NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Fenômeno Aleatório: situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser determinados com certeza. Exemplos: 1. Resultado do lançamento de um dado;. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;. Condições climáticas do próximo domingo; 4. Taxa de inflação do próximo mês;. Resultado de um exame de sangue.
Espaço Amostral (Ω):( conjunto de todos os resultados possíveis do fenômeno aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. Ω {1,,, 4,, 6}. Exame de sangue (tipo sangüíneo). Ω {A, B, AB, O}. Hábito de fumar. Ω {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada. Ω {t: t 0}
Eventos: subconjuntos do espaço amostral Ω Notação: A, B, C... Alguns eventos: (conjunto vazio): evento impossível Exemplo: Lançamento de um dado. Ω {1,,, 4,, 6} A: sair face par A {, 4, 6} Ω B: sair face maior que B {4,, 6} Ω C: sair face 1 C {1} Ω
Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B e A B Ω O complementar de A é representado por A c.
Exemplo: Lançamento de um dado Ω {1,,, 4,, 6} Eventos: A {, 4, 6}, B {4,, 6} e C {1} A B: {, 4, 6} {4,, 6} {4, 6} sair uma face par e maior que A C {, 4, 6} {1} sair uma face par e face 1 A B {, 4, 6} {4,, 6} {, 4,, 6} sair uma face par ou maior que A C {, 4, 6} {1} {1,, 4, 6} sair uma face par ou face 1 A C {1,, } não sair face par
Probabilidade Pergunta: Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas maneiras: 1. Através das freqüências de ocorrências. Observamos o fenômeno aleatório n vezes e determinamos a freqüência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de realizações, a freqüência relativa poderia ser utilizada como probabilidade.. Através de suposições teóricas. Por exemplo, no lançamento de um dado, admitindo que o dado é perfeitamente equilibrado, P(face 1)... P(face 6) 1/6.
No caso discreto, todo fenômeno aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: um espaço amostral Ω {w 1,w,... } uma probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: 0 P(w ) i 1 e P ( Ω) P ({w, 1 w,...}) i 1 P(w ) i 1.
Ainda no caso discreto, Se A é um evento, então P (A) Se Ω {w, w,..., w } e 1 N w A j P (w ) 1 P(w i ) (pontos equiprováveis), então N j P (A) nº. nº. de de elementos elementos de de A Ω
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados do censo demográfico de 1991 (IBGE) de 101.80 habitantes de Sergipe, na faixa etária de 0 a 4 anos com informações sobre SEXO e se SABE LER. Sabe ler Sim Não Total Masc. 9.77 8.67 48.49 Fem. 46.04 7.97.601 Total 8.881 1.969 101.80 Um jovem entre 0 e 4 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.
Ω : conjunto de 101.80 jovens de Sergipe, com idade entre 0 e 4 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; L : jovem sorteado sabe ler; N : jovem sorteado não sabe ler. Temos ir para a tabela P(M) 48.49 101.80 0,474 P(F).601 101.80 0,6 P(L) 8.881 101.80 0,84 P(N) 1.969 101.80 0,17
Sabe ler Sim Não Total Masc. 9.77 8.67 48.49 Fem. 46.04 7.97.601 Total 8.881 1.969 101.80
Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler e ser do sexo masculino? M L: jovem sorteado sabe ler e é do sexo masculino nº. de elementos em M L 977 P(M L) nº. de elementos em Ω 10180 0,89 Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler ou ser do sexo masculino? M L: jovem sorteado sabe ler ou é do sexo masculino P(M L) nº. de elementos em M L nº. de elementos em Ω 8881 + 4849-977 0,98 10180
Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de Ω. Então, P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Conseqüências: Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) P(A) + P(B). Para qualquer evento A de Ω, P(A) 1 - P(A c ).
PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P(A B) e dada por P(A B) P(A B), P(B) > P(B) Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades P(A B) P(B) P(A B). 0. Analogamente, se P(A) >0, P(A B) P(A) P(B A).
Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler sabendo-se que é do sexo masculino? Diretamente da tabela Lê Não Lê Total Masc. 9.77 8.67 48.49 Fem. 46.04 7.97.601 Total 8.881 1.969 101.80 temos P(L M) 9.77 / 48.49 0,8. Pela definição, P(L M) P(L M) P(M) 9.77 101.80 48.49 101.80 0,8.
Exemplo: Em uma urna, há bolas: brancas e vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A)??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.
B V 4 4 V B 4 4 1 V B 1 Total V V VB BV BB Probabilidades Resultados 0 4 1 0 6 4 0 6 4 0 6 4 e 0 6 0 (A) P + Temos. 4 1 C) (A P
Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1 a bola sorteada é reposta na urna antes da a extração. Nesta situação, temos B Resultados Probabilidade B V V B BB BV VB VV Total 1 4 6 6 9 V
Neste caso, P(A) P(branca na ª) 4 + 6 e P(A C) P( branca na ª branca na 1ª) P(A) P(A C c ) P(branca na ª vermelha na 1ª) P(A) ou seja, o resultado na a extração independe do que ocorre na 1 a extração.
Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, P(A B) P(A), P(B) > 0. Temos a seguinte forma equivalente: P(A B) P(A) P(B).
Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/ e a de Madalena é /. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada P(A B) P(A) x P(B) 1/ x / /9 Qual a suposição considerada?