VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017
Uma função que associa um número real aos resultados de um experimento chama-se variável aleatória (v.a.). Isso equivale a descrever os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras, o que é uma grande vantagem, pois possibilita melhor tratamento matemático.
Exemplo 1 Duas peças são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que contém quatro peças boas (B) e três defeituosas (D). Para esse experimento teríamos o seguinte espaço amostral Ω = {BB, BD, DB, DD}. Se considerarmos a variável aleatória Y = {número de peças boas retiradas}, teríamos Y = {0, 1, 2}.
(v.a.d.) Se o espaço amostral de um experimento contém um número finito de pontos ou uma seqüência infinita enumerável de pontos amostrais tais como 0, 1, 2, 3,... é chamado espaço amostral discreto. A variável aleatória definida sobre esse espaço é chamada variável aleatória discreta (v.a.d.).
Exemplo 2 Número de acidentes numa semana; Número de caras em cinco lançamento de moeda; Número de defeitos em sapatos; Número de terremotos; Número de livros numa estante.
O conjunto dos valores da variável e as respectivas probabilidades, ou seja, y i e P(y i ), i = 1,..., n é chamado distribuição da variável aleatória Y. Obs: n i=1 P(y i) = 1. Costuma-se adotar, também, a notação P(Y = y i ) para designar a probabilidade de a variável aleatória Y assumir o valor y i.
Exemplo 3 O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Considerando a variável aleatória Y : numero de mulheres na comissão: a) quais valores que Y pode assumir e suas respectivas probabilidades? b) qual a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?
Esperança de Y Introdução Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. A Esperança Matemática, ou simplesmente a média é uma delas. Assim, dada uma v.a.d. Y, assumindo-se os valores y 1, y 2,..., y n com as respectivas probabilidades P(y 1 ), P(y 2 ),..., P(y n ), chamamos valor médio ou esperança matemática de Y ao valor: µ Y = E(Y ) = n y i P(y i ) i=1
Exemplo 4 Do Exemplo 3, calcule o valor médio de mulheres na comissão.
Introdução Dada a variável aleatória Y, chamamos de variância de Y, ao valor σ 2 Y = V (Y ) = n [y i E(Y )] 2 P(y i ). i=1 Uma maneira mais prática para o cálculo da variância de Y é: σ 2 Y = V (Y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 em que E(Y 2 ) = n i=1 y 2 i P(y i)
Exemplo 5 Do Exemplo 3, calcule a variância da v.a.d. número de mulheres na comissão.
Distribuição acumulada de Y O conjunto dos valores da variável e as probabilidades acumuladas até os respectivos valores, ou seja, y i e F (y i ) = P(Y y i ), i = 1, 2,..., n é chamada distribuição acumulada da variável aleatória Y. Exemplo 6 Obtenha a tabela de distribuição acumulada de probabilidades para a variável aleatória do Exemplo 3.
Exercício 1 Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas para inspeção. Considerando Y = {número de peças defeituosas após inspeção}, encontre: a) a distribuição de probabilidade para a v.a.d. Y b) O valor médio e a variância de Y.
Exercício 2 Verifique se P(Y = y) = y + 3, y = 1, 2, 3 15 é uma função de probabilidade de alguma variável aleatória.