PRIMOS GÊMEOS E OUTRAS CONJECTURAS PEDRO PANTOJA Resumo. Nessa nota trataremos alguns aspectos de uma classe especal de prmos, os prmos gêmeos. Este um problema em aberto bastante conhecdo: A conjectura dos prmos gêmeos. Iremos provar váras equvalêncas de prmos gêmeos. Algumas generalzações desse problema, como a conjectura de Polgnac, a conjectura de Hardy Ltllewood e a conjectura de Dckson serão dscutdas. Falaremos também sobre a dstrbução dos números prmos. Sumáro. Introdução. Resultados Elementares 3. Equvalêncas 3 4. Teorema de Brun e a Conjectura de Hardy-Ltllewood 5 5. Conjecturas 9 Referêncas 0. Introdução Desde o tempo de Eucldes sabe-se da estênca da nfntude dos números prmos. Muto mas tarde Drchlet, estudou prmos em progressões artmétcas. Recentemente em 004, T. Tao e B. Green provaram um resultado de progressões artmétcas arbtraramente longas de prmos, veja []. O problema aqu é um pouco dferente. Vejamos o segunte caso trval: É fácl de argumentar que os úncos prmos cuja dferença é são (, 3. A famosa conjectura dos números prmos gêmeos pergunta se estem um número nfntos de pares de prmos da forma (p, p, em outras palavras, se estem nfntos números prmos cuja dferença é. Esta conjectura está em aberto, poucos avanços foram dados em busca de sua solução e é um dos temas centras da moderna teora analítca dos números. Os prmeros pares de prmos gêmeos menores do que 50 são (3, 5, (5, 7, (, 3, (7, 9, (9, 3, (4, 43,(59, 6, (7, 73, (0, 03, (07, 09, (37, 39, (49, 5,(79, 8, (9, 93, (97, 99, (7, 9, (39, 4. Curosamente, com eceção de (3, 5, todos esses pares de prmos podem ser escrtos como (6k, 6k para algum k Z, por eemplo, 5 = 6 e 7 = 6. Isso é fácl de ver, já que todo número ntero pode ser escrto como 6k, 6k, 6k, 6k, 6k, 6k 3 desses os úncos que podem ser prmos são (6k, 6k com 6k (6k =, os outros são múltplos de e de 3. Agora pelo teorema de Drchlet estem nfntos prmos da forma 6k e 6k, k Z e cada par pode ser escrto como (6k, 6k eceto para (3, 5, Poderemos conclur assm, tão faclmente que estem nfntos prmos gêmeos? Infelzmente (ou felzmente muto dos números da forma (6k e (6k não são prmos. Veremos mas tarde que o conjunto dos números prmos gêmeos é lmtado no segunte sentdo, a soma da sére dos nversos dos números prmos gêmeos converge, ao contráro da soma da sére dos nversos Data: Versão de de Abrl de 0. Gostara de agradecer ao professor Pedro Duarte e a fundação Calouste Gulbenkan, Lsboa Portugal. Dedcamos este trabalho em memóra do Professor Elmano ( 30/03/0. Palavras chaves. Prmos Gêmeos, Conjectura de Hardy-Ltllewood, Teorema de Brun.
PEDRO PANTOJA dos números prmos que dverge. Estem uma grande quantdade de prmos gêmeos descobertos, mas sso não resolve nosso problema. A maora dos prmos gêmeos muto grandes descobertos são da forma k n ± pos estem efcentes testes de prmaldade para números quando k não é muto grande, por eemplo, o teorema de Proth (vde [8] e [33] para os detalhes. Dubner em 993 mostrou que 459 859 ± são prmos gêmeos, Forbes em 995 mostrou que 679777 538 ± são prmos gêmeos e da mesma forma Lfchtz em 999 mostrou que 36700055 3900 ± são prmos gêmeos. Também os números 6556468355 333333 ± são prmos gêmeos. Estem outras classes de prmos, os chamados trplos de prmos (p, p, p 3 onde p < p < p 3 são números prmos consecutvos com a menor dferença p 3 p possível. Há dos tpos neste caso (p, p, p 6 e (p, p 4, p 6. Para os prmos quádruplos só este um tpo, a saber, os números prmos da forma (p, p, p6, p8. Os números prmos quádruplos menores do que 800 são (5, 7,, 3, (, 3, 7, 9, (0, 03, 07, 09, (9, 93, 97, 99. Podemos generalzar esse conceto, e dzemos que para k, (p,..., p k é uma k tupla de prmos se p <... < p k são números prmos consecutvos com a dferença p k p menor possível. O teto é organzado da segunte forma. Na seção apresentamos alguns resultados elementares. Na seção 3 resultados assegurando condções necessáras e sufcentes para pares de prmos gêmeos. Na seção 4 apresentamos o teorema de Brun e a conjectura de hardy Ltllewood. Também estudaremos o comportamento da dstrbução dos números prmos. Fnalmente, estudaremos váras conjecturas mportantes relaconadas com os prmos gêmeos. A notação usada nesse trabalho é bascamente a standard.. Resultados Elementares Nosso prmero resultado é uma smples consequênca do pequeno teorema de Fermat. Proposção.. Se os números (p, p são prmos gêmeos, então (. p 3p 8 (mod p p. Demonstração. A prova é fácl. Se p é prmo, então pelo pequeno teorema de Fermat (claro que p tem-se p (mod p p 8 3p 8 (mod p. Analogamente, se p é prmo, p (mod p p 3(p = 3p 8 (mod p. É claro que p e p são coprmos, O resultado segue. Vale salentar que a recíproca não é válda, um contra-eemplo é o par (56, 563 (será mera concdênca 56 ser um número de Carmchael?. Proposção.. Se os números (p, p, p 3, p 5 são prmos gêmeos, então: 3 p 4p 9 (mod p p 5 p 60p 5 (mod p p. Demonstração. É deada ao cudado do letor. Consderemos agora os números de Catalan, defndos por ( (. C n = n n n Estem váras propredades nteressantes dos números de Catalan, vde []. O segunte Lema é medato. Lema.3. Se p é um prmo ímpar, então ( p C p (mod p. Seja N = k n com k < n, se este um ntero a tal que a N (mod N, então N é prmo.
PRIMOS GÊMEOS E OUTRAS CONJECTURAS 3 Demonstração. Tem-se que p (mod p para qualquer ntero, daí ( ( ( ( ( p p p (p! = 3... p p... (p [( ( ( p p p (p!!] C p (p C p = = ] (p /! [( p ( p (mod p, o resultado segue. Proposção.4. Se os números (p, p, são prmos gêmeos, então (.3 8( p C p 7p 6 (mod p p. Demonstração. Pelo lema anteror, 8( p C p 8 7p 6 (mod p Analogamente, como C (p / = ( p 3 C (p/ 4p tem-se ( ( 8( p C(p / = 8( p p 3 p 3 C (p/ 4 4p p 7(p = 7p 6 (mod p, desde que 4(p 3 p (mod p. O segunte teorema será útl na próma seção. É bem conhecdo da teora elementar dos números. Teorema.5. (Wlson Um número natural p é prmo se, e somente se, (.4 (p! (mod p. Indcamos ao letor nteressado [9] para materal adconal e Dscussão sobre generalzações do teorema de Wlson. 3. Equvalêncas Mutas das equvalêncas provadas nessa seção não são muto útes na prátca, para determnar se prmos são gêmeos. O prncpal e dfícl problema é saber se estem nfntos prmos gêmeos. Isto será dscutdo com mas detalhes nas prómas seções. O resultado abao fo demonstrado por P. A. Clement em 949. Equvalênca 3.. (Clement Os números (p, p são prmos gêmeos se, e somente se, (3.5 4[(p! ] p 0 (mod p p. Demonstração. Suponhamos prmeramente que (p, p são prmos, então por.4, (p! 0 (mod p e (p! 0 (mod p (p! = k(p para algum k Z, sa k (mod p, em outras palavras, k 0 (mod p daí 4(p! = k(p 4[(p!]p = (k(p 0 (mod p p. Recprocamente, se 4[(p!]p 0 (mod p p 4[(p!]p 0 (mod p. 4 não pode dvdr p, assm [(p!] 0 (mod p, pelo teorema de Wlson p é prmo. Analogamente, se 4[(p!]p 0 (mod p tem-se 4(p!p4 ( ( (p! (p! = [(p!] 0 (mod p pode-se argumentar que p e são coprmos, então (p! 0 (mod p pelo teorema de Wlson p é prmo. Equvalênca 3.. Os números (p, p são prmos gêmeos se, e somente se, [( ] p (3.6! ( p (5p 0 (mod p p.
4 PEDRO PANTOJA Demonstração. Pelo lema.3 e o teorema.5, ( p ] p! ( prmo, então [( p 0 (mod p donde [( ] p! ( p 0 (mod p [( ] p! ( p (5p 0 (mod p se, e somente se p é prmo. Para p tem-se [( ] p! ( p 0 (mod p [( p ]! (mod p se, e somente se p é se, e somente se p é prmo, então [( ] p 8! 8( p 0 (mod p ( [( ] p p 8! ( 8( p 0 (mod p [( ] (p p p! (5(p 8( p 0 (mod p [( ] p! ( p (5p 0 (mod p se, e somente se p é prmo. Assm [( ] p! ( p (5p 0 (mod p p. se, e somente se (p, p são prmos gêmeos. Os seguntes resultados dão uma caracterzação de prmos gêmeos usando a função de Euler e a função soma de dvsores. Equvalênca 3.3. Os números (p, p são prmos gêmeos se, e somente se, (3.7 φ(p φ(p = p. Demonstração. Se (p, p são prmos, φ(p = p e φ(p = p donde φ(p φ(p = p. Recprocamente, como φ(n n para qualquer ntero n, suponhamos que φ(p φ(p = p. Se p não fosse um número prmo, dgamos p = cd, < c, d < p φ(p (p φ(p φ(p = p φ(p p 3 φ(p p 3, uma contradção. Portanto p é prmo. O caso onde p não é um número prmo é análogo. A prova está completa. Equvalênca 3.4. Os números (p, p são prmos gêmeos se, e somente se, (3.8 σ a(p σ a(p = p a (p a para a ntero, a. Demonstração. Se p, p são prmos σ a(p = p a e σ a(p = (p a assm, σ a(pσ a(p = p a (p a. Recprocamente, é óbvo que σ a(n n a para qualquer ntero n, assm se p não fosse prmo, então p = bc, < b, c < p. Por hpótese, σ a(p σ a(p = p a (p a.e. σ a(p b a c a p a > p a = 3p a daí σ a(pσ a(p = p a (p a > σ a(pp a 3 σ a(p < (p a o que não pode acontecer, pos σ a(p (p a, portanto p é um número prmo. Da mesma forma se p não for prmo, chegaremos a uma contradção. A prova está completa. Equvalênca 3.5. Seja n = pq, então (p, q são prmos gêmeos se, e somente se, (3.9 φ(nσ(n = (n 3(n.
PRIMOS GÊMEOS E OUTRAS CONJECTURAS 5 Demonstração. Se (p, q, p < q são prmos gêmeos, então φ(n = φ(pφ(q = (p (q e σ(n = p q pq = ( p( q φ(nσ(n = (p (q = (pq p q = (pq p pq q pq = (pq (p q pq = n n 3 = (n 3(n porque q p =. A outra parte da demonstração é deada ao cudado do letor. Vde [8]. Com a equvalênca 3.4 podemos mostrar um resultado nteressante. Equvalênca 3.6. Os números (p, p são prmos gêmeos se, e somente se, ( (3.0 a p p ( = p a a p p = Para a 0, onde denota a parte ntera de. Demonstração. Como para qualquer ntero p p { p, se dvde p = 0, caso contráro ( a p p = a = σ a(p. = p = Donde, pela Equvalênca 3.4 ( a p = ( a p = (p a p p = p a (p a = σ a(p σ a(p = p p p (p a p p a ( p (p a p ( = a p = O resultado segue medatamente. p p = = ( a p ( a p (p a p p a ( p p = p (p a p p p = (p a (p a (p a p p = ( a p p (p a = 4. Teorema de Brun e a Conjectura de Hardy-Ltllewood Um resultado profundo de prmos gêmeos é devdo ao matemátco norueguês Vggo Brun em 90. Ele afrma que a soma dos nversos de todos os pares de prmos gêmeos converge. A segunte sére é convergente (4. p,p P ( p p onde P denota o conjunto dos números prmos. Entretanto, sabe-se que a soma dos nversos de todos os prmos dverge.
6 PEDRO PANTOJA Teorema 4.. (Euler A segunte sére é dvergente (4. p. Demonstração. Iremos comparar a sére dada com a sére harmônca que sabemos ser dvergente. Para sso, femos t N arbtraramente. Pelo teorema fundamental da artmétca, sabemos que, para cada n N, n t, a fração é o produto de (um número fnto de frações do tpo onde p é prmo, n p k p n t e k N. Sendo assm, é uma parcela do produto n ( = ( p p p... = k (/p k=0 e portanto tomando os logarítmos, obtemos log ( t n= t n= n (/p ( log n (/p Agora, femos p P arbtráro. Como /p <, a epansão em sére de potêncas da função logarítmca, permte-nos deduzr que ( ( n log = log( (/p = (/p n (/p n n= n= n=. np n p = n p ( p p p... = p p [ (/p] = p p(p. por consegunte, log ( t n= n p p(p p t n= n(n. fnalmente, tomando os lmtes (quando t, obtemos ( log n p n(n = p n= n= porque e, portanto, a sére n= n(n = ( n = n n= é dvergente, já que n= é dvergente. Como queríamos. n Observação 4.. Este fato mplca que estem nfntos números prmos. p
PRIMOS GÊMEOS E OUTRAS CONJECTURAS 7 Observação 4.3. Pode-se provar que se mdc(a, n =, então (4.3 p =. p a (mod p De 4.3 segue medatamente o segunte teorema, devdo a Drchlet em 837: Teorema 4.4. (Drchlet Dado um ntero n > e um ntero a tal que mdc(a, n =, estem nfntos prmos p tas que p a (mod p. Sejam π( := card{p : p P} e F n = n o n ésmo número de Fermat. É natural perguntar se a sére (4.4 π(n n= é convergente ou dvergente. Temos o segunte eemplo. Eemplo 4.5. Mostre que π(f... π(f <. n n= Solução: Consdere P = p... p n, onde p n é o n ésmo número prmo. Como qualquer número natural admte um fator prmo, então p n p... p n. Vamos mostrar por ndução que p n < n para n. Quando n =, < que é um resultado verdadero. Suponhamos que p n < n assm p n p... p n <... n <... n = n < n. Segue que p n < F n daí π(f n > n π(f... π(f n >... n = n(n, logo n= π(f... π(f < n n= n(n =. O (não trval teorema 4.4 tem um moderno refnamento. É conhecdo que se π(, d, a denota o números de prmos com classe de resíduos a (mod d que não eedem, então para fos nteros coprmos a, d com d > 0 (4.5 π(, d, a onde (4.6 L( := φ(d π( φ(d ln( φ(d L(, 3 dt ln(t. Teorema 4.6. (Segel-Walfsz Para qualquer número η > 0 este um número postvo C(η tal que para todos os nteros postvos coprmos a, d com d < (ln( η, (4.7 π(, d, a = ( ( φ(d L( O c(η ln(, 4 onde a grande notação O é absoluta. Dscussões desses e outros teoremas encontram-se em [8]. A segur daremos uma das mas belas versões da desgualdade de Brun-Ttchmarsh devdo a Montgomery e Vaughan em 979, vde [5]. Teorema 4.7. (Desgualdade de Brun-Ttchmarsh Se d, a são nteros postvos com mdc(a, d =, então para todos > d, (4.8 π(, d, a < φ(d ln(/d. 3 f( g( é equvalente a lm f( g( =. 4 Sejam f e g funções onde g é postva. Se este uma constante postva C tal que f( Cg( escrevemos f( = O(g(.
8 PEDRO PANTOJA Seja π ( o número de prmos gêmeos (p, p tal que p. Por eemplo, (4.9 π (5, 4 0 5 = 5767873343. Brun provou que este um ntero 0 tal que 0 (4.0 π ( < 00 (log. Mostra-se que (4. π ( c p> ou ( (p (4. π ( c Π (log ( (log O ( O ( log log ( log log. Hardy e Lttlewood con- Π é conhecda como constante dos prmos gémeos e c é outra constante. jecturaram que c = e que (4.3 π ( Π ( d (log. A conjectura dos prmos gêmeos é equvalente a lm nf d n =, onde d n = p n p n é a dferença de dos prmos consecutvos, e pouco se sabe do comportamento dessa função. Conjectura-se que d n (4.4 L = lm nf = 0. log p n Mas não há uma prova dsso. Paul Erdös mostrou que L <, sucessvamente houve melhoras desse resultado. O segunte resultado é smples. Lema 4.8. lm sup d n =. Demonstração. Consdere a segunte sequênca de números compostos consecutvos n!, n!3,..., n!n então a dferença entre o maor prmo menor do que n! e o menor prmo maor n! n é pelo menos n, então d n > n, o resultado segue medatamente. Westzynthus em 93, provou que (4.5 lm sup dn log p n =. D. A. Goldston, J. Pntz e C. Y. Yldrm provaram que p n p n (4.6 lm nf log pn(log log p <, n (veja [4] para os pormenores. e em 963, Rankn complatando o trabalho de Erdös mostrou que (4.7 lm sup d n(log log log p n log p n log log p n log log log log p n e γ Onde γ denota a constante Euler Mascheron, defnda por (4.8 γ = lm ( 3... n log(n. n Em 99 Cramer, assumndo a hpótese de Remann, provou que este uma constante M > 0 tal que (4.9 d n = P n p n < M( p n log(p n
PRIMOS GÊMEOS E OUTRAS CONJECTURAS 9 Por esse motvo a Hpótese de Remann está ntmamente relaconada com a função d n. É claro que esse últmo resultado pode em prncípo ser falso, caso a hpótese de Remann também seja. Fnalmente, daremos uma prova do teorema de Brun. Iremos utlzar o segunte (4.30 π ( Para mas detalhes veja o artgo de M. Faester [5]. ( Teorema 4.9. (Brun p <. p p,p P (log log (log Demonstração. B é chamada constante de Brun, cujo valor apromado é.99. Consdere a n defndo por: {, se p,p são prmos gêmeos a n = 0, caso contráro Obtemos p,p P ( p p (log log lm (log (log log t t(log t dt Fazendo a substtução u = log t na últma ntegral temos ( p (log log lm p (log p,p P log ( log u du u Um smples cálculo mostra que ( log u (4.3 du = (log u log u C u u Portanto a sére em questão converge. 5. Conjecturas Para fnalzar, nessa seção abordaremos outras conjecturas mportantes da teora analítca dos números, que de alguma forma tem a ver com a conjectura dos prmos gêmeos. A conjectura geral de Polgnac, é uma generalzação da conjectura dos prmos gêmeos. Defnmos π k ( da segunte manera, Para todo k e >, seja π k ( o número de nteros n tal que (5.3 p n e p n p n = k. Com o método de Brun, pode-se mostrar que este uma constante C k > 0 tal que (5.33 π k ( < C k (log. Em outras palavras, a conjectura de Polgnac pode ser enuncada como Conjectura 5.. Todo número par é a dferença de dos números prmos consecutvos, em um número nfnto de maneras. Se essa conjectura for verdadera, tomando a dferença gual a, obtemos a conjectura dos prmos gêmeos (vde [35] e [36]. Em 904, Dckson [38] conjecturou um fato mportante, chamada hoje de conjectura de Dckson. Em 958 Schnzel e Serpnsk generalzaram essa conjectura, mas não trataremos dsso. A conjectura de Dckson (sobre polnômos lneares afrma o segunte:
0 PEDRO PANTOJA Conjectura 5.. Seja s e f (X = b X a, onde =,..., s, a, b Z e b. Além dsso, não este um ntero n > que dvda todos os produtos s j= f j(k para cada ntero k. Então este uma nfndade de números naturas m tas que cada um dos nteros f (m,..., f s(m é um números prmo. Essa últma conjectura tem como caso partcular a conjectura dos prmos gêmeos e a conjectura dos prmos de Sophe German. Dzemos que p é um número prmo de Sophe German se p e p são prmos. Os prmos de Sophe German foram consderados pela prmera vez, para provar o prmero caso do últmo teorema de Fermat (demonstrado completamente pelas déas de város matemátcos, mas prncpalmente por Andrew Wles se p > é um número prmo de Sophe German, então não estem nteros, y, z tas que p y p z p = 0 com mdc(, y, z = e p não dvde yz. Lagrange provou em 775 que se p 3 (mod 4 então p é prmo de Sophe German se, e somente se, p M p onde M p = p é o número de Mersenne. Também é notável dzer que a conjectura de Dckson engloba o teorema de Drchlet como caso partcular. Conjectura 5.3. Estem nfntos números prmos de Sophe German. Entretanto, resolver a conjectura dos prmos de Sophe German será tão dfícl quanto resolver a conjectura dos prmos gêmeos. Prova-se que, Sendo π(, S o número de prmos de Sophe German menores ou guas a, este C tal que para todo (5.34 π(, S < C (log Por fm, daremos uma generalzação da conjectura de Hardy Ltllewood, chamada de k Tupla conjectura, ela afrma que o número assntótco de constelações de prmos pode ser calculado eplctamente. Conjectura 5.4. Seja 0 < m < m <... < m k então, sendo π m,m,...,m k ( o número de prmos p tas que p m, p m,..., p m k são todos prmos, satsfaz (5.35 π m,m,...,m k ( C(m, m,..., m k dt (log t k onde C(m, m,..., m k = ω(q;m,m,...,m k k q ( q q k o produto é tomado sobre todos os prmos ímpares q e ω(q; m, m,..., m k é o número de dstntos resíduos 0, m,..., m k (mod q. Referêncas [] Bryna Kra, The Green Tao Theorem on Arthmetc Progressons n the Prmes: An Ergodc Pont of Vew. [] Conway and Guy, The Book of Numbers. New York. [3] Teora dos Números: Um passeo com Prmos e outros Números Famlares pelo Mundo Intero, IMPA. [4] Tom Apostol, Introducton to analytc number theory, Sprnger. [5] M. Faester, Bruns Theorem and Seve of Erastosthenes. [6] P.A. Clement, Congruences for sets of prmes, AMM, 949. [7] H. Cramer, On the order of magntude of the dfference between consecutve prme numbers, Acta Math. [8] P. Rbenbom, The new book of prme number records, Sprnger, 996. [9] Carlos G. T. A. Morera, Ncolau C. Saldanha Prmos de Mersenne (e outros prmos muto grandes. [0] Twn prmes and twn prmes conjecture, Wolfram Mathematcs. [] D. A. Goldston, Are There Infntely Many Twn Prmes? [] Ernest, Song, On Remann Zeta Functon and Twn prme Conjecture. [3] Wkpeda, Twn Prmes. [4] D. A. Goldston, J. Pntz and C. Y. Yldrm, Prmes n tuples II, Acta Math. 04, no., 47(00. [5] H. Montgomery and R. Vaughan. The large seve. Mathematka 0:9 34, 973. [6] T. Ncely prme constellatons research project 004. http://www.trncelly.net/counts.html. [7] C. Rchard, P. Carl. Prme numbers, A Computaconal perspectve. Sprnger Verlag. [8] H. Davenport. Multplcatve Number Theory (Second edton. Sprnger Verlag, 980. [9] Cong Ln and L Zhpeng, On Wlsons Theorem and Polgnac Conjecture. Arv. [0] D. J. Newman, Analytc number theory, Sprnger, 998. [] Hans Resel, Prme Numbers and Computer Methods for Factorzaton, second edton, Brkhäuser, 994. [] Guy, Rchard K. (98, Unsolved Problems n Number Theory, Berln, New York: Sprnger Verlag.
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