Probabilidades e Estatística

Departamento de Matemática Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LEGM, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMec, MEQ o semestre 11/1 Exame de Época Especial 19/7/1 9: Duração: 3 horas Justifique convenientemente todas as respostas! Grupo I 5 valores 1. De uma caixa, contendo bolas azuis e 3 bolas vermelhas, retira-se ao acaso uma bola e coloca-se numa segunda caixa que já contém 4 bolas azuis e bolas vermelhas. De seguida, extrai-se ao acaso uma bola da segunda caixa. (a) Qual é a probabilidade de extrair bolas da mesma cor das duas caixas? (1.) Experiência aleatória Selecção ao acaso de uma bola de uma caixa contendo bolas azuis (A) e 3 vermelhas (V ), bola essa colocada numa segunda caixa que já contém 4 bolas azuis e vermelhas, seguida de selecção ao acaso de uma bola da segunda caixa. Importante Dado que a primeira bola seleccionada é colocada na segunda caixa a proporção de bolas passará de 4 bolas azuis e vermelhas para: 5 bolas azuis e vermelhas, caso a primeira bola selecionada e colocada na segunda caixa seja azul; 4 bolas azuis e 3 vermelhas, caso a primeira bola selecionada e colocada na segunda caixa seja vermelha; Eventos-chave A i selecção de uma bola azul na i ésima extracção, i1, V i selecção de uma bola vermelha na i ésima extracção, i1, Evento {Seleccionar bolas da mesma cor das duas caixas} {A 1 \ A,V 1 \ V } Prob. pedida Tendo em conta que se pretende a probabilidade da reunião de eventos disjuntos e aplicando a lei das probabilidades compostas, obtém-se sucessivamente: P ({A 1 \ A,V 1 \ V }) P (A 1 \ A )+P (V 1 \ V ) P (A 1 )P (A A 1 )+P(V 1 )P (V V 1 ) +3 4+1 4++1 + 3 +3 +1 4++1 5 5 7 + 3 5 3 7 1 35 + 9 35 19 35. (b) Determine a probabilidade de a bola extraída da segunda caixa ser vermelha. (.5) Evento {Seleccionar bola vermelha da a. caixa} V Página 1 de 13

Prob. pedida P (V ) P ({A 1 \ V,V 1 \ V }) P (A 1 \ V )+P (V 1 \ V ) P (A 1 )P (V A 1 )+P(V 1 \ V ) (a) +3 + 4++1 + 9 35 5 7 + 9 35 13 35. (c) Se a bola extraída da segunda caixa é vermelha, qual é a probabilidade de se ter extraído da (1.) primeira caixa uma bola dessa mesma cor? Prob. pedida Tirando partido dos resultados anteriores, segue-se P (V 1 V ) P (V 1 \ V ) P (V ) (a) 9 35 13 35 9 13.. Num determinado cruzamento, o número diário de acidentes rodoviários é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de valor esperado.1. Considere que, em dias diferentes, os acidentes nesse cruzamento ocorrem de forma independente. (a) Determine a probabilidade de num ano (365 dias) ocorrerem um ou mais acidentes nesse (1.5) cruzamento em pelo menos dois dias. V.a. X número diário de acidentes por dia no cruzamento Distribuição de X X Poisson( ) Parâmetro : E(X).1,.1 F.p. de X P (X x) e.1.1x x!,x, 1,,... Outra v.a. Y número de dias, em 365, em que ocorrem acidentes no cruzamento Distribuição de Y Ao admitir-se também que em dias diferentes os acidentes nesse cruzamento ocorrem de forma independente, a v.a. Y corresponde ao número de sucessos em n provas de Bernoulli i.i.d., pelo que Y Binomial(n, p) Parâmetros n 365 p P (ocorrerem acidentes num dia) P (X >) 1 P (X ) 1 e.1 '.1 F.p. de Y P (Y y) 365 y (1 e.1 ) y (e.1 ) 365 y y, 1,...,365 Página de 13

Prob. pedida P (Y ) 1 P (Y apple 1) 1X 365 1 (1 e.1 ) y (e.1 ) 365 y y y ' 1.999 365 + 365.1.999 364 ' 1.947589.5341. (b) Determine o valor esperado e o desvio padrão do número de dias que decorrem até que ocorra (1.) pelo menos um acidente nesse cruzamento. Outra v.a. Z número de dias que decorrem até que se verifique um dia com acidentes no cruzamento Distribuição de Z Z corresponde ao número provas de Bernoulli i.i.d. até à ocorrência do primeiro sucesso, logo Z Geométrica(p). Parâmetro p P (X >) 1 P (X ) 1 e.1 '.1 Valor esperado de Z E(Z) form 1 p ' 1.1 1 dias Variância de Z V (Z) form 1 p p ' 1.1.1 999 dias Desvio-padrão de Z DP(Z) p V (Z) ' p 999 ' 999.5 dias. Grupo II 5 valores 1. Considere um círculo de raio X (em cm), onde X é uma variável aleatória exponencial de parâmetro igual a 1. (a) Determine a probabilidade de o diâmetro do círculo não exceder cm. Obtenha a variância do (1.) diâmetro do círculo. V.a. X raio do círculo Distribuição de X X Exponencial( 1) F.d.p. de X f X (x) e x,x Outra v.a. D diâmetro do círculo X Prob. pedida P (D apple ) P (X apple ) P (X apple 1) Z 1 1 Z 1 f X (x) dx e x dx Página 3 de 13

e x 1 1 e 1 '.6311. V (D) V (X) 4V (X) 4 14 (b) Considere agora um novo círculo de raio Y (em cm), onde Y é u m a v a r i á v e l a l e a t ó r i a (1.) independente de X, também com distribuição exponencial de parâmetro igual a 1.Considerando que os dois círculos estão representados no mesmo plano e que os respectivos centros estão separados por uma distância de cm, determine a probabilidade de os círculos se sobreporem. Outra v.a. Y raio de novo círculo Distribuição de Y Y Exponencial( 1) Y? X F.d.p. conjunta de (X, Y ) Uma vez que X e Y são v.a. independentes, ambas com distribuição Exponencial( 1), tem-se f X,Y (x, y) f X (x) f Y (y) Probab. pedida e x e y,x,y. P (X + Y > ) 1 P (X + Y apple ) 1 P (X, Y ) {(x, y) IR : x + y apple } 1 1 1 1 Z Z 1 1 Z Z x Z Z x f X,Y (x, y) dy dx e x e y dy dx e x e y x dx e x h 1 e ( x)i dx 1 e x e x 1 1 e e 3 e '.466.. Onúmerodecomputadoresdedeterminadomodelovendidosdiariamentenumalojaéumavariável aleatória com distribução uniforme discreta em {, 1,, 3, 4}. Considera-se que os números de computadores daquele modelo vendidos nessa loja em dias diferentes são variáveis aleatórias independentes. (a) Calcule um valor aproximado da probabilidade de em 3 dias serem vendidos na loja mais de 5 (.) computadores daquele modelo. V.a. X número de computadores de certo modelo vendidos diariamente Distribuição de X X Uniforme Discreta({, 1,, 3, 4}) Página 4 de 13

F.p., valor esperado e variância de X i P (X x) 1 5,x, 1,...,4 E(X) µ P 4 +1++3+4 x x P (X x) 5 V (X) E(X ) E (X) P 4 x x P (X x) +1 + +3 +4 5 6 4 V.a. X i número de computadores de certo modelo vendidos no i Distribuição, valor esperado e variância de X i i.i.d. X i X, i 1,...,3 E(X i )E(X) µ V (X i )V(X) ésimo dia, i1,...,3 Nova v.a. S P 3 i1 X i número de computadores de certo modelo vendidos em 3 dias Valor esperado e variância de S P3 E(S) E i1 X i P 3 i1 E(X i) Xi X 3 E(X) 3 6 P3 V (S) V i1 X Xi indep. P 3 i i1 V (X i) Xi X 3 V (X) 3 6 Distribuição aproximada de S Pelo Teorema do Limite Central (TLC) pode escrever-se S E(S) i1 p X i nµ a p Normal(, 1). V (S) n Prob. pedida valor aproximado " S E(S) P (S >5) 1 P p apple V (S) " S E(S) 1 P p apple V (S) TLC ' 1 5 6 p 6 ' 1 ( 1.9) (1.9) tabela.915. # 5 E(S) p V (S) # 5 6 p 6 (b) Alojasópodefazerencomendasde3em3dias. Qualonúmeromínimodeunidadesdo (1.) referido modelo de computador que deve existir em stock, no início de um desses períodos de 3 dias, por forma a que o valor aproximado da probabilidade de haver rotura de stock nesse período seja no máximo de 5%? V.a. S P 3 i1 X i número de computadores de certo modelo vendidos em 3 dias Distribuição aproximada de S Tivemos ocasião de referir que S E(S) i1 p X i 6 a p TLC Normal(, 1). V (S) 6 Página 5 de 13

Obtenção do stock mínimo k : P (S >k) apple.5 1 P (S apple k) apple.5 P (S apple k).95 k 6 p 6.95 k 6 p 6 1 (.95) k 6 + p 6 k 6 + p 6 1.6449 k 7.741341. 1 (.95) O menor valor de k que satisfaz a condição P (S >k) apple.5 é k 73. Grupo III 5 valores 1. Otempo(em1 3 h) até fractura de um tipo de rolamentos de esferas produzidos por um fabricante é uma variável aleatória X com função de densidade de probabilidade ( x e x, x > f X (x), x apple, onde é uma constante positiva desconhecida. (a) Com base numa amostra aleatória de X, (X 1,...,X n ), deduza o estimador de máxima (1.5) verosimilhança do parâmetro. V.a. de interesse X tempo até fractura (em 1 3 h) F.d.p. de ( X x e x, x > f X (x), x apple, Parâmetro desconhecido ( > ) Amostra x (x 1,...,x n ) amostra de dimensão n proveniente da população X Obtenção do estimador de MV de Passo 1 Função de verosimilhança X i indep ny L( x) f Xi (x i ) X i X i1 ny i1 xi e x i! Y n n n x i e i1 1 i1 x i, > Passo Função de log-verosimilhança ln L( x) n ln() n ln( )+ i1 ln(x i) 1 i1 x i Passo 3 Maximização Página 6 de 13

A estimativa de MV de 8 >< ˆ : >: 8 < d ln L( x) d é aqui representada por ˆ e ˆ (ponto de estacionaridade) d ln L( x) d < (ponto de máximo) ˆ ṋ + ˆ3 i1 x i : P n n ˆ 6ˆ4 i1 x i 8 < q >< ˆ P 1 n n i1 x i >: 4n i1 x i <, proposição verdadeira pois i1 x i > Passo 4 Estimador de MV de q P 1 n Será representado pela v.a. EMV( ) n i1 X i. (b) Obtenha a estimativa de máxima verosimilhança da probabilidade do tempo até fractura ser (.5) superior a 3 (em 1 3 h), sabendo que uma amostra de rolamentos, (x 1,...,x ),conduziu ao valor de 4.5 para a estimativa de máxima verosimilhança do parâmetro. Outro parâmetro desconhecido h( ) P (X >3) e Z +1 x e x 3 +1 e x 3 9 Estimativa de MV de h( ) dx Invocando a propriedade de invariância dos estimadores de máxima verosimilhança, pode concluir-se que a estimativa de MV de h( )P (X >3) e 9 é dh( ) h(ˆ) e e 9 ˆ 9 4.5 '.64118.. Com o objectivo de comparar a autonomia de modelos de telemóveis (A e B), recolheu-se a seguinte informação sobre as durações das cargas das baterias de aparelhos escolhidos ao acaso de cada um dos modelos: Modelo N o de aparelhos testados Média amostral Variância amostral (corrigida) A 8 6.5h 1.7 h B 1 5.5h.5 h (a) Construa um intervalo com nível de confiança de aproximadamente 95% para o valor esperado (1.5) da duração da carga de baterias do modelo A. V.a. de interesse X A duração da carga de baterias do modelo A Situação X A com distribuição arbitrária E(X A )µ A desconhecido V (X A ) A desconhecida n A suficientemente grande (maior que 3). Página 7 de 13

Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para µ A Z X A µ A a pna S A normal(, 1) uma vez que pretendemos um intervalo aproximado para o valor esperado de uma população com distribuição arbitrária com variância desconhecida e dispomos de amostra com dimensão suficientemente grande. Passo Obtenção dos quantis de probabilidade Como o nível aproximado de confiança é de (1 ) 1% 95% (i.e.,.5), recorre-se aos quantis ( a 1 (1 /) 1 (.975) tabela 1.96 b 1 (1 /) 1 (.975) tabela 1.96, sendo que estes quantis enquadram a v.a. fulcral Z com probabilidade aproximadamente igual a (1 ).95. Passo 3 Inversão da desigualdade a apple Z apple b P (a apple Z apple b ) ' 1 apple P a apple X A µ A S p A apple b na ' 1... h P XA 1 (1 /) p S A na apple µ A apple X A + 1 (1 i /) p S A na ' 1. Passo 4 Concretização Neste caso o IC aproximado a (1 ) 1% é dado por apple IC(µ A ) x 1 A (1 /) s A p, x A + 1 (1 /) s A p. na na Como n A 8, x A 6.5, s A 1.7,.5 e 1 (1 /) 1.96, tem-se apple IC(µ X µ Y ) 6.5 ± 1.96 p 1.7 8 ' [6.5 ±.3759] [6.17471, 6.8759]. (b) Poderá afirmar-se que, ao nível de significância de %, há evidência de o valor esperado da (1.5) duração da carga da bateria do modelo A ser superior ao valor esperado da duração da carga da bateria do modelo B? V.a. de interesse X A duração da carga da bateria do modelo A X B duração da carga da bateria do modelo B Situação X A e X B v.a. independentes com distribuições arbitrárias E(X A ) E(X B )µ A µ B desconhecida V (X A ) A e V (X B) B desconhecidas n A,n B suficientemente grandes (maiores que 3). As a.a. associadas a X A e X B são independentes, pelo que X A e X B são v.a. independentes. Hipóteses H : µ A µ B µ H 1 : µ A µ B >µ Página 8 de 13

Nível de significância % Estatística de teste q S A n A T ( X A XB ) µ + S B nb a H normal(, 1) dado que se pretende efectuar um teste sobre a diferença de valores esperados de duas populações independentes com distribuições arbitrárias e variâncias desconhecidas. Região de rejeição de H (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste unilateral superior (H 1 : µ A µ B >µ ), logo a região de rejeição de H (para valores da estatística de teste) é um intervalo do tipo W (c, +1), onde c : P (Rejeitar H H ),i.e., c 1 (1 ) 1 (.98) tabela.537. Decisão Atendendo a que n A 8, x A 6.5, s A 1.7, n B 1, x B 5.5, s B.5, o valor observado da estatística de teste é igual a q s A n A t ( x A x B ) µ + s B nb (6.5 5.5) q 1.7 8 +.5 1 ' 3.184. Como t 3.18445 W (.537, +1), devemos rejeitar H a qualquer n.s. que pode afirmar-se que há evidência para considerar µ A >µ B a tais n.s.] %, [pelo Grupo IV 5 valores 1. Atabelaseguinteapresentaoregistodonúmeroanualdeacidentesdetrabalhonumaempresade construção civil nos últimos 4 anos: N o de acidentes 1 3 ou mais Frequência 13 17 6 4 Teste a hipótese de o número anual de acidentes seguir uma distribuição de Poisson com valor esperado (.) unitário. Decida com base no valor p. V.a. de interesse X número anual de acidentes Hipóteses H : X Poisson(1) H 1 : X 6 Poisson(1) Estatística de Teste kx (O i E i ) T E i a H (k 1), onde: i1 Página 9 de 13

k No. de classes; O i Frequência absoluta observável da classe i; E i Frequência absoluta esperada, sob H, da classe i; No. de parâmetros a estimar. Região de rejeição de H (para valores de T ) Tratando-se de um teste de ajustamento, a região de rejeição de H escrita para valores de T é um intervalo à direita W (c, +1). Frequências absolutas esperadas sob H Para já, note-se que o conjunto de valores possíveis da distribuição Poisson(1) é {, 1,, 3,...}. Assim, as classes a considerar são {}, {1} {} e {3, 4...} e as frequências absolutas esperadas sob H são iguais a E 1 n p 1 n P [X X Poisson(1)] 4 e 1 4 F Poi(1) () tabela 4.3679 14.716 E n p n P [X 1 X Poisson(1)] 4 e 1 4 F Poi(1) (1) F Poi(1) () tabela 4 (.7358.3679) 4.3679 14.716 E 3 n p 3 n P [X X Poisson(1)] 4 e 1 1! 4 F Poi(1) () F Poi(1) (1) tabela 4 (.9197.7358) 4.1839 7.356 E 4 n p 4 n P [X 3 X Poisson(1)] n (1 p 1 p p 3) 4 (1.3679.3679.1839) 4.83 3.1. É sabido que não é necessário qualquer agrupamento de classes se em pelo menos 8% das classes se verifica E i 5 e em todas elas se tem E i 1. Ora, somente as 3 primeiras das 4 classes (i.e., 75%) possuem E i 5, pelo que é preciso agrupar as duas últimas classes. Página 1 de 13

Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste convém recorrer à seguinte tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esper. sob H Parcelas valor obs. estat. teste i o i E i n p (o i E i ) i E i 1 {} 13 14.716 (13 14.716) 14.716.99 {1} 17 14.716.354489 3 {} [ {, 3,...} 6 + 4 1 7.356 + 3.1 1.568.358 P k i1 oi n 4 P k i1 Ei n 4 t P k (o i E i ) i1 E.585116 i Decisão (com base em intervalo para o valor-p) Uma vez que este teste está associado a uma região de rejeição que é um intervalo à direita temos: valor p P (T >t H ) P (T >.585116 H ) ' 1 F (3 1) (.585116). Recorrendo às tabelas de quantis da distribuição do qui-quadrado podemos adiantar um intervalo para o valor-p deste teste. Com efeito, ao enquadrarmos convenientemente t.585116, obtemos Logo: F 1 () (.).446 <.585116 <.713 F 1 (.3) (). < F (3.) <.3 ().7 1.3 < valor p<1..8. não devemos rejeitar H a qualquer n.s. apple 7%, por exemplo, a qualquer dos níveis usuais de significância de 1%, 5% e 1%; devemos rejeitar H a qualquer n.s. 8%. Alternativa Decisão (com base no valor-p determinado usando máquina de calcular) Dado que este teste está associado a uma região de rejeição que é um intervalo à direita temos: p value P (T >t H ) Consequentemente: P (T >.585116 H ) ' 1 F (3 1) (.585116).74635. não devemos rejeitar H a qualquer n.s. apple 74.635%, por exemplo, a qualquer dos níveis usuais de significância de 1%, 5% e 1%; devemos rejeitar H a qualquer n.s. > 74.635%.. Com o objectivo de construir um modelo que relacione a taxa anual de mortalidade por aterosclerose por 1 habitantes em determinado país, Y,comoconsumoanualdegordurapercapita,x (em Kg), no mesmo país, foram analisados os valores destas variáveis num conjunto de n 1 anos, conduzindo aos seguintes resultados: x 7.8, P 1 i1 x i 1 x 5.16, ȳ.93, P 1 i1 y i 1 ȳ 1.861, P 1 i1 xiyi 1 xȳ.54 (a) Indicando as hipóteses de trabalho convenientes, averigúe se os dados permitem concluir a (.) significância do modelo de regressão linear simples de Y em x, considerando um nível de significância de 1%. Página 11 de 13

[Modelo de RLS Y i + 1 x i + i Y i taxa de mortalidade por aterosclerose por 1 habitantes no i x i consumo anual de gordura per capita no i ésimo ano i erro aleatório associado à medição de tal taxa no i ésimo ano] ésimo ano Hipóteses de trabalho i i.i.d. Normal(, ),i1,...,n (hipótese de trabalho), 1, desconhecidos Hipóteses H : 1 1, (ou 1 ) H 1 : 1 6 1, (ou 1 6 ) Nível de significância 1% Estatística de teste ˆ1 1, T q H t (n ) P ˆ n i1 x i n x Região de rejeição de H (para valores da estatística de teste) Estamos a lidar com um teste bilateral (H 1 : 1 6 1, ), pelo que a região de rejeição de H é W ( 1, c) [ (c, +1), onde c : P (Rejeitar H H ) c F 1 t (n ) (1 /) c F 1 t (1 ) (.995) c tabela 3.355. Decisão Tendo em conta que as estimativas de 1 e são iguais a i1 ˆ1 x iy i n x ȳ i1 x i n x ˆ.54 5.16.4993 1 n "! nx yi n ȳ i1 1 1 1.861.4993 5.16 '.76374!# ( ˆ1) X n x i n x (respectivamente), o valor observado da estatística de teste é dado por i1 t q ˆ1 1, P ˆ n i1 x i n x.499 q.76374 5.16 4.456. Como t 4.456 W ( 1, 3.355)[(3.355, +1), devemos rejeitar H : 1 1, a favor de H 1 : 1 6 1, a qualquer n.s. 1%. Podemos assim concluir que o modelo de regressão considerado é significativo ao nível de significância de 1% [ou a qualquer n.s. superior a 1%]. (b) Calcule o coeficiente de determinação associado ao modelo referido. Comente o valor obtido, (1.) Página 1 de 13

nomeadamente relacionando-o com a conclusão da alínea anterior. Tirando partido do facto de ˆ1 segue-se i1 xiyi n x ȳ Cálculo do coeficiente de determinação r ( i1 x iy i n x ȳ) ( i1 x i n x ) ( i1 y i n ȳ ).54 5.16 1.861 '.671684. i1 x i n x, assim como dos valores obtidos anteriormente, Comentário ao coeficiente de determinação Cerca de 67.% da variação total da taxa anual de mortalidade por aterosclerose é explicada pelo consumo anual de gordura per capita, através do modelo de regressão considerado. Ao termos em conta este resultado bem como o da alínea anterior, podemos adiantar que há um ajustamento razoável da recta estimada ao nosso conjunto de dados. Página 13 de 13