de Carvalho
Revisão Analise Vetorial e Sist. de Coord. Revisão básica álgebra vetorial e Sist. de Coordenadas (Páginas 1 a 22 no Livro texto) Objetivo: Introduzir notação que será usada neste e nos próximos cursos. Relembrar as ferramentas matemáticas básicas que serão usadas. Revisar Sistemas de coordenadas 1
Revisão de Análise Vetorial Grandezas Escalares Ex: massa (m), temperatura (T), tensão elétrica (V) densidade (ρ), etc. Grandezas Vetoriais Ex: Campos elétrico e magnético (E e H), velocidade (v), posição (rp) Notação (negrito): E, H, v, rp (ou E, H, v, rp) Versores: ax, ay, az, i, j, k (ou aˆ x, aˆ y, aˆ z) 2
Análise Vetorial Grandezas Vetoriais possuem intensidade, direção e sentido no espaço. Diferentes formas de escrever: aqui Ax é um número 3
Análise Vetorial Campos Escalares representam a distribuição espacial de grandezas escalares. e.g. T( r ) = T(x, y, z) r = (x, y, z) é o vetor posição 4
Análise Vetorial Campos Vetoriais representam a distribuição espacial de grandezas que possuem intensidade, direção e sentido. Campo Vetorial Vetor Para visualizar Campos Vetoriais no espaço, os vetores do campo são amostrados em pontos discretos no espaço, embora o campo exista em toda a região. 5
Análise Vetorial Um Campo Vetorial em um sistema de coordenadas tridimensional é representado por três Campos Escalares (multiplicando vetores unitários). Ex não é número, é função Ex( r ) = Ex(x, y, z) Ey( r ) = Ey(x, y, z) Ez( r ) = Ez(x, y, z) E.g. :! E = ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y Campo Vetorial
Análise Vetorial! E(z, t) = E x 0 cos [ω t kz + φ ] a x! H (z, t) = H y0 cos [ω t kz + φ ] a y
Análise Vetorial Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo: Simulação Numérica) 8
Análise Vetorial Campos Escalares e Vetoriais (Exemplo Simulação Numérica) 9
Análise Vetorial Dado o vetor A em coordenadas cartesianas, cuja magnitude ou valor absoluto é dada por: Como fica o vetor unitário na direção de A? R: 10
Análise Vetorial Exemplo: A magnitude do vetor posição (rp) do ponto P em coordenadas cartesianas é:! rp = 32 + 4 2+ 52! rp = 50 = 7, 07 O vetor unitário na direção rp é: 3a x + 4 a y + 5a y a rp = 7, 07 = (0,42426 ; 0,56569 ; 0.70711) 11
Aritmética Vetorial Vetor distância R (distância de P a Q) O vetor distância entre os pontos P e Q cujas posições são dadas pelos vetores posição r' e r é: R = RPQ = r r' Para os pontos da figura ao lado, qual é o vetor R?! R = (2 1)a x + ( 2 2)a y + (1 3)a z = a x 4 a y 2 a z 12
Aritmética Vetorial Vetor distância RPQ (distância de P a Q) R r r 13
Algebra Vetorial O produto escalar entre dois vetores A e B é igual ao produto das magnitudes dos dois vetores pelo cosseno do angulo θab entre A e B: B θab A Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas? O produto escalar entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é: 14
Algebra Vetorial O Produto escalar é útil para projetarmos um vetor em uma dada direção (encontrar componente do vetor nesta direção). E Ex = E ax θ Ex x Ex = E ax cos θ 15
Algebra Vetorial O produto vetorial entre dois vetores A e B é o vetor cuja magnitude é a área do paralelepípedo formado por A e B e cuja direção e sentido são dados pela regra da mão direita com os dedos apontando para A e girando em direção a B. ˆ Como eu calculo o produto escalar em coordenadas cartesianas? O produto vetorial entre A = Axax + Ayay + Azaz e B = Bxax + Byay + Bzaz é: 16
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. Para realizar integrais no Sistema Cartesiano, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: 17
Sistemas de Coordenadas Integral de linha Como exêmplo, vamos considerar E dado por: Sem nos preocuparmos (por enquanto) com o caminho de integração, como ficaria a integral de linha (circulação, se o caminho for fechado)?! E = ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y!! E dl = ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y dx a x + ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y dy a y + ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y dz a z Simplificando:!! E dl = (x 2 =0 + y 3 ) dx + cos ( 2π y ) dy 18
Sistemas de Coordenadas Fluxo Sem nos preocuparmos com a superfície de integração, como ficaria a integral de superfície em Cord. Cartesianas?!! E ds = ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y ( dy dz a x ) + ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y ( dx dz a y ) + ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y ( dx dy a z ) =0 Simplificando:!! E ds = 2 3 x + y ) dy dz + ( 19 cos (2π y) dx dz
Sistemas de Coordenadas Integral volumétrica Sem nos preocuparmos com a superfície de integração, como ficaria a integral de superfície em Cord. Cartesianas? (!! E E dv ) = ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y ( x 2 + y 3 ) a x + cos ( 2π y ) a y dx dy dz Simplificando: (!! E E dv = ) x 2 + y 3 2 + cos2 2π y dx dy dz ( ) ) ( 20
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas cilíndricas Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cilíndrico para o cartesiano: Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o cilíndrico: 21
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. Para realizar integrais no Sistema Cilíndrico, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: 22
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas esféricas Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema esférico para o cartesiano: Para transformar as coordenadas do ponto P do sistema cartesiano para o esférico: 23
Sistemas de Coordenadas Sistemas de coordenadas ortogonais são sistemas onde os eixos são perpendiculares entre si. Para realizar integrais no Sistema Esférico, O elemento de linha é: O elemento de superfície é: O elemento de volume é: 24
Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas Como fazemos para transformar vetores unitários entre os sistemas? 25
Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas Para transformar os vetores unitários do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos: Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos: Muitas vezes é nescessário transformar também o próprio campo vetorial. 26
Transformação de campos vetoriais entre sistemas de coordenadas Para transformar os vetores unitários do Sistema Cartesiano para o Cilíndrico usamos: Para transformar Campos Vetoriais do Sistema Cilíndrico para o Cartesiano usamos: 27
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Exemplo Dados o ponto P(-2, 6, 3) e o vetor A = yax+(x+z) ay, expresse P e A coordenadas cilíndricas. Determine A em P no sistema cilíndrico. 30
Exemplo Converta os pontos P(1, 3, 5), T(0, -4, 3) e S(-3,-4,-10) para coordenadas cilíndricas. 31