Atenção: A banca responsável pela elaboração da prova de Matemática Aplicada cometeu um engano no enunciado da primeira questão: os dados apresentados são incompatíveis com o enunciado do problema. Preocupados, em primeiro lugar, com ressalvar a responsabilidade dos candidatos que se submeteram a essa prova, os membros da banca assumem a responsabilidade pelo erro cometido e decidem considerar corretas as duas resoluções da referida questão. Essa decisão baseia-se no fato de que, embora a segunda resolução não seja a correta, seu enunciado, tal como chegou ao candidato, pode, como ocorreu em alguns casos, induzi-lo a erro. Julgam, assim, fazer justiça àqueles que prestaram a prova de Matemática Aplicada. 1 A Espaço Inteligente Empreendimentos Imobiliários fez o lançamento de um edifício, com conjuntos comerciais a R$ 1 800,00 o metro quadrado. Um grupo de médicos comprou um conjunto comercial. Sua representação plana é dada abaixo. A As medidas, em graus, dos ângulos da representação plana: Â, Bˆ, Ĉ e Dˆ são diretamente proporcionais aos números 10, 0, 15 e 15, respectivamente. Podemos afirmar que a representação plana dada é um trapézio retângulo? B Os médicos pagaram R$ 777 600,00 pelo conjunto comercial. Em que escala foi feita a representação plana? Uma escala, por exemplo 1:1 000, expressa que 1 centímetro na representação plana corresponde a 1 000 centímetros na realidade. 1ª A A soma das medidas dos quatro ângulos do quadrilátero ABCD é igual a 360º: 10 k+ 0k + 15k + 15 = 360º k = 6º O ângulo  mede 10(6º)=60º No entanto, o triângulo ABB é retângulo e isósceles. Portanto: m(  ) = 45º Não existe a representação plana sugerida pelos dados apresentados e a parte B não tem significado. ª A  Bˆ Ĉ Dˆ 360 = = = = 10 0 15 15 60 = 6  = 60º ; Bˆ = 10º ; Ĉ = Dˆ = 90º A representação plana é um trapézio retângulo. B ( 0k + 4k ) 16k. 1800 = 777 600 19k = 43 k =, 5 k = 15, O lado de 0 cm, por exemplo, corresponde a 0.1,5 = 30 metros. A representação plana foi feita na escala 1:150. 1
Uma pesquisa mostra como a transformação demográfica do país, com o aumento da expectativa de vida, vai aumentar o gasto público na área social em centenas de bilhões de reais. Considere que os gráficos dos aumentos com aposentadoria e pensões, educação e saúde sejam, aproximadamente, linhas retas de 010 a 050. A Faça uma estimativa de qual será o gasto com aposentadorias e pensões em 050. B Calcule o gasto público com educação em 050. C Considerando que os gráficos dos aumentos com aposentadoria e pensões, educação e saúde continuem crescendo mediante linhas retas, existirá algum momento, depois de 010, em que os gráficos se interceptarão? 5, 6, x, A = x, = 6, 8 x = 9 030 010 050 010 Cerca de 9 centenas de bilhões de reais. B x y 0 4 y = 1 (x 0) y = x+ x= 4 y = 4 + = 6 Cerca de 6 centenas de bilhões de reais. C Educação y = x + Saúde y = 0,9x + 1,8 x + = 0, 9x + 18, x = Após 010, os três gráficos não se interceptarão.
3 Um médico atende diariamente, de segunda-feira a sexta-feira, os postos de saúde de quatro pequenos povoados próximos: A, B, C e D, indo de A a D e de volta a A. Em determinado dia, ele decide sortear o percurso que vai seguir. Qual é a probabilidade de ele ir e voltar pelo mesmo caminho assinalado na figura? A probabilidade é igual a: 1 = 1 _. 4..5.5..4 1600 3
4 Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo. A De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel? B As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho. A C.C. = 560 modos 8, 3 5, 3 C, 10! B C 10, 6.C 4, 4 =. 1 = 10 6! 4! caminhos diferentes. 4
5 É dada a matriz A = ( a ij ) 3x 3 tal que 1 i 1 A = 1+ i 1 i sendo i a unidade imaginária: i = 1. 1 i 0 A Escreva a matriz B = ( b ) ij 3x3, substituindo os elementos da matriz A pelos seus números complexos conjugados, ou seja, b ij é o complexo conjugado do elemento B Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos elementos b 3 e b3 e o afixo do determinante da matriz B. a ij. A B = 1 i 1 1+ i 1 i 1 i 0 B b i;( 0, 1) 3 = b3 = i;( 0, 1) det B = 5;( 5, 0 ) Área = 5 5
3 6 A figura mostra o gráfico da função f(x)= x - 3x - 36x + 81. 3 A Resolva a equação x - 3x - 36x + 81 = 0. B Para que valores de x tem-se f ( x ) 0? 3 A (x - 3x - 36x + 81) : ( x 3) = ( x 3 ) ( x + 4, 5 ) As raízes são 3 (dupla) e -4,5. B Observando o gráfico: x 4,5 ou x = 3. 6
7 O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino Superior forem entregues aos professores para análise, as vendas do livro no primeiro ano serão de 0,003x aproximadamente f ( x ) = 1000( 15 4e ) exemplares. Use a aproximação ln = 0, 69 para responder às questões. A Quantos exemplares a editora deverá distribuir para análise, para vender cerca de 9 000 exemplares no primeiro ano? B O diretor afirmou que, no primeiro ano, não conseguirão vender mais de 15 000 exemplares, qualquer que seja a quantidade de exemplares entregues aos professores para análise. É correta a sua afirmação? Justifique. 0,003x a) 9000 = 1000( 15 4e ) 1, x e 0 003 = 4 ln = 0, 003x 1, 38 = 0, 003x x = 460 livros 003 b) É correta a afirmação, pois 15 4 0, x e < 15 para qualquer valor de x. 7
8 A Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 35 = 15; 36 = 196; 37 = 1369. B Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? A l = 6 + 8 ( 6 )( 8 )cos 60º = 5 l = 13 O perímetro é igual a 1, cm. B Não conseguirá construir o triângulo, pois em todo triângulo a medida de um lado é menor que a soma das medidas dos outros dois. Outra solução é usar a lei dos cossenos: 16 = 6 + 8 ( 6 )( 8 )cos a 156 156 = 96cos a cos a = 96 156 Porém é menor que -1, portanto, não existe tal triângulo. 96 8
9 Um poço de petróleo que produz 100 barris de petróleo bruto por mês se esgotará em 1 ano. Em cada mês, o preço se mantém constante e é dado por f ( x ) = 69, 8 + 0, x dólares por barril, em que x = 1representa o 1º mês, x = o º mês, e assim por diante. Qual será a receita total proporcionada pelo poço, até se esgotar? f ( 1 ) = 70 f ( 1 ) = 7, S = ( 70 + 7, ) 6 = 853 1, A receita total proporcionada pelo poço será de 85 30 dólares. 9
10 Resolva este antigo problema chinês: Qual é a profundidade de uma lagoa com a forma de um círculo, de área 49,6 pés quadrados, se um caniço que cresce no centro e se estende 1 pé para fora da água atinge exatamente a superfície, se puxado pela ponta para a margem da lagoa, sem arrancá-lo? Use a aproximaçãoπ = 3, 1. π r = 49, 6 r = 16 r = 4 pés ( h + 1) = h h + 1 = 16 h = 7,5 pés + r A profundidade da lagoa é de 7,5 pés. Fim da Prova de Matemática Aplicada 10