DERIVADA Aula 02 Matemática I Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph. Como pode ser provada tal afirmação? Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado não ajudará em nada. Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento! É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo.
Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.c. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.
A Derivada O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação. As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.
Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais Aplicações
Na Física Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade. A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração. A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.
Na Química Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química. A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero.
Na Biologia Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas.
Na Economia Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).
Outras Ciências Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.
Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório. Engenheiro
Agrônomo Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio. Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.
Geógrafo urbano Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta.
Meteorologista Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.
Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento. Psicologia
Sociologia O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões). Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.
A Derivada Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.
Tem-se a produção de milho por hectare f (kg/ha) como função da quantidade de nitrogênio x (kg/ha), cujos resultados são apresentados na tabela a seguir: x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 f(x) 1451 1651,8 1816,6 1945,4 2038,2 2095,4 2115,8 2100,6 2049,4 Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?
2500 Valores Y 2000 1500 1000 500 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Derivada Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30, encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30, 1945,4). Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação: taxa de variação: f 30 f(20) 30 20
Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4). Logo a equação da reta f(x) = b + a. x, para qualquer 0 x 10 a partir de x = 20, será: f 20 + x = f 20 + 12,88x Com essa função podemos calcular o f(22).
3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor x. x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 f(x) 1451 1555,9 1651,8 1738,7 1816,6 1885,5 1945,4 1996,3 2038,2 Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).
Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que x 2, mais precisa será a estimativa para x = 22. Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como f 20 + x lim x 0 x f(20)
f 20 + x lim x 0 x f(20) Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e (20+ x; f(20+ x) estarão muito próximos pelo limite.
Derivada - Definição A expressão: f x + h f(x) h é chamada de quociente da diferença da função f(x). Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado. Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.
Derivada de uma Função A derivada da função f(x) em relação a x é a função f (x) dada por: f f x + h f(x) x = lim h 0 h E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação. Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f (c) existe, ou seja, se o limite do quociente diferença que define f (x) existe no ponto x = c.
Exemplo Determine a derivada da função f x = 4,9x 2.
Taxa de Variação instantânea como uma Derivada A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto x = c é dada por f (c). A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática: f x = 0,18x 2 + 21,88x + 1451 Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f (22).
Significado do sinal da Derivada f (x) Se a função f é derivável em x = c, f é crescente em x = c f é decrescente em x = c f (x) > 0 f (x) < 0
f(x) = 4,9x² 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4
Notação de Derivada A derivada f (x) da função y = f(x) muitas vezes é escrita na forma dy sobre dê x) ou df (dê f sobre dê x). dx Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f (c)] é escrito na forma: dx (dê y dy dx df x = c ou dx Assim, por exemplo, se y = x², temos: dy dx = 2x E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por: dy dx x = c x = 3 = 2x x = 3 = 2. 3 = 6
Tangentes m PQ = f x f(a) x a Se uma curva C tiver uma 14 equação y = f(x) e quisermos 12 encontrar a reta tangente a C 10 em uma ponto P(a, f a ), 8 consideramos um ponto próximo Q x, f x, onde 6 x a, e calculamos a 4 inclinação da reta secante PQ. 2 0 Q(x, f(x)) P(a, f a ) f(x) f(a) x a 0 2a 4x 6 8
Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x a tender a a. Se m PQ tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m. 14 12 10 8 6 4 2 0 t P Q Q Q 0 2 4 6 8
A reta tangente A reta tangente à curva y = f(x) em um ponto P(a, f x ) é a reta passando por P com a inclinação desde que o limite exista. f x f(a) m = lim x a x a
Exemplo Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x 2 no ponto P (1,1).
Inclinação como uma derivada A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto [c, f(c)] é dada por m tan = f c. Usamos: y f c = f c x x 1 ou y f c = m x x 1
Exemplo 2 f(x)=x³ 20 15 Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1. Qual a equação da reta tangente neste ponto? 10 5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-5 -10-15 -20
Exercícios: 1) Calcule a derivada da função f x = x 3 1 e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto x = 2. 80 60 40 20 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5-20 -40-60 -80
Descansando a mente Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
Técnicas de Derivação
Regra da Constante Para qualquer constante c, d dx c = 0 Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula. f x = c f x = 0 Esta regra é comprovada pela regra da potência. f x = 15 f x = 0
Regra da Potência Para qualquer número real n, d dx xn = n. x n 1 Para calcular a derivada de x n, reduzimos de 1 o valor do expoente e multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente. f x = x n f x = n. x n 1 f x = 2x 3 ; f x = 1 ; f x = x7 x2
Regra da multiplicação por uma constante Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, cf(x) também é uma função derivável e d dx cf x = c d [f x ] dx A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada. g x = cf x g x = cf (x) f x = 3x 4 ; f x = 7 x
Regra da soma Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma S x = f x + g x também é uma função derivável e S x = f x + g x, ou seja: d dx f x + g x = d dx f x + d [g x ] dx A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas. h x = f x + g x. Se f (x) e g (x) existem, então: h x = f x + g (x) f(x) = 3x 4 + 8x + 5 g(y) = 9y 5 4y² + 2y + 7
Regra da subtração Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma S x = f x + g x também é uma função derivável e S x = f x g x, ou seja: d dx f x g x = d dx f x d [g x ] dx A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas. h x = f x g x. Se f (x) e g (x) existem, então: h x = f x g (x) f x = x 4 8x 2 + 4 g y = 2y 3 5y
Derivada da função exponencial Dada uma função exponencial f x = a x (a > 0, a 1). A derivada f x = a x ln a (a > 0, a 1).
Derivada da função exponencial natural Se y = e x, então y = e x ln e = e x.
Função Derivada y = c y = 0 y = x y = 1 y = c. f(x) y = c. f (x) y = h x + g(x) y = h x + g (x) y = h x. g(x) y = h x. g x + h x. g (x) y = h(x) g(x) y = a x (a > 0, a 1) y = g x. h x g x. h(x) [g(x)] 2 y = a x. ln a
Calcule a derivada das funções: a) y = x 4 b) y = 2 c) y = πr 2 d) y = 2x e) y = 9 t f) y = x 2 + 2x + 3 g) y = x 9 5x 8 + x + 12 h) y = 0,02x 3 + 0,3x i) y = 1 t + 1 t 2 1 t j) y = x5 4x² x³ k) 3 y = x + 1 3 x
Problemas Estima-se que daqui a x meses a população de um município será P x = x 2 + 20x + 8000. a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses? b) Qual será a variação da população durante o 16º mês?
O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por N t = t 2 + 5t + 106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995. a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005? b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?
Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por s t = t 3 6t 2 + 9t + 5. a) Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4. b) Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4. c) Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.