Porfolio de: Transferência de calor em regime ransiene abordagem macroscópica - méodo da capaciância global (iens 5.1 a 5.3 de Incropera & De Wi, iem 2.6.1 de Kreih) Problema moivador: John foi um exímio aluno holandês de fenômenos de ranspore, mas após se formar engenheiro enconrou a sua verdadeira vocação: foi ser escrior de conos policiais cieníficos! Veja uma de suas esórias: John realized ha he man found in he sorage room for deep frozen foods was dead. Alhough he wore proecive clohing his body was quie cold and had sared o freeze. The docor informed John ha one hour ago he emperaure measured a he arm had sill been 8 o C. John concluded, realizing ha he sorage emperaure was 30 o C, ha he man mus have died approximaely 3 1 2 hours ago and sared quesioning his colleagues. (Van Heuven e al., 1999, p. 150) O que o problema acima em de diferene dos aé agora esudados? Não se esqueça de verificar se os cálculos de John são razoáveis! Beek e al. apresenam o raciocínio usado por John... problema geral: considere um corpo inicialmene a uma emperaura uniforme, o qual é inserido em um ambiene que esá a uma emperaura diferene ou sobre o qual incide calor. O que irá ocorrer? figura exraída de Incropera & De Wi (p. 170, 5ª edição) 80
Porfolio de: Vejamos no que consise o méodo da capaciância global (ou capacidade concenrada). Nas palavras de Incropera & De Wi, p. 170, 5ª edição): um problema de condução ransiene simples mas comum é aquele para qual um sólido sofre uma rápida aleração em sua emperaura. Considere um sólido meálico quene que se enconra a uma emperaura inicial T i e é resfriado ao ser imerso em um líquido de menor emperaura (T ). Se dissermos que o resfriameno foi inicialmene em um empo =0, a emperaura do sólido irá diminuir para um empo >0, aé que alcance, por fim a emperaura do fluido. Essa redução de emperaura é devida à ransferência de calor por convecção na inerface sólido-líquido. A essência desse méodo é a consideração de que a emperaura do sólido é espacialmene uniforme em qualquer insane durane a ransferência de calor. Essa consideração implica que gradienes de emperaura no inerior do sólido sejam desprezíveis. Ou seja, para a modelagem do processo ransiene a seguine hipóese é posulada: hipóese simplificadora: corpo com emperaura homogênea, i.e., gradiene de (pela Lei de Fourrier esa hipóese se verificaria se k, o que é emperaura nulo no corpo impossível daí o méodo ser uma idealização, por ese méodo não se esuda a ransferência inerior, a qual é considerada insanânea) Efeuando um BE sobre o corpo sólido: du d = q+ E! g hipóese adicional: ocorre apenas roca de calor por convecção com o meio exerno e não há geração de calor e ambém não há aleração da massa do corpo. dt ρvc dt dt 1 ρvcv = ha T T = T T = T T d ha d d c.i.: =0 : T = Ti VcV sendo, = ρ ha V ( ) ( ) ( ) e esa consane é chamada de consane de empo. Observação: lembre-se que para sólidos e líquidos cv cp T T solução: ln = T T = ( Ti T) e T T i ou θ = e θ i definindo-se: θ= T T e θ i = Ti T 81
Porfolio de: Percebemos que a variação da emperaura se dá de uma forma exponencial com o empo, a qual pode ser visa na figura a seguir. Noe ainda no gráfico a seguir, a influência da consane de empo na resposa. Qual o efeio de se aumenar o valor da consane de empo (o processo fica mais rápido ou mais leno, por quê?)? figura exraída de Incropera & De Wi (p. 171, 5ª edição) (por quê ese produo Noe que com o aumeno da inércia érmica (definida pelo produo ρc p V define a inércia?) ) o empo para o regime permanene aumena, o que é basane razoável. Da mesma forma, se a axa de aumeno da energia sendo ransferida da peça para o ambiene aumenar (pelo aumeno da área de roca érmica ou pelo aumeno do coeficiene de película) esse empo diminuirá (checar pela expressão =ρvc p /ha). Assim não é por acaso que para resfriar mais rapidamene cosumamos agiar a sopa no prao (Braga, p. 56-57) ou usar um prao mais raso com área maior.!"cálculo da axa de calor ransferida aé um insane : q = h. A ( T T ) d 0 Subsiuindo a expressão do perfil de emperaura e inegrando: q Vcp( Ti T ) 1 e =ρ q = qconvd!"validade do méodo de capacidade concenrada (ou seja, esabeleceremos um criério de como garanir a hipóese simplificadora do corpo com emperaura homogênea) Para desenvolver um criério adequado, considere condução em regime esacionário aravés de uma parede plana A (como mosra a figura a seguir). Uma superfície (1) é manida a uma emperaura T s,1 e a oura superfície (2) enconra-se exposa a um fluido T < T s,1, de forma que o valor da sua emperaura seja T < T s,2 < T s,1. Assim em regime esacionário, o balanço de energia da superfície fica: 0 82
Porfolio de: figura exraída de Incropera & De Wi (p. 172, 5ª edição) Rearranjando a equação acima: ( Ts,1 Ts,2 ) ( L/ ka) Rcond hl = = = Bi ( T T ) (1/ ha) R k s,2 conv (a razão exprime a relação enre a queda de emperaura no corpo e a diferença de emperaura enre a superfície e o meio exerno). Pelo gráfico, percebemos que quano menor o número de Bio (Bi) mais uniforme fica o perfil de emperauras. Um criério práico diz que o méodo da capaciância global é uma boa aproximação quando: validade: número de Bio <<0,1 - podemos desprezar a variação espacial de emperaura, i.e. no inerior do corpo) Em siuações de baixa inensidade de roca érmica por convecção (baixo h), para pequenas dimensões (L c =V/A TC ) e alos valores de k, as diferenças de emperauras são desprezíveis, pois as rocas de calor são inensas em presença da (Braga, p. 57) diferença exerna de emperaura. O número de Bio pode ser generalizado como UL Bi = c k 83
Porfolio de: sendo, U o coeficiene de ransferência de calor enre a superfície do corpo e o meio que ocasiona a roca érmica e L c é um comprimeno caracerísico definido como: L c = V A TC!"Análise geral da capacidade concenrada Embora a condução ransiene em um sólido seja comumene iniciada pela ransferência de calor por convecção para ou a parir de um fluido em conao, ouros processos podem induzir condições érmicas ransienes no inerior de um sólido. Por exemplo, se as emperauras do sólido e da vizinhança diferirem, a roca por radiação poderia causar uma energia érmica inerna e, assim, uma variação da emperaura no sólido. Variações de emperaura podem ser induzidas aplicando um fluxo de calor na superfície e/ou iniciando a geração de energia érmica no inerior do sólido. O aquecimeno da superfície pode ser aplicado pela fixação de um filme ou de um aquecedor elérico de placa à superfície, enquano a energia érmica pode ser gerada pela passagem de correne (Incropera; DeWi, p. 174). elérica ao longo do sólido. Procedimeno de resolução: O que se deve fazer, após idenificar os mecanismos de ransferência de calor, consise na aplicação do balanço de energia perinene e calcular o número de Bio (em ermos do coeficiene global de roca érmica) para checar a validade do modelo. leiura recomendada: Incropera & De Wi: iens 5.1 a 5.3 (4ª edição: p. 118 a 123, 5ª edição: p. 170-178) Kreih: iem 2.6.1 (p. 99-105) Braga: balanço de energia/parâmeros concenrados p.50-57 condução ransiene unidimensional p.146-147 Exemplos recomendados para leiura: Incropera & De Wi: exemplos 5.1 p. 173; 5.2 p. 175; 5.3 p.176 (5ª edição) Kreih: exemplo 2.10 p. 102 Braga: exercícios resolvidos n 2 p.63, n 3 p.64, n 4 p.65, n 5 p.67; n 6 p.68; n 7 p.69; n 8 p.70; n 9 p.71; n 10 p.72 Exercícios básicos recomendados da lisa: 5.5; 5.6; 5.14; 5.19 (Incropera & De Wi) Exercício 01: Por quê quano maior o valor da difusividade érmica de um maerial mais rápida será a resposa dese maerial a mudanças nas condições érmicas? 84
Porfolio de: Exercício 02: Por quê o número de Bio do ar é menor do que o da água? Exercício 03: Levando-se em consideração que a emperaura do sólido é espacialmene uniforme em qualquer insane e que esse sólido eseja submeido a um processo de roca érmica com um fluido, de al forma que o perfil de emperaura ao longo do empo em um sólido seja: T T ( Ti T ) e = Considerando, ainda, que a axa de calor ao logo do empo é represenada por: q = q d obenha a equação resulane da axa de calor: 0 conv q Vcp( Ti T ) 1 e =ρ exercício 04: adapado de W. Braga (p.52-54) Considere um cilindro maciço que depois de receber um raameno érmico denro de um forno, deverá ser rabalhado mecanicamene em um orno mecânico. Esquecendo os problemas de lidar com uma peça quene, precisamos responder quano empo deveremos deixar a peça esfriar, anes que possamos levá-la de novo para um raameno superficial. Sabe-se que a peça é de cobre e que suas dimensões são: diâmero exerno de 75 mm e comprimeno de 150 mm. A peça esá inicialmene a 200 C e deve ser resfriada a 100 C aravés de duas possibilidades: (i) colocar em um ambiene com ar a 28 C; (ii) imergir a peça em água a 28 C. Dados: coeficienes de película da água e do ar iguais, respecivamene a 0,40 kw/m 2.K e 0,020 kw/m 2.K; para o cobre puro a 300K ρ=8933 kg/m 3 cobre T=300 K T=400 K T=600 K k (W/m.K) 401 393 379 cp (J/kgK) 385 397 417 a) A parir do gráfico abaixo que relaciona a emperaura da peça em função do empo de resfriameno, indicar qual curva se refere ao resfriameno com ar e qual se refere ao resfriameno com água. Jusificar a escolha. b) Demonsrar que a axa de calor ainge o máximo valor com a expressão q =ρvcp( Ti T ). Indicar e calcular qual fluido (água ou ar) permie uma axa maior da reirada de calor da peça. c) Parindo do balanço de energia, deermine quano empo leva para resfriar a peça a 100 C quando em conao com ar e em conao com água. Compare com o gráfico. 85
Porfolio de: exercício 05: adapado do exercício 5.7 de Incropera & De Wi Uma esfera sólida de aço (AISI 1010) com diâmero de 300mm é revesida com uma camada de um maerial dielérico que possui espessura de 2mm e conduividade érmica de 0.04 W/m.K. A esfera revesida enconra-se inicialmene a uma emperaura uniforme de 500 o C e é subiamene resfriada pela imersão em um grande banho de óleo a 100 o C e coeficiene de película de 3300 (SI). Esime o empo necessário para a emperaura da esfera revesida aingir 140 o C. Dica: despreze o efeio do armazenameno de energia no maerial dielérico, uma vez que a sua capaciância ( ρ Vcp ) é pequena quando comparada à esfera de aço. Uma maneira sucina de descrever esa hipóese é dizer que será desprezada a dinâmica do maerial dielérico. O quê a dica quer dizer? 86