O TRÂNSITO DE POTÊNCIAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE ENERGIA

F. MACIEL BARBOSA O TRÂNSITO DE POTÊNCIAS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE ENERGIA Janero 2013

F. Macel Barbosa 2

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO... 5 2. FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA... 7 3.TRÂNSITO DE POTÊNCIAS MODELO DE CORRENTE CONTÍNUA... 8 4.TRÂNSITO DE POTÊNCIAS MODELOS DE CORRENTE ALTERNADA... 10 5. DESVIOS DE POTÊNCIA. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA... 16 6. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL... 17 6.1. Método de Gauss-Sedel para a resolução de um sstema de equações... 17 6.2. O método de Gauss-Sedel para a resolução do problema do trânsto de potêncas... 19 7. MÉTODO DAS IMPEDÂNCIAS NODAIS... 23 8. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON... 26 8.1 Método de Newton-Raphson Generalzado... 26 8.2 Método de Newton-Raphson para a resolução de um problema de trânsto de potêncas... 28 9. MÉTODO DO DESACOPULAMENTO RÁPIDO... 35 10. REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM ESTUDOS DE FLUXOS DE CARGA... 41 10.1 Representação de transformadores com regulação automátca em carga... 47 11 RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA DO TRÂNSITO DE POTÊNCIAS... 48 11.1 Elmnação de Gauss... 48 11.2 Factorzação de matrzes... 50 11.3 B-fatorzação... 53 11.4 Armazenamento de matrzes esparsas... 56 12. O TRÂNSITO DE POTÊNCIAS E O CÁLCULO AUTOMÁTICO... 58 13 O TRÂNSITO DE POTÊNCIAS E O PLANEAMENTO DE REDES... 62 14 O TRÂNSITO DE POTÊNCIAS E A EXPLORAÇÃO DE UMA REDE ELÉTRICA... 65 15 TRÂNSITO DE POTÊNCIAS PROBABILÍSTICO... 65 15.1 Formulação do modelo probablístco do trânsto de potêncas... 67 BIBLIOGRAFIA... 70 ANEXO I TRÂNSITO DE POTÊNCIAS MODELO DC... 72 ANEXO II MODELO DC - Matrz das Sensbldades... 76 F. Macel Barbosa 3

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1. INTRODUÇÃO A função de um Sstema Elétrco de Energa (SEE) é a de almentar as cargas da forma mas económca possível e com uma contnudade e qualdade de servço adequada. Nas socedades modernas, com um elevado grau de desenvolvmento tecnológco e ndustral, é de prmordal mportânca o fornecmento da energa elétrca, que se tornou um dos servços mas báscos e essencas. Assm, a análse dos sstemas elétrcos assume hoje, devdo à complexdade das atuas redes de produção, transporte e dstrbução de energa, uma mportânca vtal. De entre as váras áreas tratadas na Análse de Sstemas Elétrcos, pela sua mportânca, salentamos Trânsto de potêncas Curto crcutos Fabldade Establdade Otmzação de redes Despacho económco Estmação de estado Controlo do Sstema Eléctrco. O cálculo do trânsto de potêncas é um dos estudos mas mportantes realzado na análse de sstemas elétrcos e é utlzado ntensamente nas fases de planeamento, projeto e exploração de uma rede elétrca. Antes do aparecmento dos computadores o trânsto de potêncas era calculado utlzando modelos analógcos, os analsadores de redes que podam ser analsadores de corrente contínua ou de corrente alternada. Os prmeros trabalhos relatvos ao cálculo do trânsto de potêncas utlzando o cálculo automátco apareceram na lteratura em 1956 (9) ; desde então é enorme o número de artgos e trabalhos que têm sdo publcados sobre este tema (7). O cálculo de um trânsto de potêncas permte conhecer o estado do sstema em regme estaconáro, para um dado conjunto de cargas nos barramentos (centras, subestações ou postos de transformação). Na análse de um sstema produção/transporte a potênca atva fornecda pelos grupos é normalmente especfcada, tendo em atenção o despacho económco dos grupos e a tensão nos barramentos produtores é mantda constante devdo à ação dos sstemas de exctação dos alternadores. As cargas são normalmente representadas pelas suas potêncas atvas e reatvas e é suposto não serem afetadas pelas pequenas flutuações de tensão e frequênca que ocorrem na exploração do sstema em regme estaconáro. O trânsto de potêncas permte-nos determnar a tensão (em módulo e fase) nos barramentos de um sstema elétrco a partr da qual se determnarão as potêncas que crculam nos ramos da rede nessa confguração de produção/consumo. Estes estudos são hoje realzados por recurso ao cálculo automátco e as equações defnndo o estado do sstema são resolvdas F. Macel Barbosa 5

por técncas numércas específcas que tram partdo da estrutura partcular do problema. Atendendo à evolução dos sstemas de cálculo automátco, estes estudos são hoje realzados para sstemas reas de grande dmensão, com sstemas de controlo ncluídos, podendo, nclusvamente serem realzados em tempo real. Os trânstos de potênca podem fazer parte de estudos muto mas complexos, tas como análse de segurança (estudo de ncdentes), estudos de otmzação, despacho económco, fabldade, establdade, etc., justfcando-se assm o cudado com que estes programas devem ser elaborados e a mportânca que estes estudos assumem dentro da área da análse de redes. Há város métodos numércos de resolução do problema de trânsto de potêncas, podendo, de uma forma smplfcada, serem dvddos em três categoras: métodos da matrz [Y] métodos da matrz [Z] métodos de Newton-Raphson. Embora ncalmente os estudos de trânsto de potêncas tenham sdo desenvolvdos e realzados para redes de transporte e nterlgação, hoje em da, com o desenvolvmento do equpamento nformátco, são correntemente realzados pelas pequenas empresas de dstrbução para estudos de redes de dstrbução de méda tensão. Enquanto numa rede de transporte os barramentos representam as centras produtoras e as subestações, numa rede de dstrbução de méda tensão os barramentos representarão as subestações e os postos de transformação. Para a resolução de um trânsto de potêncas precsamos, nomeadamente, de conhecer: Impedâncas de todos os elementos da rede; Potêncas atvas e reatvas produzdas e consumdas na rede; Tensão (em módulo) nos barramentos com dspostvos de controlo de tensão. Os dados a obter do trânsto de potêncas serão: Ampltude e argumento das tensões de todos os barramentos; Potênca atva e reatva produzda e consumda em todos os barramentos; Potêncas njetadas nas extremdades dos elementos (lnhas e transformadores) da rede; Potênca reatva produzda e consumda por todos os dspostvos de compensação exstentes na rede; Perdas totas. A resolução numérca de problemas de trânsto de potêncas deverá ter, tanto quanto possível, as seguntes característcas: Elevada velocdade de cálculo, o que é extraordnaramente mportante quando se trabalha com sstemas reas de grande dmensão, em tempo real, em estudos de segurança da rede (análse de contngêncas) e em aplcações nteratvas. Necessdade de pouca memóra de computador o que é mportante para a análse de sstemas de grande dmensão e para a utlzação de mncomputadores por parte de F. Macel Barbosa 6

empresas de pequena dmensão. Fabldade de soluções o que é mportante para a análse de problemas mal condconados. Versatldade para ldar com característcas especas, tas como, controlo das tomadas de regulação dos transformadores, e ser susceptível de ser ncluído em programas muto mas complexos, como estudos de establdade. Smplcdade 2. FORMULAÇÃO BÁSICA DO PROBLEMA O cálculo do trânsto de potêncas exge a resolução de um sstema de equações que defnem uma rede elétrca em que as lnhas são representadas pelo seu esquema equvalente em Π e as cargas e potêncas produzdas, por uma corrente. O sstema de equações a resolver é não lnear devdo às correntes nodas serem especfcadas como: I S * = * V em que V não é conhecdo. Como as perdas do sstema não são conhecdas á pror, não é possível especfcar as potêncas produzdas por todos os barramentos. Assm, é usual não especfcar a potênca produzda por um dos barramentos, desgnado por barramento de compensação. Defne-se potênca njetada (P + jq) num barramento, como a dferença entre a potênca produzda (Pp + jqp) e a potênca consumda (P C + jqc) nesse barramento (Fgura 2.1). P + jq P + jq p p P + jq c c Fg. 2.1 - Defnção de potênca njetada Os barramentos em que só há produção ou em que a produção é superor ao consumo, F. Macel Barbosa 7

terão uma potênca njetada postva. Os barramentos em que só há consumo ou em que o consumo é superor à potênca produzda terão uma potênca njetada negatva. Num sstema elétrco é usual defnr três tpos de barramentos: Barramentos PQ - barramentos para os quas as potêncas atvas e reatvas njetadas são especfcadas. Serão assm os barramentos para os quas se conhece a potênca produzda e/ou consumda. Barramentos PV - barramentos para os quas a potênca atva njetada e o módulo da tensão são especfcados. A potênca reatva njetada (Q) neste barramento é uma ncógnta cujo valor será fornecdo pela resolução do "trânsto de potêncas". Um barramento deste tpo será um barramento em que há produção de energa reatva (alternador, compensador síncrono ou bateras de condensadores) para que seja possível manter o nível da tensão no valor especfcado. Notar que devdo à exstênca de lmtes físcos para as fontes de energa reatva, a energa reatva produzda terá que estar compreendda entre as capacdades de produção da fonte, assm Q mn < Q < Q max Pode também suceder que a fonte de energa reatva não tenha capacdade para manter a tensão no valor especfcado e assm o barramento, que era um barramento PV, tem que passar a ser consderado como um barramento PQ. Neste caso a potênca reatva njetada deverá ser fxada no lmte atngdo, enquanto a tensão poderá assumr quasquer valores. Barramento de referênca dos argumentos - trata-se de um tpo de barramento fctíco ntroduzdo para resolver o problema do trânsto de potêncas. Qualquer barramento PV pode ser escolhdo para servr de referênca aos argumentos das tensões dos outros barramentos. Neste tpo de barramento é então especfcada a tensão em módulo e argumento (de um modo geral o argumento é fxado em zero). Normalmente faz-se concdr o barramento de referênca com o barramento de compensação ("slack or swng busbar" na termnologa nglesa). A exstênca deste tpo de barramento torna-se necessára por as perdas não serem conhecdas e assm não se poder especfcar à partda a potênca produzda em todos os barramentos. A potênca produzda no barramento de compensação será então um dos resultados do trânsto de potêncas. Por esta razão será convenente escolher como barramento de compensação um barramento de potênca dsponível elevada. Na prátca as perdas IR 2 serão repartdas por todos os geradores, mas havendo uma grande capacdade de produção no barramento de referênca, o erro será nsgnfcante. 3.TRÂNSITO DE POTÊNCIAS MODELO DE CORRENTE CONTÍNUA Consderemos o sstema com dos barramentos representado na fgura 3.1 F. Macel Barbosa 8

~ P j + jq j j Yj = Gj + Bj Y sh = jb sh Fg. 3.1 Sstema consttuído por dos barramentos A potênca que crcula entre os barramentos e j será dada pela expressão: * * 2 j j j j sh j j P + Q = V V V y + V V y = ( V V V cos θ * 2 j V V sen θ ) G + jb j V b 3.1 j j j j sh 2 j = j + j j θj j j θj P G V G V V cos B V V sen 3.2 em que θ =θ θ j j Admtndo que: Os módulos das tensões são constantes e guas a 1 p.u. em todos os barramentos do sstema; As resstêncas dos componentes são desprezadas pelo que j j 2 ( 2) 2 ( 2) G = r r + x 0 B = x r + x 1x O trânsto de energa reatva não é consderado; São gnorados os shunts que possam aparecer nos esquemas equvalentes em π dos componentes do sstema; j F. Macel Barbosa 9

As dferenças dos argumentos de barramentos adjacentes são pequenos pelo que (para θ expresso em radanos) teremos: cos θ j = 1 θj 0 sen θ j =θ j Assm, a equação 3.2 tomará a forma Na forma matrcal teremos: P = θ θ x 3.3 j j j [ P] = [ B] [ θ ] ( 3.4) em que: e De 3.4 tra-se que: t [ P] = [ P1 P 2...Pn] t [ θ ] = [ θ θ... θ ] 1 2 n n + 1 número total de barramentos B B j = 1x = 1x j k k barramentos lgados ao barramento 1 [ θ ] = [ B] [ P] ( 3.5) 4.TRÂNSITO DE POTÊNCIAS MODELOS DE CORRENTE ALTERNADA O modelo de c.a. (corrente alternada) para a resolução de um problema de trânsto de F. Macel Barbosa 10

potêncas pode ser formulado consderando o -ésmo barramento de um sstema elétrco (Fgura 4.1). SP S k j Fg. 4.1 Sstema Elétrco de Energa A potênca njetada num barramento pode ser escrta como: Na forma polar será: S V = y V * * k k ou * k k S = V y V 4.1 * k k k * k k k k k S = V θ Y V θ 4.2 S = V Y V θ θ =θ θ Separando a parte real e a parte magnára teremos: ( 4.3) P = V V G cos θ + B sen θ 4.4 k k k k kj Q = V V G senθ B cos θ 4.5 k k k k k em que Y = G + jb O desvo de potênca ( S ) entre a potênca especfcada para o barramento e o valor calculado na teração r será dado por: SP rcalc SP r * S = S S = S V I 4.6 Separando a potênca atva e a potênca reatva teremos: F. Macel Barbosa 11

P = P V V G cos θ + B sen θ 4.7 r SP r r r r k k k k k r SP r r r r k k k k k Q = Q V V G sen θ B cos θ 4.8 Normalmente os trânstos de potênca são realzados assumndo que o sstema elétrco é um sstema equlbrado, obtendo-se resultados aproxmados que são utlzados para a generaldade dos estudos. Usando notação matrcal, o sstema elétrco pode ser representado pela equação: [ Y] [ V] = [ I] ( 4.9) em que [I] representa as correntes equvalentes njetadas nos barramentos e são calculadas pela expressão: * * I = S V 4.10 em que S é a potênca njetada no barramento: S = P + jq j P + jq = P + jq 4.11 p p c c Assocado a cada barramento teremos então quatro varáves P, Q, V e θ, em que duas das varáves são especfcadas e as outras duas devem ser calculadas. De acordo com as varáves especfcadas teremos então os três tpos de barramentos já referdos: Barramento PQ - P, Q especfcados - V, θ desconhecdos Barramento PV - P, V especfcados - Q, θ desconhecdos Barramento de referênca - V, θ especfcados Para um barramento PQ teremos Para um barramento PV teremos S = P P + j Q Q = V I 4.12 SP SP SP SP SP * p c p c F. Macel Barbosa 12

P = P P = R V I 4.13 SP SP SP * p c e V SP coordenadas polares SP 2 2 V = e + f coordenadas cartesanas 4.14 A equação nodal 4.1 nclu o barramento de referênca. Como para o barramento de referênca a tensão (em módulo e argumento) é conhecda, tal equação pode ser elmnada. Esta elmnação assegura, mesmo no caso de não haver admtâncas fortes à terra, que a matrz resultante seja não nula. Consderando o barramento de referênca como o barramento 0, teremos o segunte sstema de equações: y v + y v +... + y v = I y10 v0 + y11 v 1 +... + y1n vn = I1 y v + y v +... + y v = I 00 0 01 1 0n n 0 n0 0 n1 1 nn n n Como os elementos da 1ª coluna são conhecdos, podem ser transferdos para o membro do lado dreto. Omtndo a 1ª equação teremos o segunte esquema de equações: y11 v 1 +... + y1n vn = I1 y10 v0 y v +... + y v = I y v n1 1 nn n n n0 0 Este sstema de equações, sob a forma matrcal, pode ser escrto como: ' ' ' Y V = E A nova matrz [Y'] é obtda da matrz das admtâncas ncal [Y] omtndo a lnha e a coluna relatvas ao barramento de referênca. As novas tensões [V'] são as tensões nodas do sstema com a tensão do barramento de referênca omtda. Apenas algumas das correntes nodas são lgeramente modfcadas pelos termos y 10 v o em que y 10 representa a admtânca do ramo lgado entre o nó e o barramento de referênca. Por smplcdade de notação passaremos a assumr que a equação 4.1 exclu o barramento de referênca. F. Macel Barbosa 13

0 I 0 I 1 1 y a y d y b y c 3 2 Fg. 4.2 Sstema elétrco consttuído por quatro barramentos O sstema representado na fgura 4.2 é consttuído por quatro barramentos, em que 0 é o barramento de referênca, pode ser descrto pelo sstema de equações: y a + yb yb v 1 I1+ ya v0 y b yb + yc yc v = 2 I 2 y c yc + yd v 3 I3 + yd v0 Este sstema de equações pode ser escrto como [ Y] [ V] = [ I] ( 4.16) e ser resolvdo em relação a V 1, V 2 e V 3. Posterormente é possível calcular as potêncas que crculam em todos os ramos. A corrente njetada no barramento de referênca, I 0, pode ser calculada pela soma de todas as correntes que crculam nos ramos lgados ao nó de referênca. A matrz [ Y ], matrz das admtâncas nodas reduzda, tem uma estrutura bem defnda, o que a torna de fácl construção e tem as seguntes característcas: É uma matrz quadrada com a dmensão n n (n + 1 - número total de barramentos do sstema) Y Y k = y admtânca própra do barramento k k = y admtânca mútua entre os barramentos e k É uma matrz smétrca, uma vez que: Y k = Y k F. Macel Barbosa 14

É uma matrz complexa É uma matrz muto esparsa (sto é, tem uma elevada percentagem de elementos nulos) A equação 4.16 pode ser resolvda em ordem a V e a partr do conhecmento das tensões dos barramentos podem-se calcular as potêncas que crculam nos ramos. A corrente njetada no barramento de referênca pode ser calculada, somando as correntes em todos os condutores lgados a esse barramento. A equação matrcal do trânsto de potêncas 4.16 pode ser escrta como um somatóro. Para o barramento teremos: k k Atendendo à equação 4.10 teremos: Y V = I 4.17 * * k k * * k k = Y V = S V 4.18 V Y V S 4.19 Usando coordenadas polares, a equação 4.19 pode ser escrta como: * k k k * k k k S = V θ Y V θ 4.20 ou S = V Y V θ θ 4.21 Separando a parte real e a parte magnára teremos: P = V V G cos θ + B sen θ = k k k k k 2 k k k k k = V G + V G cos θ + B sen θ V 4.22 Q = V V G sen θ B cos θ = k k k k k 2 k k k k k = V B + V G sen θ B cos θ V 4.23 Notar que embora no problema de trânsto de potêncas a rede seja suposta lnear, equlbrada e representada através de parâmetros concentrados, o problema que temos que resolver é um problema não lnear devdo às condções mpostas nos barramentos. Assm, qualquer resolução numérca do problema do trânsto de potêncas será por natureza um processo teratvo. F. Macel Barbosa 15

5. DESVIOS DE POTÊNCIA. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Como a resolução numérca do problema do cálculo do trânsto de potêncas é teratva, é necessáro ter um crtéro para a convergênca (sto é, defnr quando é que o processo teratvo termna). É usual usar para tal crtéro os desvos de potênca. Entende-se como desvo de potênca a dferença entre o valor da potênca especfcada (S SP ) e o valor da potênca calculada na teração r, dado por: S = S V I = P + jq V y V 5.1 r SP r * SP SP r * *r k k Separando as partes reas e as partes magnáras, esta equação pode ser escrta em coordenadas polares (equações 5.2 e 5.3) ou retangulares (equações 5.4 e 5.5) como: P = P V G cos θ + B sen θv 5.2 SP k k k k k Q = Q V G sen θ B cos θ V 5.3 SP k k k k k P = P e G e B f + f G f + B e 5.4 SP k k k k k k k k Q = Q f G e B f + e G f + B e 5.5 SP k k k k k k k k k Nas equações anterores V representa a tensão no barramento calculada na teração r. O crtéro de convergênca mas usado na prátca é: P <ξ para todos os barramentos PQ e PV Q <ξ para todos os barramentos PQ em que normalmente ξ está compreenddo entre 0.1 a 10 MW/MVAr. Em alguns métodos para a resolução do problema do trânsto de potêncas, como no Newton-Raphson, ou no método de desacopulamento rápdo, os valores dos desvos da potênca são obtdos em todas as terações, pelo que o crtéro referdo é de fácl mplementação. Noutros métodos, como no método de "Gauss-Sedel" ou no método das "Impedâncas Nodas" os valores obtdos em cada teração referem-se às tensões nos barramentos. Para que o método dos desvos de potênca fosse aplcado era necessáro que em cada teração fossem calculadas as potêncas njetadas em cada barramento o que aumentara bastante o tempo de cálculo de cada teração. Nestes métodos é então usual estabelecer prmero um crtéro de "desvos de tensão" cuja verfcação garante que os desvos de potênca serão pequenos. Quando a convergênca das tensões é atngda então deverá verfcar-se se o desvo das potêncas também se verfca. No caso de o desvo das potêncas se verfcar o processo teratvo está termnado pos já obtvemos a solução com a precsão pretendda. Caso não se verfque, devemos "apertar" o crtéro de "desvos de tensão" e prossegur com mas algumas F. Macel Barbosa 16

terações até que o crtéro de desvo de potêncas se verfque. Como valores típcos para "desvos de tensão" (2) podemos consderar: Método de Gauss Sedel e, f < 0.0001 p.u. Método das Impedâncas nodas e, f < 0.001 p.u. que garantem, em prncípo, P, Q < 0.001 p.u. O crtéro de convergênca a usar deverá ser sempre o crtéro dos "desvos de potênca" que é o únco com sgnfcado físco, pos corresponde à verfcação da le dos nós de Krchoff. 6. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 6.1. Método de Gauss-Sedel para a resolução de um sstema de equações Para calcularmos o trânsto de potêncas, teremos que resolver o sstema de equações matrcal 4.16, que é um sstema de equações não lneares. Um método muto utlzado para a resolução de um sstema de equações não lneares é o método de Gauss. Para exemplfcar o método de Gauss consderemos o sstema de equações lneares: r Representando por, x a r-ésma aproxmação da varável x, a x r+1 solução pode ser obtda dvdndo cada equação pelo coefcente da dagonal prncpal e ordenando convenentemente. Assm, teremos a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 = b2 6.1 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3 x = a b a x a x r+ 1 1 1 11 1 12 2 13 3 r+ 1 1 2 = 22 2 21 1 23 3 r+ 1 1 3 = 33 3 31 1 32 2 x a b a x a x 6.2 x a b a x a x A resolução do sstema de equações será então um processo teratvo que permtrá encontrar a solução do sstema com a precsão pretendda ao fm de um dado número de terações. O algortmo exge que todos os a sejam não nulos, o que restrnge a generaldade do método. Verfca-se, porém, que devdo à natureza físca do problema do trânsto de potêncas, todos os a são não nulos. Utlzando em cada teração os valores mas recentes das varáves (em lugar dos valores das varáves obtdas na teração anteror) obtemos um método teratvo mas efcente desgnado F. Macel Barbosa 17

por método dos deslocamentos sucessvos ou método de Gauss-Sedel. As equações do método de Gauss-Sedel para a resolução do sstema de equações 6.1 serão: x = a b a x a x r+ 1 1 r r 1 11 1 12 2 13 3 x = a b a x a x 6.3 r+ 1 1 r+ 1 r 2 22 2 21 2 22 3 x = a b a x a x r+ 1 1 r+ 1 r+ 1 3 33 3 31 1 32 2 Este algortmo é de fácl programação e exge pouca memóra computaconal, daí o seu grande nteresse. A ordem pela qual as equações são escrtas condcona a velocdade de convergênca do método pelo que é convenente utlzar técncas de ordenação (6) (pré-ordenação ou ordenação dnâmca). A convergênca do processo será boa se o valor absoluto dos elementos da dagonal prncpal for muto maor do que a soma dos elementos fora da dagonal prncpal da lnha correspondente (6). A convergênca do método pode ser verfcada calculando a dferença do valor das varáves obtdas entre duas terações consecutvas. No caso de todas as dferenças serem nferores a um valor pré-fxado a solução fo obtda com a precsão pretendda e o processo teratvo está termnado. O método de Gauss-Sedel na resolução de problemas prátcos, raramente é utlzado sem a nclusão de um processo de aceleração lnear, de modo a se melhorar a velocdade de convergênca. A determnação do fator ótmo de aceleração é porém um problema matemátco de dfícl solução, pos depende da natureza das equações, pelo que há necessdade de utlzar fatores de aceleração empírcos. Um fator de aceleração lnear smples pode ser obtdo como r+ 1 r r+ 1 r x = x +α x x 6.4 acel O fator de aceleração α é constante para todos os valores de x ( = 1,...n) e, normalmente, 1<α< 2 Fatores de aceleração muto grandes causarão dvergêncas do processo, nomeadamente durante as prmeras terações, em que há uma dferença relatvamente grande no valor das varáves em terações consecutvas. Em problemas de trânsto de potêncas podem-se obter curvas como a representada na Fg. 6.1, para se determnar o valor ótmo do fator de aceleração. F. Macel Barbosa 18

100 Número deterações para convergr 10 Dverge 1 α óptmo 2 Fg. 6.1 Fatores de aceleração e velocdade de convergênca A Fg. 6.2. lustra grafcamente o efeto do fator de aceleração num problema com apenas duas varáves. α (a) (b) (c) Fg. 6.2. Efeto do fator de aceleração na convergênca a) não há aceleração convergênca lenta b) há aceleração convergênca mas rápda c) aceleração demasada grande não há convergênca 6.2. O método de Gauss-Sedel para a resolução do problema do trânsto de potêncas Como fo referdo, o problema do trânsto de potêncas pode ser resolvdo através da equação matrcal 4.16, em que [ Y] é a matrz das admtâncas nodas reduzda (.e. o barramento de referênca fo elmnado). Para um sstema com n + l barramentos e sendo o barramento zero (ou o barramento n+l) o barramento de referênca, a equação matrcal 4.16 pode ser escrta como: F. Macel Barbosa 19

YV+ YV +... + Y V= I YV= S V YV 11 1 12 2 1n n 1 10 0 1 1 10 0 21 11 22 2 2n n 2 20 0 2 1 20 0 n1 11 n2 2 nn n n n0 0 n n n0 0 Este sstema de equações pode ser escrto como: ou, para o barramento, sob a forma de somatóro Y V + Y V +... + Y V = I Y V = S V Y V 6.5 Y V + Y V +... + Y V = I Y V = S V Y V V = Y S V Y V Y V...Y V 1 * * 1 11 1 1 10 0 12 2 1n n 1 * * V2 = Y 22 S2 V2 Y20V0 Y21V 2...Y2n Vn 6.6 1 * * Vn = Y nn Sn Vn Yn0 V0 Yn1V 2...YnnV n 1 * * V = Y S V YkVk 6.7 A resolução deste sstema de equações pode ser feta utlzando o método de Gauss-Sedel. O processo teratvo pode ser ncalzado tomando para valores de V e θ respetvamente 1 e 0 o, ou V = 1.0 + j 0.0. O processo teratvo para a resolução do problema de trânsto de potêncas utlzando o método de Gauss-Sedel, consstrá na resolução da equação: r+ 1 1 r r V = Y S V YkVk 6.8 * em que r representa a ordem da teração. Como as equações do sstema de equações 6.8 são equações complexas será convenente separar a parte real e a parte magnára para a sua resolução utlzando cálculo automátco. Para os barramentos PQ, uma vez que a potênca S é especfcada e a tensão V não é conhecda, as equações para o processo teratvo para estes barramentos serão: 1 n+ 1 r+ 1 1 r+ 1 r V = Y I Yk Vk Yk Vk ( 6.9) k= 1 k= + 1 * SP r * * I = S V Y V 6.10 10 0 Para os barramentos PV, a potênca atva njetada é especfcada, bem como o módulo da tensão. O valor da potênca reatva njetada e o argumento da tensão são desconhecdos e podem ser calculados atendendo às seguntes relações: F. Macel Barbosa 20

k k * * 10 0 Substtundo a equação 6.12 na equação 6.11 teremos: I = Y V 6.11 I = S V Y V 6.12 ou * * 10 0 k k S = V Y V + V Y V 6.13 1 n+ 1 r+ 1 * r+ 1 r Q = Im ag. V Y0 V0 + YkVk + YkVk 6.14 k= 1 k= + 1 1 n+ 1 r+ 1 1 r+ 1 r θ = Arg. Y I YkVk YkVk 6.15 k= 1 k= + 1 Onde: I= P Q V YV SP r * 10 0 Nos barramentos PV deve-se fazer em todas as terações: V = V SP A Fg. 6.3 representa um fluxograma para a resolução de um problema de trânsto de potêncas utlzando o método de Gauss-Sedel. F. Macel Barbosa 21

Construção da matrz Y Defnção dos valores Incas para V e θ ITER = 0 ITER = ITER + 1 I = 0 I = I + 1 Ref. Barramento Ref,PQ,PV? PQ PV Cálculo de Q e θ Eq. (6.14) e (6.15) Cálculo de V Eq. (6.9) e (6.10) V = V SP N I = N S Converge S Saída de resultados N STOP N ITER = ITER Máx S O processo não convergu Fg. 6.3 Fluxograma para o método de Gauss-Sedel F. Macel Barbosa 22

7. MÉTODO DAS IMPEDÂNCIAS NODAIS O método da matrz [Z] (matrz das mpedâncas) para a resolução do problema do trânsto de potêncas é análogo ao método da matrz das admtâncas analsado no ponto 4. A maor dferença é que a equação 4.16 é resolvda dretamente em relação a [V] usando a matrz [Z]. Assm, a equação (4.16) será escrta como: A matrz [Z] pode ser calculada dretamente usando algortmos de construção (2), ou obtda por nversão da matrz [Y] (utlzando por exemplo o método de Gauss-Jordan). A obtenção da matrz [Z] por nversão da matrz [Y] não é um método numérco efcente, pelo que não deve ser utlzado, mesmo para sstemas de pequena dmensão. As equações para o processo teratvo serão: em que 1 [ V] = [ Y] [ I] = [ Z][ I] ( 7.1) V1 = Z11I1 + Z12I 2 +... + Z1nI n V2 = Z21I1 + Z22I 2 +... + Z2nIn 7.2 V = Z I + Z I +... + Z I n n1 1 n2 2 nn n * * n n n n0 0 Para os barramentos PQ o algortmo para a determnação de V será: Para os barramentos PV o algortmo para a determnação de Q e θ será: Com este valor aproxmado de r+ 1 *r+ 1 r 1 I + calcula-se então * * I1 = S1 V1 YV 10 0 * * I2 = S2 V2 Y20V0 7.3 I = S V Y V 1 n+ 1 n+ 1 V = Z S V + Z S V Z Y V 7.4 r+ 1 * r+ 1 * r k k k 0 0 k= 1 k= k= 1 1 n+ 1 n+ 1 r+ 1 1 r+ 1 r I = Z V ZkIk ZkIk + ZkY0 V0 7.5 k= 1 k= k= 1 { } Q = Imag V I 7.6 F. Macel Barbosa 23

Para os barramentos PV toma-se normalmente para calcular o valor ncal de I a expressão I = P V 0 SP * Nos barramentos PV deve-se gualmente proceder em todas as terações à correção do módulo de V. A Fg. 7.1 representa um fluxograma para o cálculo do trânsto de potêncas utlzando o método da matrz das mpedâncas. A vantagem do método da matrz [Z] quando comparado com o método da matrz [Y] é que a convergênca é muto mas rápda. Este facto resulta de a matrz [Z] ser em geral muta chea, ao contráro da matrz [Y], o que dá uma boa nformação entre as lgações exstentes entre os barramentos. A convergênca é de um modo geral conseguda entre 10 e 20 terações. A desvantagem do método é a dfculdade que há na obtenção da matrz [Z] e a maor capacdade de memóra necessára. F. Macel Barbosa 24

Construção da matrz Z Incalzação dos valores de V ITER = 0 ITER = ITER + 1 I = 0 I = I + 1 Ref. Barramento Ref,PV, PQ PV PQ Cálculo de I (6.5) e Q (6.6) Cálculo de V (6.4) V = V SP N I = N S Converge S Saída de resultados N STOP N ITER = ITER Máx S Mensagem Fg. 7.1. Fluxograma para o cálculo do trânsto de potêncas pelo método da matrz das mpedâncas F. Macel Barbosa 25

8. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 8.1 Método de Newton-Raphson Generalzado Um método efcente para a determnação das raízes de polnómos, equações trgonométrcas, funções exponencas ou logarítmcas é o desgnado por método de Newton-Raphson (NR). Se se conhecer uma solução x r, aproxmada, de uma equação não lnear: f (x) = 0 ( 8.1) então, uma melhor aproxmação para a solução pode ser obtda de: r pelo desenvolvmento em sére de Taylor de f( x x) +. Assm: Se Δx for pequeno, sto é, se a prmera aproxmação for sufcentemente correta, então os termos de ordem superor à 1ª podem não ser consderados, e a solução da equação r r = ( + ) f x f x x 0 8.4 é dada, aproxmadamente, por: ( + ) = + f x' x' f x' x'f' x 0 8.5 r x ' = f x f ' x 8.6 r r r 1 r x + = x + x 8.2 ( r + ) = ( r ) + ( r ) + 2 ( r ) + f x x f x xf ' x x 2! f '' x... 8.3 r 1 r r r x + = x + x = x f xr f ' xr 8.7 Obteve-se assm um processo teratvo para a determnação da solução da equação não lnear 8.1. Na Fg. 8.1 pode-se ver a nterpretação geométrca do método de Newton-Raphson. F. Macel Barbosa 26

y f(x r ) tg φ= f x x x = f ' x r r r+ 1 r φ x r+1 x r x Fg. 8.1 Interpretação geométrca do método de Newton-Raphson O método de NR pode também ser aplcado à resolução de um problema mult-varável. Para analsarmos a aplcação do método de N.R. à resolução de um problema multvarável, consderemos um sstema de n equações com n varáves: Que, de uma forma compacta, pode ser escrto como: 1 n f X = 0 x1 x f2 X = 0 em que x = 8.9 xn [ ] 2 f X = 0 = = f x, x,...x 0 1 1 2 n f x, x,...x 0 8.8 2 1 2 n f x, x,...x = 0 n 1 2 n Se, se conhecer uma raz aproxmada [X 0 ] do sstema, uma melhor aproxmação para a solução do sstema pode então ser obtda como: F. Macel Barbosa 27

[ X ] [ X ] [ X] em que X. ( 8.10) = + =. x n 1 0 x1 x 2 Fazendo o desenvolvmento em sére de Taylor de FX ( X ) + teremos: 0 0 Teremos então para o cálculo da solução o processo teratvo: Em que [ ] r f x + x = f x + x δf x δ x = 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 ( + ) = + δ δ = ( + ) = + δ δ = f x x f x x f x x 0 8.11 2 0 0 2 0 2 2 0 2 f x x f x x f x x 0 n 0 0 n 0 n n n n 1 [ ] r+ 1 r x = x J F x r r 8.12 J é a matrz jacobana calculada na teração r. [ ] δf1 x δx1 δf1 x δx2 δf1 x δxn δf2 x δx1 δf2 x δx2 δf2 x δxn J = 8.13 δfn( x) δx1 δfn( x) δx2 δfn( x) δxn 8.2 Método de Newton-Raphson para a resolução de um problema de trânsto de potêncas Para a aplcação do método de NR para a resolução de um problema de trânsto de potêncas, será então necessáro escrever as equações que defnem o problema sob a forma de [F(x)] = 0. A forma mas convenente, e a mas utlzada, é a formulação do problema do trânsto de potêncas através dos desvos de potênca, a qual pode ser feta em coordenadas polares ou coordenadas cartesanas (equações 5.2 a 5.5). Teremos então na formulação em coordenadas polares as seguntes equações: F. Macel Barbosa 28

Barramentos PQ Barramentos PV Barramento de referênca Não é necessáro nenhuma equação. P = P V G cos θ + B sen θ V = 0 8.14 SP SP k k k k k SP SP ( k k k k ) k Q = Q V G sen θ B cos θ V = 0 P = P V G cos θ + B sen θ V = 0 8.15 SP SP k k k k k Notemos que o sstema que temos que resolver terá duas equações por cada barramento PQ e uma equação por cada barramento PV. As ncógntas para os barramentos PQ são V e θ e para os barramentos PV são os θ e os Q. Em termos das varáves do problema de trânsto de potêncas, o método de NR para a resolução do sstema de equações pode ser escrto como: [ θ] [ V] [ P] [ Q] 1 = [ J] 8.16 1 [ x] J [ F] ( 8.17) = Calculemos agora os elementos do Jacobano. A matrz Jacobana consttuída pelas dervadas parcas, pode ser subdvdda em quatro: [ ] [ H] [ N] [ M] [ L' ] J = 8.18 Os elementos do Jacobano obtêm-se dervando as equações 8.14 e 8.15 e tendo em atenção que: δcos θk δθ = sen θk δcos θk δθ k = sen θk δsen θk δθ = cos θk δsen θ δθ = cos θ k k k Os elementos do Jacobano serão então: F. Macel Barbosa 29

2 SP H = δ P δθ = V V G sen θ B cos θ 8.19 k k k k k k k H = δ P δθ = V V B cos θ G sen θ = V B Q 8.20 k k k k k SP 2 M = δ Q δθ = V V G cos θ + B sen θ 8.21 k k k k k k k M = δ θ δθ = V G cos θ + B sen θ = P V G 8.23 N k k k k k = δ P SP SP δ V = V G cos θ + B sen θ 8.24 k k k k k N = δ P δ V = V G + P V 8.25 L = δ Q δ V = V G sen θ B cos θ 8.26 k k k k k k L = δ Q δ V = V B + Q V 8.27 Ter em atenção que os índces e k das matrzes H,M,N e L nas equações 8.19 a 8.27 não são os índces dos elementos das matrzes. Os elementos do Jacobano serão mas smples de calcular se a equação 8.18 for escrta como: ou [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ θ] [ ] P H N = Q M L VV ( 8.28) P = H θ + N V V 8.29 Q = M θ + L VV Esta nova formulação leva a que em lugar de se calcular ΔV se passe a calcular ΔV /V. Como resultado desta nova formulação passaremos a ter as seguntes relações entre os elementos do Jacobano: Para k Hk = Lk = V Vk Gksen θk Bk cos θk Nk = Mk = V Vk Gk cos θ k + Bksenθk 8.30 8.30 Para = k H = B V Q N = G V + P 8.32 2 2 2 2 = + = + M G V P L B V Q 8.33 A fgura 8.2 mostra um fluxograma para o cálculo do trânsto de potêncas utlzando o método de Newton-Raphson, formulado em coordenadas polares para desvos de potêncas. O método de Newton-Raphson pode também ser aplcado utlzando a formulação em coordenadas cartesanas. Neste caso as equações de desvo (ou de fecho) serão F. Macel Barbosa 30

Barramentos PQ Barramentos PV V = e + f Barramento de referênca Não é necessáro nenhuma equação. P = P e G e B f + f G f + B e 8.34 SP k k k k k k k k = Q f G e B f + e G f + B e SP k k k k k k k k k P = P e G e B f + f G f + B e 8.35 SP k k k k k k k k 2 2 2 F. Macel Barbosa 31

Construção da matrz Y Valores ncas Veθ ITER = 0 ITER = ITER + 1 I = 0 I = I + 1 Ref. Barramento I PV PQ Calcular Q Calcular P N I = N S Converge N ITER = ITER Máx N Construr o Jacobano S S Saída de resultados Mensagem STOP Calcular [ θ] e [ V] Actualzar θ e V Fg.8.2 Fluxograma para o cálculo do trânsto de potêncas pelo método de NR F. Macel Barbosa 32

Notar que na formulação do NR em coordenadas cartesanas são necessáras duas equações por cada barramento PV. De facto, embora nos barramentos PV o módulo da tensão esteja fxado, o argumento não está, pelo que e e f varam em cada teração. Em coordenadas cartesanas a formulação de NR conduz ao sstema [ S] [ T] [ ] [ ] [ ] [ ] P e Q U W f = 8.36 2 V E F em que os elementos de Jacobano são dados por: k k k k k k k k k k S = e G + f B 8.37 S = 2e G + G e B f 8.38 k k k k k k k T = e B + f G 8.39 T = 2G f + B e + G f 8.40 k k k k k k k k k k k U = f G e B 8.41 U = 2B e B e + G f 8.42 W = f B e G 8.43 W = 2B f + G e B f 8.44 E k k = 0 8.45 E = 2e 8.46 F = 0 8.47 F = 2f 8.48 A formulação em coordenadas cartesanas tem a vantagem de não necesstar do cálculo de funções trgonométrcas. Esta formulação terá então vantagens quando o número de barramentos PV for muto reduzdo, como é o caso de uma rede de dstrbução de méda tensão almentada a partr de uma únca subestação. Neste caso haverá apenas um barramento PV, que será escolhdo para barramento de referênca, pelo que o número de equações na formulação em coordenadas polares ou em coordenadas cartesanas será o mesmo. Nesta stuação partcular, a formulação em coordenadas cartesanas terá a vantagem de não necesstar do cálculo de funções trgonométrcas. O problema do trânsto de potêncas pode também ser resolvdo usando desvos de corrente em lugar de desvos de potênca, mas as formulações usando desvos de potêncas são F. Macel Barbosa 33

as mas utlzadas, devdo à sua maor velocdade de convergênca. Analsemos em pormenor a construção do Jacobano, para o que consderemos o sstema com quatro barramentos representado na fgura 8.3. Consderemos o barramento 2, como o barramento de referênca, o barramento 3 como um barramento PV e os barramentos 1 e 4 como barramentos PQ. ~ 1 2 Ref. 4 3 ~ Fg. 8.3 Sstema com quatro barramentos Na formulação em coordenadas polares a matrz Jacobana para este sstema será: P1 H11 0 H14 N11 N14 θ1 P 3 0 H33 H34 0 N 34 θ3 P 4 = H41 H43 H44 N41 N 44 θ 4 8.49 Q1 M11 0 M14 L11 L14 V1 V1 Q 4 M41 M43 M44 L41 L 44 V4 V 4 A matrz Jacobana tem a esparsdade da matrz [ Y ], não sendo porém uma matrz smétrca, embora haja uma smetra de posconamento dos elementos não nulos. Notar que para efetos de cálculo automátco a posção dos elementos nos vetores colunas e na matrz Jacobana não é a mas adequada por não haver uma correspondênca dreta entre o índce do elemento e a sua posção na matrz. Assm, é convenente fazer a renumeração dos barramentos. Uma das possíves formas de fazer essa renumeração é atrbur ao barramento de referênca o número mas alto e aos barramentos PQ números mas baxos do que aos barramentos PV. Assm, a renumeração do sstema sera a que está representada na fgura 8.4. F. Macel Barbosa 34

~ 1 4 Ref. 2 3 Fg. 8.4 Sstema da fg. 8.3 renumerado ~ A nova matrz Jacobana, do sstema renumerado será: P1 H11 H12 0 N11 N12 θ1 P2 H21 H22 H23 N21 N22 θ2 P 3 = 0 H32 H33 0 N 33 θ3 (8.50) Q M M 0 L L V / V 1 11 12 11 12 1 1 Q 2 M21 M22 M 23 L21 L22 V2 / V 2 Notar que agora há uma correspondênca muto mas dreta entre o índce do barramento e a posção dos elementos nas submatrzes do Jacobano. A grande vantagem do método de NR é a sua convergênca quadrátca, que é melhor do que a de qualquer outro método. É um método muto fável e pouco sensível a fatores causando dfculdades de convergênca, tal como a escolha do barramento de referênca ou a exstênca de condensadores em sére. Tanto pode ser usada a formulação em coordenadas polares como em coordenadas cartesanas sendo porém mas convenente em cálculo automátco tratar a parte real e a parte magnára separadamente. Geralmente consegue-se uma solução para o trânsto de potêncas em 5 ou 6 terações. A prncpal desvantagem do método é a necessdade de calcular e nverter o Jacobano em todas as terações. Atendendo porém a que o Jacobano tem uma estrutura de esparsdade análoga à da matrz das admtâncas, podem-se usar técncas de manuseamento de matrzes esparsas em lugar da nversão (6) do Jacobano para a resolução do sstema 8.16. 9. MÉTODO DO DESACOPULAMENTO RÁPIDO As equações geras do método de Newton-Raphson para a resolução do problema do trânsto de potêncas são dervadas de um desenvolvmento em sére de Taylor, omtndo os termos de ordem superor à 1ª. Os desvos (correções) encontrados em cada teração são portanto aproxmados, mas o valor da função é calculado de uma forma exata em cada teração. F. Macel Barbosa 35

Assm, a solução fnal pode ser encontrada com a precsão pretendda, por recurso a este método teratvo, e não está dependente da precsão das correções encontradas em cada teração. Este facto permte a consderação de dferentes aproxmações no cálculo dos elementos da matrz Jacobana 8.18. Na resolução do problema do trânsto de potêncas pode-se trar partdo das característcas físcas do problema. Uma característca nerente a qualquer sstema elétrco de energa real é a estreta dependênca entre a potênca atva e o argumento da tensão e a potênca reatva e o módulo da tensão. Esta característca pode faclmente ver-se pela análse de um sstema com apenas dos barramentos (Fg. 9.1). Consderando V 1 como referênca (1 p.u. e θ 1 = 0) e Z = jx, atendendo a que r «x, então V2 = V1 IZ mas * I = ( P jq) V = P jq pelo que V = V j P jq x V = 1 xq jxp 2 1 1 V 1 V 2 (a) ( Q) X Q+ P + jq V 1 XQ θ = 0 θ V V 2 jxp V = 0 ( P) jx P + (b) Fg.9.1 Análse das relações Q-V e P-θ a) Sstema com dos barramentos b) Dagrama vetoral Do dagrama vetoral vê-se faclmente que: a) Um acréscmo ΔP em P, altera o ângulo de Δθ, e tem um pequeno efeto na ampltude F. Macel Barbosa 36

da tensão ( V 0) b) Um acréscmo de ΔQ em Q, altera o módulo da tensão em ΔV e tem um pequeno efeto no valor do argumento da tensão ( θ 0). Nas equações 8.28 as submatrzes N e M são a representação matemátca do fraco acopulamento entre ΔP e ΔV/V, e ΔQ e Δθ respetvamente. Desprezando as submatrzes N e M obtemos então equações separadas para os trânstos de potênca atvos e reatvos e o sstema 8.16 passará a ter forma: [ P] [ Q] [ H ] [ ] [ V / V] θ = [ L] (9.1) Este sstema de equações poderá ser resolvdo alternadamente para P θ e Q V com ganhos sgnfcatvos no armazenamento da matrz Jacobana. Tal aproxmação resulta num maor número de terações, mas tal facto é compensado pela poupança no tempo de nversão da matrz e redução no tempo de cada teração. O método de desacopulamento, proposto em 1972 por Stott (17), só se torna porém verdaderamente efcente se as matrzes [H] e [L] forem constantes. Stott em 1974 (8) propôs num novo trabalho o método desgnado por desacopulamento rápdo ("Fast Decoupled Load Flow"), o qual consdera um conjunto de smplfcações que levam a que as matrzes H e L passem a ser constantes. Em Sstemas Elétrcos de Energa reas normalmente podem-se consderar como váldas as seguntes smplfcações k k k 2 k << BkkVk θk 0 9.2 cos θk 1 G sen θ << B Q Assm, atendendo a estas smplfcações, as equações 8.30 a 8.33 podem escrever-se como: para k para = k H = L = V V G sen θ B cos θ = V V B 9.3 k k k k k k k k k N = M = V V G cos θ B sen θ = V V G k k k k k k k k k 2 2 kk kk k k kk k 2 2 kk = kk k + k = kk k H = B V Q = B V 9.4 L B V Q B V 9.5 F. Macel Barbosa 37

E a equação 9.1 poderá ser escrta como: [ P] = [ V B' V] [ θ] ( 9.6) [ Q] = [ V B'' V] [ V V] ( 9.7) Passando para o prmero termo, o 1º vetor V do 2º membro, o que faclta a resolução numérca do sstema pelo facto de P Ve Q V serem para a maora das redes funções mas lnearzáves do que Pe Q teremos: [ P V] = [ V B' ] [ θ] ( 9.8) [ Q V] = [ V B'' ] [ V V] ( 9.9) Consderando Vk = 1 no segundo membro da equação 9.8, o que equvale a não consderar a nfluênca da potênca reatva no cálculo dos argumentos, teremos: [ P V] = [ B' ] [ θ] ( 9.10) [ Q V] = [ B'' ] [ V V] ( 9.11) Notar que os elementos das matrzes [ B' ] e [ B'' ] são elementos da matrz [-B] (parte magnára da matrz das admtâncas). No algortmo do desacopulamento rápdo podem anda consderar-se as seguntes smplfcações no cálculo dos elementos das matrzes [ B' ] e [ B'' ] : a) não consderar na matrz [B'] a representação de todos os componentes da rede que predomnantemente afetam o fluxo de potênca reatva.e. reactâncas em paralelo ou tomadas de regulação em carga de transformadores não esfasadores; b) não consderar em [B"] o efeto do esfasamento causado pelos transformadores esfasadores; c) Desprezar as resstêncas dos elementos no cálculo dos elementos de [B'], que se transforma assm na matrz usada no modelo de corrente contínua do trânsto de potêncas; Geometrcamente as matrzes [B'] e [B"] representam aproxmações constantes aos declves dos hperplanos tangentes às funções PVe QVrespetvamente. F. Macel Barbosa 38

Sendo n + l o número total de barramentos e m o número de barramentos PV as matrzes [B'] e [B"] terão respetvamente a dmensão n e n-m. As matrzes [B'] e [B"] são matrzes reas, esparsas e têm a estrutura das matrzes [H] e [L] respetvamente. Uma vez que apenas contêm admtâncas dos elementos da rede são constantes o que leva a que apenas necesstem de ser "tranguladas " uma vez no níco do estudo. A matrz [B"] é smétrca e a matrz [B'], no caso de não exstrem transformadores esfasadores, também o será. O tempo por teração no FDLF é de cerca de 1/5 de tempo por teração necessára no NR, e o espaço de memóra é de cerca de 60% da memóra usada pelo NR. Na fgura (9.2) está representado um f1uxograma para a resolução de um trânsto de potêncas utlzando o FDLF. A fgura 9.3 (8) mostra para o sstema de 118 barramentos do IEEE a evolução dos desvos das potêncas atvas e reatvas com o número de terações até a convergênca ser atngda. Fg. 9.3 Evolução dos desvos da potênca atva e da potênca reatva até a convergênca ser atngda F. Macel Barbosa 39

Letura de dados KP = KQ =1 Calcular PV Convergu S KP = 0 N Resolver 9.10 e actualzar θ N KQ = 0 S KQ = 1 Calcular QV Saída de resultados Convergu S KQ = 0 N Resolver 9.11 e actualzar V S KP= 0 N KP = 1 Fg. 9.2 Fluxograma para o Fast Decoupled Load Flow F. Macel Barbosa 40

A fgura 9.4 (8) mostra, para város sstemas, o número de terações necessáras para a convergênca do Método do Desacopulamento Rápdo Nº barramentos Máx. P 13 14 * 19 22 27 30 * 38 57 * 107 118 125 180 205 * Sstemas teste do IEEE MW 0.002 0.005 0.006 0.002 0.003 0.006 0.004 0.004 0.007 0.009 0.007 0.002 0.003 Máx. Q MW 0.001 0.000 0.003 0.005 0.007 0.000 0.007 0.006 0.006 0.003 0.001 0.004 0.004 Número Iterações 5 ½ 4 6 ½ 4 ½ 10 ½ 4 4 ½ 4 ½ 7 ½ 4 ½ 6 6 ½ 6 ½ Fg. 9.4 Análse da velocdade de convergênca do Método do Desacopulamento Rápdo para város sstemas Da análse das fguras 9.3 e 9.4 vê-se bem a capacdade do método do Desacopulamento Rápdo para a análse de sstemas de dmensão real. 10. REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES EM ESTUDOS DE FLUXOS DE CARGA Desprezando as perdas no cobre e no ferro um transformador de dos enrolamentos pode ser representado por uma reactânca de fugas e por uma reactânca de magnetzação (Fg. 10.1) Prmáro Secundáro Fg. 10.1 Representação de um transformador de dos enrolamentos F. Macel Barbosa 41

Desprezando a mpedânca magnetzante, adotando dferentes bases de tensão para a tensão em crcutos com dferentes níves de tensão e mantendo constante em todo o sstema uma mesma base de potênca, o transformador é tratado como uma mpedânca. No caso de um transformador, com regulação de tensão, em vazo ou em carga, pode ser representado por um esquema equvalente em π, cujos elementos poderão ser tratados da mesma manera que os parâmetros das lnhas. A Fg. 10.2 representa um transformador regulador de tensão representado por uma mpedânca em sére com um autotransformador deal. Por defnção, num transformador real, a razão de transformação é a razão entre a tensão prmára nomnal e a tensão secundára em crcuto aberto. Assm: em que 1n 20 1 2 a = V V n n 10.1 n 1 número de espras do enrolamento prmáro n 2 número de espras do enrolamento secundáro Os parâmetros do esquema equvalente em π podem ser obtdos gualando as correntes nos termnas do transformador, com as correspondentes correntes do esquema equvalente em π. 1 a/1 t I t y 12 2 Fg. 10.2 Transformador, regulador de tensão representado por um autotransformador deal em sére com a admtânca nomnal do transformador No barramento 1 da Fg. 10.2, a corrente será, à entrada do ramo 1-2 dada por: I1 = It a em que a representa a relação de transformação do transformador deal e I t a corrente que crcula do hpotétco barramento t para o barramento 2. A corrente I t será dada por: F. Macel Barbosa 42

I = V V y 10.2 t t 2 12 Portanto = ( ) uma vez que I V V y a 1 t 2 12 Vt = V1 a A equação 10.2 poderá tomar a forma. 2 I = V a V y a = V V a y a 10.3 1 1 2 12 1 2 12 De um modo análogo a corrente no ramo lgado ao barramento 2, será dada por: I = V V y = V V a y = av V y a 10.4 2 2 t 12 2 1 12 2 1 12 Escrevendo as equações (10.3) e (10.4) sob a forma matrcal obtemos 2 I1 y2 a y12 a V1 = I 2 y12 a y 12 V 2 ( 10.5) As correntes nos termnas do esquema equvalentes em π, representado na fgura 10.3, são dadas por: I = V V A + V B 10.6 1 1 2 1 I = V V A + V C 10.7 2 2 1 2 y12 a 1 1a y ( 1a 1) y 12 a 12 Fg. 10.3 Esquema equvalente em π do transformador, com regulação de tensão ou, sob a forma matrcal, F. Macel Barbosa 43

I1 A+ B A V1 = I A A+ C V 2 2 ( 10.8) Identfcando os elementos das equações matrcas 10.7 e 10.8 obtém-se: 2 y12 a = A+ B y a = A 12 y = A+ C 12 Donde: y12 A = a 1 y B= 1 a a C= 1 1a y 12 12 O esquema equvalente em π do transformador regulador de tensão, com os parâmetros expressos em função da relação de transformação a e da admtânca nomnal do transformador está representado na fgura 10.4. y12 a 1 1a y ( 1a 1) y 12 a 12 Fg. 10.4 Parâmetros do esquema equvalente em π do transformador com regulação de tensão Assm, quando há um transformador com regulação de tensão entre os barramentos p e q, de um SEE a matrz das admtâncas tem que ter esse facto em atenção, pelo que: F. Macel Barbosa 44

Y = y +... + y a +... + y + 1 a 1 a 1 y pp p1 pq pn pq = y +... + y a +... + y Y = y a pq 2 p1 pq pn pq Y = y +... + y a +... + y + 1 1 a y qq q1 qp qn qp qp pq = y q1 +... + y qp +... + yqn + yqn manteve se nalterado Y = y a Consderemos agora um transformador esfasador, sto é, um transformador em que a relação de transformação é complexa. Um transformador esfasador ntroduz um ângulo de esfasamento entre as tensões do prmáro e do secundáro, o que permte regular o trânsto de potênca atva através de s própro ou através de uma lnha na qual esteja nserdo em sére. Um transformador esfasador pode ser representado por um autotransformador deal com uma relação de transformação complexa em sére com uma admtânca, como está representado na fgura 10.5. 1 (a+jb)/1 t y 12 2 Fg. 10.5 Esquema equvalente de um transformador esfasador, para estudos de fluxos de carga. A relação entre as tensões V 1 e V t será: 1 t V V = a + jb 10.9 Como não há perdas no transformador deal: * * 1 1 t t V I = V I 10.10 Das equações (10.9) e (10.10) temos: V V = I I = a + jb * * 1 t t 1 ou I I = a jb t n F. Macel Barbosa 45

Como: I = V V y t t 2 12 Então I = V V y a jb 1 t 2 12 Substtundo V t pelo valor dado por 10.9 temos: De uma forma análoga: 2 2 I1 = V 1 V2 a + jb y12 a + b 10.11 I = V V y 2 2 t 12 Desta equação e da equação 10.9 resulta: I2 = V 2 a + jb V1 y12 a + jb 10.12 As equações 10.11 e 10.12 poderão escrever-se, sob a forma matrcal, como: 2 2 ( + ) ( ) I1 y12 a b y12 a jb V1 = I 2 y12 ( a + jb) y 12 V 2 ( 10.13) Note-se que, no caso de transformadores esfasadores, a matrz das admtâncas nodas não é smétrca. No caso de b = 0 a equação matrcal 10.13 concde com a equação 10.7 como era de esperar. Quando há um transformador esfasador entre os barramentos p e q de um SEE., a matrz das admtâncas do sstema tem que ter esse facto em atenção. Assm: 2 2 Y = y +... + y a + b +... + y pp pp pq pn Y = y +... + y +... + y qq q1 qp qn (esta admtânca não é alterada pelo transformador esfasador) pq 12 qp 12 Y = y a jb Y = y a + jb No caso da exstênca de transformadores esfasadores é possível elmnar a assmetra F. Macel Barbosa 46