1 MATEMÁTICA FINANCEIRA PARTE II GUIA DE ESTUDO 3 PROFESSOR (A): PROF.ª MS. KÁTIA CRISTINA COTA MONTAVANI
2 6) Matemática Financeira-Parte II Ementa: Inflação. Descontos.Rendas: Imediatas e Diferidas. Sistemas de Amortização. Bibliografia: SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira Aplicações à Análise de Investimentos. 3a. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2001. ] VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira:uso de calculadoras financeiras. Aplicações ao mercado financeiro, introdução à Engenharia Econômica e 300 exercícios resolvidos e propostos. 6ª. Ed. São Paulo: Ed. Atlas, 2009
3 SUMÁRIO Introdução... 4 1. Descontos... 5 1.1. Desconto simples comercial... 5 1.2.Desconto Simples Racional (por dentro)... 9 1.3. Desconto comercial composto... 10 1.4. Desconto racional composto... 12 2. Rendas... 14 2.1. Tipos De Rendas:... 14 3. AMORTIZAÇÃO... 24 3.1 PLANOS DE AMORTIZAÇÕES:... 24 4. Inflação... 36 5. Considerações finais... 39 6. Referências Bibliográficas... 40
4 INTRODUÇÃO Matemática Financeira tem extrema importância para a tomada de decisões na empresa e, sua aplicação quando bem desenvolvida, traz maior rentabilidade possibilitando o processo de maximização nos resultados. Certamente com uma boa base desse conhecimento traz à compreensão de problemas. Pode ser aplicada em diversas situações cotidianas como calcular as prestações de um financiamento de um móvel ou imóvel optando pelo pagamento à vista ou parcelado. A Matemática Financeira fornece o instrumental necessário à avaliação de negócios, de modo a identificar os recursos mais atraentes em termos de custos e os mais rentáveis no caso de investimentos financeiros ou de bens de capital. Nas situações mais simples e corriqueiras do dia-a-dia, como por exemplo, se você tem dinheiro em algum tipo de poupança/investimento, ou em um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um eletrodoméstico. Você deve decidir se paga à vista, mediante saque da aplicação ou do capital de giro da empresa, ou se acolhe o financiamento oferecido pelo vendedor. As ferramentas da Matemática Financeira vão indicar-lhe a melhor decisão. Nas avaliações econômicofinanceiras existe o binômio risco-retorno. Avaliação ou apuração do retorno de investimentos é um problema da Matemática Financeira. Já, o Risco é um problema da Estatística e pode ser definido como a possibilidade de perda. Diz respeito apenas à possibilidade de ocorrer um resultado diferente do esperado. Decisões com base em dados contábeis aumentam os riscos uma vez que se baseiam em dados passados. Decisões devem ser tomadas com base nas expectativas futuras, à luz das novas tendências e dos fluxos de caixa projetados. Na área de Recursos Humanos, para medir crescimento da folha, variação/evolução salarial, custo de benefícios, encargos sociais, entre outros. A Matemática Financeira é ferramenta para qualquer obra. Iniciaremos nossos estudos com o tema descontos.
5 1. DESCONTOS Chama-se desconto à diferença entre o Valor Nominal(N) de um título (Valor Futuro) FV e o Valor Presente ou Atual PV deste mesmo título [D = FV PV]. Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). Define-se desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um título ou quando o mesmo é resgatado antes de seu vencimento, ou ainda, como sendo o juro cobrado por um intermediário para antecipar o recebimento de um título, que representa um direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no comércio em geral. Notações comuns na área de descontos: D Desconto realizado sobre o título A ou PV Valor Atual ou Valor Presente de um título N ou FV Valor Nominal ou Valor Futuro de um título i n Taxa de desconto Número de períodos para o desconto 1.1. Desconto simples comercial Ou simplesmente desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial, pois por essa convenção altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro, implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo financeiro efetivo). O cálculo desse desconto é análogo ao cálculo do juro simples. O valor atual ou valor presente (PV) no desconto por fora, é calculado por:
6 PV = FV-D PV = FV - FV.i.n PV = FV (1-i.n) No cálculo do valor presente (atual) de um título pelo desconto comercial, o valor do desconto corresponde a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual, logo: dc = VF - VPc VPc = VF - dc VPc = VF. (1 i. n), no qual utilizaremos em nossos exercícios: Ac=N(1-in) Exemplo 1: Um capitalista investe R$ 18000,00 em letra de câmbio, com vencimento para 180 dias e renda fixada em 5% a.m de juros simples a- calcule o valor nominal do título? b- Se o título for descontado 120 dias antes do vencimento, quanto o investidor receberá por ele, se o desconto for comercial à taxa de 5% a.m? Solução: a- pv= 18000,00 n= 180 dias i= 5% a.m (12x)
7 Fv=? 18000(chs) (pv) 60(i) 180(n) (f) (i) (+) 23400,00 Com (f) (int) soma-se o juros (+) ao pv No visor da hp12c está o valor nominal do título Não apague a memória neste instante b- 23400(chs) (pv) 120(n) (f) (int) (-) 18720,00- valor descontado Lembrando que: Estamos lidando com desconto comercial; Ac= N. (1-i.n) Ac=valor que será resgatado; N= valor nominal (R$23400,00) I=5% a.m N=120 dias (4 meses)
8 Ac= 23400.(1-0,05.4) Ac= 23400.(1-0,20) Ac= 23400.0,8 Ac= 18720,00 O que é letras de câmbio? A letra de câmbio é uma ordem de pagamento à vista ou a prazo e é criada através de um ato chamado de saque. Diferente dos demais títulos de crédito, para a existência e operacionalização da letra de câmbio são necessárias três situações jurídicas distintas, a saber: - o sacador como sendo aquela parte que faz o saque, oportunidade em que fica criada a letra de câmbio como documento. Esta pessoa é quem dá a ordem de pagamento; - o sacado que representa a parte a quem a ordem é data, ou seja, é quem deve efetuar o pagamento; - o beneficiário, também chamado de tomador, sendo a pessoa que receberá o pagamento, sendo assim o beneficiário da ordem. Obs: É importante observar que não necessariamente as situações jurídicas são representadas por três pessoas ou partes distintas. Podem ocorrer circunstâncias em que a mesma pessoa possa está representando duas situações ao mesmo tempo.
9 1.2.Desconto Simples Racional (por dentro) Também denominado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o desconto aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se a para o cálculo a taxa efetiva (no conceito do valor inicial tomado como base do cálculo). O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juro simples. O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual ou Presente do título. O valor atual, no desconto por dentro, é dado por: PV FV ( 1 in) Cálculo do valor atual de um título pelo desconto racional Sabemos que dr = Fv PV, portanto PV = FV dr Mas dr = FV FV ( 1 in) FV (1 in) FV dr= (1 in) dr= FV FV * i * n FV (1 in) Fv * i * n dr= (1 i * n) ou seja dr= Nin ( 1 in)
10 Diferença entre os descontos comercial e racional: Sendo dc = N. i. n e dr = Nin ( 1 in) Isolando o N, teremos: Nin dc dr = = ( 1 in) ( 1 in) Ou seja: dc=dr* (1+in) 1.3. Desconto comercial composto Como o desconto comercial simples, o desconto comercial composto é calculado sobre o valor nominal do título. O valor atual é obtido por meio de uma sucessão de descontos sobre o valor nominal, isto é, sobre o valor expresso no título. Assim, Instante n: valor do título é N Instante n - 1 (ou 1 período anterior: valor do título era N - in = N (1 - i) Instante n - 2: valor do título era (N - in) - i (N - in) = (N - in) [1 - i] = = N(1 - i)[1 - i] = N (1 - i)2 e, assim sucessivamente, n períodos antes do vencimento o valor do título era:
11 O desconto comercial é a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual. Assim, Exemplo.2: Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. A =? N = R$ 20.000,00 i = 5% a.t. = 0,05 a.t. n = 1 ano = 4 trimestres A = N (1 - i)n = 20.000 (1-0,05) 4 = 16.290,13 Exemplo 3. Calcular o valor do desconto bancário composto de um título de R$ 20.000,00, 1 ano antes do vencimento à taxa de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. N = R$ 20.000,00 d =? i= 5% a.t. n = 4 trimestres Pela fórmula temos: d= N [1 - (1 - i)n] = 20000[1 - (1-0,05) 4 ] = $ 3.709,88
12 Na HP-12C, teremos: 1.4. Desconto racional composto O valor do desconto é calculado sobre o valor atual, como também o é em desconto racional simples, divergindo apenas por agora considerarmos uma capitalização, ou seja, usarmos potenciação como em capitalização composta. O valor nominal é o valor que consta no título e é dado por: N A(1 i) N A (1 i) dr N A N dr N (1 i) 1 dr N 1 (1 i) n n n n Exemplo 4: Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., capitalizável mensalmente, determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00? Solução Ar= 12.400,00 Nr=? i = 10% a.m.
13 n = 3 meses Nr= Ar (1 +i) n Nr= 12.400. (1 + 0,1) 3 Nr= 12.400. 1,331000 Nr= 16.504,40 Pela HP-12C Exemplo 5: Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizado trimestralmente? Solução Nr= 16.504,40 Ar =? i = 46,41% a.a. cap trimestralmente = 11,6025% a.t. n = 9 meses = 3 trimestres A= N ( 1 i) n 16.504,40 A= 11.870, 00 3 (1 0,116025)
14 2. RENDAS Renda é a soma dos rendimentos pagos aos fatores de produção para obter o produto num determinado período, composto por aluguéis, lucros, salários e juros. Renda Nacional é a soma de todas as rendas recebidas pelos proprietários dos fatores de produção utilizados durante o ano, ou seja, o custo dos fatores, salários e ordenados, juros, aluguéis, lucros mais as transferências do Governo para o setor privado (subsídios e pensões). Uma Renda ou uma Série Financeira é uma sucessão de capitais (termos da renda) que podem ser pagamentos e/ou recebimentos, ocorridos em pontos diversos no tempo (Fluxo de Caixa). Exemplos: - Recebimento do salário, pagamento de taxas (luz, água), pagamento de uma prestação, recebimento dos juros da Poupança, etc. - O pagamento de 3 prestações mensais de $ 150,00, sem entrada, para a compra de um produto cujo preço à vista é $ 380,00, constitui uma renda que é assim representada: 2.1. Tipos De Rendas: Em geral as condições de prazo, valores dos termos, taxa de juros, periodicidade, são pré-estabelecidas o que implica numa classificação para as rendas. As rendas podem ser classificadas: A) quanto ao prazo: - temporárias: o prazo dos pagamentos ou recebimentos é finito - perpétuas: prazo infinito B) quanto aos valores dos termos:
15 - uniforme: termos iguais - variável: termos distintos C) quanto à periodicidade: - periódica: períodos iguais - não periódica: períodos distintos D) quanto à ocorrência do 1o termo: - imediata: ocorre no 1o período de pagamento - diferida: a chamada série com carência Iniciemos nosso estudo através das rendas imediatas: POSTECIPADAS: (ou Imediatas): quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período Exemplo: Renda imediata de 6 termos mensais de R$ 100,00 6 0 1 2 3 4 5... 100 100 100 100 100 100 ANTECIPADAS: quando os pagamentos ocorrem no início de cada período Exemplo: Renda antecipada de 6 termos mensais de R$ 100,00 (1+5)
16 5 0 1 2 3 4... 100 100 100 100 100 100 DIFERIDAS: (ou com Carência) quando há um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos. Exemplo: Renda de 6 termos mensais de R$ 100,00 com 3 meses de carência. 1 2 3 4 5 6 0...1...2...3... 100 100 100 100 100 100 INTERMEDIÁRIAS: (ou com Balões) quando durante o plano de pagamento ocorrerem valores intermediários; descapitalizam-se os mesmos para o valor presente, e então, utilizamos as Rendas Postecipadas ou as Rendas Antecipadas. (ex.: Compra de Imóvel parcelando a entrada em 4 pgtos anuais e o restante em 120 parcelas mensais) Exemplo: Renda de 6 termos mensais de R$ 100,00 com 1 balão de R$ 250,00 no 2º. Mês e outro balão de R$ 135,00 no 5º. mês. 0 1 2 3 4 5 6...
17 100 100 100 100 100 100 250 135 Exemplos: I.RENDAS POSTECIPADAS ou IMEDIATAS Quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período Fórmulas matemáticas: PV PMT= n (1 i) 1 n (1 i) * i FV PMT= n (1 i) 1 i A Calculadora HP 12C está programada com essas fórmulas para fazer os cálculos necessários. Isto ocorre quando colocamos a calculadora no modo g END para as RENDAS POSTECIPADAS. Exemplo 06: Qual o valor à vista (atual) de uma compra em 10 parcelas mensais de a.m.? R$ 80,00 cada uma, sem entrada (renda postecipada), à taxa de 5% PV =? PMT = 80 i = 5% a.m. n = 10 meses PV =?
18 0...1...2...3...4...5...6...7...8...9...10 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 Na calculadora HP 12C: g END 80 CHS PMT 5 i 10 n 0 FV PV PV = 617,74 Na HP 12C: g END 80 CHS PMT 5 i 10 n 0 FV PV 617,74 Exemplo 07: Qual o valor das prestações na compra de uma TV 14, que à vista custa R$ 545,00, sendo o financiamento em 6 meses, sem entrada, com a taxa de 4,11% a.m.? 0...1...2...3...4...5...6?????? PMT Na HP 12C: g END 545 CHS PV 4.11 i 6 n 0 FV PMT 104,34 Exemplo 08: Na compra de um produto de valor à vista igual a R$ 700,00 que será paga em 5 prestações mensais, iguais de R$ 156,92 cada uma, sem entrada, qual a taxa de juros no negócio?
19 Na HP 12C: g END 700 CHS PV 156.92 PMT 5 n 0 FV i 3,93% a.m. II. RENDAS ANTECIPADAS Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período. Fórmulas matemáticas: A Calculadora HP 12C está programada com essas fórmulas para fazer os cálculos necessários. Isto ocorre quando colocamos a calculadora no modo g BEG para as RENDAS ANTECIPADAS. Exemplo: Qual o valor à vista (atual) de uma compra em 15 pagamentos mensais de R$ 49,30 cada uma, sendo a 1a. prestação paga no momento da compra, à taxa de 1% a.m.? PV =? 0...1...2...3...4...5...6...7...8...9...10...11...12...13...14 (1+14) 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 Fórmula:
20 PV PMT=...fazer... n (1 i) 1 n (1 i) * i Na HP 12C: g BEG 49.30 CHS PMT 1 i 15 n 0 FV PV 690,38 Exemplo 09: Qual o valor das prestações na compra de um refrigerador que à vista custa R$ 984,50, sendo o financiamento em 6 meses, sendo a 1 a. no momento da compra (1 + 5)), com a taxa de 4,32% a.m.? 984,50 0...1...2...3...4...5?????? PMT PV PMT PMT= n (1 i) 1 PMT= (1 i) n * i 984,50 PMT (1 0,0432) (1 0,0432) 6 6 1 *0,,0432 Na HP 12C: g BEG 984.50 CHS PV 4.32 i 6 n 0 FV PMT 181,91
21 Exemplo 10: Quanto se deve depositar, no início de cada semestre, num banco que paga 18% a.a., para constituir o montante de R$ 5.000,00 no fim de 3 anos? Na HP 12C: g BEG 5000 CHS FV 6 n 0 PV 18 ENTER 100 : 1 + 2 1/x y x 1-100 x i PMT 617,58 III. RENDAS DIFERIDAS ou com CARÊNCIA Quando há um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos. Exemplo 11: Um empréstimo de R$ 8.600,00 vai ser amortizado em 10 prestações mensais, após 4 meses de carência. Qual o valor das prestações a taxa de 4,5% a.m.? 8.600 FV 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0...1...2...3...4...?????????? Na HP 12C:
22 1 O.) Cálculo do Valor Atualizado do Financiamento após a Carência (Presente FV 1 ): 10.255,66 8600 CHS PV 4.5 i 4 n 0 PMT FV FV = 2 O.) Cálculo do Valor das Prestações Mensais (PMT) 10255,66 CHS PV g BEG 4.5 i 10 n 0 FV PMT PMT = 1.240,29 3 O.) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 8600 CHS PV 4.5 i 4 n 0 PMT FV CHS PV 10 n 0 FV g BEG PMT PMT = 1.240,29 Exemplo 12: Qual o valor do financiamento liberado e pago em 10 prestações mensais iguais de R$ 345,23 após uma carência de 3 meses, à taxa de 3,85% a.m.? PV 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0...1...2...3... P M T = 345,23
23 Na HP 12C: 1 O.) Cálculo do Valor do Financiamento (Presente PV 1 ) da carência valor atualizado da dívida para fazer o financiamento 345.23 CHS PMT 3.85 i 10 n 0 FV g BEG PV PV=2929,77 2229,77 CHS FV 3.85i 3n PV1990,85
24 3. AMORTIZAÇÃO É o processo mediante o qual se extingue gradualmente uma dívida, por meio de uma série de pagamentos periódicos. Cada pagamento, inclui os juros vencidos e uma parte referente à amortização da dívida. 3.1 PLANOS DE AMORTIZAÇÕES: SISTEMA AMERICANO ou PAGAMENTO PERIÓDICO DE JUROS/ENCARGOS: O financiamento é pago da seguinte forma: - Ao final de cada período, são pagos apenas os juros daquele período; - No final do período contratado, além dos juros, o principal também é integralmente pago. Exemplo 13: Desenvolver uma tabela de planos de Financiamentos, de acordo com as condições: - Principal financiado: R$ 1.000,00 - Prazo do financiamento: 5 meses - Taxa de juros: 5% a.m. P r Saldo a Juros Pagamento Amortização z Devedor o 1 1.000,00 50,00 50,00 0,00 2 1.000,00 50,00 50,00 0,00 3 1.000,00 50,00 50,00 0,00
25 4 1.000,00 50,00 50,00 0,00 5 1.000,00 50,00 1.050,00 1.000,00 Na HP 12C: 1000 ENTER 5% + 50-5% + 50-5% + 50-5% + 50-5% + 1.050,00 SISTEMA FRANCÊS/PRICE ou de PRESTAÇÕES IGUAIS/CONSTANTES: O plano de amortização de dívidas que é mais aplicada na prática é, inegavelmente o de prestações constantes. O financiamento é pago em prestações iguais a cada período, cada uma sendo subdividida em duas partes: - Os juros do período são calculados sobre o saldo no início do período;e - A amortização do principal é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor de juros do período. As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. A dívida fica completamente paga na última prestação. PV PMT= n (1 i) 1 n (1 i) * i
26 Sendo: PMT = Prestação e PV = Valor Presente Exemplo 14: Desenvolver uma tabela de planos de Financiamentos, de acordo com as condições pelo Price: - Principal financiado: R$ 1.000,00 - Prazo do financiamento: 5 meses - Taxa de juros: 5% a.m. P r Saldo a Juros Pagamento Amortização z Devedor o 1 1.000,00 50,00 230,97 180,97 2 819,03 40,95 230,97 190,02 3 629,03 31,45 230,97 199,52 4 429,49 21,47 230,97 209,50 5 219,99 11,00 230,97 219,97 Na HP 12C: A Prestação (PMT) obtém-se como nas Rendas Postecipadas.
27 Na HP 12 C: 1000 CHS PV 5 i 5 n Calcula a prestação : PMT 0 FV PMT = 230,97 em uma) Juros nas prestações: 1 f AMORT (de uma 1 f AMORT 50,00 Amortização do Principal: x ><y x >< y 180,97 Novo Saldo Devedor: RCL PV RCL PV 819,03 Ex. 15: Um empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% am, por quatro meses, deve ser pago no sistema Price, determine o pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses PMT PV n (1 i) 1 n (1 i) * i 100.000 4 (1 0,1) 1 4 (1 0,1) *0,1 31.547,08 Podemos resolver também pelo Excel:
28 E assim, construímos a tabela Price: n PMT Juros Amortização Saldo Devedor 0 100000 1 31.547,08 10000 21.547,08 78.452,92 2 31.547,08 7845,292 23.701,79 54.751,13 3 31.547,08 5475,113 26.071,97 28.679,17 4 31.547,08 2867,917 28.679,16 0,00
29 Lembrando que: Juros= taxa * saldo devedor Amortização = PMT Juros Saldo Devedor= Saldo devedor anterior menos amortização SISTEMA SAC - AMORTIZAÇÕES CONSTANTES: O financiamento é pago em prestações uniformemente decrescentes, cada uma sendo subdividida em duas partes: - Os juros do período são calculados sobre o saldo no início do periodo; - A amortização do principal é calculada pela divisão do principal pelo número total de prestações; consequentemente as quotas de amortização são todas iguais.
30 Exemplo 15: Desenvolver uma tabela de planos de Financiamentos, de acordo com as condições pelo SAC: - Principal financiado: R$ 1.000 - Prazo do financiamento: 5 meses - Taxa de juros: 5% a.m. r Saldo a Juros Pagamento Amortização z Devedor o 1 1.000,00 50,00 250,00 200,00 2 800,00 40,00 240,00 200,00 3 600,00 30,00 230,00 200,00 4 400,00 20,00 220,00 200,00 5 200,00 10,00 210,00 200,00 Obtém-se o Valor Constante da Amortização, dividindo-se a dívida pelo número de parcelas.
31 No exemplo: 1.000 5 = 200 Na HP 12C: 1000 ENTER 5 STO 1 (AMORTIZAÇÂO) 1000 ENTER 5% RCL 1 + 1 a. prestação 800 ENTER 5% RCL 1 + 2 a. prestação 600 ENTER 5% RCL 1 + 3 a. prestação 400 ENTER 5% RCL 1 + 4 a. prestação 200 ENTER 5% RCL 1 + 5 a. prestação Sistema de Amortização Crescente - SACRE A diferença do SAC Sistema de amortização constante para o SACRE Sistema de Amortização Crescente é apenas o recalculo, ou seja, um novo calculo após um determinado período de andamento do contrato. O SACRE é baseado na mesma metodologia do SAC, mas, sempre considerando o prazo remanescente (que falta) para pagar. Assim o recalculo força o crescimento da amortização e a rapidez do pagamento. Ao contrário do que acontece no SAC a parcela de amortização não é constante e sim crescente, o que permite que a dívida seja paga mais rapidamente. O primeiro recálculo acontece com 12 (doze) meses e poderá tornar-se trimestral na hipótese da prestação não estar amortizando (pagando/ quitando) a dívida; No SACRE, a partir de um determinado período, durante o prazo de financiamento, a prestação tende a cair continuamente até o final do financiamento. Exatamente por isto, o percentual de comprometimento da renda neste tipo de mecanismo de amortização tende a ser mais alto, em cerca de 30%, pois no decorrer do prazo do financiamento as prestações devem cair, e com isto diminuirá o
32 grau de comprometimento da renda. Atualmente o SACRE é adotado pela Caixa Econômica Federal nas suas linhas que usam recursos do FGTS, como a Carta de Crédito FGTS Individual. 100.000*(1 0,5) 1 PMT1 100.000*0,5* 0,1 3,1699 4 PMT 15.773,36 17.500 1 PMT 33.273,36 1 100.000*0,1*0,5 r 1250 4 PMT PMT 1250 32.023,36 2 1 n PMT Juros Amortização Saldo Devedor 0 100000 1 33273,36 10000 23273,36 76726,64 2 32023,36 7672,664 24350,696 52375,944 3 30773,36 5237,594 25535,7656 26840,1784 4 29523,36 2684,018 26839,34216 0,83624
33
34 EXERCÍCIOS 01) A compra de um produto de valor à vista igual a R$ 600,00, será pago pela Tabela Price, em 4 prestações mensais, postecipadas. Se a taxa de juros contratada for de 3,5% a.m., encontrar o valor da prestação constante e elaborar a planilha do Plano de Amortizacão. Prazo Pagamento Juro Amortização Saldo Devedor 1 2 3 4 2) Uma pessoa financia R$ 6.850,00 em 5 pagamentos mensais, com a taxa mensal de juros de 4,5% a.m., através do Sistema SAC. Elaborar a planilha do Plano de Amortização. Prazo Saldo Juro Pgto. Amortização
35 1 2 3 4 5 03) Desenvolver uma planilha para o pagamento, através do Sistema Americano, da seguinte operação de empréstimo: - capital emprestado: R$ 15.880,00 - prazo: 4 meses - juros: 4,51% a.m. Resumos dos sistemas de amortização I.Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final. II.Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados. III.Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período IV.Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização da dívida é constante e igual em cada período. V. Sistema Price ou Francês (PRICE): as prestações são iguais. VI. Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price. VII. Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.
36 4. INFLAÇÃO Em economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de compra do dinheiro. Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. Inflação é o oposto de deflação. Inflação zero, ou muito baixa, é uma situação chamada de estabilidade de preços. Em alguns contextos, a palavra inflação é utilizada para significar um aumento no suprimento de dinheiro e a expansão monetária, o que é às vezes visto como a causa do aumento de preços; alguns economistas (como os da Escola austríaca) preferem o primeiro significado, em vez de definir inflação pelo aumento de preços. Assim, por exemplo, alguns estudiosos da década de 1920 nos EUA referem-se a inflação, ainda que os preços não estivessem aumentando naquele período. Mas de um modo geral, a palavra inflação é usada como aumento de preços, a menos que um significado alternativo seja expressamente especificado. Outra distinção também se faz quando analisam-se os efeitos internos e externos da inflação: externamente, a inflação se traduz mais por uma desvalorização da moeda local frente a outras, e internamente ela se exprime mais no aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços. Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império Romano, causado pela desvalorização dos denários que, antes confeccionados em ouro puro, passaram a ser fabricados com todo tipo de impurezas. O imperador Diocleciano, ao invés de perceber essa causa, já que a ciência econômica ainda não existia, culpou a avareza dos mercadores pela alta dos preços, promulgando em 301 um edital que punia com a morte qualquer um que praticasse preços acima dos fixados. Definição: Denário O sistema monetário romano incluía o denário (denarius, em latim, plural denarii), uma pequena moeda de prata que era a de maior circulação no Império Romano. É geralmente aceito que no fim da República e no início do Principado, o denário correspondia ao salário diário de um trabalhador. Com um denário era possível comprar em torno de 8 quilos de pão. Segundo a cronologia de maior aceitação, actualmente, entre os estudiosos, o
37 denário foi cunhado pela primeira vez em 211 a.c., durante a República, e valia 10 asses, daí o seu nome, que significa "que contém dez" em latim e em português. Contudo, há autores que referem que esta moeda começou a ser cunhada cerca de 187 a.c., em Brútio - outros, como S. I. Kovaliov, defendem que começou a ser emitido por volta de 268 a.c. Em torno de 141 a.c., foi reavaliado para 16 asses, devido à diminuição do tamanho do asse. O denário continuou a ser a principal moeda em circulação no Império até sua substituição pelo antoniniano, em meados do século III d.c. O conteúdo de prata do denário flutuou com o tempo, a depender das circunstâncias políticas e econômicas, tendo sido reduzido paulatinamente. Um áureo (moeda de ouro) valia 25 denários. Mesmo após a sua extinção, o denário continuou a servir de unidade de conta no Império Romano. Posteriormente, diversos países adotaram o termo "denário" (ou uma variação) para designar as suas moedas nacionais, como o denier francês e o dinar usado em países árabes. A própria palavra dinheiro, em português ( dinero, em espanhol e denaro em italiano), vem do latim denarius. A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um aumento de preços de um estado deflacionado, ou alternativamente, uma redução na taxa de deflação (ou seja, situações em que o nível geral de preços está caindo em uma taxa decrescente). Um termo relacionado é desinflação, que é uma redução na taxa de inflação, mas não o suficiente para causar deflação. Para abordarmos sobre a taxa da inflação é preciso que relembremos de taxas. Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira. Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas: Taxa Nominal: quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 1200% ao ano com capitalização mensal. 250% ao semestre com capitalização mensal. 300% ao ano com capitalização trimestral.
38 Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Exemplos: 100% ao mês com capitalização mensal. 450% ao semestre com capitalização semestral. 1300% ao ano com capitalização anual. Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 1+i efetiva = (1+i real ) (1+i inflação ) Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por: v real = 1 + i real v real = resultado / (1 + i inflação ) v real = 1,326 / 1,3 = 1,02 o que significa que a taxa real no período, foi de: i real = 2%
39 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento leva o indivíduo a contrair um empréstimo. E, para sanar este compromisso pode recorrer a diversas formas de pagamento, que recebem o nome de Sistema de Amortização. Como já vimos, amortização também pode ser entendida como, um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são sempre calculados sobre o saldo devedor e, para calcular as prestações é preciso entender sobre conceitos que estudamos até então, como taxas. A inflação é outro tema corriqueiro, e é preciso um aprofundamento neste assunto tão importante. Aqui, foi feito uma abordagem inicial sobre os conceitos de inflação.
40 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSAF NETO, Alexandre, Matemática Financeira e Suas Aplicações, Edit. Atlas, 2006. ARAÚJO, C. R. V., Matemática Financeira, Edt. Atlas, São Paulo, 1993. PINHEIRO, C. O. Aprenda a usar sua HP12C para calcular ganhos na poupança, CDB e ações de VERAS, L.L. Matemática Financeira:Uso de calculadoras financeiras. 6ª. Ed. São Paulo: Ed. Atlas, 2009.