SUPERPOSIÇÃO E OBSERVÁVEIS COMPATÍVEIS Mecânica Quântica I (1108045) - Capítulo 04 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2014.2 1 / 59
Sumário Superposição Princípio da superposição Interpretação do espaço de Hilbert Relações de comutadores Relações de comutadores na mecânica quântica Mais sobre relações de comutadores Observáveis comutando O conjunto completo de operadores que comutam Exercícios Exercícios 2 / 59
Ensemble médio Considere um ensemble contendo partículas presas numa caixa unidimensional. Se em cada caixa, as partículas estão no mesmo estado inicial ψ(x, 0). Depois de um certo intervalo de tempo, cada caixa estará no mesmo estado comum ψ(x, t) como pode ser visto na figura abaixo: 3 / 59
Ensemble médio Qual seria a energia de cada partícula nas caixa num tempo t? Se ψ(x, 0) não é uma autofunção de Ĥ, as energia em cada caixa não são as mesmas, mesmo que as caixas sejam idênticas e todas estejam no mesmo estado ψ(x, t). As perguntas mais apropriadas a serem feitas, neste caso, são: 1 Qual é a energia média medida a partir de todas as caixas do ensemble? 2 Se for medido a energia de uma das caixas, qual a probabilidade de encontrar um valor E n? Para responder estas perguntas faz-se: 4 / 59
Ensemble médio O valor médio de energia pode ser calculado por: < E >= n P(E n )E n, (1) em que, P(E n ) é a probabilidade de encontrar a partícula com energia E n. De forma contínua, pode-se escrever o valor médio de x por < x >= xp(x)dx. (2) Utilizando o terceiro postulado da mecânica quântica, tem-se 5 / 59
Ensemble médio ψ Ĥψ. (3) Expandindo o estado ψ num auto estado de Ĥ, tem-se: Ĥϕ n = E n ϕ n. (4) Para uma partícula presa numa caixa unidimensional, por exemplo, tem-se 2 ( nπx ) ϕ n = a sin. (5) a 6 / 59
Portanto, Ensemble médio ψ(x, t) = b n (t)ϕ n (x), (6) n=1 como ψ é função de x e t e ϕ é função apenas de x, então b n = b n (t). Em notação de Dirac, tem-se: ψ = b n ϕ n (7) n=1 Desta maneira, o valor esperado de E fica: < E >= b n ϕ n Ĥ b l ϕ l n l. (8) 7 / 59
Ensemble médio < E >= n l b nb l ϕ n Ĥϕ l < E >= n l b nb l E l ϕ n ϕ l < E >= n l b nb l E l δ nl. (9) < E >= n=1 b n 2 E n Comparando a Equação (9) com a Equação (1), pode-se concluir que ou, b n 2 E n = n n P(E n )En, (10) P(E n ) = b n 2. (11) 8 / 59
Ensemble médio Estes coeficientes precisam ser corretamente normalizados. Para isto faz-se: ψ ψ = n l b nb l ϕ n ϕ l = 1 1 = ψ ψ = n l b nb l ϕ n ϕ l 1 = ψ ψ = n l b nb l δ nl 1 = ψ ψ = n=1 b n 2. (12) 9 / 59
Ensemble médio Se o conjunto {ϕ n } e ψ não forem normalizados, a probabilidade fica em que P(E n ) = b n 2 C n 2 bn 2 C n 2 = b n 2 C n 2 ψ ψ (13) C n 2 = ϕ n ϕ n. (14) Os coeficientes b n são calculados multiplicando a Equação (7) por ϕ n, desta maneira, pode-se escrever: b n = ϕ n ψ n. (15) 10 / 59
Ensemble médio O coeficiente b n é a projeção de ψ sobre ϕ n e b n 2 é a probabilidade que ao medir E encontre-se E n quando o sistema está no estado ψ. Isto é válido para qualquer observável dinâmico. Considere a seguinte equação de autovalor ˆF ϕ n = f n ϕ n. (16) Num dado instante de tempo t o sistema está no estado ψ(x, t). Qual a probabilidade de ao medir F encontre-se f 3. Pode-se escrever: e ψ = b n ϕ n (17) b n = ϕ n ψ. (18) 11 / 59
Ensemble médio Isto significa que o estado ψ pode representar uma superposição de autoestados de um observável físico, e isto é a essência do princípio da superposição. Quando {ϕ n } e ψ são normalizados, a probabilidade de encontrar o valou f 3 para F é b 3 2. Isto pode ser representado no esquema a seguir. 12 / 59
Interpretação do espaço de Hilbert Quando observa-se o espaço de Hilbert, {ϕ n } é um conjunto de vetores e ψ é outro vetor. O sistema está no estado ψ. Medidas do observável F fazem com que ψ assuma um valor de ϕ n. É mais provável que isto aconteça para vetores mais inclinado, pensando geometricamente conforme ilustração abaixo: 13 / 59
Interpretação do espaço de Hilbert Como exemplo ilustrativo, considere uma partícula de massa m numa caixa unidimensional de largura a. Em t = 0 a partícula está no estado ψ(x, 0) = 3ϕ 2 + 4ϕ 9 (25). (19) Lembrando que as funções ϕ n são autoestados ortonormais de Ĥ, ou seja, 2 ( nπx ) ϕ n = a sin. (20) a Qual será a medida de E em t = 0 e qual a probabilidade de encontrar este valor? 14 / 59
Interpretação do espaço de Hilbert Primeiro checa-se se ψ é normalizado, na notação de Dirac, tem-se então, ψ = 3 ϕ 2 + 4 ϕ 9 25, (21) ψ ψ = 1 25 [(3 ϕ 2 + 4 ϕ 9 ) (3 ϕ 2 + 4 ϕ 9 )] e ψ é normalizado. ψ ψ = 1 25 [9 ϕ 2 ϕ 2 + 12 ϕ 2 ϕ 9 + 12 ϕ 9 ϕ 2 + 16 ϕ 9 ϕ 9 ] = 1 (22) 15 / 59
Interpretação do espaço de Hilbert Pelo princípio da superposição, pode-se escrever: ψ = b n ϕ n = 3ϕ 2 + 4ϕ 9 25 (23) Isto implica que: b 2 = 3 25 b 9 = 4 25. (24) b n = 0, para n 2 ou 9 16 / 59
Interpretação do espaço de Hilbert Portanto, as probabilidade P(E n ) valem: P(E 2 ) = 9 25 P(E 9 ) = 16 25 P(E n ) = 0, para n 2 ou 9. (25) Num ensemble com 2500 cópias idênticas de caixa unidimensionais, cada uma contendo um partícula no mesmo estado ψ(x, 0), medidas de E em t = 0 resultam em aproximadamente 900 partículas com energia E 2 e 1600 partículas com energia E 9. 17 / 59
Interpretação do espaço de Hilbert Num ensemble com 10 23 caixas, medidas de E podem resultar em E 2 em todas as caixas? A resposta é SIM, porque, embora o estado ψ(x, 0) seja uma superposição de auto estados bem definidos do observável, não existe certeza qual medida irá alcançar. Isto é uma exclusividade da mecânica quântica, não existe algo similar na física clássica. Um incerteza na física clássica está associada a incerteza na obtenção dos dados. Na mecânica quântica, embora conheça-se o estado inicial ψ(x, 0), não é possível afirmar com certeza qual qual auto estado {ϕ n } ficará o sistema. No entanto, uma vez medido o valor do observável E e encontrado o valor E 9, sabe-se com certeza que o estado do sistema imediatamente após a medição é ϕ 9. 18 / 59
Onda quadrada como estado inicial Considere o problema de uma partícula livre em uma dimensão. Suponha que em t = 0, o sistema está no estado { 1 ψ(x, 0) = a, x < a 2 (26) 0, para qualquer outro valor de x Este estado pode ser ilustrado na figura abaixo: 19 / 59
Onda quadrada como estado inicial Para saber quais são os possíveis valores de momentum linear que podem ser medidos num dado instante de tempo e quais são suas respectivas probabilidades, deve-se expandir ψ(x, 0) como uma sobreposição de auto estados de ˆp, que são dados por: Sendo assim, ψ(x, 0) = ϕ k = 1 2π e ikx (27) b(k)ϕ k dk. (28) Desta maneira, os coeficientes b(k) podem ser obtidos da seguinte forma: 20 / 59
Onda quadrada como estado inicial b(k) = b(k) = 1 a 2 2πa ϕ 1 kψ(x, 0)dx = ψ(x, 0)e ikx dx 2π a 2 ( e ikx dx = 1 2 e ika/2 e ika/2 2πa k 2i b(k) = 2 πa sin ( ) ka 2 k ), (29) que é projeção de ψ(x, 0) sobre os auto estado ϕ k. O quadrado de b(k) é a densidade de probabilidade de numa medição de momentum linear encontrar p = k no intervalo de k e (k + dk) que pode ser escrita por: 21 / 59
Onda quadrada como estado inicial b 2 = 2 sin 2 ( ) ka 2 πa k 2. (30) Esta função apresenta máximo em k = 0 e cai para zero em ou ka 2 = π (31) p = k = 2π. (32) a é mais provável que medidas de momentum linear resulte em p = 0 e momenta lineares iguais a ± n2π a com n inteiro maior que 1 nunca são encontrados, para entes valores b(k) = 0. 22 / 59
Onda quadrada como estado inicial Isto pode ser esquematizado na Figura abaixo: 23 / 59
Onda quadrada como estado inicial Note que valores de momentum linear mais prováveis de serem medidos estão dentro do intervalo k = 4π a p = k = 4π a Por outro lado de (26) sabe que é uniformemente provável encontrar a partícula em qualquer ponto do intervalo ( a 2, a 2), ou seja, (33) x = a. (34) 24 / 59
Onda quadrada como estado inicial Combinando as incertezas, tem-se x p =. (35) Este é outro exemplo de princípio da incerteza de Heisenberg. 25 / 59
Sobreposição de incertezas Considere mais uma vez um simples estado ψ(x, 0) dado por (26). Suponha que em t = 0 é medido o mementum linear do elétron. Qual valor é encontrado? Sabe-se que p = ± n2π a nunca é encontrado, qualquer outro valor deverá ter uma probabilidade b(k) 2. Caso a medida encontre o momentum linear do eletron por p = π a. (36) Imediatamente após a medida a partícula deverá está no estado ψ = 1 2π e iπx a. (37) 26 / 59
Sobreposição de incertezas Como este estado também é um auto estado de Ĥ, uma medida de energia resultará em: E = π2 2 a 2 2m. (38) Caso queira-se fazer uma medida de posição da partícula, sabe-se que a densidade de probabilidade é ψ 2 = 1 2π que é contante. A incerteza é portanto x =. (39) Sendo certa a medição do momentum linear de p = π a, então p = 0. Esta é novamente uma evidência do princípio da incerteza de Heisenberg. 27 / 59
Sobreposição de incertezas Suponha agora que um detector seja colocado no eixo x em x = x. O estado do elétron imediatamente depois da medida pode ser escrito por ψ = δ(x x ). (40) Este estado inicial pode ser escrito como sobreposição de auto estados de p da seguinte forma ψ(x, 0) = δ(x x ) = 1 2π Então, os coeficientes b(k) ficam: b(k) = 1 2π b(k)e ikx dk. (41) δ(x x )e ikx dx = 1 2π e ikx. (42) 28 / 59
Sobreposição de incertezas Estes coeficientes correspondem a uma densidade de probabilidade de momentum linear dada por P(k) = b(k) 2 = 1 2π, (43) i.e., uniformemente distribuída que resulta em p =. Como x = 0, neste caso, o princípio da incerteza é mais uma vez obtido. A figura abaixo ilustra esta situação. 29 / 59
Relações de comutadores da mecânica quântica A operação comutador entre dois operadores  and ˆB é escrita por [Â, ˆB] e é definida por [Â, ˆB] = ˆB ˆBÂ. (44) Uma importante propriedade da relação de comutadores pode ser obtida diretamente por: Se [Â, ˆB] = [ˆB, Â]. (45) [Â, ˆB] = 0, (46) diz-se que os operadores  e ˆB comutam e ainda  e ˆB são operadores compatíveis um com o outro, i.e., ˆB = ˆBÂ. (47) 30 / 59
Relações de comutadores da mecânica quântica Qualquer operador comuta com qualquer constante. Sendo assim, [Â, a] = Âa aâ = 0. (48) [Â, a ˆB] = [aâ, ˆB] = a[â, ˆB]. (49) Qualquer operador  comutam com seu quadrado Â2, [Â, Â2 ] = (ÂÂ2 Â2 A) = ( ÂÂÂ) = 0. (50) Isto significa que independente de como seja Â, quando [Â, Â2 ] atua em qualquer função g(x), obtém-se zero, ou seja, [Â, Â2 ]g(x) = 0. (51) 31 / 59
Relações de comutadores da mecânica quântica De uma forma mais geral, o operador  comuta com qualquer função de Â, [f (Â), Â] = 0. (52) Como exemplo, considere a seguinte relação de comutadores Isto implica que [ n=0 [ eˆp, ˆp ] ] ˆp = n n!, ˆp [ eˆp, ˆp ] = [ n=0 1 n! [ˆpn, ˆp] eˆp, ˆp ] = [1, ˆp] + [ˆp, ˆp] + 1 2! [ˆp2, ˆp] + = 0 [eˆp, ˆp]g(x) = em que g(x) é uma função arbitrária qualquer.. (53) [ ] e i x, i g(x) = 0, (54) x 32 / 59
Relação de comutação entre ˆx e ˆp Considere a seguinte relação de comutação: ( [ˆx, ˆp]g(x) = xi x + i ) x x g(x) ( [ˆx, ˆp]g(x) = i x g(x) + x g(x) ) + g(x) = i g(x). x x Portanto, [ˆx, ˆp] = i, (55) isto implica que o operador comutador [ˆx, ˆp] tem por efeito multiplicação de uma constante i. 33 / 59
Relação de comutação entre ˆx e ˆp Como consequência imediata desta operação, tem-se [ˆx, ˆp 2 ] = [ˆx, ˆp]ˆp + ˆp[ˆx, ˆp] = 2i ˆp. (56) Sendo assim, se for aplicado o comutador a uma função, obtém-se [ˆx, ˆp 2 ]g(x) = 2 2 g(x) x De forma similar, obtém-se:. (57) [ x ˆ2, ˆp] = 2i x. (58) O que representa que o operador [ ˆ x 2, ˆp] multiplica a função por 2i x 34 / 59
Autofunções de operadores que comutam Se dois operadores quaisquer  e ˆB comutam, então [Â, ˆB] = 0, (59) então  e ˆB têm um conjunto de autofunções em comum não-triviais. Para demonstrar isto, considere a autofunção ϕ a do operador  que resultará em Sendo assim. Âϕ a = aϕ a. (60) ˆBÂϕ a = a ˆBϕ a. (61) 35 / 59
Autofunções de operadores que comutam Como  e ˆB comutam, pode-se escrever o lado esquerdo da equação anterior por ) )  (ˆBϕ a = a (ˆBϕ a. (62) Isto significa que ˆBϕ a também é autofunção de  com autovalor correspondente a. Se ϕ a é uma autofunção de  linearmente independente, a função ˆBϕ a deve ser diferente de ϕ a apenas por uma constante µ, ou seja, ˆBϕ a = µϕ a, (63) mas isto é uma equação de auto valor para ˆB, portanto, ϕ a também é autofunção de ˆB. C.Q.D. 36 / 59
Autofunções de operadores que comutam Por exemplo, este teorema foi exemplificado no problema da partícula livre em uma dimensão. Para este caso, [ˆp, Ĥ] = 0. (64) O que significa que ˆp e Ĥ comutam e têm autofunções em comum, ou seja, e ˆpe ikx = ke ikx (65) Ĥe ikx = 2 k 2 2m eikx. (66) 37 / 59
Funções linearmente independentes Um conjunto de funções {ϕ n } é linearmente independente quando Isto é satisfeiro quando N λ n ϕ n = 0. (67) n=0 λ 1 = λ 2 = λ 3 = = λ n = 0. (68) Por exemplo, duas funções e x e sin x são linearmente independente quando que é satisfeito se λ 1 e x + λ 2 sin x = 0, (69) λ 1 = λ 2 = 0. (70) 38 / 59
Funções linearmente independentes Por outro lado, duas funções e x e 3e x são são lineamente independentes porque é verdade se λ 1 e x + 3λ 2 e x = 0 (71) λ 1 = 3λ 2. (72) No espaço de Hilbert, se dois vetores ϕ 1 e ϕ 2 são LI, eles não pertencem ao mesmo eixo (reta) em H. De forma análoga se N vetores {ϕ n } são todos LI, isto que dizer que não existe um par que esteja sobre o mesmo eixo. Caso ϕ 1 e ϕ 2 sejam LI é preciso rotacionar ϕ 1 para alinhá-lo a ϕ 2. Quando ϕ a é uma autofunção única LI de  que tem autovalor a correspondente, todas as autofunções de  que resultam em a devem ser da forma µϕ a. 39 / 59
Funções linearmente independentes As funções ϕ a e µϕ a são duas autofunções LD de  que correspondem ao autovalor a. Â(µϕ a ) = µâϕ a = µaϕ a = a(µϕ a ). (73) Deve existir infinitas autofunções de  que correspondem ao autovalor a. Apenas um desses estados é revelante e é aquele que ψ 2 0 quando x, nestes casos ψ e, consequentemente µ é ajustada por normalização. Se ψ 2 0 quando x, ψ pode ser ajustada por condições de contorno apropriadas. 40 / 59
O conceito de degenerecência Suponha que existam APENAS duas autofunções linearmente independentes de um operador Â, as quais resultem no autovalor a. Chamando-as de ϕ 1 e ϕ 2, obtém-se Âϕ 1 = aϕ 1 (74) Âϕ 2 = aϕ 2 (75) Sob estas circunstâncias diz-se que o autovalor a é duplamente degenerado e as autofunções ϕ 1 e ϕ 2 são degeneradas. A autofunção mais geral de  que corresponde ao autovalor a deve ter a seguinte forma: aqui α e β são constantes arbitrárias. ϕ a = αϕ 1 + βϕ 2, (76) 41 / 59
O conceito de degenerescência Para testar esta situação, faz-se Âϕ a = Â(αϕ 1 + βϕ 2 ) = αâϕ 1 + βâϕ 2 Âϕ a = αaϕ 1 + βaϕ 2 = a(αϕ 1 + βϕ 2 ). (77) No espaço de Hilbert as duas funções ϕ 1 e ϕ 2 geram um plano e qualquer vetor do plano ϕ a é uma autofunção de  correspondendo a um autovalor a, como é ilustrado na figura abaixo. 42 / 59
Se  e ˆB comutam, então O conceito de degenerescência ˆBÂϕ 1 = a(ˆbϕ 1 ) = Â(ˆBϕ 1 ). (78) Isto implica que ˆBϕ 1 é autoestado de  que corresponde ao autovalor a. Mas há vários estados como este, há vários valores de α e β tais que ˆBϕ 1 = µ(αϕ 1 + βϕ 2 ). (79) O que significa que ϕ 1 não é necessariamente autofunção de ˆB. Com isto conclui-se que: Se [A, B] = 0 e a é uma autovalor degenerado de Â, as autofunções de  não são necessariamente autofunções de ˆB. Informalmente falando, operadores degenerados tem mais autoestados que operadores não degenerados. Isto pode ser exemplificado no diagrama a seguir 43 / 59
O conceito de degenerescência 44 / 59
O conceito de degenerescência Considere um exemplo simples da situação de uma partícula livre movendo-se em uma dimensão. O autovalor do operador Hamiltoniano E k = 2 k 2 2m (80) Ĥ = ˆp2 2m é duplamente degenerado. Todas as autofunções a seguir são correspondem a este autovalor: (81) {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 } = {cos kx, sin kx, e ikx }. (82) Este conjunto não é LI. Entretanto, duas delas são, por exemplo, {ϕ 1, ϕ 2 } = {cos kx, sin kx}. (83) 45 / 59
O conceito de degenerescência Ambas funções de (83) apresentam 2 k 2 2m. Embora, [ˆp, Ĥ] = 0, para uma partícula livre, o conjunto de autofunções (83) de energia seja degenerado, estas funções não são autofunções de ˆp. Por exemplo, utilizando os dois autoestados degenerados (83) para partícula livre podem forma os seguinte estados: e ϕ + = ϕ 1 + iϕ 2 = cos kx + i sin kx = e ikx (84) ϕ = ϕ 1 iϕ 2 = cos kx i sin kx = e ikx (85) Estas duas funções são autoestados para Ĥ e ˆp. Permanecem degenerados para Ĥ, mas são não degenerados para ˆp. 46 / 59
Relações de comutadores e princípio da incerteza Desde que, para a partícula livre, os operadores ˆp e Ĥ comutam, eles devem devem ter autofunções em comum que são da seguinte forma: ϕ = Ae ikx. (86) Medidas de p resultarão em k e medidas de energia resultarão em 2 k 2 2m e para ambos os casos, o sistema deverá assumir o estado (86). Os operadores em questão são compatíveis, ou seja, têm autofunções em comum porque eles comutam. Sendo assim, a mecânica quântica permite medições simultâneas de p e E para o estado (86). A mesma coisa não acontece para p e x, não existe estado que permita medir simultaneamente estes observáveis. 47 / 59
Relações de comutadores e princípio da incerteza Para a partícula livre, existe estados que permitem E p = 0 (87) Por outro lado, para qualquer estado, as incertezas de observações de p e x apresentam produto tal que x p 2. (88) As relações de incertezas devem ter suas origens nas propriedades da compatibilidade de operadores para os observáveis a serem medidos. 48 / 59
Relações de comutadores e princípio da incerteza Suponha que dois operadores  e ˆB não sejam compatíveis, isto é, [Â, ˆB] = ĉ 0 (89) Se medidas de A apresentam incertezas A e medidas de B apresentam incertezas B, então Lembrando que A B 1 2 < C >. (90) ( A) 2 =< A 2 > < A > 2 (91) e < C >= ψ Ĉψ. (92) 49 / 59
O conjunto completo de operadores que comutam Os autovalores de energia para uma partícula livre em uma dimensão são duplamente degenerados, i.e., duas autofunções de Ĥ (e ikx, e ikx ) correspondem ao autovalor 2 k 2 2m. No entanto, uma vez especificado o autovalor de momentum linear como k, então, o sistema assume um único estado e ikx. Suponha um operador  que tem autovalores degenerados. Se a é um desses autovalores, especificando-se apenas a, não é possível determinar qual o estado que o sistema se encontra. Considere, então, um operador ˆB que é compatível com Â. Considerando todos os autoestados que são comuns a  e ˆB, dos estados degenerados de Â, apenas um subconjunto desse é também autofunção de ˆB. 50 / 59
O conjunto completo de operadores que comutam Diante destas condições, se a e b forem determinados, o estado do sistema pode estar dentro de um conjunto menor do que estaria se apenas a fossem determinado. Suponha ainda apenas mais um operador Ĉ que seja compatível com  e ˆB, eles compartilham um conjunto de autoestados em comum ϕ abc, então Âϕ abc = aϕ abc ˆBϕ abc = bϕ abc Ĉϕ abc = cϕ abc (93) As funções ϕ abc é um conjunto menor ainda que os conjuntos ϕ a e ϕ ab. Considerando que ϕ abc é exclusivamente determinado pelos autovalores a, b e c. Isto significa que tendo medido a, b e c: 51 / 59
O conjunto completo de operadores que comutam 1 Como ϕ abc é auto estado de Â, ˆB e Ĉ, medidas simultâneas ou ligeiramente sucessivas de A, B e C certamente resultarão em a, b e c; 2 O estado ϕ abc não pode ser melhor resolvido a partir de mais medidas. Este estado contém o máximo de informação que permite a mecânica quântica; 3 Não há outros operadores independentes de Â, ˆB e Ĉ que sejam compatíveis com estes. Se existisse, o estado ϕ abc poderia ser melhor resolvido. Um conjunto de operadores que comutam como Â, ˆB e Ĉ, nos quais os autoestados são apenas determinados conhecendo-se os autovalores a, b e c e são uma base do espaço de Hilbert, é chamado de conjunto completo de operadores que comutam. 52 / 59
Máxima informação sobre estados Os valores a, b e c que podem ser especificados no ϕ abc, são, às vezes, chamados de bons números quânticos. Que é uma analogia às boas coordenadas da física clássica. Suponha que exista cinco operadores independentes que especificam as propriedades de um sistema, Â, ˆB, Ĉ, ˆD e Ê. Destes Â, ˆB e Ĉ são compatíveis uns com os outros e ˆD e Ê também são compatíveis entre si. Porém, estes dois grupos de operadores são incompatíveis, por exemplo [Â, ˆD] 0. (94) Pode-se especificar ou os autovalores a, b e c ou os autovalores d e e. Não é possível que o sistema esteja num estado que medidas de A forneça a e medidas de D forneça d. Para este caso, existe dois conjuntos de estados que possuem máxima informação sobre o sistema {ϕ abc } e {ϕ de }. 53 / 59
Máxima informação sobre estados Suponha que  tenha autovalor degenerado. Após medidas de a o estado do sistema deve pertencer a um subespaço de Hilbert H que é gerado por autofunções degeneradas que correspondem ao autovalor a este subespaço tem dimensões N a. Após medidas de B o estado do sistema cai no espaço H que tem dimensões N ab < N a. Medidas subsequente de C, em que Ĉ é mutualmente compatível a  e ˆB, forçam o sistema a assumir estados no subespaço H que tem dimensões N abc < N ab. 54 / 59
Máxima informação sobre estados Isto pode ser feito sucessivamente com observáveis mutualmente compatíveis. Em cada etapa, o autoestado do sistema é forçado a entrar em subespaços cada vez menores até que após sucessivas medidas de A, B, C, D, o estado é forçado a entrar num subespaço de dimensão N = 1 que possui apenas uma função. Este autoestado comum ao conjunto completo de observáveis correspondentes a Â, ˆB, Ĉ, ˆD,, denominado de ϕ abcd, não pode ser melhor resolvido por medidas. Medidas de qualquer observável (A, B, C, D, ) neste estado, certamente resultarão em valores (a, b, c, d, ). 55 / 59
Exercícios 1. Mil neutros encontram-se numa caixa unidimensional, com paredes em x = 0 e x = a. Num instante t = 0, o estado de cada partícula é ψ(x, 0) = Ax(x a) (a) Normalize φ e encontre o valor de A (b) Quantas partículas estão no intervalo (0, a 2 ) em t = 0? (c) Quantas partículas têm energia E 5? em t = 0? (d) Qual é o valor esperado de energia em t = 0? 2. Caso no problema anterior, a caixa tivesse comprimento de 10 5 cm, 100 neutros tivesse energia 4E 1 e 900 neutros tivesse energia 225E 1. (a) Construa uma função de estado que tenha essas propriedades. (b) Use este estado e calcule a densidade de neutros por unidade de comprimento. (c) Quantos neutros estão do lado esquerdo da caixa? 56 / 59
Exercícios 3. Medidas da posição de uma partícula presa numa caixa unidimensional com paredes em x = 0 e x = a encontra o valor de x = a 2. (a) Mostre que na medida subsequente, e igualmente provável encontrar a partícula em qualquer estado ímpar. (b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer estado par é zero. 4. Se Â, ˆB e Ĉ são três operadores distintos, mostre que: (a) [ + ˆB, Ĉ] = [Â, Ĉ] + [ˆB, Ĉ] (b) [ˆB, Ĉ] = Â[ˆB, Ĉ] + [Â, Ĉ]ˆB 5. Se  e ˆB são Hermitiano, mostre que ˆB é Hermitiano se [Â, ˆB] = 0. 57 / 59
Exercícios 6. Discuta a independência linear dos seguinte conjuntos de funções: (a) {x, 3x, e x } (b) {e ix, sin x, cos x} (c) {x 2, x 3, x 5 } (d) {x, 3, sin 2 x, 4 cos 2 x, ln x} 7. Mostre que de uma forma geral, o operador  comuta com qualquer função de Â, ou seja, [Â, f (Â)] = 0. 8. Dado o conjunto de funções {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 } = {cos kx, sin kx, exp ikx}, construa duas combinações lineares entre ϕ 2 e ϕ 3 que são autofunções me comum de Ĥ e ˆp. 58 / 59
Exercícios 9. Considere três observáveis, cujo os operadores Â, ˆB e Ĉ obedecem às seguintes regras; e [ˆB, Ĉ] = Â [Â, Ĉ] = ˆB mostre que (AB) C 1 A 2 + B 2. 2 10. Obtenha as relações de incerteza dos seguintes produtos: (a) x E (b) p x E (c) x T (d) p x T em que T é a energia cinética e E é a energia total. 59 / 59