4. Iferêcia Estatística Estimadores Potuais 4.1. Itrodução Em lihas gerais, a Iferêcia Estatística objetiva estudar a população através de evidêcias forecidas pela amostra. É a amostra que cotém os elemetos que podem ser observados e é ode as quatidades de iteresse podem ser medidas. Para exemplificar, cosidere que é de iteresse estudar a proporção de aluos, em uma escola do esio médio, que pretedem fazer vestibular. Para tato, podemos selecioar uma amostra de aluos e pergutar a eles sobre suas iteções futuras de estudo. Podemos usar a proporção dos que pretedem prosseguir os estudos esse grupo como uma idicação para o valor da proporção a escola como um todo. Supoha que a escola teha 1000 aluos e selecioamos 0 para a amostra. Podemos escolher os 0 em uma mesma classe ou selecioar aleatoriamete as 0 pessoas de toda a escola ou, aida, escolher uma quatidade igual de meios e meias, idepedetemete da série cursada. Uma forma simples de escolher é associar um úmero a cada um dos 1000 aluos, colocar todos esses úmeros uma lista e sortear 0 úmeros. Os aluos correspodetes aos úmeros sorteados formariam a amostra. Supoha que você realize o sorteio dessa forma e um amigo seu, descohecedo sua iiciativa, repita o mesmo procedimeto. Você acha que as amostras sorteadas por você e por seu amigo serão as mesmas? Provavelmete ão. Se realizarmos várias vezes a amostragem descrita, provavelmete obteremos amostras compostas por aluos diferetes. Porém, apesar de termos amostras diferetes, será que podemos ter respostas próximas ou iguais as diversas amostras? A resposta é sim, coforme estudaremos mais adiate. Resumido, podemos dizer que devido à atureza aleatória geralmete evolvida o procedimeto amostral, ão podemos garatir que repetições de amostras produzam sempre resultados idêticos. Assim, ao coletarmos uma amostra, ão podemos prever atecipadamete seu resultado. Note que se a população iteira etra a amostra temos, a verdade, toda a iformação possível, visto que estamos realizado uma espécie de ceso, ou seja, ão há aleatoriedade evolvida. Por exemplo, se os 1000 aluos da escola mecioada acima forem etrevistados, teremos o valor exato da proporção dos que desejam cotiuar os estudos a uiversidade. Neste caso, toda a população faz parte da amostra e o resultado obtido irá ser sempre o mesmo, ão importado quatas vezes repetimos a coleta da amostra. É claro que estamos supodo que os aluos ão trocam de opiião etre as coletas e, portato, como todos os aluos sempre etram a amostra, a proporção obtida se matém. 4.. Iferêcia ou Idução Estatística Como visto, trata-se do processo de obter iformações sobre uma população com base em resultados observados em amostras aleatórias. 69
De modo geral, há uma população e deseja-se, por meio de uma amostra dessa população, cohecer o mais próximo possível alguma característica da população. Seja X uma variável da população que se deseja estudar. Seja θ (lê se: teta ) uma característica (medida) de X que se quer cohecer. O parâmetro populacioal θ é descohecido; para tato ecessitaremos costruir um estimador θˆ (lê se: teta chapéu ) que, mediate os elemetos da amostra, ofereça um valor mais aproximado de θ. A figura seguite ilustra o processo de Iferêcia Estatística. 4.3. Amostra aleatória Seja X uma variável populacioal que se deseja estudar. Uma amostra aleatória de X é um cojuto de variáveis aleatórias idepedetes (X 1, X,..., X ), tal que cada X i (i =1,,..., ) tem a mesma distribuição de probabilidade da variável X. Assim, se X ~ N( µ ; σ ), cada X i terá distribuição X i ~ N(µ ; σ ). 4.4. Estimador ou Estatística Dada uma amostra aleatória (X 1, X,..., X ), estimador ou estatística é qualquer variável aleatória fução dos elemetos amostrais. Esta defiição permite que qualquer combiação da amostra aleatória (X 1, X,..., X ) seja um estimador. Em particular, as medidas de posição e dispersão estudadas ateriormete são exemplos de estimadores. Porém, há os melhores estimadores, que satisfazem algumas codições estatísticas específicas: o melhor estimador é aquele que é ão viciado (ou ão viesado) e é cosistete. Tais propriedades ão serão estudadas este mometo, e assumiremos que os estimadores apresetados as satisfazem. 4.4.1. Estimador da média populacioal A média aritmética ou média amostral: x = i f.x i é um estimador da média populacioal µ. 70
4.4.. Estimador da variâcia populacioal A variâcia amostral: s fi.(xi x) = ou, aida, 1 s ( f.x ) 1 i = fi.x i 1 i é um estimador da variâcia populacioal σ. 4.4.3. Estimador do desvio padrão populacioal O desvio padrão amostral, que é a raiz quadrada da variâcia amostral s = s é um estimador do desvio padrão populacioal σ. 4.4.4. Estimador da proporção populacioal A freqüêcia relativa f ri, que passaremos a chamar de pˆ (lê se: p chapéu ) úmero de casos favoráveis a determiad o eveto a amostra pˆ = úmero total de casos da amostra é um estimador da proporção, ou probabilidade p do eveto a população. 4.5. Estimativa O valor umérico de um estimador é chamado estimativa de seu respectivo parâmetro. Por exemplo: uma pesquisa socioecoômica em uma amostra aleatória de 80 estudates uiversitários revelou que 60% eram mulheres. Podemos afirmar que a estimativa da proporção de mulheres estudates dessa população é de 60%. 4.6. Distribuição Amostral Como você pode observar, o parâmetro populacioal (por exemplo, a média µ ) é costate (embora ormalmete seja descohecido), seu valor ão se altera de amostra para amostra. Cotudo, o valor de uma amostra (por exemplo, a média x ) é depedete da amostra selecioada; cada amostra revelará um diferete valor de x. Como os valores do estimador (as estimativas) variam de amostra para amostra e a iferêcia estatística baseia-se o estimador, precisamos cohecer como se dá a distribuição de probabilidade do parâmetro. 71
Cohecida a distribuição de probabilidade do parâmetro, teremos codições de avaliar o grau de icerteza das iferêcias estatísticas realizadas a partir de amostras aleatórias selecioadas da população que se está estudado. Assim, a distribuição amostrai de um parâmetro θ é obtida, empiricamete, pela distribuição de freqüêcia dos valores de θˆ das amostras aleatórias de tamaho, selecioadas da população. A figura a seguir ilustra o processo empírico de costrução de um estimador θˆ. 4.7. Distribuição Amostral das Médias i f.x i Vimos que x = é um estimador da média populacioal µ. O estimador x é uma variável aleatória. Portato, buscamos cohecer sua distribuição de probabilidade. 4.7.1. Teorema 1 A média da distribuição amostral das médias, deotada por µ (x) é igual à média populacioal µ. Isto é: E (x) = µ (x) = µ. Logo, a média das médias amostrais é igual à média populacioal, tato para uma população fiita como ifiita. 4.7.. Teorema Se a população é ifiita, ou se a amostragem é com reposição, a variâcia da distribuição amostral das médias é: 7
σ σ (x) =. Ou seja, a variâcia da distribuição das médias é igual à variâcia da população dividida pelo tamaho da amostra (). Logo, o desvio padrão das médias é dado por: σ σ (x) =. O desvio padrão das médias σ (x) também é chamado de erro padrão de x. 4.7.3. Teorema 3 Se a população é fiita, ou se a amostragem é sem reposição, a variâcia da distribuição amostral das médias é: E o desvio padrão é: σ N σ (x) =. N 1 1 N σ( x) = σ.. ou N 1 σ N σ (x) =.. N 1 Ode é o tamaho da amostra e N é o tamaho da população. N Importate: o fator de correção fiita deve ser utilizado sempre N 1 que o tamaho da amostra é maior que 5% da população fiita, ou seja, quado > 0, 05. N 4.7.4. Teorema do Limite Cetral No que foi discutido até aqui, cosideramos a distribuição amostral da média X, calculada em uma amostra cujos elemetos são costituídos por variáveis aleatórias idepedetes e com distribuição Normal. Na prática, muitas vezes ão temos iformações a respeito da distribuição das variáveis costituites da amostra, o que os impede de utilizar o resultado apresetado. Felizmete, satisfeitas certas codições, pode ser mostrado que, para um tamaho de amostra suficietemete grade, a distribuição de probabilidade da média amostral pode ser aproximada por uma distribuição Normal. Este fato é um dos teoremas mais importates da área de Estatística e Probabilidade e é deomiado Teorema Cetral do Limite ou Teorema do Limite Cetral, cuja demostração requer técicas mais avaçadas e será omitida. Teorema Cetral do Limite 73
Supoha uma amostra aleatória simples de tamaho retirada de uma população com média µ e variâcia σ (ote que o modelo da variável aleatória ão é especificado). Represetado tal amostra por variáveis aleatórias idepedetes (X 1,..., X ) e, deotado sua média por X, temos que X µ Z σ com Z ~ N(0,1), que é uma variável Normal Padrão. Em palavras, o teorema garate que para grade a distribuição da média amostral, devidamete padroizada, se comporta segudo um modelo Normal com média 0 e variâcia 1. De imediato, podemos otar a importâcia do Teorema Cetral do Limite, pois em muitas situações práticas, em que o iteresse reside a média amostral, o teorema permite que utilizemos a distribuição Normal para estudar X probabilisticamete. Pelo teorema temos que quato maior o tamaho da amostra, melhor é a aproximação. Estudos, evolvedo simulações, mostram que em muitos casos valores de ao redor de 30 forecem aproximações bastate boas para as aplicações práticas. Em casos em que a verdadeira distribuição dos dados é simétrica, exceletes aproximações são obtidas, mesmo com valores de iferiores a 30. Para verificar o efeito do tamaho da amostra sobre a distribuição de X, vamos cosiderar diversos modelos de variáveis aleatórias e vários tamahos de amostra. Com o auxílio do computador, simulamos a coleta de amostras de um determiado tamaho do modelo escolhido. Repetido essa coleta um úmero grade de vezes e calculado as correspodetes médias amostrais, podemos obter um histograma dessas realizações que ficaria muito próximo da fução de probabilidade de X. Por exemplo, fixe um tamaho da amostra e repita a coleta 100 vezes. Como cada amostra forece uma média amostral, temos 100 médias amostrais observadas e com elas costruímos um histograma. É claro que, quato maior for a coleta e as repetições, mais aproximado será o histograma, da desidade de X. Teremos, etão, através dessa simulação, uma idéia de como X se comportaria uma amostra grade e poderemos perceber sua semelhaça com a distribuição Normal, coforme assegura o Teorema Cetral do Limite. Na figura seguite, apresetamos uma aplicação do procedimeto descrito acima. Procuramos escolher modelos bem diferetes de modo a ilustrar a rapidez, o setido do tamaho da amostra, e a qualidade da aproximação. Os modelos escolhidos foram um Uiforme Discreto, um Biomial, um Expoecial e um modelo cotíuo. 74
Pode-se observar que, mesmo partido de distribuição assimétricas, discretas ou cotíuas, à medida que o tamaho da amostra cresce, a distribuição de X vai se aproximado para a forma de um modelo Normal. A velocidade da covergêcia depede da distribuição iicial, sedo mais rápida as distribuições simétricas. Em resumo: idepedete de a população ter ou ão ter distribuição ormal com média µ e variâcia σ, a distribuição das médias amostrais será ormalmete distribuída para um valor de grade. 4.8. Distribuição Amostral das Proporções Seja p um parâmetro que expressa a probabilidade, ou proporção, de determiado eveto da população. O estimador de p é, como já vimos, pˆ. Como as variáveis possuem uma distribuição de Beroulli, cocluímos que a p(1 p) média e variâcia do estimador é: E(pˆ )=p e Var(pˆ) =. Para suficietemete grade (>30), pelo Teorema do Limite Cetral temos que: pˆ p p(1 p) N(0,1). 75
A figura a seguir apreseta vários histogramas obtidos a partir de uma simulação de uma Biomial com parâmetros e p, cosiderado algus valores para (um para cada colua) e para p (um para cada liha). Exemplo 1: as alturas de árvores de carvalho adultas são ormalmete distribuídas, com uma média de 90 pés e desvio padrão de 3,5 pés. Amostras aleatórias de tamaho 4 são tiradas de uma população e a média de cada amostra é determiada. Ecotre a média e o erro padrão da média da distribuição amostral. A média da distribuição amostral é igual à média da população e o erro padrão é igual ao desvio padrão da população dividido por. Etão, σ 3,5 µ ( x) = µ = 90 pés e σ ( x) = = = 1, 75 pés. 4 Iterpretação: com base o teorema do limite cetral, como a população é ormalmete distribuída, a distribuição amostral de médias das amostras também é ormalmete distribuída. Compare os gráficos da distribuição da população e da distribuição amostral: 76
Exemplo : O gráfico a seguir mostra o período que as pessoas passam dirigido todos os dias. Você selecioa aleatoriamete 50 motoristas com idade etre 15 e 19 aos. Qual é a probabilidade de que a média de tempo que eles passam dirigido todos os dias esteja etre 4,7 e 5,5 miutos? Supoha que σ =1,5 miutos. Como o tamaho da amostra é maior que 30, etão podemos usar o teorema do limite cetral para cocluir que a distribuição de médias das amostras é aproximadamete ormal com uma média e um desvio padrão de: σ 1,5 µ ( x) = µ = 5 miutos e σ ( x) = = 0, 113 miutos. 50 Escrevedo a probabilidade procurada e fazedo a padroização da variável temos: 77
4,7 5 5,5 5 P (4,7 X 5,5) P < < = < Z < = P( 1,41 < Z <,36). 1,5 1,5 50 50 Graficamete: Utilizado a tabela da Normal Padrão, temos que: P( 1,41<Z<,36) = 0,407 + 0,4909 = 0,9116. Iterpretação: a amostra de 50 motoristas de idade etre 15 e 19 aos, 91,16% terá uma média etre 4,7 e 5,5 miutos dirigido. Isso implica que, supodo que um valor de µ =5 miutos esteja correto, somete 8,84% da amostra estará fora do itervalo dado. 4.9. Exercícios 1) Os gastos médios com quarto e refeição por ao de faculdades de quatro aos são de $ 6803. Você selecioa aleatoriamete 9 faculdades de quatro aos. Qual é a probabilidade de que a média de quarto e refeição seja meor que $ 7088? Supoha que os gastos com quarto e refeição sejam ormalmete distribuídos, com desvio padrão de $ 115. ) Um auditor de baco declara que as cotas de cartões de crédito são ormalmete distribuídas com média de $ 870 e um desvio padrão de $ 900. a) Qual a probabilidade de que um titular de cartão de crédito aleatoriamete selecioado teha uma cota meor que $ 500? b) Você selecioa 5 titulares de cartões de crédito de forma aleatória. Qual é a probabilidade de que a média da cota deles seja meor que $ 500? c) Compare as probabilidades ateriores e iterprete a resposta os termos da declaração do auditor. 78
3) Uma população é costituída pelos úmeros,3,4,5. Cosiderar todas as amostras possíveis, de tamaho, que podem ser extraídas dessa população com reposição. Determiar: a) a média da população; b) o desvio padrão da população; c) a média da distribuição amostral das médias; d) o desvio padrão da distribuição amostral das médias; σ e) verifique que µ ( x) = µ e σ (x) =. 4) Coleta se uma amostra de 10 observações idepedetes de uma distribuição ormal N(,) (ou seja, com média e variâcia ). Determie a probabilidade de a média amostral: a) ser iferior a 1; b) ser superior a,5; c) estar etre 0 e. 5) Supõe se que o cosumo mesal de água por residêcia em certo bairro paulistao tem distribuição Normal com média 10 e desvio padrão (em m 3 ). Para uma amostra de 5 dessas residêcias, qual é a probabilidade de a média amostral ão se afastar da verdadeira média por mais de 1 m 3? 6) Em uma amostra de 800 postos de gasolia, o preço médio da gasolia comum a bomba era $,876 por galão e o desvio médio era de $ 0,009 por galão. Uma amostra aleatória de tamaho 55 é extraída da população. a) É ecessário utilizar o fator de correção fiita, ou seja, trabalhar com σ N σ (x) =.? N 1 b) Qual é a probabilidade de que o preço médio por galão seja meor que $,871? Respostas 1) 0,7764 ) a) 0,3409 b) 0,0197 c) Embora haja uma chace de 34% de que um idivíduo teha uma cota meor que $500, há somete uma chace de % de que a média de uma amostra de 5 pessoas teha uma cota meor que $500, o que é um eveto icomum. Etão, é possível que a amostra seja icomum ou é possível que a declaração do auditor de que a média é $870 esteja icorreta. 3) a) µ =3,5 b) σ =1,1180 c) µ (x) =3,5 d) σ ( x) = 0, 7906 e) µ ( x) = µ pois 3,5 = 3,5 e σ σ (x) = pois 1,1180 0,7906 =. 4) a) 0,015 b) 0,1315 c) 0,5 5) 0,9876 6) a) Sim, pois /N = 0,06 > 0,05. b) P(Z< 4,6) = 0 79
5. Itervalos de Cofiaça 5.1. Itrodução Neste capítulo, começaremos a estudar efetivamete a Iferêcia Estatística. Até agora, estudamos algus estimadores potuais. O problema de uma estimativa potual é que ela raramete se iguala ao parâmetro exato (média, desvio padrão ou proporção) de uma população. Daí surge a ecessidade de fazer estimativas mais sigificativas, especificado um itervalo de valores em uma liha de úmero jutamete com a afirmação de quão cofiate você está de que seu itervalo cotém o parâmetro populacioal. 5.. Estimativa por itervalo, o ível de cofiaça e de sigificâcia Uma estimativa por itervalo para um parâmetro populacioal é um itervalo determiado por dois úmeros, obtidos a partir de elemetos amostrais, que se espera que coteham o valor do parâmetro (populacioal) com um dado ível de cofiaça γ (lê se: gama ). Geralmete, trabalhamos com 90% γ 99%. Valores meores que 90% para o ível de cofiaça ão são utilizados, pois possuem pouca precisão, ou seja, a cofiabilidade é muito pequea. Valores acima de 99%, embora cosistam em uma cofiaça elevada, acarretam problemas de cálculo: ou obtemos itervalos muito grades ou ecessitamos de amostras muito grades, o que pode iviabilizar a pesquisa, a coleta de dados, elevado o seu custo. Em algumas situações, pode ser dado, ao ivés do ível de cofiaça, o ível de sigificâcia α. A relação etre eles é que γ = 1 α. É importate atetar para o risco do erro, quado se costrói um itervalo de cofiaça. Se o ível de cofiaça é de 95%, o risco do erro da iferêcia estatística será de 5%. Assim: se costruíssemos 100 itervalos, baseados em 100 amostras de tamahos iguais, poderíamos esperar que 95 desses itervalos (95% deles) iriam coter o parâmetro populacioal sob estudo, equato cico itervalos (5% deles) ão iriam coter o parâmetro. Para exemplificar, vamos supor θ um parâmetro populacioal. Vamos admitir a seleção de 10 amostras de mesmo tamaho e um ível de cofiaça de 90%. A figura seguite mostra os itervalos obtidos. Os segmetos horizotais represetam os 10 itervalos, e a reta vertical represeta a localização do parâmetro θ. Nota-se que o parâmetro é fixo e que a localização do itervalo varia de amostra para amostra. Por coseguite, podemos falar em termos da "probabilidade de o itervalo icluir θ ", e ão em termos da "probabilidade de θ pertecer ao itervalo", já que θ é fixo. O itervalo é aleatório. Na prática, somete um itervalo é costruído por meio da amostra aleatória obtida. Como utilizamos uma cofiaça igual a 90%, perceba que apeas 9 dos 10 itervalos costruídos cotém o verdadeiro parâmetro θ : 80
Dessa forma, podemos fazer uma iterpretação geérica de um itervalo de cofiaça: se obtivermos várias amostras de mesmo tamaho e para cada uma calcularmos os correspodetes itervalos de cofiaça com coeficiete (ou ível) de cofiaça γ, esperamos que a proporção de itervalos que coteham o valor do parâmetro θ seja igual a γ. 5.3. Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal quado a Variâcia é Cohecida Neste primeiro tópico, mostraremos a lógica para se obter um itervalo de cofiaça. Nos casos seguites, a técica é a mesma e, por isso, seremos mais breves as explicações teóricas. Como vimos ateriormete, a distribuição de probabilidade da média amostral é σ X ~ N µ ; para populações ifiitas e σ X ~ N µ ; N N 1 para populações fiitas. Assim, para populações ifiitas, a variável ormal padrão de X será deomiada Z observado : X µ Z obs =. σ Para populações fiitas, deve se acrescetar o fator de correção populacioal ao cálculo de Z observado : 81
Z obs = X µ σ N N 1 Lembre se: o fator de correção deve ser usado sempre que tivermos > 0, 05 N. Fixado um ível de cofiaça γ, devemos utilizar a tabela da Normal Padrão para determiar os valores críticos da variável Z, ou seja, z crítico, coforme mostra a figura: γ γ α α z c 0 z c O itervalo de cofiaça para a média populacioal é tal que: σ σ P x z c. µ x + z c. = γ. De forma mais simples, podemos escrever que o itervalo de cofiaça para a média populacioal, quado a variâcia for cohecida é: IC = x ± z c. σ σ ode o termo z c. é chamado de erro (ou erro máximo da estimativa ou tolerâcia de erro). Caso se utilize o fator de correção, temos: IC = x ± z c. σ N N 1 σ N ode o termo z c. é chamado de erro (ou erro máximo da N 1 estimativa ou tolerâcia de erro). 8
Exemplo 1: a duração da vida de uma peça de equipameto é tal que σ = 5 horas. Foram amostradas aleatoriamete 100 dessas peças, obtedo se média de 500 horas. Desejamos costruir um itervalo de cofiaça para a verdadeira duração média da peça com um ível de 95% de cofiaça. Iicialmete, vamos obter o valor crítico da distribuição utilizado a tabela da Normal Padrão: queremos ecotrar os valores z c e z c de modo que a probabilidade dos valores compreedidos etre z c e z c seja igual a 95%, ou seja, ao ível de cofiaça. Como a curva é simétrica, temos que a área compreedida etre 0 e z c vale 95% / = 47,5%. Logo, devemos buscar o valor que mais se aproxima de 0,475 a tabela: Assim, percebemos que, coicidetemete, há o valor 0,475 exato, correspodedo a um valor crítico z c =1,96. Agora, basta aplicarmos a fórmula: σ 5 IC = x ± zc. = 500 ± 1,96. = 500 ± 0,98. 100 Portato, os limites do osso itervalo serão: 500 + 0,98 = 500,98 e 500 0,98 = 499,0. Ou seja, P (499,0 µ 500,98) = 0,95. Ou, aida, de maeira mais simples: IC = [499,0 ; 500,98]. 83
Iterpretação: o itervalo [499,0 ; 500,98] cotém a verdadeira duração média da peça com 95% de cofiaça. Isso sigifica que, se forem costruídos itervalos dessa mesma maeira, 95% desses itervalos devem coter µ. Exemplo : vamos cosiderar o exemplo aterior, mas, agora, supoha que tehamos uma população de 1000 peças. Nesse caso, o itervalo para a média será: σ N 5 1000 100 IC = x ± z c. = 500 ± 1,96. = 500 ± 0,93. N 1 100 1000 1 Logo, o itervalo procurado é: IC = [499,07 ; 500,93]. Exemplo 3: supoha que os comprimetos de jacarés adultos de uma certa raça siga o modelo Normal com média µ descohecida e variâcia igual a 0,01 m. Uma amostra de dez aimais foi sorteada e foreceu média 1,69 m. Obteha uma estimativa para o parâmetro µ com uma cofiaça de 98%. Iicialmete, devemos observar que foi dado que σ =0,01 m. Logo, σ =0,1 m. Utilizado a tabela da ormal para ecotrar z c temos: 0,49 0,49 98% z c 0 z c 84
Ou seja, z c =,33. Aplicado a fórmula, temos: σ 0,1 IC = x ± z c. = 1,69 ±,33. = 1,69 ± 0,07 10 Calculado os limites iferior e superior do IC, obtemos: 1,69 0,07 = 1,6 e 1,69 + 0,07 = 1,76. Assim: IC = [1,6 ; 1,76]. Alterativamete, poderíamos escrever: P (1,6 µ 1,76) = 0, 98. Exemplo 4: deseja se estimar o úmero médio de frases em aúcios de revistas. De estudos ateriores, saber se que a distribuição é Normal com desvio padrão igual a 5 frases. Quatos aúcios de revista devem ser icluídos a amostra se você quer ter 95% de cofiaça e ão errar mais do que 1 frase da média populacioal? σ Vimos que o erro é dado por E = z c.. Para uma cofiaça de 95%, já vimos que, a partir da tabela da Normal, z c =1,96. Substituido os valores temos: 5 1,96.5 1,96.5 1= 1,96. = = = 96,04. 1 1 Quado ecessário, o resultado deve ser arredodado para o primeiro valor iteiro maior que o valor de calculado. 85
Neste caso, =97, ou seja, devemos icluir pelo meos 97 aúcios de revista a amostra. 5.4. Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal quado a Variâcia é Descohecida Quado temos pequeas amostras e ão cohecemos o valor do desvio padrão populacioal, costruímos itervalos de cofiaça para a média populacioal utilizado a distribuição t de Studet para ecotrar os valores críticos (t c ) com ( 1) graus de liberdade. Populações ifiitas: s IC = x ± t c.. Populações fiitas: s N IC = x ± t c.. N 1 Note que, agora, trabalhamos com o desvio padrão amostral s, visto que o populacioal é descohecido. 5.4.1. A distribuição t de Studet Possui as seguites características: 1) A distribuição t tem a forma de sio e é simétrica em relação à média. ) A distribuição t é uma família de curvas, cada uma determiada por um parâmetro chamado de grau de liberdade. Os graus de liberdade são o úmero de escolhas livres deixadas depois que uma amostra estatística tal como x é calculada. Quado usamos a distribuição t para estimar a média da população, os graus de liberdade são iguais ao tamaho da amostra meos um: g.l. = 1. 3) A área total sob a curva é 1 ou 100%. 4) A média, moda e mediaa da distribuição t são iguais a zero. 5) Coforme os graus de liberdade aumetam, a distribuição t se aproxima da distribuição Normal. Para mais de 30 graus de liberdade, a distribuição t está tão próxima da Normal, que podemos trabalhar diretamete com a tabela da Normal Padrão. 86
5.4.. Nota histórica William S. Gosset desevolveu a distribuição t equato trabalhava a idústria de cervejas Guiess, em Dubli, a Irlada. Gosset publicou suas descobertas usado o pseudôimo de Studet. A distribuição t às vezes é chamada de distribuição t de Studet. 5.4.. A tabela da distribuição t de Studet Na tabela, além dos graus de liberdade, você deverá procurar a colua correspodete a p, coforme ilustra a figura seguite: p 1 p p t c 0 t c A soma das duas caudas da curva é igual ao valor de p. Ou seja, o ível de sigificâcia γ correspode ao valor 1 p. 87
Exemplo 5: a amostra 9, 8, 1, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população Normal. Costrua um itervalo de cofiaça para a média ao ível de 95%. 88
Resolução Iicialmete, utilizado as fórmulas da Estatística Descritiva, devemos calcular a média e o desvio padrão dessa amostra. x 87 i (xi x) x = = = 8,7 e s = =, 00. 10 1 Os graus de liberdade da distribuição são: g.l.= 1 = 10 1 = 9. Para usarmos a tabela, devemos observar a colua correspodete a p=5% (pois 100% 95% = 5%): Logo, o valor crítico procurado é t c =,6. Substituido a fórmula temos: s,00 IC = x ± t c. = 8,7 ±,6. = 8,7 ± 1,43. 10 Assim, calculado o limite iferior e superior do itervalo, obtemos: IC = [7,7 ; 10,13], que é o itervalo que cotém a verdadeira média (populacioal) com 95% de cofiaça. Exemplo 6: você selecioa aleatoriamete 0 istituições que realizam fiaciameto para compra da casa própria e determia o atual ídice de juros do fiaciameto em cada uma delas. A média da amostra dos juros é de 6,%, com desvio padrão de 0,4%. Ecotre o itervalo de cofiaça de 99% para a média populacioal do ídice de juros do fiaciameto. Assuma que os ídices de juros são aproximadamete ormalmete distribuídos. 89
Resolução Iicialmete, podemos verificar, a partir do euciado, que x =6, e s=0,4. Sedo =0 temos g.l.=0 1=19. Observado a tabela t para g.l.=19 e p=1%, ecotramos t c =,861. Aplicado a fórmula: s 0,4 IC = x ± t c. = 6, ±,861. = 6, ± 0,7. 0 Logo: IC = [5,95 ; 6,49]. Iterpretação: com 99% de cofiaça, podemos dizer que a média populacioal do ídice de juros do fiaciameto está etre 5,95% e 6,49%. 5.5. Itervalo de Cofiaça para a Proporção Populacioal Agora, queremos costruir um itervalo de cofiaça para a proporção populacioal p. Lembrado que a estimativa potual de p é dada pela proporção de sucessos em uma amostra e é deotada por úmero de sucessos em uma amostra pˆ =. E, aida, qˆ = 1 pˆ, que é a tamaho total da amostra proporção amostral de fracassos. Ates de costruir um itervalo para a proporção, devemos verificar se a distribuição de amostragem de pˆ pode ser aproximada pela distribuição Normal. Isso ocorrerá se forem satisfeitas as codições: I..pˆ 5 e II..qˆ 5. Se essas duas codições ocorrerem, podemos costruir o itervalo de cofiaça para a proporção, que utilizará, para a determiação do valor crítico, a tabela da Normal: Populações ifiitas: pˆ(1 pˆ) IC = pˆ ± zc.. Populações fiitas: pˆ(1 pˆ) N IC = pˆ ± zc... N 1 Lembre se: uma população é cosiderada fiita quado > 0, 05. N Importate: quado ão possuímos uma estimativa prévia do valor de pˆ, utilizamos uma abordagem coservativa para o cálculo do itervalo de cofiaça, baseada o fato de que a expressão p(1 p) possui valor máximo 90
igual a ¼ quado 0 p 1. Você pode verificar isso costruido o gráfico da fução p(1 p) e achado o seu valor máximo o itervalo [0;1]. Neste caso, a margem de erro é: 1 E = zc.. 4 Exemplo 7: pretede se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo medicameto em doetes cotamiados com cercaria, que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimeto cosistiu em aplicar o medicameto em 00 pacietes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção da população em geral para um ível de cofiaça de 95%? Iicialmete, vamos calcular a proporção amostral: 160 pˆ = = 0,8. 00 Utilizado a tabela da Normal, obtemos o valor crítico para 95% de cofiaça: z c =1,96. Aplicado a fórmula: pˆ(1 pˆ) 0,8.(1 0,8) IC = pˆ ± zc. = 0,8 ± 1,96. = 0,8 ± 0,055. 00 Logo, o itervalo de cofiaça é: IC = [0,745 ; 0,855]. Exemplo 8: o gráfico a seguir foi feito com base em uma pesquisa etre 900 orte americaos adultos. Costrua um itervalo de 99% de cofiaça para a população de adultos que acham que os adolescetes são os motoristas mais perigosos. A partir do gráfico temos que pˆ = 0, 63. Na tabela da Normal, devemos buscar uma probabilidade compreedida etre 0 e z c igual a 0,495. Perceba que esse valor ão existe a tabela, porém, ele é o poto médio dos valores 0,4949 correspodedo a z c =,57 e 0,4951 correspodedo a z c =,58. Pelo fato de essa probabilidade ser o poto médio das probabilidades ecotradas, trabalharemos, para uma melhor aproximação, com o poto médio dos valores,57 +,58 críticos d tabela, ou seja: z c = =, 575. Etão: 91
pˆ(1 pˆ) 0,63.(1 0,63) IC = pˆ ± zc. = 0,63 ±,575. = 0,63 ± 0,041. 900 O itervalo de cofiaça é: IC=[0,589 ; 0,671]. Iterpretação: com 99% de cofiaça, a proporção de adultos que acham que os adolescetes são os motoristas mais perigosos está etre 58,9% e 67,1%. Exemplo 9: você está aalisado uma campaha política e quer estimar, com 95% de cofiaça, a proporção dos eleitores que irão votar em um determiado cadidato. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 3% da população real. Ecotre o úmero míimo da amostra ecessária se: a) ão há ehuma estimativa prévia; b) há uma estimativa prévia de pˆ = 0, 31; c) compare os resultados obtidos. Resolução a) Não havedo ehuma estimativa de pˆ, trabalharemos com a abordagem mais coservadora: E = z c. 1 4 0,03 = 1,96. 1 4 1 4 = 0,03 1,96 1 4 0,03 = 1,96 1,96 4 = 0,03 1067,1 Logo, temos que o tamaho míimo da amostra é de 1068 eleitores. b) Como temos a estimativa pˆ = 0, 31, fazemos: E = z. c pˆ(1 pˆ) 913,0. 0,03 = 1,96 0,31.(1 0,31) 0,139 = 0,03 1,96 0,139 0,03 = 1,96 Portato, o tamaho míimo da amostra, este caso, é de 914 eleitores. c) Sem ehuma estimativa prévia, o tamaho míimo da amostra é de 1068 eleitores. Havedo a estimativa prévia, o tamaho da amostra ecessária passa a ser de 914 eleitores. Isso ocorre por que a falta de uma estimativa prévia, maximizamos o valor de p(1 p), fazedo com que o tamaho da amostra aumete. 5.6. Itervalo de Cofiaça para a Variâcia e Desvio Padrão Para costruirmos itervalos para a variâcia e desvio padrão, devemos lembrar que a estimativa potual para σ é s e que a estimativa potual para σ é s. Além disso, devemos trabalhar com uma outra distribuição que ão a Normal em a t-studet: usamos a qui-quadrado. 9
5.6.1. A distribuição qui-quadrado A distribuição qui-quadrado (represeta-se por χ ) é uma família de curvas, cada uma determiada pelos graus de liberdade. Para formar um itervalo de cofiaça para σ, usa-se a distribuição χ com graus de liberdade iguais a um a meos do que o tamaho da amostra, ou seja, g.l. = 1. Além disso, a área abaixo da curva da distribuição χ é igual a 1 e as distribuições qui-quadrado são assimétricas positivas. A distribuição quiquadrado é utilizada quado estamos aalisado a variâcia de uma amostra quado essa amostra é proveiete de uma população ormalmete distribuída. 5.6.. A tabela da distribuição qui-quadrado Para a costrução de itervalos de cofiaça para a variâcia e o desvio padrão, devemos obter dois valores a tabela da qui-quadrado, que chamaremos de χ e χ. Note que a tabela os forece a área à direita do valor observado. if sup 93
Exemplo 10: vamos ecotrar os valores críticos χ if e χ sup para um itervalo de cofiaça de 90%, quado o tamaho da amostra for igual a 0. Resolução Os graus de liberdade são: g.l. = 1 = 0 1 = 19. Para um itervalo de 90%, teremos uma área de 5% à esquerda de 5% à direita de χ sup χ if e de. Mas, para utilizarmos a tabela, devemos pesar em 94
valores à direita e, portato, temos de 95% à direita de χ sup, coforme ilustra a figura: χ if e 5% à direita de Assim, os valores procurados são: χ if =10,117 e 5.6.3. Itervalo de cofiaça para a Variâcia IC ( 1).s χ sup ( 1).s ; χ = if χ sup =30,144. 5.6.4. Itervalo de cofiaça para o Desvio Padrão IC ( 1).s χ ( 1).s χ = ; sup if 95
Exemplo 11: um farmacêutico selecioa aleatoriamete 30 amostras de um atialérgico e as pesa. O desvio padrão da amostra é 1,0 miligramas. Supodo que os pesos são ormalmete distribuídos, costrua um itervalo de cofiaça de 99% para a variâcia e o desvio padrão da população. Resolução Devemos cosiderar uma área à direita de direita de χ if igual a 0,995 e uma área à χ igual a 0,005. Para g.l. = 1 = 30 1 = 9, os valores críticos sup obtidos a tabela são: O itervalo para a variâcia é: χ if = 13,11 e χ sup = 5,336. (30 1).(1,0) (30 1).(1,0) IC = ; = [ 0,80;3,18 ]. 5,336 13,11 O itervalo para o desvio padrão é: (30 1).(1,0) (30 1).(1,0) IC = ; = [ 0,89;1,78 ]. 5,336 13,11 Assim, podemos dizer com 99% de cofiaça que a variâcia populacioal está etre 0,80 e 3,18 miligramas, equato que o desvio padrão fica etre 0,89 e 1,78 miligramas. 5.7. Exercícios 1) Em um teste com um tipo de fusível, 9 peças foram aalisadas. O tempo médio até queimar dessa amostra foi 19, miutos, com desvio-padrão populacioal cohecido,4 miutos. Sabe-se que a população é Normal ou Gaussiaa. Calcule o itervalo de cofiaça de 95% para a verdadeira média da população. ) Os pulsos em repouso de 90 pessoas sadias foram tomados, e uma média de 7,9 batidas por miuto (bpm) e uma variâcia de 11,0 bpm foram obtidos. Costrua um itervalo de cofiaça de 96% para a pulsação média em repouso de pessoas sadias com base esses dados. 3) Os QIs de 181 meios com idades etre 6-7 aos de Curitiba foram medidos. O QI médio foi 108,08, e o desvio padrão foi 14,38. a) Calcule um itervalo de cofiaça de 95% para o QI médio populacioal dos meios etre 6-7 aos de idade em Curitiba usado estes dados. b) Iterprete o itervalo de cofiaça com palavras. 4) Selecioa-se uma amostra de 00 pixels da região A de uma imagem, chegado-se a uma média e variâcia amostrais de 187,3 e 53,1 respectivamete. Costrua o itervalo de cofiaça de 97% para a média populacioal. 96
5) O cosumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros depededo do tipo de veículo. Supoha que para um certo automóvel A, o desvio padrão do cosumo seja km/l, equato que para um automóvel B, o desvio padrão é de 3 km/l. A partir de uma amostra de 40 veículos do tipo A e 36 veículos do tipo B, verificamos que o cosumo médio de cada veículo foi de 9,3 km/l para o tipo A e de 11, km/l para o B. Ao ível de 95% pode-se afirmar que o veículo B é mais ecoômico? 6) Num grupo de pacietes, o ível de colesterol é uma variável aleatória com distribuição Normal com variâcia 64 (mg/ml). Para uma amostra de 46 idivíduos que foreceu ível médio de colesterol de 10 mg/ml, costrua o itervalo de cofiaça de 88%. 7) Da experiêcia passada, sabe-se que o desvio padrão da altura de criaças da 5ª série é 5 cm. Colhedo uma amostra de 36 dessas criaças, observou-se a média de 150cm. Qual o itervalo de cofiaça de 95% para a média populacioal? Iterprete. 8) Um pesquisador está estudado a resistêcia de um determiado material sob determiadas codições. Ele sabe que essa variável é ormalmete distribuída com desvio padrão de uidades. Utilizado os valores 4,9 ; 7,0 ; 8,1 ; 4,5 ; 5,6 ; 6,8 ; 7, ; 5,7 ; 6, uidades, obtidos de uma amostra de tamaho 9, determie o itervalo de cofiaça para a resistêcia média com uma cofiaça de 90%. 9) Em uma empresa de vedas, as comissões de uma amostra de 130 vededores são apresetadas a tabela a seguir: R$ f i 300 500 10 500 700 30 700 900 50 900 1100 40 Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para o verdadeiro salário médio dos vededores dessa empresa. 10) Foram retiradas 5 peças da produção diária de uma máquia, ecotrado se para uma determiada medida uma média de 5, mm. Sabedo que as medidas tem distribuição Normal com desvio padrão populacioal de 1, mm, costruir itervalos de cofiaça para a média aos íveis de 90%, 95% e 99%. 11) A partir de uma amostra de 10 idivíduos, mediu se o tempo que demoravam para a execução de certa tarefa. Essa amostra os revelou que o tempo médio gasto foi de 110 segudos com desvio padrão de 10 segudos. Costrua um itervalo com 95% de cofiaça para a média populacioal. Qual hipótese devemos admitir quato à distribuição de probabilidade da população? 1) Em quatro leituras experimetais de um comercial de 30 segudos, um locutor levou em média 9, segudos com uma variâcia de 5,76 segudos ao quadrado. Costrua um itervalo de cofiaça para o tempo médio com 95% de cofiabilidade. 97
13) Determie o tamaho míimo da amostra ecessário para se estar 95% cofiate de que a média amostral esteja a uma uidade da média populacioal dado que o desvio padrão populacioal é 4,8. Assuma que a população é ormalmete distribuída. 14) Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra os que 5% deles são casas de aluguel. Costrua um itervalo de cofiaça para a proporção de casas de aluguem com um ível de cofiaça de 98%. 15) Em 50 laces de uma moeda, foram obtidas 30 caras. Com base em um itervalo de cofiaça de 96%, pode se dizer que a moeda é hoesta? 16) Para verificar se um dado era viciado, jogou se o mesmo 10 vezes, obtedo se 5 vezes o úmero cico. Determiar um itervalo de cofiaça de 99% para a proporção de úmeros cico. Pode se dizer que o dado é viciado? 17) Supoha que as alturas dos aluos de uma faculdade teham distribuição ormal com desvio padrão de 15 cm. Foi retirada uma amostra aleatória de 100 aluos, obtedo se uma média de 175 cm. Costruir, ao ível de 95%, o itervalo para a verdadeira altura média dos aluos. 18) Uma máquia corta plástico em folhas que tem 50 pés de comprimeto (600 polegadas). Assuma que a população dos comprimetos é ormalmete distribuída. a) A empresa quer estimar o comprimeto médio que a máquia está cortado detro de 0,15 polegada. Determie o tamaho míimo da amostra ecessário para costruir um itervalo de cofiaça de 95% para a média populacioal. Assuma o desvio padrão da população como sedo 0,5 polegada. b) Repita o item aterior usado uma tolerâcia de erro de 0,065 polegada. c) Compare os ites a e b. 19) Uma amostra aleatória de 00 habitates de uma cidade mostrou que 180 desejavam água fluorada. Ecotrar os limites de cofiaça de 90% para a proporção da população favorável à fluoração. 0) Uma amostra de 5 observações de uma Normal (µ,16) foi coletada e foreceu uma média amostral de 8. Costrua um itervalo com cofiaça 90% e 95% para a média populacioal. Comete as difereças ecotradas. 1) Costrua um itervalo de cofiaça para a média, ao ível de 95%, admitido a seguite distribuição amostral, oriuda de uma população ormalmete distribuída: Classes 0 5 5 10 10 15 15 0 f i 3 5 ) Supoha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de certa peça e que a população seja ifiita. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10kg. Logo, admitido um ível de cofiaça de 95% e um erro amostral de 1,5kg, determie o tamaho da amostra ecessária. 98
3) Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Pata uma cofiaça de 90%, determie a amplitude do itervalo de cofiaça para a média populacioal os casos em que o tamaho da amostra é 30, 50 ou 100. Comete as difereças. 4) Supoha que uma amostra aleatória de 10 observações apote s =,5. Quais os limites de cofiaça, a 80%, para a verdadeira variâcia? Qual foi a hipótese admitida para a distribuição de probabilidade da população? 5) Supodo uma população Normal, obteve-se a seguite amostra: 44,9 44,1 43 4,9 43, 44,5. Costrua um itervalo de cofiaça para a variâcia ao ível de 90%. 6) O tempo de espera, em miutos, a fila de um baco segue uma distribuição Normal. Uma amostra de pessoas foi obtida aleatoriamete e verificou-se que o desvio padrão dessa amostra foi de 3,6 miutos. Costrua um itervalo de cofiaça para a variâcia e para o desvio padrão ao ível de 98% de cofiaça. 7) Um fabricate de máquias para cortar grama está tetado determiar o desvio padrão da vida de um de seus modelos de máquias. Para fazê-lo, ele selecioa aleatoriamete 1 máquias que foram vedidas aos atrás e descobre que o desvio padrão da amostra é 3,5 aos. Costrua um itervalo de cofiaça para o desvio padrão ao ível de 99% de cofiaça. Respostas 1) IC = [17,6 ; 0,8] ) IC = [7, ; 73,6] 3) a) IC = [105,99 ; 110,17] b) Com uma cofiaça de 95%, a verdadeira média de QIs populacioal de meios etre 6 e 7 aos de idade que residem em Curitiba ecotra-se o itervalo [105,99 ; 110,17], ou aida, se fossem retiradas 100 amostras de meios e calculadas as médias de seus QIs, em 95 delas a média estaria detro do itervalo apresetado. 4) IC = [186, ; 188,4] 5) Como IC A = [8,7 ; 9,9] e IC B = [10, ; 1,], ou seja, ão há uma itersecção etre os dois itervalos; ao ível de 95% podemos afirmar que o automóvel B é mais ecoômico que o A (empate técico). 6) IC = [118, ; 11,8] 7) IC = [148,4 ; 151,6]. Esse IC idica que com 95% de cofiaça a verdadeira média das alturas de criaças de 5ª série está compreedida etre 148,4 cm e 151,6 cm. De outra maeira, podemos dizer que se fossem retiradas 100 amostras de tamaho 36 dessas criaças e calculadas as respectivas médias, em 95 amostras a média estaria detro do itervalo [148,4 ; 151,6]. 8) IC = [5,1 ; 7,3] 9) x = 784, 6 e s = 184,04 IC = [75,98 ; 816,6] 10) Para 90%: IC = [4,81 ; 5,59]. Para 95%: IC = [4,73 ; 5,67]. Para 99%: IC = [4,58 ; 5,8]. 11) IC=[10,84 ; 117,16]. Deve se admitir a hipótese de que a distribuição de probabilidade da população seja Normal. 1) IC=[6,38 ; 3,0]. 13) 89 14) IC=[0% ; 30%] 99
15) IC=[0,46 ; 0,74]. Logo, ao ível de 96%, pode se dizer que a moeda é hoesta, pois o IC cotém a proporção de 50% de caras. 16) Não se pode dizer, ao ível de 99%, que o dado seja viciado, pois o itervalo de cofiaça para a proporção de úmeros cico cotém p=1/6=0,17, seco IC=[0,11 ; 0,31]. 17) IC=[17,06cm ; 177,94cm]. 18) a) 16 folhas. b) 6 folhas. c) E=0,065 requer um tamaho de amostra maior. Coforme o tamaho do erro descresce, uma amostra maior tem que ser retirada para obter iformação suficiete a partir da população para assegurar a correção desejada. 19) IC=[0,56; 0,65]. 0) Para 90%: IC=[6,688 ; 9,31]. Para 95%: IC=[6,43 ; 9,568]. Quato maior for a cofiaça, maior será o tamaho do itervalo. 1) IC=[7,6 ; 13,58]. ) 178 peças. 3) Com =30, a amplitude é 5,39; para =50 é 4,17 e para =100 a amplitude é,95; quato maior for o, meor será a amplitude. 4) IC=[1,38 ; 4,86]. Admite-se que a distribuição de probabilidade da população seja Normal. 5) IC=[0,3 ; 3,13]. 6) Variâcia: IC=[7,0 ; 30,6]. Desvio padrão: IC=[,6 ; 5,5]. 7) IC=[,08 ; 6,68]. 100