INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA

Introdução à Astrofísica INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 21 O EQUILÍBRIO HIDROSTÁTICO Lição 20 O Equilíbrio Hidrostático

As estrelas se formam a partir de regiões densas e frias, chamadas de nebulosas. A nebulosa começa a colapsar devido à gravidade, espremendo cada vez mais seu centro. Isso faz com que as regiões internas comecem a produzir reações nucleares. A reação nuclear fará com que radiação seja emanada do centro da estrela para fora. Cria-se então duas forças opostas: uma força de dentro pra fora, em forma de radiação, e uma força de fora pra dentro (a gravidade). Essas duas forças em equilíbrio ocasionam a estabilidade da estrela. Nessa lição, vamos estudar esse processo.

Para deduzir a estrutura das estrelas de forma detalhada precisamos gerar modelos computadorizados consistentes com as leis físicas. O estudo teórico da estrutura estelar, junto com os dados observacionais, mostram que as estrelas são objetos dinâmicos, com variações a uma taxa que poderiam ser consideradas lentas para os padrões humanos, embora as vezes variem de maneira drástica, como uma supernova. No sol, 3,839 10 26 J de energia é emitida por segundo. Uma vez que as estrelas não possuem um reservatório infinito de energia, elas usam o que é disponível e morrem. A medida que as estrelas queimam seu combustível elas buscam superar a força gravitacional que busca o colapso. Evolução estelar é o resultado dessa luta constante contra a gravidade.

A força gravitacional é sempre uma força atrativa. Isso implica que deve existir uma força oposta que faça com que a estrela não colapse. Essa força oposta é a pressão interna. Para calcular como a pressão deve variar com a profundidade vamos considerar que a estrela seja um cilindro de massa dm cuja base esteja localizada a uma distância r do centro de uma estrela esférica. A força F P,t é a força de pressão aplicada no topo do cilindro, enquanto que F P,b é a força de pressão aplicada na base do cilindro. Da segunda lei de Newton, temos que: dm d2 r dt 2 = F g + F P,t + F P,b Nessa equação, F g é a força gravitacional que sempre aponta para o interior da estrela. Também existem forças nas laterais do cilindro, mastodas elas irão se cancelar.

A força exercida na parte superior do cilindro será direcionada para o interior (F P,t < 0), enquanto que a pressão na parte inferior será para cima (F P,b > 0). Assim, escrevemos: Substituindo esse valor na equação anterior: F P,t = F P,b + df P dm d2 r dt 2 = F g df P A força gravitacional sobre um elemento de massa dm localizada à uma distância r do centro da estrela é dada por: F g = G M rdm r 2 Onde M r é a massa dentro da esfera de raio r. A pressão é definida como a força por unidade de área (P = F/A). A força diferencial pode ser escrita como df P = AdP. Assim: dm d2 r dt 2 = G M rdm r 2 AdP Se a densidade do gás no cilindro é ρ, sua massa é dada em termos de dm = ρadr Note que o termo Adr é o volume do cilindro. Assim, escrevemos: Dividindo tudo por Adr: ρadr d2 r dt 2 = G M rρadr r 2 AdP ρ d2 r dt 2 = G M rρ r 2 dp dr Essa é a equação para o movimento radial do cilindro, assumindo uma simetria esférica.

Se assumirmos que a estrela é estática, então termo d 2 r/dt², que é a aceleração, tem de ser zero. Logo: dp dr = G M r ρ r 2 = ρg Note que escrevemos g G M r r 2 Que nada mais é do que a aceleração da gravidade. Essa equação é a condição de equilíbrio hidrostático e representa uma das equações fundamentais da estrutura estelar para objetos esfericamente simétricos. Essa equação nos diz que, para uma estrela ser estática, então o gradiente de pressão deve existir para compensar a gravidade. Note que não é a pressão que mantém a estrela em equilíbrio, mas sim a variação da pressão com o raio.

Para calcular a pressão no centro do Sol, vamos assumir que M r = 1M,r = 1R e ρ = 1410 kgm 3 é a densidade solar média. Assumindo também que a pressão na superfície seja zero, temos: dp dr P s P c R s 0 P c R O termo P c é a pressão central. Substituindo na equação de equilíbrio hidrostático: P c ~ G M ρ ~ 6,674 10 11 1,988 1030 1410 R 6,957 10 8 ~ 2,7 10 14 Nm 2 Para obter um valor mais preciso, devemos integrar a equação de equilíbrio hidrostático da superfície até o centro, considerando as variações de massa no interior da estrela em cada ponto junto com a variação de densidade. Logo: P s P c dp = Pc = R c GM r ρ dr Para resolver essa integral, necessitamos de M r e ρ r, o que, infelizmente, não estão disponíveis de maneira simples. Uma estimativa mais rigorosa da pressão central obtida através de modelos precisos é 2,34 10 16 Nm 2. Note que esse valor é bem maior do que o obtido anteriormente. Isso se deve ao fato do crescimento de densidade em direção à região central. R s r 2

Uma segunda relação existe envolvendo massa, raio e densidade. Novamente, consideremos uma estrela com simetria esférica. Seja uma camada de massa dm r, e espessura dr, localizada a uma distância r do centro. Se a camada é suficientemente fina (dr r), o volume da camada é dado por: dv = 4πr 2 dr Se a densidade do gás é ρ, a massa da camada será dada por dm r = ρ 4πr 2 dr Reescrevendo, obtemos a equação de conservação de massa: dm r dr = 4πr2 ρ Essa equação nos diz que a massa no interior de uma estrela deve variar com a distância ao centro.

A EQUAÇÃO DO ESTADO Vimos que existe uma pressão interna na estrela, porém ainda não vimos nenhuma informação a respeito da origem desse termo. Devemos obter uma equação de estado, a fim de descrever as interações entre as partículas. Um exemplo famoso de uma equação de estado é a lei dos gases ideais, dada por PV = NkT, onde V é o volume do gás, N é o número de partículas, T é a temperatura e k é a constante de Boltzmann.

Considere um cilindro de comprimento Δx e área A. Dentro do cilindro há gás, de modo que o mesmo seja composto por partículas pontuais de massa m que interagem através de colisões elásticas. Para determinar a pressão exercida sobre um dos extremos do cilindro devemos examinar o resultado de um impacto sobre a parede do lado direito por uma partícula individual. A colisão é perfeitamente elástica e portanto o ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão. A variação da quantidade de movimento da partícula é dada somente na direção x. A partir da segunda e terceira lei de Newton, o impulso (força aplicada em certo tempo) transmitido à parede é o negativo da variação da quantidade de movimento da partícula: FΔt = Δp = 2p x

Note que a partícula deve atravessar o cilindro duas vezes antes de retornar para uma segunda colisão. Logo, o tempo de colisão com a mesma parede (pela mesma partícula) é: Δt = 2 Δx v x Logo, a força média exercida sobre a parede por uma única partícula, em certo período de tempo, é: F = 2p x Δt = p xv x Δx Atente para o numerador. Pela relação da quantidade de movimento, sabemos que p v, logo podemos escrever p x v x v 2 x. Para partículas se movendo em direções e sentidos aleatórios, escrevemos a velocidade como: v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z. Como o movimento provável em cada uma das 3 direções é o mesmo, escrevemos v 2 x = v 2 y = v 2 z = v 2 /3. Logo, obtemos a relação da força média por partícula: F p = 1 pv 3 Δx

No caso geral, as partículas possuem certo intervalo de momentum. Se o número de partículas com momentum entre p e p + dp é dado por N p dp, então o número total de partículas no cilindro será: N = 0 N p dp A contribuição para a força total, df(p), por todas as partículas no intervalo de momentum dp será: df p = F p N p dp = 1 N p 3 Δx pvdp Integrando sobre todos os possíveis valores de p: F = 1 3 0 N p Δx pvdp Que será a força total exercida pela partícula na colisão.

Dividindo ambos os lados da expressão pela área A, obteremos a pressão sobre a superfície P = F/A. Atente que AΔx nada mais é do que o volume ΔV do cilindro. O termo n p dp é o número de partículas por unidade de volume: n p dp N p ΔV dp Logo, a pressão exercida sobre a parede do cilindro é: F = 1 3 0 N p Δx pvdp P = 1 3 0 n p pvdp Chamamos esse termo de pressão integral. Essa equação é válida para partículas com e sem massa (fótons) viajando a qualquer velocidade. Para o caso de partículas com massa, não relativísticas, podemos usar p = mv e escrevemos a integral como: P = 1 3 0 mn v v²dv Onde o termo n v dv = n p dp é o número de partículas por unidade de volume com velocidade entre v e v + dv.

A função n v dv é dependente da natureza física do sistema. No caso de um gás ideal, n v dv é a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann. m 3/2 n v dv = n e mv2 /2κT 4πv²dv 2πκT Onde a densidade numérica de partículas é: n = 0 n v dv Substituindo na equação de pressão integral, temos P g = nκt. Em astrofísica é comum expressar esta equação de outra forma. Já que n é a densidade numérica de partículas, deve estar relacionada à densidade de massa do gás. Podemos então escrever n = ρ/ m, onde m é a massa média das partículas do gás.

Assim, podemos escrever a lei dos gases ideais como: P g = ρκt m Definimos o peso molecular médio como μ m m H Onde m H = 1,673532499 10 27 kg é a massa do átomo de Hidrogênio. O peso molecular médio é a massa média de uma partícula livre do gás, em unidades da massa do Hidrogênio. Logo, escrevemos a lei dos gases ideais como: P g = ρκt μm H O peso molecular médio depende da composição do gás e do estado de ionização. O nível de ionização entra porque os elétrons livres devem ser incluídos na massa média por partícula. A equação de Saha é necessária para calcular os números relativos dos estados de ionização. No entanto, quando o gás é neutro ou ionizado, os cálculos se simplificam.

Para um gás completamente neutro: m n = j N j m j j N j Onde m j e N j são, respectivamente, a massa e o número total de átomos no gás. Dividindo tudo por m H : Para um gás ionizado: μ n = j N j A j j N j A j μ i = j N j 1 + z j Onde 1 + z j leva em conta o núcleo mais o número de elétrons livres. j N j

Invertendo a expressão para m é possível escrever equações alternativas para μ em termos de frações de massa. Lembrando que m = μm H a equação para m n é: 1 j N j numero total de particulas = μ n m H j N = jm j massa total de gas numero de particulas de j massa das particulas de j = massa das particulas de j massa total do gas j = = j j N j N j A j m H X j 1 A j m H X j Onde X j é a fração de massa dos átomos do tipo j. Resolvendo para 1/μ n : 1 1 = X μ n A j j j

Então, para um gás neutro: 1 μ n X + 1 4 Y + 1 A n Z O termo 1/A n é a média ponderada de todos os elementos do gás mais pesados que o Hélio. O peso molecular de um gás completamente ionizado pode ser determinado de maneira semelhante. Para isso, devemos incluir o número total de partículas, núcleos e elétrons. Para um gás completamente ionizado, a equação para 1/μ i se torna: 1 1 + z j = X μ i A j j Incluindo o Hidrogênio e o Hélio: 1 j μ i 2X + 3 4 Y + 1 + z A i Z

Para elementos mais pesados do que o Hélio, 1 + z j = z j 1 representa o número de prótons (ou elétrons) em um átomo do tipo j. Além disso, A j = 2z j, uma relação baseada no fato que átomos suficientemente massivos tem aproximadamente o mesmo número de prótons e neutrons em seus núcleos e que prótons e neutrons possuem massas aproximadamente iguais. Logo: 1 + z A i 1 2 Se assumimos que X = 0,70, Y = 0,28 e Z = 0,02, uma composição típica de estrelas jovens, então μ n = 1,30 e μ i = 0,62.

Combinando as equações P g = nκt P = 1 3 0 mn v v 2 d Obtemos Podemos reescrever essa equação como: nκt = 1 3 0 mn v v 2 dv 1 n v v 2 dv = 3κT n 0 m Porém, o lado esquerdo dessa expressão é a integral da média de v 2 ponderada pela função de distribuição de Maxwell-Boltzmann. Então: Ou então v 2 = 3κT m 1 2 m v2 = 3 2 κt O fator 3 provém da média das velocidades das partículas nas três direções (ou graus de liberdade).

Logo, a energia cinética média de uma partícula é 1 2 κt Por grau de liberdade.