa solução é calculada uma estratéga para mensurar a sensbldade das lnhas, e as contngêncas são seleconadas de acordo com esta sensbldade. Fo utlzado um método de Pontos Interores Prmal-Dual Prevsor-Corretor na resolução do modelo apresentado. No ano de 29, Azevedo et al. propõem uma nova formulação para o problema de FPORS, que leva em consderação as contngêncas como: perda de lnhas de transmssão,

21 perda de geração ou múltplas perdas. A função objetvo é b-objetvo e representa as perdas de potênca na transmssão e o custo de geração, sujeto às restrções de balanço de potênca, de fluxo de potênca atva nas lnhas, de lmtes de geração e restrções de perda de lnha ou de gerador, estes já prevamente seleconados. Para a resolução, é utlzado o método de pontos nterores prevsor-corretor. Em Captanescu et al. 211 é apresentado o estado da arte para o problema FPORS, assm como uma formulação geral do mesmo e uma dscussão a respeto das prncpas dfculdades de resolução e desafos computaconas que envolvem o modelo. Dscute-se também a necessdade de consderar os crtéros de segurança que vão além da segurança clássca "N-1" e de se desenvolver técncas capazes de dentfcar rapdamente N-K (K>1) eventos danosos com probabldades não neglgencáves, para que não prejudquem a segurança de outros sstemas, reduzndo assm o rsco de eventos em cascata. Investga-se o fato de que as decsões relatvas à operação do sstema de energa e planejamento operaconal devem levar em conta redes de transmssão mas complexas, para que as ações de controle tomadas por um OST não prejudquem a segurança de sstemas vznhos como é nvestgado em Phan e Sun (215). Autores como Jang e Xu (214), consderam o fato de que lstas de contngênca estátcas e gualmente ponderadas, não são muto realstas quando modeladas dante de sstemas de dmensões maores. A tomada de decsão a respeto da proteção do sstema contra determnadas contngêncas deve ser dnâmca e explorar todas as nformações dsponíves no momento. Em outras palavras, o conjunto de cenáros relevantes e o peso dado a cada um desses cenáros na tomada de decsões de prmera fase devem ser otmzados. Rony Seto Wbowo e Ontoseno Penangsang, em 214, através dos sstemas de 9 e 25 barras testaram os controles preventvos e corretvos resolvendo o problema de FPORS pelo método da decomposção de Benders. No estado normal, o controle preventvo é utlzado para proteger o sstema, enquanto que em estado de emergênca (pós-contngênca), o controle corretvo é empregado para satsfazer as lmtações do sstema. O objetvo prncpal do problema é mnmzar o custo de operação enquanto um subproblema é destnado a mnmzar o desvo de geração de energa entre os estados normas e de emergênca, a fm de evtar a volação da taxa de rampa das undades geradoras. Já em 215, Dzung Phan e Jayant Kalagnanam exploraram alguns métodos efcentes para a resolução do problema de FPORS, baseando-se nos métodos da decomposção de

22 Benders, Branch-and-Bound, e Dual Lagrangano. Foram nvestgadas estratégas para modfcação dos algortmos e da formulação do problema para melhor adaptação do método ao problema. Um exemplo dsso é uma abordagem alternatva para resolver o problema de FPORS de grande porte decompondo-o em um número pré-estabelecdo de subproblemas menores relaconados a cada possível contngênca. Foram testados, através destes métodos propostos, problemas relaconados aos sstemas de 14, 3, 57, 118 e 3 barras. Anda em 215, Captanescu propôs uma nova formulação para o problema de FPORS, adconando três novas restrções ao modelo, apresentado por ele mesmo em Captanescu et al. (211), que leva em consderação o rsco de alguma contngênca ocorrer. O autor utlzou o pacote CONOPT, que utlza o algortmo do Gradente Generalzado Reduzdo, para a resolução do problema assocado a um sstema de 118 barras, consderando a ocorrênca de 4 dferentes contngêncas. Em Wang e Fu (215), fo desenvolvdo um método que utlza uma relaxação Lagrangana, a qual ncorpora na função objetvo as restrções do problema por meo de multplcadores de Lagrange. Por se tratar de um problema com um grande número de varáves, o autor utlza a decomposção de Benders para resolver o problema relaxado, de modo a decompô-lo em um problema prncpal e um conjunto de subproblemas dependentes que nteragem entre s. Este método fo aplcado ao problema de FPORS, que vsa mnmzar o custo de geração, sujeto a restrções de atendmento de demanda, potênca gerada dentro dos lmtes físcos e dferença entre a potênca gerada do caso base para uma contngênca menor que um lmte. Ahmad Attarha e Nma Amjady (216) apresentam um estudo que tem como objetvo modfcar a característca altamente não-convexa do problema de FPORS para um problema convexo. Desta forma, o FPORS pode ser resolvdo com menor esforço computaconal, podendo ser obtdas melhores soluções, através de pacotes de otmzação comercas. Os termos não-convexos do modelo FPORS (por exemplo, os termos assocados aos efetos de carregamento de válvula de undades geradoras e modelagem de redes) são reformulados utlzando funções Sgmodal com base na sére de Taylor. A formulação torna-se então convexa, podendo ser mas faclmente resolvda. A abordagem proposta é testada utlzandose os sstemas de 3, 118, 3, e o sstema de 2746 barras polonês. Os resultados obtdos são comparados com os resultados de város outros métodos de solução do FPORS já anterormente utlzados.

23 Em termos de formulação do problema FPORS, as consderações de Captanescu et al. (211) levam a duas dreções complementares e nterlgadas de pesqusa. A prmera foca no desenvolvmento de métodos adequados para o cenáro de seleção de contngênca on-lne adaptado à formulação clássca do problema, levando em conta as contngêncas que mas afetaram a establdade do sstema de energa, como nvestgado em Jang e Xu (214). A segunda vsa rever o horzonte de controle temporal e sua decomposção em sucessvas fases de tomada de decsões, como pode-se verfcar em Xu et al (216). Neste trabalho opta-se em tratar o FPORS de acordo com a prmera dreção de pesqusa, ou seja, a que trabalha com a formulação clássca do problema e desenvolve métodos adequados para a sua resolução. E, consdera-se contngênca a perda de uma lnha de transmssão, ou seja a lnha de transmssão em questão torna-se noperante. No próxmo capítulo, serão apresentadas as formulações matemátcas dos problemas de FPO e de FPORS.

24 3. OS PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO E FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RESTRIÇÃO DE SEGURANÇA Neste capítulo apresentam-se os modelos para os problemas de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) e de Fluxo de Potênca Ótmo com Restrções de Segurança (FPORS) e as suas respectvas formulações matemátcas. Consderam-se os taps dos transformadores como varáves dscretas. 3.1 O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO O Problema de FPO tem por objetvo determnar o melhor ponto de operação de um sstema elétrco de potênca, satsfazendo às restrções operaconas e físcas da rede elétrca, vsando a melhora do desempenho deste. Este problema é formulado como um problema de otmzação restrta, não lnear, não convexo, de grande porte e com varáves contínuas e dscretas. Város trabalhos os quas nvestgam o problema de FPO surgram na lteratura vsando resolvê-lo através de dferentes metodologas. O problema de FPO fo proposto em 1962, quando Carpenter apresentou um modelo geral para o problema, ncorporando as equações de fluxo de potênca ao problema de Despacho Econômco (DE). Carpenter assocou a este problema uma função Lagrangana transformando-o em um problema de programação não lnear rrestrto. Aplcou as condções necessáras de Karush-Kuhn-Tucer (KKT) obtendo um sstema não lnear, o qual fo resolvdo pelo método de Gauss-Sedel, e assm, chegou-se a uma solução para o problema. Dferentes classes do problema de FPO podem ser determnadas de acordo com a função objetvo adotada, os conjuntos de varáves de controle e de restrções utlzados. Essas dversas classes de problemas de FPO podem ser vstas como subconjuntos de um problema geral. Destaca-se que dversas técncas de solução têm sdo desenvolvdas para resolver os problemas de FPO desde que o mesmo fo proposto (EL-HAWARY, 27).

25 3.1.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE FPO Nesta seção, apresenta-se matematcamente o problema de FPO por (3.1)-(3.3). Os índces utlzados nas varáves e restrções denotam uma stuação básca de operação, em que o sstema opera sem contngênca. Essa notação faclta a defnção do modelo com restrção de segurança pós-contngênca, que será descrto na seção 3.2 a segur. em que: sujeto a: Mnmzar f x, u (3.1) x é o vetor das varáves não controláves; u é o vetor das varáves de controle; g h x, u (3.2) x, u L (3.3) l Ll é o vetor que representa os lmtes operaconas de longo período assocados ao sstema. 3.1.1.1 DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS E EQUAÇÕES Varáves não controláves: No problema de FPO descrto em (3.1)-(3.3), consderam-se as seguntes varáves não controláves: magntudes de tensão carga, do sstema c ; e ângulos de tensão B. Assm sendo, tem-se: V para as barras pertencentes ao conjunto de barras de j em barras j, pertencentes ao conjunto de todas as barras T x ( V, j ), c, j B. Varáves controláves: No problema de FPO, (3.1)-(3.3), consderam-se as seguntes varáves controláves: geração de potênca atva referênca (barras com controle de tensão) Pg nas barras, pertencentes ao conjunto das barras de geração e g ; magntudes de tensão V também nas barras

26 de geração e referênca; e taps dos transformadores t D para os ramos m do sstema lm t m que possuem transformadores. Tem-se então: t m T g u Pg, V, t,, t D é o conjunto de valores dscretos para os taps t, para o caso básco. m D m t m, em que Lmtes operaconas Supõe-se que estes lmtes devem ser suportados durante a operação normal do sstema, sem a ocorrênca de nenhuma contngênca. Neste trabalho, consderaram-se os seguntes lmtes: fluxo de potênca atva nas lnhas de transmssão, geração de potênca reatva em barras de geração e referênca pertencentes ao conjunto g ; mínma e máxma geração de potênca atva em barras de geração e referênca (conjunto ) e mínma e máxma magntude de tensão em todas as barras do sstema (conjunto B ). g Função Objetvo: Matematcamente, o problema de FPO (3.1)-(3.3), tem como objetvo a mnmzação do custo de geração, C( Pg ), dado em (3.1) e defndo matematcamente em (3.4): em que: 2 (3.4) C Pg C Pg a Pg b Pg c ( ) ( ) ( ) G G C( Pg ) é a função objetvo de custo total de geração; Pg é a potênca gerada pela undade geradora ; C Pg é a função custo ndvdual da undade geradora ; ( ) a, b, c são os coefcentes de custo da undade geradora ; G é o conjunto de undades geradoras (termelétrcas) do sstema. Restrções de gualdade: As restrções de gualdade em (3.2) representam as restrções de balanço de potênca atva e reatva nas barras do sstema, dadas em (3.5) e (3.6), respectvamente.

27 P ( y ), B (3.5) Q ( y ), (3.6) c em que, P ( y ) Pg Pc P ( y ), B (3.7) m m Q ( y ) Qg Qc Q ( y ), (3.8) m c m em (3.7) e (3.8) tem-se que: Pg e Pc são as potêncas atvas geradas e consumdas, no caso básco na barra, respectvamente; Qg e Qc são as potêncas reatvas geradas e consumdas, no caso básco, na barra, respectvamente. P y, m Q y são os fluxos de potênca atva e reatva, no caso básco, no ramo m m, respectvamente; B é o conjunto de todas as barras do sstema no caso básco; c é o conjunto das barras de carga do sstema no caso básco; é o conjunto das barras vznhas à barra, no caso básco; Defnndo-se o estado do sstema pré-contngênca y x, u T, o qual é representado no modelo aqu nvestgado pelas varáves de otmzação y Pg, V,, t, as funções matemátcas para o balanço de potênca atva e reatva do problema são descrtas a segur: T Expressões para os Fluxos de Potênca Atva e Reatva: As expressões para os fluxos de potênca atva e reatva P y, ( ) m Q ( ) m y, respectvamente em (3.7) e (3.8) dependem do lado do transformador (baxa ou alta) a que se referem. Se a barra estver localzada no lado de alteração do tap do transformador, os fluxos ( ) Pm y e Q ( ) m y são dados conforme (3.9) e (3.1), respectvamente:

28 2 V V Vm V Vm m m m m m m tm tm tm P g g cos( ) b sn( ), (3.9) b sh 2 m V Vm V Vm Qm b m V b cos( ) sn( ) m m g m m, (3.1) tm tm tm Caso contráro, se a barra não estver localzada no lado de alteração do tap do transformador, as expressões de P y e m 2 m m m m m m m m tm tm Q y são dadas conforme (3.1) e (3.11): m V V V V P g V g cos( ) b sn( ), (3.11) V V V V Q ( b b ) V b cos( ) g sn( ). (3.12) sh 2 m m m m m m m m m tm tm Restrções de desgualdade: Canalzação de Potênca Reatva: As restrções de desgualdade apresentadas em (3.3) representam a canalzação da geração de potênca reatva nas barras de tensão controlada, dadas em (3.13): mn max ( ), c Qg Qg y Qg (3.13) em que:, Qg ( y ) Q y Qc m m Qg mn é o lmte nferor para a potênca reatva na barra, no caso básco; Qg max é o lmte superor para a potênca reatva na barra, no caso básco; Q y é o fluxo de potênca reatva descrto em (3.1) e (3.12). m

29 Canalzação das magntudes de tensão: A canalzação das magntudes de tensão é dada por (3.14): mn max, V V V B (3.14) em que, mn V o caso básco. e max V são os lmtes nferor e superor da magntude da tensão na barra, para Canalzação das potêncas atvas geradas: A canalzação da potênca atva gerada em todas as barras, é dada em (3.15): mn max Pg Pg Pg, G (3.15) em que, Pg mn e Pg max são o lmte nferor e superor de geração na barra, respectvamente, para o caso básco. Taps dos transformadores: Os taps dos transformadores, para o caso básco, conjunto de valores dscretos: t m, podem varar dentro de um t D m m t, m r em que D é o conjunto de valores dscretos para os taps, para o caso básco t. t m m Lmtes dos Fluxos de Potênca Atva nos Ramos: Os fluxos de potênca atva nos ramos do sstema são lmtados como dado por (3.16): L P ( y ) L, m (3.16) l m l r em que r é o conjunto de todos os ramos do sstema, e Ll é o lmte operaconal de fluxo de potênca no ramo m, para o caso básco. No problema de FPO aqu nvestgado, a susceptânca shunt sh b assocada aos bancos de capactores e reatores é consderada constante, de modo que as njeções de potênca reatva não varam com esta susceptânca. Em modelos mas representatvos, os valores dessas

3 susceptâncas de barra podem varar dentro de um conjunto de valores dscretos, os quas não serão consderados nos modelos matemátcos aqu abordados. 3.2 O PROBLEMA DE FPORS Segundo Captanescu et al. (211), o problema de FPORS tem sdo abordado na lteratura por dversos autores, e é uma mportante ferramenta para os operadores dos sstemas de transmssão, tanto para o planejamento operaconal do sstema, quanto para a precfcação da energa. Dversos autores, após os anos 9, abordam em seus trabalhos os prncpas desafos do FPORS, entre eles destacam-se Captanescu et al. (211), Bhasar et al. (211) e Solman e Mantawy (212). De acordo com Captanescu et al. (211), desde os anos 9, mudanças sgnfcatvas ocorreram, não somente em se tratando de controle e operação de sstemas elétrcos de potênca, mas também na área de programação matemátca, as quas são dscutdas a segur. Alguns sstemas de potênca operam atualmente em condções sobrecarregadas, que não foram prevstas na fase de planejamento. Assm, certos pontos de operação dáros não permtem aumentos de carga sgnfcatvos, os quas, eventualmente, podem não ser suportados pelo sstema de geração e transmssão de energa. Além dsso, a cração dos mercados de energa levou à negocação de energa elétrca entre longas dstâncas entre undades de geração e centro consumdor, tornando mas complexa a tarefa de transmssão de energa. Váras ncertezas têm sdo ntroduzdas na operação do sstema de energa, em função do desenvolvmento da geração dstrbuída e de fontes de geração de energa renováves, tas como energa eólca, solar, etc., as quas não são dretamente despacháves, em função de ncertezas sobre o vento, níves de lumnosdade, entre outras. Além dsso, a ntrodução dos mercados de energa trouxe ncertezas adconas assocadas aos despachos de geração, os quas passam a estar assocados aos lances (ncertezas) fornecdos pelos agentes no mercado. Em função de todas essas questões, o nível de segurança dos sstemas de energa tem sdo enfraquecdo a ponto de, em alguns sstemas, o crtéro de segurança N-1 não poder ser satsfeto sem recorrer às ações corretvas. Outra questão que enfraquece o nível de segurança

31 está relaconada às pressões dos agentes de mercado, os quas desencorajam a nterferênca nos despachos calculados pelo operador de mercado, favorecendo assm o uso do controle corretvo (mas barato) sobre o controle preventvo (mas caro). Além dsso, há uma tendênca recente de operação das redes ntelgentes que requer que o prncípo de controle em tempo real seja satsfeto, o que nvablza a utlzação do controle preventvo (calculado no da anteror), enquanto que o corte de cargas nterruptíves torna-se a opção mas utlzada do controle corretvo. Assm, sendo, o planejamento operaconal do da segunte tornou-se uma tarefa de gerencamento de ncertezas em que o FPORS desempenha um mportante papel. Por outro lado, a teora de otmzação vem progredndo sgnfcatvamente desde os anos 9 e o desempenho dos métodos de resolução evoluu consderavelmente. Em partcular, os Métodos de Pontos Interores (MPI) agora utlzados para resolver problemas de Otmzação Não-Lnear (ONL), e város métodos de Otmzação Lnear Intera Msta (OLIM) foram desenvolvdos. Segundo Captanescu et al. (211), uma sére de questões tornam o FPORS mas desafador do que o problema de FPO, como: a dmensão do problema, consequentemente a dfculdade computaconal envolvda, e a necessdade de ldar com a varedade de estratégas de controle corretvo nos estados de pós-contngênca. As prncpas dfculdades de resolução dos FPORS são: formulação/modelagem do problema, o tratamento da dmensão do problema, a não convexdade das funções envolvdas, dfculdades computaconas, e técncas/métodos de resolução efcentes, prncpalmente quando controles dscretos são utlzados em sua formulação. 3.2.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE FPORS A formulação convenconal do problema de FPORS, apresentada em Captanescu et al. (211,) consste na extensão do problema de FPO dado em (3.1)-(3.3) de modo a ncorporar restrções das redes de transmssão assocadas às confgurações, 1,, c, dadas em função de contngêncas no sstema. O FPORS é matematcamente descrto em (3.17)-(3.24):

32 Mnmzar f x, u (3.17) sujeto a : g x, u (3.18) h x, u L (3.19) s s g x, u, 1,, c (3.2) h x, u L, 1,, c (3.21) s s s g x, u, 1,, c (3.22) h x, u L, 1,, c (3.23) m u u u, 1,, c (3.24) em que adotam-se para a confguração de pré-contngênca e 1,, c para as c confgurações de pós-contngênca. Tem-se que: l s x é o vetor de varáves dependentes para o estado preventvo pós-contngênca, que é observado em um curto período de tempo (antes da ação corretva do operador); x é o vetor de varáves dependentes para o estado corretvo pós-contngênca ; u é o vetor de varáves controláves do estado corretvo pós-contngênca ; u T du dt é o vetor de máxmos ajustes permtdos para as varáves de controle entre o caso básco e o -ésmo estado de pós-contngênca; T é o ntervalo de tempo dsponível para as ações corretvas para garantr a factbldade do estado pós-contngênca ; du dt é a taxa de alteração das varáves de controle, em resposta à contngênca ; Ls, Lm, L l denotam, respectvamente, os lmtes de operação de curto (emergênca), médo e longo prazos (normal). Respectvamente, estes lmtes devem satsfazer as relações Ll Lm Ls, pos os lmtes que são suportados por um equpamento em longo prazo são menores do que os lmtes que ele pode suportar em curto período.

33 3.2.1.1 DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS E RESTRIÇÕES Varáves não controláves: No problema FPORS (3.17)-(3.24), tem-se como varáves não controláves: T x ( V, ),, j B ; s s js c T x ( V, ),, j B. j c em que: V é a magntude de tensão na barra para a confguração, 1,, c, durante o s ntervalo de curto prazo (em que o subíndce s vem do nglês, short-tme); é o ângulo da tensão na barra j para a confguração, 1,, c, durante o js ntervalo de curto prazo; V é a magntude de tensão na barra para a confguração, 1,, c; é o conjunto das barras de carga para a confguração, 1,, c; c é o ângulo da tensão na barra j para a confguração, 1,, c; j B é o conjunto de todas as barras do sstema, exceto a barra slac, para a confguração, 1,, c; Assm como no problema de FPO (3.1)-(3.3), para o problema FPORS (3.17)-(3.24), no caso básco (stuação pré-contngênca), adota-se o índce, ou seja, x V, j que V para as barras pertencentes ao conjunto de barras de carga T, em c, para o caso básco, e ângulos de tensão j em barras j pertencentes ao conjunto de todas as barras sstema para o estado básco (pré-contngênca). B Varáves controláves: No problema FPORS (3.17)-(3.24) tem-se como varáves controláves: u ( Pg, V, t ),, t D T m g lm

34 em que: Pg é a potênca atva gerada na barra, para a confguração, 1,..., c; V é a magntude de tensão na barra para a confguração, 1,..., c; t m é o vetor dos taps dos transformadores dos ramos m do sstema que possuem transformadores; é o conjunto das barras de geração para a confguração, 1,..., c. g Assm como no problema de FPO (3.1)-(3.3), no problema FPORS (3.17)-(3.24), para o caso básco (stuação pré-contngênca), adota-se o índce, ou seja, u Pg V t T,, m, em que Pg é o vetor das potêncas atvas geradas nas barras de tensão controladas para o caso básco e básco (pré-contngênca). V é o vetor das magntudes de tensão nas barras controladas para o estado Restrções adconas: As restrções adconas: equação (3.2) e nequação (3.21), representam restrções análogas àquelas dadas para o caso básco em (3.18) e (3.19), porém consderadas para cada confguração de contngênca, 1,, c. Assm, a cada nova confguração de contngênca consderada, dobra-se o número de restrções análogas a (3.18) e (3.19) no modelo (ou seja, é como se uma nova rede de transmssão contngencada fosse ntroduzda no modelo). Nota-se também que as varáves de controle u utlzadas em (3.2) e (3.21) são as mesmas utlzadas no caso básco (3.18) e (3.19), porém permtndo lmtes operaconas amplados dados por Ls Ll por um curto período de tempo. Assm, supõe-se que, ao serem mplementados no sstema, os controles calculados para o caso básco sejam capazes de satsfazer as restrções operatvas para o caso básco, além de satsfazer as restrções para cada confguração de contngênca, 1,, c, porém por um curto período de tempo (tempo sufcente para que ações corretvas possam ser efetvamente mplementadas no sstema). Portanto, os controles u são denomnados de preventvos, pos prevnem (sustentam a

35 operação factível mesmo que por um curto período de tempo), contra a ocorrênca de qualquer uma das c contngêncas no sstema. Em função dos novos lmtes L s de curto prazo, e das alterações na rede do sstema elétrco pela ocorrênca de uma contngênca, 1,, c, as varáves dependentes assumem, nesse curto período de tempo, valores dferentes daqueles calculados no caso básco ( varáves dependentes, o qual é dferente do vetor x ). Assm, é necessáro adotar um novo vetor superor s representa o período de curto prazo (do nglês, small). s x para estas x dado para o caso básco. O índce As restrções adconas: equações (3.22) e nequação (3.23), também representam restrções análogas àquelas dadas para o caso básco em (3.18) e (3.19) e também consderam cada confguração de rede dada pelas contngêncas, 1,, c. Entretanto, neste conjunto de equações, novos controles u são calculados para cada stuação de contngênca, juntamente com novos valores de varáves dependentes x. Assm, supõe-se que quando da ocorrênca de uma stuação de contngênca, a mplementação dos controles u neste sstema seja capaz de satsfazer as restrções operatvas para essa confguração de contngênca com lmtes Lm Ll amplados em relação ao caso base, porém menores que os lmtes estabelecdos para o curto prazo, no caso preventvo, Lm Ls. Portanto, os controles u são denomnados de corretvos, pos corrgem a operação (sustentam a operação factível por um período de tempo medano maor que o curto prazo), quando da ocorrênca de qualquer uma das contngêncas no sstema, 1,, c. Função Objetvo: Neste trabalho, a função objetvo descrta em (3.17) é dada pela função quadrátca que representa o custo de produção de energa de undades termelétrcas (3.4), conforme descrta para o problema FPO (3.1)-(3.3). 2 C Pg C Pg a Pg b Pg c ( ) ( ) ( ) G G

36 Note que a função de custo é calculada somente para o estado básco y x, u não consdera os custos de estados pós-contngênca. T, e Restrções de gualdade: No FPORS, as restrções de gualdade (3.18), (3.2) e (3.22) representam as equações de balanço de potênca atva e reatva da transmssão para as stuações pré e pós-contngênca. Se o estado operatvo pós-contngênca for defndo por y,,,, x u V Pg t, as expressões de balanço atvo e reatvo são representadas por (3.25) e (3.26), respectvamente: em que, P ( y ) (3.25) Q ( y ) (3.26) P ( y ) Pg Pc Pm ( y ), B, 1,, c ; (3.27) m em que Pg, Q ( y ) Qg Qc Qm ( y ), c, 1,, c. (3.28) m Pc são as potêncas atvas geradas e consumdas, respectvamente, na barra, para a stuação de contngênca ; P ( y ), Q ( y ) são os fluxos de potênca atva e reatva no ramo m, m m respectvamente, para a stuação de contngênca ; Qg, Qc são as potêncas reatvas geradas e consumdas para a stuação de contngênca, na barra, respectvamente. conjunto das barras vznhas à barra, para a stuação de contngênca ; Note que as equações (3.25) e (3.26) generalzam as equações (3.5) e (3.6) para stuações de pré e de pós-contngênca.

37 As expressões (3.25) e (3.26) podem ser utlzadas para representar (3.18), (3.2) e (3.22), porém com a segunte observação de notação: é mportante destacar que para o período de curto prazo, expresso na equação (3.2), em que a contngênca já ocorreu, porém os controles corretvos anda não foram mplementados, a notação das equações (2.9) e (2.1) deve ser corrgda de modo que as varáves não controláves x, no estado póscontngênca y x, u T, sejam substtuídas pelas varáves s x. Expressões para os Fluxos de Potênca Atva e Reatva: As expressões para os fluxos de potênca atva e reatva em (3.25) e (3.26) dependem do lado do transformador (baxa ou alta). Se a barra estver localzada no lado de alteração do tap do transformador, os fluxos P ( y ) e Q ( y ) são dados análogos a (3.9) e (3.1): m m 2 V V Vm V Vm m m m m m m tm tm tm P ( y ) g g cos( ) b sn( ), (3.29) ( ) 2 b sh m V Vm V Vm Qm y bm V bm cos( m) gm sn( m), (3.3) tm tm tm caso contráro, as expressões de P y e m Q y são dadas análogas a (3.11) e (3.12): m ( ) 2 V Vm V Vm Pm y gm V gm cos( m) bm sn( m), (3.31) t t m ( ) ( ) 2 sh V Vm V Vm Qm y bm bm V bm cos( m) gm sn( m) (3.32) t t m m m Restrções de desgualdade: As restrções de desgualdades (3.19), (3.21) e (3.23) representam os lmtes físcos e operaconas do sstema, os quas são descrtos por meo das restrções (3.33), (3.34), (3.35) e (3.36) detalhadas a segur. Estas restrções são escrtas para os estados de pré e póscontngênca.

38 Lmtes dos Fluxos de Potênca Atva nos Ramos: Os lmtes nos fluxos de potênca atva nas lnhas de transmssão e transformadores, para os casos pós-contngênca são dados por (3.33) e (3.34) nos os casos preventvo e corretvo, respectvamente: em que,, 1,, L P y L m c (3.33) s m s r,, 1,, L P y L m c (3.34) m m m r r é o conjunto de todos os ramos do sstema (lnhas de transmssão e transformadores), na stuação de contngênca, e a expressão para o fluxo de potênca atva no ramo m, que é dada por P y, segue como descrto em (3.29) e (3.31). m Restrções de Canalzação na Potênca Atva Gerada: O lmte na geração de potênca atva em barras de tensão controlada é dado em (3.34): mn max Pg Pg Pg, G, 1,, c (3.34) Restrções de Canalzação na Potênca Reatva Gerada: (3.35): em que O lmte na geração de potênca reatva em barras de tensão controlada é dado em mn max Qg Qg y Qg, G, 1,, c (3.35) G é o conjunto de geradores em operação na stuação de contngênca. A expressão para a geração de potênca reatva na barra, análoga a descrta em (1.13) para o caso básco, é formulada para o caso pós-contngênca conforme (3.36):

39 Qg ( y ) Qm ( y ) Qc, G, 1,, c (3.36) m em que o fluxo Q ( y ) é descrto em (3.3) e (3.32). m Restrções de Canalzação nas Magntudes de Tensão: Os lmtes nas magntudes de tensão para os casos pós-contngênca são formulados por meo de restrções canalzadas, conforme (3.37): mn max V V V, B, 1,, c (3.37) Note, mas uma vez, que para o período de curto prazo do estado pós-contngênca, dados pelos lmtes operaconas descrtos pelas equações (3.21), a observação de notação feta anterormente também é válda, ou seja: a notação das equações (3.31), (3.32) e (3.33) deve ser corrgda de modo que as varáves não controláves substtuídas pelas varáves D : tm s x. Restrções nos taps dos transformadores: x no estado y x, u sejam Os taps dos transformadores podem varar dentro de um conjunto de valores dscretos t m D (3.38) t m em que D é o conjunto de valores dscretos para os taps, no o caso de pós-contngênca tm t m. A nequação (3.24) é uma restrção destnada a prevenr ajustes rrealstas das varáves de controle entre os estados de pré e de pós-contngênca, de modo a não haver grandes varações entre os dos estados. Então, para o modelo do problema de FPORS (3.17)- (3.24), consderaram-se as restrções dadas em (3.39), (3.4) e (3.41), as quas representam uma taxa de varação de no máxmo,1 pu para as gerações e taps pré e pós contngênca, de,2 pu para as tensões pré e pós-contngênca:,1,, 1,, Pg Pg G c (3.39)