UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA ª LISTA DE EXERCICIOS CE068 CÁLCULO DE PROBABILIDADES A Prof. Beito Olivares Aguilera 2 o Sem./09. Uma fábria produz um determiado artigo. Da liha de produção são retirados 03 artigos e ada um é testado e lassifiado omo B (bom) ou D (defeituoso). a) Defia um espaço amostral apropriado para esse experimeto. b) Cosidere os seguites evetos: A = obter dois artigos defeituosos. B = obter o míimo um artigo bom. C = obter o máximo um artigo defeituoso. i. Eotre o eveto oorre A e B. Podemos afirmar que a oorrêia de A implia a oorrêia de B? ii. Quais dos evetos aima defiidos são iompatíveis ou mutuamete exlusivos? iii. O eveto B é um eveto elemetar? 2. Uma ura otém duas bolas braas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao aaso da ura. Se for braa, laça-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à ura e retira-se outra bola. Dê um espaço amostral para o experimeto. 3. Laça-se um dado até que a fae 5 apareça pela primeira vez. Eumere os possíveis resultados deste experimeto. 4. Três jogadores A, B e C disputam um toreio de têis. Iiialmete, A joga om B e o veedor joga om C, e assim por diate. O toreio termia quado um jogador gaha duas vezes seguidas ou quado são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do toreio? 5. Uma moeda e um dado são laçados. Dê um espaço amostral para o experimeto e depois represete-o omo produto artesiao dos espaços amostrais orrespodetes aos experimetos osiderados idividualmete.
6. Defia um espaço amostral para ada um dos seguites experimetos aleatórios: a) Laçameto de dois dados; aota-se a ofiguração obtida. b) Numa liha de produção ota-se o úmero de peças defeituosas um itervalo de uma hora. ) Ivestigam-se famílias de 4 riaças, aotado-se a ofiguração segudo o sexo. d) Numa etrevista telefôia om 250 assiates, perguta-se se o proprietário tem ou ão máquia de sear roupa. e) Mede-se a duração de lâmpadas, deixado-as aesas até que queimem. f) Um fihário om 0 omes otém 3 omes de mulheres. Seleioa-se fiha após fiha, até o último ome de mulher ser seleioado, e aota-se o úmero de fihas seleioadas. g) Laça-se uma moeda até apareer ara e aota-se o úmero de laçametos. h) Um relógio meâio pode parar a qualquer mometo por falha téia. Mede-se o âgulo (em graus) que o poteiro dos segudos forma om o eixo imagiário orietado do etro ao úmero 2. i) Mesmo euiado aterior, mas supodo que o relógio seja elétrio, ode o poteiro dos segudos move-se otiuamete. j) De um grupo de 5 pessoas {A, B, C, D e E} sorteiam-se duas, uma após a outra, om reposição, e aota-se a ofiguração formada. k) Mesmo euiado que j), mas sem reposição. l) Mesmo euiado que j), mas os dois seleioados simultaeamete. m) De ada família etrevistada uma pesquisa, aotam-se a lasse soial a que pertee (A, B, C, D) e o estado ivil do hefe de família. 7. Expresse em termos de operações etre evetos: a) A oorre, mas B ão oorre; b) exatamete um dos evetos A e B oorre; ) ehum dos dois evetos A e B oorre.
8. Sejam A, B e C evetos aleatórios. Idetifique as seguites equações e frases, asado ada equação expressa a otação de ojutos om a orrespodete frase a liguagem de evetos: a) A B C = A B C i) A e B ou C são iompatíveis. b) A B C = A ii) Os evetos A, B e C são idêtios. ) A B C = A iii) A oorrêia de A implia a de B e C. d) ( A B C) ( B C) = A iv) A oorrêia de A deorre de B ou C. 9. Cosidere o laçameto de dois dados. Cosidere os evetos A=soma dos úmeros obtidos igual a 9, e B= úmero do primeiro dado maior ou igual a 4. Eumere os elemetos de A e B. Obteha A B, A B e A. 0. Que suposições deveriam ser feitas para que os resultados dos experimetos abaixo possam ser osiderados eqüiprováveis? a) Laçameto de um dado. b) Opiião de moradores de uma idade sobre o projeto goverametal. ) Preço de uma ação o fim da próxima semaa.. A partir dos axiomas, prove a propriedade P5: P U A P( A ) = 2. Sejam A,A 2,...evetos aleatórios. Mostre que (I a) P Ak ) P( A k= K ). b) Se P A ) ε, para k=, 2,...,, etão P( A ) ε. PI ( k ) ( Ak ) = k P( A K ). I 3. Demostre as seguites propriedades: a) Se P ( A ) = 0 para =, 2,..., etão P U A = 0 b) Se P ( A ) = para =, 2,..., etão P I A =. 4. Sejam A, B e C evetos aleatórios em (Ω,A, P). Mostre, de alguma forma, que k
P( A B) = P( A) B) A B) e P( A B C) = P( A) B) C) A B) A C) B C) A B C) Geeralize para o aso de evetos aleatórios. 5. Para ada um dos seguites experimetos, desreva um espaço de probabilidade que sirva de modelo. a) Seleioa-se um poto, ao aaso, do quadrado uitário {( x,y): 0 x, 0 y )}. b) Retiram-se artas suessivamete de um baralho de 52 artas, ao aaso e om reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o úmero total de retiradas. ) Dez artas estão umeradas de até 0. Das dez artas, retira-se uma de ada vez, ao aaso e sem reposição, até retirar o primeiro úmero par. Cota-se o úmero de retiradas eessárias. d) Quize bolas são retiradas, ao aaso e om reposição, de uma ura otedo 5 bolas vermelhas, 9 bolas pretas, e uma bola braa. Observa-se o úmero de vezes que oorre ada or. e) O experimeto d) é realizado sem reposição. 6. Retiram-se 4 artas, ao aaso, de um baralho de 52 artas. Registra-se o úmero de reis a amostra. Cosidere os asos em que: a) As retiradas são feitas sem reposição. b) As retiradas são feitas om reposição. ) Determie em que aso,(a) ou (b), é mais provável obter quatro reis. 7. Sejam B,...,B evetos aleatórios idepedetes om p k =P(B k ), k=,...,. Obteha a probabilidade dos seguites evetos, em termos das probabilidades de p k a) A oorrêia de ehum dos B k. b) A oorrêia de pelo meos um dos B k. ) A oorrêia de exatamete um dos B k. d) A oorrêia de exatamete dois dos B k. e) A oorrêia de todos os B k f) A oorrêia de, o máximo, - dos B k. 8. Cosidere dois evetos A e B, mutuamete exlusivos, om P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calule:
a) P(AIB). b) P(AUB). ) P(A/B). d) P((AUB) ). 9. Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P(AIB) = 0,3; alule P(A/B ). 20. Verifique se são válidas as afirmações: a) Se P(A) = /3 e P(B/A) = 3/5 etão A e B ão podem ser disjutos. b) Se P(A) = /2, P(B/A) = e P(A/B) = /2 etão A ão pode estar otido em B. 22. A iterseção de duas sigmas-álgebras é também sigma-álgebra? E a uião? Qual a meor sigma-álgebra que otém o ojuto A? Comprove que o ojuto das partes é uma sigma-álgebra (para isso pode esolher um exemplo).