Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 10B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: MATEMÁTICA Função Afim Um vendedor recebe, mensalmente, um salário que é composto por uma parte fixa de R$ 3.000,00 e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 5% sobre o total de vendas que ele efetua por mês. Assim, podemos escrever: Salário mensal do vendedor = 3000 + 0,05 (total de vendas do vendedor no mês). Se chamarmos o total de vendas efetuadas no mês de x, o salário mensal do vendedor poderá ser escrito como a seguinte função: f(x) = 0,05x + 3000. Definição Seja a função polinomial do primeiro grau f:ir IR, definida por f(x) = ax + b, onde a IR, b IR e a 0, para todo x IR. Essa função é chamada de função afim. Representação Gráfica A representação gráfica de uma função afim é uma reta, que pode ser crescente ou decrescente. Exemplos: a) f(x) = 2x 1 b) y = -x + 7 c) f(x) = 2 5 d) f(x) = 3x x + 8 Casos particulares de uma função afim Função Identidade É a função real f:ir IR tal que f(x) = x, para todo x IR. Função Linear É a função real f:ir IR tal que f(x) = ax, para todo x IR. Neste caso, b = 0. Exemplo: f(x) = 2x. Obs.: Na função f(x) = ax + b, se a = 0 a função f(x) = b gráfico será uma reta horizontal, paralela ao eixo dos x. será chamada de função constante. Seu Exemplo: f(x) = 4. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - MEST/AGO/2014-1012
Valor da Função Afim Para calcularmos o valor da função afim para um determinado número, basta substituirmos, na função, a variável x por esse número. Exemplo: Na função f(x) = 3x + 5, f(2) = 3(2) + 5 = 11. Raiz ou Zero de uma Função Afim É o valor de x para o qual f(x) = 0. Exemplo: Calcular a raiz da função y = 2x 4. Resolução: 2x 4 = 0 2x = 4 x = 2. Taxa de Variação de uma Função Afim ou Declividade de uma Reta Citamos, acima, que o gráfico de uma função afim é uma reta, que pode ser crescente ou decrescente. Na função f(x) = ax + b, o coeficiente a é chamado de taxa de variação da função, ou de coeficiente angular da reta, pois define a inclinação ou declividade da reta. O coeficiente angular da reta é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o sentido positivo do eixo dos x. Assim: y y y a tg x x x 0 0 Obs.: Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dada pela razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente. Função Crescente e Função Decrescente Reta Crescente e Reta Decrescente O coeficiente angular da reta dirá se ela é crescente ou decrescente. De modo análogo, a taxa de variação da função afim dirá se a função afim é crescente ou decrescente. Assim, para f(x) = ax + b, teremos: Reta Crescente Função crescente a > 0. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - MEST/AGO/2014-1012
Coeficiente angular positivo. Ângulo agudo tangente de > 0. Reta Decrescente Função Decrescente a < 0. Coeficiente angular negativo. Ângulo obtuso tangente de < 0. Exemplos: a) A função y = 2x 1 é crescente, pois sua taxa de variação é igual a 2. A raiz da função é b) A função y = x + 1 é decrescente, pois sua taxa de variação é igual a 1. 1 2. O coeficiente linear dessa reta é 1. Coeficiente Linear da Reta É a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo dos y (eixo das ordenadas). Para a função afim y = ax + b, o coeficiente linear da reta é b. Por exemplo, para a reta y = 2x + 3 o coeficiente linear é 3. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - MEST/AGO/2014-1012
Gráfico no Sistema Cartesiano Ortogonal Vamos construir algumas retas. A melhor maneira de se construir o gráfico de uma função é criar uma tabela, onde atribuímos valores a x e vemos o correspondente valor da função. Exemplo: Construir o gráfico da função y = 3x 1. Dois pontos são suficientes para a construção da reta. Assim: x f(x) 0 3(0) 1 = 1 1 3 3( 1 3 ) 1 = 0 Aplicação: Problemas envolvendo funções afim Exemplo: A ferragem Bom Construtor aluga uma máquina de corte por R$ 80 de entrada e R$ 10 de diária. Seu concorrente, Ferramentas Padrão, oferece o mesmo modelo por R$ 20 fixos para taxas de administração e R$ 30 por dia. Faça uma análise de custos para o aluguel dessa máquina. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - MEST/AGO/2014-1012
Para aluguel de 1 ou 2 dias, a Ferramentas Padrão sai mais barato. Para 3 dias, é indiferente. A partir disso, fica mais em conta alugar no Bom Construtor. Estudo do sinal de uma função afim Dada a função afim y = ax + b: a) Se a > 0 a função é crescente; b) se a < 0 a função é decrescente. x x Se x é a raiz da função, então: Se x = x, então y = 0. Se x = x, então y = 0. Se x < x, então y < 0. Se x < x, então y > 0. Se x > x, então y > 0. Se x > x, então y < 0. Inequação produto e inequação quociente Usamos o estudo do sinal para resolver inequações produto e inequações quociente, onde os fatores são do primeiro grau. Exemplos: a) Resolver a inequação produto (x 2)(x 5) > 0. Solução: Primeiramente, calculamos a raiz de cada fator do primeiro grau. No caso, x 2 = 0 e x = 2; e para o segundo fator x 5 = 0 e x = 5. Depois, construímos uma tabela, onde fazemos o estudo do sinal das duas funções afim e, posteriormente, o produto. Nesta, colocamos as raízes em ordem crescente. 2 5 + + + + + 2 5 Como queremos um produto maior do que zero, a resposta será dada por: S = ], 2[ ]5, + [ x 1 b) Resolver a inequação 0. x Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - MEST/AGO/2014-1012
Estudamos o sinal do numerador e do denominador. 0 1 + + + + + 0 1 Como queremos que a divisão seja menor do que zero, nossa resposta será S = ]0, 1[. Exercícios 1. Dada a função do afim f(x) = 5x + 1, podemos afirmar que o valor de f( 1) será a) um número primo. b) um quadrado perfeito. c) um divisor de 3. d) um número negativo. e) um múltiplo de 3. 2. Considere a função afim f(x) = 3x + 2. O valor de x para que se tenha f(x) = 11 será a) 31 b) 12 c) 3 d) 3 e) 35 3. Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 4. Dada a função f(x) = ax + b e sabendo-se que f(3) = 5 e f( 2) = 5 calcule f(1/2). a) 1 b) 2 c) 5 d) 0 e) 1 5. A CETESB detectou uma certa companhia jogando ácido sulfúrico no Rio Tietê e aplicou-lhe uma multa no valor de R$ 125.000,00, além de R$ 1.000,00 por dia até que a companhia se ajustasse às normas legais que regulamentam os índices de poluição. A função matemática que expressa o total da multa a ser paga como função do número de dias em que a companhia continuou violando as normas será dada por a) f(x) = 125 000 1 000 x. b) f(x) = 125 000 + 1 000 x. c) f(x) = 125 000 x. d) f(x) = 125 000 x + 1000. e) f(x) = 125 000 x 1 000. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - MEST/AGO/2014-1012
6. Em algumas cidades, é possível alugar um carro por R$ 154,00 ao dia, mais um adicional de R$ 16,00 por quilômetro rodado. Marcelo deseja alugar um desses carros por um dia e dirigi-lo por 200 km. Quanto ele irá pagar? a) R$ 3.304,00. b) R$ 3.314,00. c) R$ 3.324,00. d) R$ 3.334,00. e) R$ 3.354,00. 7. Veja o gráfico abaixo representado: A função que corresponde a esse gráfico será descrita por a) y = 3x + 6 b) y = 6x + 3 c) y = 2x + 6 d) y = 3x + 6 e) y = 6x + 3 8. Para animar uma festa dos alunos da Terceira série do Ensino Médio de um tradicional colégio de São Paulo, uma banda de rock cobra uma taxa fixa de R$ 500,00, mais R$ 40,00 por hora. Existe uma banda de música pop que, para animar a festa, cobra uma taxa fixa de R$ 400,00, mais R$ 60,00 por hora. O tempo máximo de duração dessa festa, para que a contratação da banda de música pop não fique mais cara que a da banda de rock, em horas, deve ser de a) 4 horas. b) 4 horas e meia. c) 5 horas. d) 6 horas e) 7 horas. 9. Todos os anos, no mundo inteiro, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso, mas que graças a esforços diversos, vem caindo. O caminho para se atingir uma redução significativa dependerá de muitos e variados meios, recursos, políticas e programas, dirigidos não só às crianças, mas também a suas famílias e comunidades. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - MEST/AGO/2014-1012
Admitindo-se que o decrescimento seja linear e que o gráfico seja uma reta decrescente, a mortalidade infantil, no ano de 2015, em milhões, será igual a a) 5 b) 6,2 c) 6,5 d) 7,2 e) 8 10. (ENEM) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é GABARITO: 1) e; 2) c; 3) a; 4) d; 5) b; 6) e; 7) a; 8) c; 9) e; 10) a. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 8 - MEST/AGO/2014-1012