Deduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L. Esquema do problema Consideremos uma corda longa, fixa nas extremidades, por onde se propaga um onda (figura 1). omemos um segmento de comprimento Δ x da corda, como o deslocamento vertical ao longo da direção y é muito pequeno este segmento, medido num arco sobre a corda tem praticamente a mesma extensão que um segmento medido sobre o eixo x, no destaque da figura 1 a escala vertical foi exagerada para fins de visualização. Os extremos desse segmento estão sob trações e formam ângulos θ 1 e θ 2 com a direção horizontal. Solução Aplicando a 2.ª Lei de Newton figura 1 F = m a (I) desenhamos as forças de tração que atuam no segmento de corda num sistema de eixos coordenados (figura 2). Decompondo as trações, temos F = 1 + 2 (II) onde figura 2 1 = 1x i+ 1y j = 1 cosθ 1 i 1 senθ 1 j 2 = 2x i+ 2y j = 2 cos θ 2 i+ 2 senθ 2 j (III) (IV) onde i e j são os vetores unitários nas direções x e y, substituindo as expressões (III) e (IV) em (II), temos F = 1 cosθ 1 i 1 senθ 1 j+ 2 cosθ 2 i+ 2 senθ 2 j (V) A aceleração do segmento será a = a x i+a y j (VI) substituindo as expressões (V) e (VI) em (I), obtemos 1 cosθ 1 i 1 senθ 1 j+ 2 cosθ 2 i+ 2 senθ 2 j = m ( a x i+a y j ) 1
direção i Separanado as componentes temos 2 cosθ 2 1 cosθ 1 = m a x na direção x não há movimento, as duas forças se equilibram e a aceleração é nula ( a x = 0 ) 2 cosθ 2 1 cosθ 1 = 0 2 cosθ 2 = 1 cos θ 1 lembre-se: onda não transporta matéria, transporta energia. direção j 2 senθ 2 1 senθ 1 = m a y fazendo 1 = 2 = e escrevendo a y =, (foi usada derivada parcial pois a aceleração depende de duas variáveis, x e y, no caso a componente em x é nula como mostrado acima.) ( senθ 2 senθ 1 ) = m como o deslocamento vertical da corda é pequeno em relação ao seu comprimento os ângulos θ 1 e θ 2 são pequenos (figura 1), assim podemos fazer a aproximação senθ tg θ Observação: para ângulos pequenos o valor do seno e da tangente são aproximadamente iguais, e.g., para um ângulo θ = 5 o = π 36 rad, temos senθ = 001 523 086 e tg θ = 001 523 088 Observação: e.g. é a abreviação da expressão em latim exemplia gratia que significa por exemplo. figura 3 ( tg θ 2 tgθ 1 ) = m (VII) Lembrando que a tangente é a inclinação da reta nos pontos dos extremos do segmento considerado (figura 3), então para variações infinitesimais podemos escrever tg θ 1 = y 1 e tg θ 2 = y 2 (VIII) figura 4 substituindo as expressões de (VIII) em (VII), temos ( y 2 ) = m (IX) 2
A massa m do segmento Δ x pode ser escrita a partir da expressão para densidade linear de massa = m Δ x m = Δ x (X) substituindo a expressão (X) em (IX), obtemos ( y 2 ) = Δ x = y 2 Δ x passando o lado direito da igualdade para o limite e fazendo Δ x tendendo a zero, temos isto é a derivada segunda ( x ) 2 lim Δ x 0 y 2 Δ x de uma função y em relação a x, assim = (XI) A função y (x,t) de uma onda é dada por y (x,t) = A cos ( k x ω t ) (XII) onde A é a amplitude da onda, k é o número de onda e é a frequência angular, para determinar a relação relação ao tempo t derivamos duas vezes a expressão (XII) em relação à posição x e em derivada parcial em relação a x de y (x,t) = A cos ( k x ω t ) neste caso o tempo t é constnte e a função y (x,t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo y [v (x)] x d x com y (v ) = cos v e v (x ) = k x ωt, assim as derivadas serão = sen v = sen( k x ω t ) e d x = k y = A [ sen( k x ωt ) k ] = Ak sen( k x ωt ) x derivando uma segunda vez em relação a x, temos usando novamente a regra da cadeia 3
[v (x)] d x com y (v ) = sen v e v (x ) = k x ωt, assim as derivadas serão = cos v = cos( k x ω t ) e d x = k = A k [ cos( k x ω t ) k ] = Ak 2 cos( k x ω t ) derivada parcial em relação a t de y (x,t) = A cos ( k x ω t ) neste caso o deslocamento x é constnte e a função y (x,t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo y [v (t )] t com y (v ) = cos v e v (t) = k x ω t, assim as derivadas serão d t = sen v = sen( k x ω t ) e d t = ω y t = A [ sen( k x ωt ) ω ] = Aω sen( k x ω t ) derivando uma segunda vez em relação a t, temos usando novamente a regra da cadeia [v (t )] com y (v ) = sen v e v (t) = k x ω t, assim as derivadas serão d t = cos v = cos( k x ω t ) e d t = ω = A ω [ cos( k x ω t ) ω ] = Aω 2 cos( k x ωt ) Substituindo estas derivadas na expressão (XI), temos Aω 2 cos( k x ωt ) = Ak 2 cos( k x ω t ) ω 2 = k 2 = k 2 ω 2 A velocidade de uma onda em função do número de onda e da frequência angular é dada por 4
v = ω k 1 v = k ω (XIII) substituindo a expressão (XIII) em (XI), temos finalmente = 1 v 2 5