Álgebra Linear - Prof. a Cecilia Chirenti Lista 3 - Matrizes. Sejam A = C = 0 3 4 3 0 5 4 0 0 3 4 0 3, B = 3, D = 3,. Encontre: a A+B, A+C, 3A 4B. b AB, AC, AD, BC, BD, CD c A t, A t C, D t A t, B t A, D t D, DD t. Sejam e =,0,0, e = 0,,0 e e 3 = 0,0,. Dada a matriz A = a a a 3 a 4 b b b 3 b 4, encontre e A, e A e e 3 A. c c c 3 c 4 3. Seja e i = 0,...,0,,0,...,0 onde é a i-ésima componente. Mostre: a e i A = L i, a i-ésima linha da matriz A b Be t j = C j, a j-ésima coluna da matriz B c Se e i A = e i B para todo i, então A = B d Se Ae t i = Bet i para todo i, então A = B 4. Reduza A à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas: a A = 3 4 3 c A = 0 5 3 3 6 6 5 5 3 4 5 b A = 3 5 3 0 4 4 5 6 5 7 d A = 0 3 0 4 3 0 0 0 5 3 4 5. Descreva todas as matrizes possíveis, que estão na forma escalonada reduzida por linhas forma canônica por linhas. 6. Suponha que A é uma matriz quadrada escalonada reduzida por linhas. Mostre que se A I, a matriz identidade, então A tem uma linha nula. 7. Mostre que toda matriz quadrada escalonada é triangular superior, mas o contrário não é verdadeiro.
8. Mostre que a equivalência por linhas é uma relação de equivalência, ou seja, a A é equivalente por linhas a A; b A equivalente por linhas a B implica B equivalente por linhas a A; c A equivalente por linhas a B e B equivalente por linhas a C implica A equivalente por linhas a C. 9. Seja A =. 3 a Encontre A e A 3. b Se fx = x 3 3x x+4 encontre fa. c Se gx = x x 8, encontre ga. 3 0. Seja B =. 5 3 a Se fx = x 4x+3 encontre fb. b Se gx = x 4x encontre gb. c Encontre um vetor coluna não-nulo u = x y tal que Bu = 6u.. Duas matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as x y matrizes que sejam comutativas com. z w 0. Seja. Encontre A 0 n. 0 7 0 3. Sejam A = e B =. Encontre A+B, AB, A 0 3 0 e A 3, A n e fa para um polinômio fx. c d 3 0 a a 4. Sejam D =, A =... a n e B = c d 0 3 b b... b n....... c n d n Encontre DA e BD. 5. Suponha que a matriz quadrada, B, comuta com qualquer matriz quadrada, isto é, AB = BA para qualquer matriz A. Mostre que k 0 B = para algum escalar k, ou seja, B é uma matriz escalar. 0 k 6. Se A,B M n R e se AB = BA, prove que a A B = A AB +B
b A BA+B = A B c A BA +AB +B = A 3 B 3 7. O produto de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica? Justifique. 8. Determine uma matriz A M R tal que A 0 e A = AA = 0. 9. Efetue os produtos AB e BA onde A = e B =. 3 0. Mostre que se A = então A 4 6A+5I = 0 matriz nula.. Mostre que as matrizes da forma X = y onde y é um número y real não nulo, verificam a equação X = X.. Determine todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a a 0 matriz X = 0 a onde a é um número real. 0 0 a 3. Se A e B são matrizes reais de ordem que comutam com a matriz 0, mostre que AB = BA. 0 4. Seja B uma matriz real que comuta com a matriz. Mostre 0 3 que existem números reais a e b tais que B = aa+bi. 5. Se A,B M n R são tais que AB = 0, pode-se concluir que BA também é a matriz nula? Provê ou dê um contra-exemplo. 6. Seja A uma matriz quadrada inversível. Mostre que A também é inversível e que A = A. 0 0 7. Mostre que a matriz real A = a 0 é inversível para todo a,b,c b c 0 0 R e que A = a 0 ac b c 8. Encontre a inversa de cada matriz 3
a b 3 7 5 3 3 c d 3 0 4 5 0 5 3 e 3 4 3 6 5 9. Mostre que as operações de inversão e transposição comutam, isto é, A t = A t. Assim, em particular, A é inversível se, e somente se, A t é inversível. 30. Quando uma matriz diagonal A = qual é a sua inversa? a 0... 0 0 a... 0............ 0 0... a n é inversível e 3. Mostre que A é equivalente por linhas B se, e somente se, existe uma matriz inversível P tal que B = PA. 3. Mostre que A é inversível se, e somente se, o sistema AX = 0 tem somente a solução nula. 33. Mostre que a multiplicação de matrizes satisfaz a propriedade B +CA = BA+CA. 34. Uma matriz A é equivalente a uma matriz B se B pode ser obtida de A por uma sequência finita de operações, cada uma sendo uma operação elementar com linhas ou com colunas. Mostre que a equivalência de matrizes é uma relação de equivalência. 35. Mostre que dois sistemas consistentes de equações lineares têm o mesmo conjunto solução se, e somente se, suas matrizes aumentadas são equivalentes por linhas. 36. Resolva os seguintes sistemas de Cramer: { x y = 4 a x+y = 0 c b x+y +z = x y +z = 0 y +z = 0 x y +z +t = 0 x+y z +t = x+y +z t = 0 x y z +3t = 37. Determine m R de modo que o sistema baixo seja de Cramer e resolva x y + z = o sistema: x + z = x + y + mz = 0 4
38. Sejam A, B e C matrizes reais de ordem n. Se A é inversível, prove que AB = AC B = C e que BA = CA B = C. 39. Se A, B e C são matrízes inversíveis de mesma ordem, determine X tal que AB X = C A. 0 40. Dada a matriz A =, calcule A 0 = AA, A 3 = AAA,...,A n = A...A n vezes. 0 0 4. Determinex, y ez tais que a matriza = 0 seja ortogonal. x y z 4. Existe alguma matriz inversível A tal que A = 0 matriz nula? Justifique. 5