Aulas Práticas de Matemática II

Aulas Práticas de Matemática II Curso de Arquitectura Resumo da Matéria com exercícios propostos e resolvidos Henrique Oliveira e João Ferreira Alves

Conteúdo Derivadas parciais 4 Polinómios de Taylor de um campo escalar. 5. O primeiro polinómio de Taylor................................... 5. O segundo polinómio de Taylor.................................... 6. Extremos locais............................................ 8.4 Extremos absolutos.......................................... Curvas e caminhos.. Comprimento de arco.......................................... Torsão e curvatura........................................... 5. Notas e exercícios complementares sobre curvas e sua parametrização.............. 5 4 Integrais duplos e triplos. 9 4. Integrais duplos............................................ 9 4. Integrais triplos............................................ 5 Integrais de linha e integrais de superfície. 7 5. Integrais de linha........................................... 7 5. Integrais de superfície........................................ 5. Teoremas de tokes e Gauss..................................... 6 Equações diferenciais. 5 7 Complementos 8 8 Teste Tipo de Matemática II - Resolução 4 9 Teste Tipo de Matemática II - Resolução 4

Neste breve texto o aluno pode encontrar exemplos de resolução e os exercícios propostos para as práticas de Matemática II do Mestrado em Arquitectura. Estão previstas aulas práticas de 9 minutos. Os capítulos podem ter a seguinte distribuição, que tenho seguido com pequenas variantes: Capítulo - aula Capítulo - aulas Capítulo - aula Capítulo 4 - aulas Capítulo 5 - aulas Capítulo 6 - aulas Capítulo 7 - aula No nal das folhas estão dois testes tipo que cobrem a matéria dada na Matematica II.

Aulas Práticas de Matemática II Mestrado em Arquitectura o emestre Ficha Derivadas parciais ) Calcule as derivadas parciais e o gradiente de f : R! R quando: a) f(x ; x ) x + x b) f(x ; x ) x + 4x x c) f(x ; x ) sin(x x ) x + d) f(x ; x ) sin(x x ) cos(x + x ) e) f(x ; x ) e x +5x f) f(x ; x ) log(x + x + ) ) Calcule as derivadas parciais e o gradiente de f : R! R quando: a) f(x ; x ; x ) x 4x + x b) f(x ; x ; x ) x + x x x c) f(x ; x ; x ) cos(x x x ) d) f(x ; x ; x ) sin(x x ) (cos(x x ) + ) e) f(x ; x ; x ) sin(x x )e x +5x f) f(x ; x ; x ) log(x + x + )ex +x ) eja f : R! R de nida por f(x ; x ) (x cos (x ) ; x sin (x )). a) Calcule a matriz jacobiana e o jacobiano de f em (a ; a ) R. b) Existirão (a ; a ) R e (v ; v ) R tais que f ((a ; a ); (v ; v )) (; )? 4) eja f : R! R de nida por f(x ; x ; x ) (x cos (x ) ; x sin (x ) ; x ). a) Calcule a matriz jacobiana e o jacobiano de f em (a ; a ; a ) R. b) Existirão (a ; a ; a ) R e (v ; v ; v ) R tais que f ((a ; a ; a ); (v ; v ; v )) (; ; )? 4

Ficha Polinómios de Taylor de um campo escalar. Recorde que os polinómios de Taylor são uma importante ferramenta para estudar o comportamento de uma função f : R n! R numa vizinhança de um dado ponto a R n. ão particularmente úteis na identi cação dos pontos de máximo e mínimo locais de f. e f : R n! R tem derivadas parciais contínuas de qualquer ordem numa vizinhança de um ponto a R n, de ne-se o polinómio de Taylor de ordem k da função f no ponto a, com sendo: P k (x) f(a) + kx i com a (a ; :::; a n ) e x (x ; :::; x n ). i! nx j ;j ;:::;j i @ i f @x j @x ji (a):(x j a j ) (x ji a ji );. O primeiro polinómio de Taylor. Note que para k temos: P (x) f(a) + @f (a):(x a ) + + @f (a):(x n a n ) @x @x n x a 6 7 f(a) + Df(a) 4. 5, x n a n onde Df(a) designa a matriz jacobiana de f em a, ou seja Df(a) h @f @x (a) @f @x n (a) i. Exercício: eja f : R! R de nida por f(x; y) x + y. a) Determine P (x; y) para a (; ) e identi que o plano tangente ao grá co de f no ponto (; ; ). b) Determine P (x; y) para a (; ) e identi que o plano tangente ao grá co de f no ponto (; ; ). Resolução: a) Temos e portanto @f @f (x; y) x e (x; y) y @x @y h P (x; y) f(; ) + @f @f @x(; ) + x y i @y (; ) x y. 5

Recorde que o grá co de f é a superfície de R de nida por Como sabemos, o grá co de P, ou seja G f (x; y; z) R : z f(x; y) (x; y; z) R : z x + y G P (x; y; z) R : z P (x; y), é o plano tangente em (; ; f(; )) (; ; ) ao grá co de f. Assim basta ter em conta que P (x; y) para concluirmos que o plano tangente a G f em (; ; ) é dado por b) Para a (; ) temos P (x; y) f(; ) + G P (x; y; z) R : z. h @f @f @x(; ) + x y i @y (; ) x y + (x ) + (y ). O plano tangente em (; ; f(; )) (; ; ) ao grá co de f é dado por G P (x; y; z) R : z + (x ) + (y ). Exercício. eja f : R! R de nida por f(x; y) log(x + y + ). a) Determine P (x; y) para a (; ) e identi que o plano tangente ao grá co de f no ponto (; ; ). b) Determine P (x; y) para a (; ) e identi que o plano tangente ao grá co de f no ponto (; ; log()). c) Determine P (x; y) para a (; ) e identi que o plano tangente ao grá co de f no ponto (; ; log()). olução: a) P (x; y) ; a equação do plano tangente é: z. b) P (x; y) x + log() ; a equação do plano tangente é: z x log(). c) P (x; y) y + log() ; a equação do plano tangente é: z y log().. O segundo polinómio de Taylor. Para descrever o segundo polinómio de Taylor é conveniente introduzir a matriz Hessiana de f no ponto a R n @ f @ (a) f @ @x @x @x (a) f @ @x n @x (a) f @x n@x (a) @ f @ @x @x (a) f @ (a) f @ @x @x n @x (a) f @x n@x (a) Hf(a)....... 6 @ f @ 4 @x @x n (a) f @ @x @x n (a) f @ @ x n (a) f @x n@x n (a) 7 5 @ f @ @x @x n (a) f @ @x @x n (a) f @ @x n @x n (a) f @ x n (a) 6

Note que se as segundas derivadas parciais de f são contínuas então @ f @x i @x j (a) @ f @x j @x i (a), pelo que Hf(a) é uma matriz simétrica, ou seja Hf(a) Hf(a) T. Com esta notação podemos escrever: P (x) P (x) + nx @ f (a):(x i a i )(x j a j ) @x i;j i @x j x a 6 7 f(a) + Df(a) 4. 5 + x n a n x a x n a n Hf(a) 6 4 x a Exercício: eja f : R! R de nida por f(x; y) log(x + y + ): Calcule o segundo polinómio de Taylor de f relativo ao ponto (; ). x n. a n 7 5 Resolução: Temos: e Logo e e portanto @f x (x; y) @x x + y +, @f y (x; y) @y x + y +, @ f @x (x; y) y x + (x + y + ) ; @ f @y (x; y) x y + (x + y + ) @ f @x@y (x; y) @ f 4xy (x; y) @y@x Df(; ) Hf(; ) h @f @f @x(; ) " @ f (; ) @x @ (; ) @ f @x@y (x + y + ). i @y (; ) @ f @y@x (; ) f @y (; ) x P (x; y) f(; ) + Df(; ) y + x y # ;, P (x; y) P (x; y) + x x y Hf(; ) y + x x y x + y. y 7

Exercício. eja f : R! R de nida por f(x; y) (x + y ) exp( x y ). a) Determine P (x; y) para a (; ). b) Determine P (x; y) para a (; ). c) Determine P (x; y) para a (; ). d) Determine P (x; y) para a ( ; ). e) Determine P (x; y) para a (; ). olução: a) P (x; y) e x x y ex 6e y + ey. b) P (x; y) + 4 x x y (x ) 4 y + y. c) P (x; y) + 4 x x y x y 6 (y ). d) P (x; y) + 4 x + x + y (x + ) + y 4 y. e) P (x; y) + 4 x x y + x y + 6 (y + ).. Extremos locais. No que se segue assumimos que f : R n! R tem terceiras derivadas parciais contínuas em qualquer ponto de R n. Dado um ponto a R n, dizemos que f tem um máximo local em a (resp. mínimo local em a) se existir uma bola de centro em a e raio r > tal que f(a) f(x) (resp. f(a) f(x)) para qualquer x B r (a). Dizemos que a é um ponto crítico de f se a matriz jacobiana de f em a for a matriz nula. Por outras palavras, a é um ponto crítico de f se h i @f @f @f @x (a) @x n (a) @x n (a). O teorema que se segue é uma consequência simples das de nições: Teorema: e f tem em a um máximo ou mínimo local, então a é um ponto crítico de f. 8

Notemos no entanto que podem existir pontos críticos de f que não são pontos de máximo nem de mínimo local. Tais pontos chamam-se pontos de sela de f. A noção de segundo polinómio de Taylor desempenha um papel determinante na demonstração do seguinte resultado, que em muitas situações permite classi car os pontos críticos de f. Teorema : Para qualquer ponto crítico, a, de f tem-se: a) e a matriz Hf(a) é de nida positiva, então f tem um mínimo em a. b) e a matriz Hf(a) é de nida negativa, então f tem um máximo em a. c) e a matriz Hf(a) é inde nida, então a é um ponto de sela de f. Exercício: Identi que e classi que os pontos críticos de f : R! R de nida por Resolução: Porque temos f(x; y) x + y @f (x; y) x @x x y: e @f @y (x; y) y, Df(x; y) x y. Vemos assim que os pontos críticos de f são: (; ); ( ; ); (; ) e ( ; ). Por outro lado a matriz hessiana de f é " # @ f @ (x; y) f @x Hf(x; y) @y@x(x; y) x @ f @ @x@y (x; y) f, (x; y) y @x tendo-se em particular: Hf(; ) ; Hf( ; ) Hf(; ) e Hf( ; ) ; Com isto podemos concluir que f tem pontos de sela em ( ; ) e (; ), já que as matrizes Hf( ; ) e Hf(; ), tendo valores próprios com sinal contrário, são inde nidas. No ponto (; ) temos um mínimo local pois a matriz Hf(; ), tendo todos os valores próprios positivos, é de nida positiva. No ponto ( ; ) temos um máximo local pois a matriz Hf( ; ), tendo todos os valores próprios negativos, é de nida negativa. : Exercício. Identi que e classi que os pontos críticos de f : R! R quando: a) f(x; y) x y + xy; b) f(x; y) x xy + 5x y + 6y + 8; c) f(x; y) exp( + x y ); d) f(x; y) e x cos y; e) f(x; y) y + x sin y; f) f(x; y) (x + y ) exp( x y ): 9

.4 Extremos absolutos Recordemos que um cunjunto R n diz-se limitado se existir um número r > tal que kxk r, para qualquer x. eja f : R n! R uma função contínua e R n um conjunto limitado e fechado. Nestas condições demonstra-se que existem pontos a e b de tais que e f(a) f(x), para qualquer x f(x) f(b), para qualquer x. Dizemos então que f(a) é o valor máximo de f em, e que a é um ponto de máximo absoluto de f em. Analogamente, dizemos que que f(b) é o valor mínimo de f em, e que b é um ponto de mínimo absoluto de f em. O teorema que se segue é muitas vezes útil na determinação dos valores máximos e mínimos de uma função f : R n! R num conjunto R n : Teorema. eja f : R n! R uma função com primeiras derivadas parciais contínuas, e R n um conjunto limitado e fechado. eja ainda a um ponto de máximo absoluto de f em, e b um ponto de mínimo absoluto de f em. Então tem-se: ) e a não pertence à fronteira de então a é um ponto crítico de f; ) e b não pertence à fronteira de então b é um ponto crítico de f. Exercício: eja f : R! R de nida por f(x; y) e x y, e (x; y) R : x + y Calcular o valor máximo e o valor mínimo de f em. Resolução: Comecemos por notar que as primeiras derivadas parciais de f: @f @x (x; y) xe x y e @f @y (x; y) ye x y são contínuas no seu domínio, e que (; ) é o único ponto crítico de f. Notemos também que o conjunto é limitado e fechado com fronteira Estamos assim em condições de aplicar o teorema. @ (x; y) R : x + y :

Consideremos então um ponto a de máximo absoluto e um ponto b de mínimo absoluto. Pelo Teorema, e porque (; ) é o único ponto crítico de f em, temos: consequentemente (a @ ou a (; )) e (b @ ou b (; )), (f (a) ou f (a) e) e (f (b) ou f (b) e). Assim, porque f(a) é o valor máximo de f em, e f(b) é o valor mínimo de f em, teremos necessariamente máximo de f em f(a) e, e como se pretendia calcular. mínimo de f em f(b), Exercício: eja f : R! R de nida por f(x; y) e x y, e (x; y) R : x + y 4 Calcular o valor máximo e o valor mínimo de f em. Resolução: Notemos que neste caso não existem pontos críticos de f em. Notemos também que o conjunto é limitado e fechado com fronteira @ (x; y) R : x + y [ (x; y) R : x + y 4 : Consideremos então um ponto a de máximo absoluto e um ponto b de mínimo absoluto. Pelo Teorema temos: a @ e b @, consequentemente e portanto e como se pretendia calcular. f (a) ou f (a) e e f (b) ou f (b) e, máximo de f em f(a), mínimo de f em f(b) e,

Ficha Curvas e caminhos. Recorde que um caminho em R é uma função contínua c : [a; b] R! R. Um subconjunto C R é uma curva se existir um caminho c : [a; b]! R tal que C fc (t) : t [a; b]g, dizemos então que o caminho c é uma parametrização da curva C. Exemplo. Qualquer segmento de recta é uma curva. O caminho c : [; ]! R de nido por c(t) (x + t(x x ); y + t(y y ); z + t(z z )) é uma parametrização do segmento de recta com extremidades em (x ; y ; z ) R e (x ; y ; z ) R. Exemplo. A circunferência C (x; y; z) R : x + y e z é uma curva. O caminho c : [; ]! R de nido por c(t) (cos(t); sin(t); ) é uma parametrização da circunferência. Exemplo. A elipse C é uma curva. O caminho c : [; ]! R de nido por é uma parametrização da elipse. (x; y; z) R : x a + y b e z c(t) (a cos(t); b sin(t); ) Exemplo 4. O arco de parábola C (x; y; z) R : y x, x [ ; ] e z é uma curva. O caminho c : [ ; ]! R de nido por c(t) (t; t ; ) é uma parametrização do arco de parábola. Exercício. Determine uma parametrização da curva C quando:

a) C é o segmento de recta de extremidades (; ; ) e (; ; ); b) C (x; y; z) R : x + y 9 e z ; n o c) C (x; y; z) R : x 4 + y 9 e z ; d) C (x; y; z) R : y sin(x), x [; ] e z :. Comprimento de arco. No que se segue admitimos que o caminho c : [a; b]! R t! (c (t); c (t); c (t)) é continuamete diferenciável no seu domínio. Recordemos que a matriz jacobiana de c em t é de nida por c c (t) (t) 4 c (t) 5. c (t) A esta matriz (ou ao vector (c (t); c (t); c (t))) chamamos vector velocidade de c em t. Notemos que se c é uma parametrização da curva C, então a recta tangente a C no ponto c(t ) tem a direcção do vector c (t ). Em particular a equação vectorial da recta tangente a C no ponto c(t ) é r(t) c(t ) + (t t )c (t ): O vector velocidade desempenha um papel fundamental no cálculo do comprimento de uma curva. Com efeito, o espaço percorrido por c(t) para t t t é dado por t l c (t) t q dt [c (t)] + [c (t)] + [c (t)] dt. t Exercício. Calcular o comprimento da curva C quando: a) C é parametrizada por ( cos(t); sin(t); ) com t ; b) C é parametrizada por ( cos(t); sin(t); t) com t ; c) C é parametrizada por (t; t ; ) com t : ugestão para a alínea c): Veri que que px + a dx h x p x + a + a log(x + p i x + a ) Nota abemos que a fórmula de mudança de variável na primitiva é I f (t) dt f (t (u)) t (u) du; quando se faz t t (u). t eja R p a + t dt, como calcular esta primitiva? Há diferentes caminhos, vamos utilizar uma substituição do tipo + k. t a sinh u; u log t + p t + a log a.

Nota: a expressão em segundo lugar deduz-se sabendo que t a sinh u a eu t ae u a e u, teu ae u a, ae u te u a ; e u, temos assim que é uma equação do segundo grau para e u. Queremos u como função de t. Aplicando a fórmula resolvente destas equações teremos e u t p 4t + 4a t + p t a a + a ; note-se que apenas a raiz positiva faz sentido. O resultado obtém-se aplicando o logaritmo u log t + p t a + a log t + p t + a log a. Vamos utilizar a fórmula da mudança de variável na primitiva I: pa q q I + t dt a + (a sinh u) (a sinh u) du a + sinh u a cosh u du: Da fórmula fundamental da trigonometria hiperbólica temos que cosh u sinh u, de onde a primitiva acima se simpli ca para p I a cosh u a cosh u du a cosh u du: Como a primitiva ca e I a u + e u + e du a u 4 Aqui notamos que sinh u 4 e cosh u + e u u eu + e u + 4 ; eu e u 8 de onde resulta que a primitiva pretendida é I a sinh u cosh u + u e u e u 8 e u + K a + u e u + e u sinh u + K a + u + K: 4 sinh u cosh u; p sinh u + sinh u + u + K: Neste ponto é necessário regressar à variável t, sabemos como u se relaciona com t, sabemos ainda que sinh u t a o que resulta imediatamente em r I a t + t a a + log t + p! t + a log a + K r a t a + t a a + log t + p! t + a + K a log a t p a + t + a log t + p t + a + k t p t + a + a log t + p t + a + k: 4

. Torsão e curvatura. eja c : [a; b]! R um caminho com derivadas de qualquer ordem e tal que c (s) e c (s) 6, para qualquer s: Nestas condições podemos de nir os vectores T(s) c (s), N(s) T (s) kt (s)k e B(s) T(s) N(s), a que chamamos respectivamente, vector tangente unitário, vector normal e vector binormal no ponto c(s). Note-se que os vectores T(s), N(s) e B(s) são unitários e ortogonais entre si, ou seja constituem uma base ortonormada de R. Demonstra-se em particular que existem números reais únicos e tais que T (s) N(s), N (s) T(s) + B(s) e B (s) N(s). Aos números e chamamos respectivamente curvatura e torsão de c no ponto c(s). Exercício. Demonstre que a curvatura de uma circunferência em qualquer dos seus pontos coincide com o inverso do seu raio. Exercício 4. Demonstre que se uma curva está contida num plano então tem torsão nula em qualquer ponto.. Notas e exercícios complementares sobre curvas e sua parametrização Comprimento de arco. eja! r (t) (x (t) ; y (t) ; z (t)) o vector posição sobre uma curva, parametrizado por t [; A]. O comprimento de arco sobre a curva, medido desde até t, é t s (t)! t q r () d x () + y () + z () d: Exemplo. eja a hélice 8 < : x (t) r cos t y (t) r sin t z (t) a t ; t [; A] ; obtém-se! r () 8 >< x (t) r sin t y (t) r cos t ; t [; A] ; >: z (t) a q q E logo x () + y () + z () ( r sin ) + (r cos ) + a p r + a. Assim o comprimento de arco é t p s (t) r + a d t p r + a. Representação canónica. Nesta representação utiliza-se o comprimento de arco como parâmetro na representação paramétrica da curva. Dada uma parametrização calcula-se s s (t), resolve-se para t t (s) (inverte-se) e substitui-se t como função de s na representação original. 5

Exemplo. (continuação) Neste caso s como função de t é s (t) t p r + a ; ou seja, invertendo t (s) s p r + a : ubstitui-se nas equações paramétricas e obtém-se! r (s), o vector posição sobre a curva cujas coordenadas são 8 >< >: x (s) s r cos p r +a y (s) s r sin p r +a ; s [; L] ; z (s) p a s r +a em que L s (A) é o comprimento total da curva. Vector tangente unitário. Derivando a parametrização! r (s) em ordem a s obtemos o vector tangente unitário! t (s)! r (s) : Exemplo (cont.). Na curva o vector tangente unitário é dado por 8 >< >: t x (s) x (s) p r r +a t y (s) y (s) p r r +a s p r +a s p r +a ; s [; L] : t z (s) z a (s) p r +a Exercício 5: Veri que que! t (s), no exemplo considerado, é unitário. Vector normal principal e primeira fórmula de Frenet-erret. Obtém-se o vector normal à curva derivando! t (s) em ordem a s; no entanto, em geral, este vector não é unitário, para obter o vector unitário normal à curva! n (s), ou vector normal principal, recorremos à expressão!! t (s) n (s)! t (s)! r (s) k! r (s)k : A quantidade (s)! t (s) k! r (s)k tem um papel muito importante na teoria das curvas, é a curvatura de em s. A expressão da normal principal pode escrever-se! n (s)! t (s) (s) ; que é a primeiro fórmula de Frenet-erret, usualmente escrita! t (s) (s)! n (s). Exemplo (cont.). Na curva o vector normal unitário é obtido derivando o vector! t (s) : 8 >< >: x (s) r cos r +a y (s) r sin r +a z (s) p s r +a s p r +a ; s [; L] : 6

O vector (x (s) ; y (s) ; z (s)) tem a norma (s) : q (s) (x (s)) + (y (s)) + (z (s)) s r r + a cos s p + r + a s r r + a r r + a ; que é a curvatura (constante) da hélice circular. A normal principal,! n (s)! t (s) k! t (s)k 8 >< >: ; tem representação n x (s) s cos p r +a n y (s) s sin p r +a n z (s) r r + a sin s p r + a ; s [; L] : Binormal e segunda fórmula de Frenet-erret. O vector binormal unitário! b (s) é ortogonal aos vectores tangente! t (s) e normal principal! n (s). É obtido muito simplesmente recorrendo ao produto externo de! t (s) e de! n (s)!! b (s) t (s)! n (s) : Os três vectores:! t (s) ;! n (s) e! b (s) formam um triedro ordenado. A torção é obtida a partir da segunda fórmula de Frenet-erret! b (s) (s)! n (s) : Exemplo (cont.). Cálculo da binormal para a hélice circular:!! b (s) t (s)! n (s) r sin 6 p r + a 4 r cos a a sin 6 p r + a 4 a cos r p s r +a p s r +a p s r +a p s r +a 7 6 5 4 7 5 : cos sin s p r +a s p r +a 7 5 A torção é obtida recorrendo apenas a uma coordenada da segunda fórmula de Frenet-erret,! b (s) (s)! n (s), usando primeira coordenada b x (s) a r + a cos s p r + a ; esta grandeza terá de igualar (s) n x (s), ou seja a r + a cos s p r + a (s) cos s p r + a 7

de onde se conclui que (s) a r + a. Nota - é evidente que qualquer coordenada da a equação de Frenet-erret serve para calcular a torção. Exercício 6. Calcular a torção recorrendo à a coordenada, b y (s), da binormal e à a coordenada da normal, n y (s). Terceira fórmula de Frenet-erret. A terceira fórmula de Frenet-erret relacciona todas as grandezas importantes no estudo de curvas, pode ser utilizada para con rmar cálculos ou quando uma das grandezas é difícil de obter sabendo todas as outras:! n (s) (s)! t (s) + (s)! b (s). Exercício 7. Con rmar a terceira fórmula de Frenet-erret para a hélice circular. Exercício 8. eja uma escada de caracol que vence uma altura de m. Pretende-se um espelho por degrau de cm. A escada desenvolve-se em torno de um pilar com m de raio e tem m de raio exterior. Calcule: a) O número de degraus. b) A constante a. c) O cobertor interior e exterior de cada degrau. d) A curvatura interior e exterior das hélices que limitam a escada. e) A torção interior e exterior das hélices que limitam a escada. Que conclusões tira? A escada é confortável e segura para o utilizador? 8

Ficha 4 4 Integrais duplos e triplos. 4. Integrais duplos Exemplo Calcule o integral duplo (x y + y x)dxdy, com R [; ] [ ; ]. abemos que R Assim, porque obtemos R (x y + y x)dxdy Alternativamente, porque (x y + y x)dx dy (x y + y x)dy dx. (x y + y x)dx x y + y x y + y y + y, R (x y + y x)dxdy y (x y + y x)dx dy y + y dy 6 + y4 4 6 4 5. obtemos x (x y + y y x)dy R (x y + y x)dxdy + xy4 4 Exercício. Calcule os integrais duplos: a) (x y + 8xy + )dxdy; com R [; ] [; ]. x + x x (x y + y x)dy dx x x dx x x 6 4 6 4 5. x ; R 9

b) R c) d) R R Exemplo (xy 5 + y )dxdy; com R [ ; ] [; ]. cos(x + y)dxdy; com R [; ] [; ]. (xye x+y )dxdy; com R [; ] [ ; ]. Calcular o volume do sólido (x; y; z) R : x [; ] ^ y [; ] ^ z e x+y. Consideremos a função f : [; ] [; ]! R +, de nida por f(x; y) e x+y. Note que é o conjunto dos pontos do espaço que cam por baixo do grá co de f. Logo teremos Volume() f(x; y)dxdy, com R [; ] [; ], e portanto Alternativamente, teríamos Volume() Vol me() R e x+y e x+ e x+y dy dx dx e x dx e x+ e x e e e e e e +. e x+y dx dy e x+y e +y dy e y dy e +y e y e e (e ) e e e +. Exercício Calcule o volume do sólido de nido por: (x; y; z) R : x ^ y ^ z x + y : Exercício Calcule o volume do sólido de nido por: (x; y; z) R : x ^ y ^ x + y z x + y :

Exemplo 4 Calcule o integral xydxdy, com (x; y) R : x y x. abemos que xydxdy x xydy dx x p y y xydx! dy. Assim, porque temos xy xydy x x xydxdy x x x x 7, x xydy dx x x x 7 dx x 4 x 8 8 6 8 6 6. Alternativamente temos e portanto p y y yx xydx xydxdy 6 p y y " y 8 6 y 5 p y Exercício 4 Calcule o integral (x + y )dxdy quando: a) (x; y) R : x ^ y x ; b) (x; y) R : x ^ x y x ; c) (x; y) R : y ^ x y. y y 5 8 xydx y # y 4 8! y,! dy 6 : dy

Exemplo 5 Calcule, mediante uma mudança de variáveis adequada, o integral (x + y )dxdy, com (x; y) (x; y) R : x + y 4. Consideremos a transformação T : [; +] [; ]! R, de nida por T (r; ) (r cos ; r sin ). abemos que f(x; y)dxdy f(t (r; )): jdet(dt (r; ))j drd, T () onde e T () f(r; ) [; +] [; ] : T (r; ) g f(r; ) [; +] [; ] : (r cos ; r sin ) g n o (r; ) [; +] [; ] : (r cos ) + (r sin ) 4 (r; ) [; +] [; ] : r 4 [; ] [; ], cos det (DT (r; )) det sin r sin r(cos ) + r(sin ) r. r cos Assim, porque f(x; y) x + y, temos f(t (r; )) f (r cos ; r sin ) r, e portanto (x + y )dxdy [;][;] [;][;] 8. ( r dr f(t (r; )): jdet(dt (r; ))j drd r jrj drd r d)dr Exercício 5 Mediante uma mudança de variáveis adequada, calcule: a) xdxdy, com (x; y) (x; y) R : x + y. p b) x + y dxdy, com (x; y) (x; y) R : x e y e x + y. c) e x +y dxdy, com (x; y) (x; y) R : x + y 4.

Exemplo 6 eja [; ] [; ] uma placa bidimensional com densidade de massa f(x; y) e x+y. Calcular a massa e o centro de massa de. abemos que a massa da placa, e as coordenadas do seu centro de massa, (c ; c ), são dadas por massa() f(x; y)dxdy, c xf(x; y)dxdy yf(x; y)dxdy, c massa(). massa() Logo, das igualdades: e obtemos f(x; y)dxdy xf(x; y)dxdy yf(x; y)dxdy ( ( ( e x+y dy)dx (e ), xe x+y dy)dx e, ye x+y dy)dx e, massa() (e ) e c c e (e ) e. 4. Integrais triplos Exemplo 7 Calcular o integral triplo P (x + y + z)dxdydz, com P [; ] [ ; ] [ ; ]. Recorde que o cálculo de um integral triplo pode reduzir-se ao cálculo de um integral duplo. Mais precisamente, se considerarmos as funções a : R [; ] [ ; ]! R, b : R [; ] [ ; ]! R, c : R [ ; ] [ ; ]! R, de nidas respectivamente por a(x; y) então temos P (x + y + z) dz, b(x; z) (x + y + z) dy, c(y; z) (x + y + z) dx, (x + y + z)dxdydz a(x; y)dxdy R b(x; z)dxdz R c(y; z)dydz. R Assim, porque a(x; y) (x + y + z) dz xz + yz + z x y + x + y,

vem P (x + y + z)dxdydz a(x; y)dxdy R x + y R x + y xy + y x + (x ) dx x x ( ) : dxdy dy dx! y dx x + + dx Alternativamente, podíamos calcular e portanto c(y; z) P x (x + y + z) dx (x + y + z)dxdydz + xy + xz + y + z, c(y; z)dydz R R + y + z dydz + y + z y, z z + yz + ydy y + dz! dy dy dy como anteriormente. 4

Exercício 6. Calcule os integrais triplos: a) (xyz)dxdydz; com P [ ; ] [; ] [ ; ]. P b) P c) e x+y+z dxdydz; com P [; ] [; ] [; ]. cos(x + y + z)dxdydz; com P [; ] [; ] [ ; ]. P Exemplo 8 Calcular o integral (x + y + z)dxdydz, com (x; y; z) R : (x; y) [; ] [; ] e z x +. Note que neste caso o domínio de integração,, não é um paralelipípedo. e considererarmos um paralelipípedo P que contenha, seja por exemplo P [; ] [; ] [; ], temos (x + y + z)dxdydz P ~f(x; y; z)dxdydz, onde ~ f : P [; ] [; ] [; ]! R está de nida por ~f(x; y; z) x + y + z se (x; y; z) se (x; y; z) P e (x; y; z). Para calcular o integral P ~f(x; y; z)dxdydz, podemos considerar a função a : R [; ] [; ]! R, de nida por a(x; y) x + ~f(x; y; z)dz (x + y + z) dz xz + yz + z x + x x + + y x + + x + x 4 + x + yx + x + x + y +. 5

abemos que P ~f(x; y; z)dxdydz a(x; y)dxdy R (x 4 + x + yx + x + x + y + )dxdy R (x 4 + x + yx + x + x + y + )dx dy x 5! 5 + x4 4 + yx + x + x + xy + x dy 5 + 4 + y + + + y + dy 4 y + 57 dy 6 y + 57y 6 + 57 6 : Exercício 7 Calcular o integral xdxdydz, com (x; y; z) R : (x; y) [; ] [; ] e z x +. Exercício 8 Calcular o integral ydxdydz, com (x; y; z) R : (x; y) [; ] [; ] e y + z y +. 6

Ficha 5 5 Integrais de linha e integrais de superfície. 5. Integrais de linha Exemplo eja f : R! R o campo escalar de nido por f(x; y; z) x + y + z, e c : [; ]! R o caminho de nido por c(t) (cos(t); sin(t); t). Pretende-se calcular o integral de linha de f ao longo de c. Recorde que o integral de linha de um campo escalar f : R! R ao longo de um caminho c : [a; b]! R representa-se por fds e de ne-se por Neste caso concreto temos: e Logo c fds c (t) ( sin(t); cos(t); ), c (t) b a c f(c(t)) c (t) dt: q sin (t) + cos (t) + 4 p 5, para t [; ] f(c(t)) f(cos(t); sin(t); t) cos (t) + sin (t) + t + t, para t [; ]. c fds f(c(t)) c (t) dt ( + t) p 5dt p 5 t + t p 5 + 4. Exercício Calcule o integral de linha do campo escalar f : R! R ao longo do caminho c : [a; b]! R quando: a) f(x; y; z) x + y + z e c(t) (sin(t); cos(t); t) com t [; ]. olução: p + 8 : b) f(x; y; z) x + y + z e c(t) (cos(t); sin(t); t) com t [; ]. olução: p. c) f(x; y; z) x cos(z) e c(t) (t; t ; ) com t [; ]. olução: 5 p 5 : Exemplo eja F : R! R o campo vectorial de nido por F (x; y; z) (x; y; z), e c : [; ]! R o caminho de nido por c(t) (cos(t); sin(t); ). Pretende-se calcular o integral de linha de F ao longo de c. Recorde que o integral de linha de um campo escalar F : R! R ao longo de um caminho c : [a; b]! R representa o trabalho realizado pelo campo F quando uma partícula percorre o caminho c. Este integral denota-se por F:ds e de ne-se por c F:ds c b a F (c(t)):c (t)dt: 7

Neste caso concreto temos: e portanto Logo c (t) ( sin(t); cos(t); ), F (c(t)) F (cos(t); sin(t); ) (cos(t); sin(t); ), para t [; ], F (c(t)):c (t) (cos(t); sin(t); ):( sin(t); cos(t); ) c F:ds cos(t) sin(t) sin(t) cos(t) + cos(t) sin(t) F (c(t)):c (t)dt cos(t) sin(t)dt cos (t) cos () cos (). Exercício Calcule o integral de linha do campo vectorial F : R! R ao longo do caminho c : [a; b]! R quando: a) F (x; y; z) x ; xy;, c(t) (t; t ; ) com t [; ]. olução: 5 : b) F (x; y; z) (cos(z); e x ; e y ), c(t) (; t; e t ) com t [; ]. olução: e + e4 : c) F (x; y; z) (x; y; z), c(t) (sin(t); cos(t); t) com t [; ]. olução: : Exemplo Considere o campo vectorial F (x; y; z) (yz cos(xyz); xz cos(xyz); xy cos(xyz)). a) Mostre que existe : R! R tal que O F. b) Calcule o integral de linha de F ao longo do caminho c(t) (sin(t); sin(t)e t ; t ), t [; ]. a) Determinemos : R! R tal que O F. Por outras palavras pretendemos determinar a solução : R! R do sistema de equações 8 @ >< @x(x; y; z) yz cos(xyz) @ @y (x; y; z) xz cos(xyz). () >: @ @z (x; y; z) xy cos(xyz) Porque @ (x; y; z) yz cos(xyz), (x; y; z) sin(xyz) + c(y; z) @x vemos que (x; y; z) sin(xyz) + c(y; z) é solução do sistema () se e só se c(y; z) é tal que xz sin(xyz) + @c @y (y; z) xz cos(xyz) xy sin(xyz) + @c ou @z (y; z) xy cos(xyz) ainda @c @y @c @z (y; z). (y; z) Isto signi ca que existem soluções de () e todas elas são da forma (x; y; z) sin(xyz) + c, onde c designa uma constante real. 8

b) Na alínea anterior cou demonstrado que o campo escalar (x; y; z) sin(xyz) é tal que O F. Podemos então recorrer à igualdade c F:ds (c(b)) (c(a)), válida para qualquer caminho c : [a; b]! R, para calcular o integral pretendido. Porque c(t) (sin(t); sin(t)e t ; t ), com t [; ], temos consequentemente c() (; ; ) e c() (; ; 4), F:ds (c()) (c()) c (; ; 4) (; ; ) sin() sin() : Exercício Considere o campo vectorial F (x; y; z) (y; x; ). a) Mostre que existe : R! R tal que O F. olução: (x; y; z) xy + c. b) Calcule o integral de linha de F ao longo do caminho c(t) (t 4 4; sin (t); ), t [; ]. olução: 4. Exercício 4 Considere o campo vectorial F (x; y; z) xyz; x z; x y. a) Mostre que existe : R! R tal que O F. olução: (x; y; z) x yz + c. b) Calcule o integral linha de F ao longo de um caminho com ponto inicial (; ; ) e ponto nal (; ; 4). olução: 7. Exercício 5 Considere o campo gravitacional GMx GMy GMz F (x; y; z) ( ; ; ), (x + y + z ) (x + y + z ) (x + y + z ) onde G e M designam constantes positivas. a) Mostre que existe : R n f(; ; )g! R tal que O F. olução: (x; y; z) c+gm p x + y + z. b) Mostre que o trabalho realizado por F ao longo de um caminho com início em (x ; y ; z ) e m em (x ; y ; z ) apenas depende de p x + y + z e p x + y + z. 9

5. Integrais de superfície Exemplo 4. Considere a superfície (x; y; z) R : z x + y ^ x + y. Pretende-se calcular a área de, e a massa que esta superfície teria se a sua densidade de massa fosse dada por f(x; y; z) 4z +. Comecemos por recordar que se : [a; b] [c; d]! R (u; v)! (X(u; v); Y (u; v); (u; v)) é uma parametrização de então a área de é dada por Area() b d a c kt u (u; v) T v (u; v)k dvdu, () onde T u (u; v) T v (u; v) denota o produto externo dos vectores tangentes à superfície T u (u; v) @X @Y (u; v); @u @u @ (u; v); (u; v) @u e T v (u; v) @X @Y (u; v); @v @v @ (u; v); (u; v). @v Recorde ainda que se f :! R designa a densidade de massa da superfície, então a massa de é dada pelo integral de f ao longo de, ou seja Massa() fd b d Comecemos então por notar que a aplicação a c f (X(u; v); Y (u; v); (u; v)) kt u (u; v) T v (u; v)k dvdu. : [; ] [; ]! R (r; )! r cos ; r sin ; r é uma parametrização de. Os correspondentes vectores tangentes são dados por T r (r; ) (cos ; sin ; r) e T (r; ) ( r sin ; r cos ; ) ; () tendo-se ainda T r (r; ) T (r; ) det 4 e e e cos sin r r sin r cos 5 r cos ; r sin ; r e kt r (r; ) T (r; )k p 4r 4 + r r p 4r +.

Podemos então concluir por () que Area() 6 Para calcular a massa basta ter em conta () Massa() h kt r (r; ) T (r; )k ddr r p 4r + ddr r p 4r + dr 4r + i 6 p 5. f r cos ; r sin ; r kt r (r; ) T (r; )k ddr 4r + r p 4r + ddr r 4r + ddr r 4r + dr 8r 4r + dr 8 " 4r + # 5 p 5 4 5 4 Exercício 6 abendo que uma superfície cónica é parametrizada por : [; ] [; ]! R, com (r; ) ( r cos(); r sin(); r), calcule: a) Represente numa gura a superfície. b) A área da superfície. olução: p 5 c) A massa da superfície se esta tiver densidade de massa dada por f(x; y; z) z. olução: 4 p : : 5 Exercício 7 Considere a calote esférica (x; y; z) R : x + y + z 4 ^ z. abendo que esta superfície é parametrizada por : [; ] [; ]! R, com (; ) ( sin() cos(); sin() sin(); cos()); calcule: a) A área da superfície. b) A massa da superfície se esta tiver densidade de massa dada por f(x; y; z) z. Res. a) É necessário calcular d:

Devido à simetria esférica do problema utiliza-se o sistema de coordenadas esféricas, 8 < : x r sin cos y r sin sin z r cos : A parametrização da calote esférica será obtida fazendo, precisamente r nestas equações com [; ] e [; ]. Os vectores tangentes à superfície serão (no caso de toda a parametrização de uma superfície esférica): T (; ) (r cos cos ; r cos sin ; r sin ) T (; ) ( r sin sin ; r sin cos ; ) ; o produto vectorial fundamental é: P (; ) T (; ) T (; ) 4 r cos cos r cos sin r sin 5 4 r sin sin r sin cos 5 4 r sin cos r sin sin r cos sin 5 ; cuja norma é kt (; ) T (; )k r sin e que no nosso caso é 4 sin. O integral de área é A d 4 sin dd :4: [ cos ] 8; o que é metade da área da esfera de raio que seria 6: Res. b) Neste caso toda a mecânica do cálculo do integral é igual à da alínea a) mas agora com uma função integranda, que em coordenadas esféricas vale z f(; ) cos. O integral é M 8 fd 5. Teoremas de tokes e Gauss sin d 8 cos 4 sin dd 8 cos 8: sin cos d Exercício 8 Considere a calote esférica (x; y; z) R : x + y + z ^ z por F (x; y; z) (y; x; e zx ). a) Calcule o rotacional de F: b) abendo que é parametrizada por : [; ] [; ]! R, com e F : R! R de nido (; ) (sin() cos(); sin() sin(); cos()), mostre que (O F ): d! sin() cos() sin() cos()e sin() cos() cos() + dd:

c) Conclua pelo teorema de tokes que sin() cos() sin() cos()e sin() cos() cos() + dd. Res a) r F (x; y; z) 4 @ @x @ @y @ @z 5 4 f (x; y; z) f (x; y; z) f (x; y; z) 5 4 @ @x @ @y @ @z 5 4 y x e zx 5 4 ze zx Res b) É necessário calcular O F sobre a superfície, ou seja, com a parametrização indicada: r F (; ) 4 cos e cos sin cos Recordamos que a parametrização utiliza de novo as coordenadas esféricas com r, logo o produto vectorial fundamental já foi calculado no exercício anterior,! d! n d! P (; )dd 4 sin sin sin cos cos sin 5 : 5 dd: 5 : Assim (O F ):! d 4 cos e cos sin cos sin cos 5 : 4 sin sin sin cos cos sin sin cos e cos sin cos + 5 dd dd: Res c) O integral pedido é, como visto na alínea anterior: I sin() cos() sin() cos()e sin() cos() cos() + dd (O F ):! d Recordando o teorema de tokes, uma vez que tanto F; como a circunferência de raio ; estão nas condições do teorema I F:ds (O F ): d! @ Neste caso podemos utilizar qualquer superfície que seja circunscrita no sentido positivo pela circunferência. A superfície mais simples possível é o círculo unitário (x; y; z) R : x + y ^ z. A parametrização nem sequer é importante porque sobre esta superfície O F (; ; ) e d!! n d (; ; ) d. Assim (O F ):! n d 4 5 : 4 5 d d ; porque a área do círculo unitário é. O integral I é o simétrico de. A resposta é I.

Exercício 9 Considere o campo vectorial F : R! R de nido por F (x; y; z) (; ; z(z )e yx ). a) Calcule a divergência de F: b) Mostre que se é a superfície orientada representada na gura, então F:d. b) Conclua pelo teorema de Gauss que (z ) e xy dxdydz. 4

Ficha 6 6 Equações diferenciais. Exercício Determine a solução de cada um dos seguintes problemas: a) y sin(x)y e y(). olução: y(x) e cos(x) b) y + x + y e y() e. olução: y(x) e x x c) e x y y e y(). olução: y(x) e e x d) y (cos(x) + ) xy e y() e. olução: y(x) e x +x sin x+cos x Exercício Considere a equação diferencial linar não homogénea y + a(x)y b(x), (4) onde a : R! R e b : R! R designam funções contínuas. Considere a função : R! R de nida por (x) exp( a (x) dx), onde, como habitualmente, R a (x) dx designa uma primitiva de a. a) Mostre que (y) (y + ay), para qualquer função diferenciável y : R! R. b) Mostre que y : R! R é uma solução de (4) se e só se y é primitiva de b. c) Mostre que y : R! R é uma solução de (4) se e só se existir uma constante c R tal que y R (x) b (x) dx (x) + c (x). Exercício Com base no exercício anterior, determine a solução de cada um dos seguintes problemas: a) y + y e y(). olução: y(x) e x : b) y + xy x e y(). olução: y(x) + e x : c) y + y x e y(). olução: y(x) e x + x : Exercício 4 Considere a equação diferencial cos(x) + yy : (5) a) Mostre que a equação é exacta. b) Determine : R! R tal que r:(x; y) (cos(x); y). c) Mostre que uma função diferenciável y : ]a; b[! R é solução de (5) se e só se a função ]a; b[! R x! (x; y (x)) é constante. d) Determine a única função y : R! R que é solução de (5) e veri ca y(). 5

olução: y(x) p 4 sin(x). Exercício 5 Considere a equação diferencial x + e y y : (6) a) Mostre que a equação é exacta. b) Determine : R! R tal que r:(x; y) (x; e y ). c) Mostre que uma função diferenciável y : ]a; b[! R é solução de (6) se e só se a função ]a; b[! R x! (x; y (x)) é constante. d) Determine a única função y : ] ; [! R que é solução de (6) e veri ca y(). olução: y(x) log( x ). Exercício 6 Considere a equação diferencial ye xy + xe xy y : (7) a) Mostre que a equação é exacta. b) Determine : R! R tal que r:(x; y) (ye xy ; xe xy ). c) Mostre que uma função diferenciável y : ]a; b[! R é solução de (7) se e só se a função ]a; b[! R x! (x; y (x)) é constante. d) Determine a única função y : ]; +[! R que é solução de (7) e veri ca y(). olução: y(x) log(x)x. Exercício 7 Considere o sistema de equações diferenciais: y 4y y y y y (8) a) Determine uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de P tais que A P DP 4, com A. b) Calcule exp(xa). c) Determine a única solução (y (x); y (x)) de (8) que veri ca (y (); y ()) (; ). olução: D, P (y (x); y (x)) (e x ; e x ). e x e, exp(xa) x e x + e x e x e x e x + e x, 6

Exercício 8 Considere o sistema de equações diferenciais 4y y y y y y (9) a) Determine uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de P tais que A P DP, com A 4 b) Calcule exp(xa). c) Determine a única solução (y (x); y (x)) de (9) que veri ca (y (); y ()) ( ; ).. olução: D, P, exp(xa) (y (x); y (x)) (6e x 7e x ; 9e x 7e x ). e x + e x e x e x e x + e x e x e x, Exercício 9 Utilize o método da separação de variáveis para resolver os problemas: a) @u @x @u @t e u(; x) ex e x. olução: u(t; x) e t+x e t+x. b) @u @x @u @t e u(t; ) e t + e t. olução: u(t; x) e t x + e t+x. c) @u @x @u @t e u(t; ) et + e t. olução: u(t; x) e t+x + e t 4x. d) @u @x @u @t + u e u(; x) ex e x. olução: u(t; x) e x e t+x. e) @u @x @u @t + u e u(t; ) e t + e t. olução: u(t; x) e x t + e (4x t). 7

Ficha 7 7 Complementos Exercício a) Desenhe com régua e esquadro um rectângulo dourado com base cm. b) Desenhe uma espiral de razão dourada com compasso inscrita no rectângulo anterior. c) Deduza a expressão para a razão dourada sabendo que quando se retira um quadrado com lados iguais à altura do rectângulo, o rectângulo remanescente mantém a mesma proporção entre a nova base (altura do rectângulo original) e a nova altura. Exercício Desenhe com régua e compasso um quadrado de lado l, a diagonal é p l. Com este método obtenha as raízes de, 4 e 5. Exercício a) abendo que no início de um ano há casal de coelhos recém nascidos e que estes se reproduzem dando origem a outro casal quando atingem meses, reproduzindo-se então todos os meses, quantos casais de coelhos há ao m de um ano? b) Explique o que é uma sequência de Fibonacci. Dê dois exemplos de sequências de Fibonacci. Exercício 4. abendo que o Modulor de Le Corbusier tem como base 8 cm para a sequência vermelha fm v (j)g j e.6 para a sequência azul fm a (j)g j. abendo que os termos das sequências satisfazem as relações recorrência M v () :89cm M v (n + ) M v (n + ) ; em que + p 5 ; M a () :6cm M a (n + ) M v (n + ) ; em que + p 5 ; calcule: a) Uma tabela, elaborada da forma que quiser, (de preferência com gosto artístico como na gura de Le Corbusier anexa) em que sejam explícitos os termos da sequência azul M a ( 5) ; M a ( 4) ; M a ( ) ; M a ( ) ; M a ( ) ; M a () ; M a () ; M a () ; M a () ; M a (4) ; M a (5) e da sequência vermelha M v (j), j 5; : : : ; ; : : : 5. 8

Exemplo de res.: M v () M v () +p 5 :89; M v () M v () M v ( ) M v () :89: + p 5 p + 5 :89; b) Dê exemplos de objectos de utilização humana, e em particular na arquitectura, que se enquadrem nas dimensões fornecidas pelo Modulor de Le Corbusier. c) Deduza uma fórmula geral para o Modulor de Le Corbusier. d) Prove que o Modulor é uma sequência de Fibonacci. Tabela com elementos das "séries"vermelha e azul de Le Corbusier. : : : : : : v 6 :94 a 6 :596 v 5 :6498 a 5 :85 v 4 :6687 a 4 :9757 v :4796 a :5547 v :698645 a :8679 v :4 a :9679 v :89 a :6 v :959 a :65668 v 4:7888 a 5:965 v 7:7478 a 9:579 v 4 :55 a 4 5:489 : : : : : : 9

8 Teste Tipo de Matemática II - Resolução. Considere a seguinte função f : R! R de nida por f(x ; x ; x ) (x sin (x ) ; x cos (x ) ; x ). (a) Df (x ; x ; x ) 6 4 @f @x @f @f @x @f @f @x @f @x @f @x @f @x @f @x @x @x 7 5 4 x sin (x ) x cos (x ) x cos (x ) x sin (x ) x 5 : (b) J (x ; x ; x ) det Df (x ; x ; x ) 4x x (c) Para que o sistema 4 a sin (x ) a cos (a ) a cos (a ) a sin (a ) a 5 4 v v v 5 4 tenha soluções diferentes de zero para todos os vectores (v ; v ; v ) em R é necessário que J (x ; x ; x ), por consequência, para além das soluções triviais, tem de se ter 4a a, ou seja: no plano a ou no plano a. Note-se que se a 6 ) v e que se a 6 ) v v.. Problemas de extremos e polinómio de Taylor. (a) f : R! R; f(x; y) x + y x y. i. P (x; y) f (; ) + f x (; ) x + f y (; ) y + f xx (; ) x + f yy (; ) y + f xy (; ) xy!! + + + x + y + : ii. (v. ) Identi que e classi que o ponto (; ) de f. Como as primeiras derivadas se anulam e a matriz hessiana H (; ) é: H (; ) ; 4 logo de nida positiva (tem valores próprios positivos), então f (x; y) tem um mínimo local em (; ). (b) Como h (x; y), uma função in nitamente diferenciável, não tem tem zeros da derivada no interior de, que é um conjunto compacto, os extremos encontram-se na fronteira. Como a função assume a mesma imagem sobre cada circunferência de raio r centrada na origem basta calcular h (x; y) em x + y 6, em que vale e e em x + y 4, em que vale, valor superior ao anterior. Assim h assume o seu máximo absoluto na circunferência (x; y) R : x + y 4 e o seu mínimo absoluto é atingido na circunferência (x; y) R : x + y 6. 5 (a) s (t) t Entre e será s (). c () d t q 6 + 9 sin () + 9 cos ()d 5t: 4

i. Como t s 4s 5, teremos c (s) ( 5 ; sin( s 5 ); cos( s 5 )) e T(s) c (s) ( 4 5 ; 5 cos( s 5 ); 5 sin( s 5 )). ii. Primeiro há que derivar T(s), T (s) (; 5 sin( s 5 ); 5 cos( s 5 )). egundo, calcular a norma q kt (s)k 5 5. N(s) T (s) kt (s)k (; sin( s 5 ); cos( s 5 )). iii. B(s) T(s) N(s) ( 4 5 ; 5 cos(s 5 ); 5 sin(s 5 )) (; sin(s 5 ); cos(s 5 )) e e e 4 5 5 cos( s 5 ) 5 sin( s 5 ) sin( s 5 ) cos( s 5 ) 5 ; 4 5 cos( s 5 ); 4 5 sin(s 5 ) : É um vector unitário porque é o produto externo de dois vectores unitários. (Alternativamente podia-se calcular a norma e veri car que era ). (b) Das fórmulas de Frechet sabemos que a curvatura é apenas a norma kt (s)k 5 B j (s) N j (s) calculada na alínea b) ii. Das terceira fórmula de Frechet podemos calcular a torção usando, por exemplo, uma das componentes diferentes de zero, j, de cada um destes vectores: como B (s) 4 5 sin( s 5 ) sin( s 5 ) ; 4 5 sin( s 5 ); 4 5 cos( s 5 ). Usando a componente pode constatar-se que 4 5. Nota - as fórmulas de Frenet são:t (s) N(s), N (s) T(s) + B(s) e B (s) N(s).. Integrais múltiplos e centróides. (a) Nota-se que (x + y)dxdy xdxdy + ydxdy, uma vez que se tratam de integrais de funções ímpares em regiões simétricas em torno da origem. (b) (x + y)dxdy R dx R x x + y dy R h i x dx yx + y R h i x 6 dx x 7 4 4 : (c) Faz-se a mudança para coordenadas polares. x r cos y r sin : O jacobiano da transformação é r. O valor da função integranda é r. A região é o quarto quadrante, correspondente a, e r. Ficamos com (x + y )dxdy r ddr r dr r 4 4 : (d) É necessário calcular os pontos de intersecção da parábola com o eixo dos xx, 4 x () x _ x. Calcular o centróide corresponde a calcular o centro de massa com uma densidade unitária. 4

Vejamos as coordenadas x e y xdxdy ydxdy x C ; y C. dxdy dxdy Por causa da simetria do problema o primeiro integral é nulo, a parábola é simétrica relativamente ao eixo dos yy, ou seja relativamente à recta x. É necessário calcular apenas y C : e ainda ydxdy 8 :5 4 x y dx ydy dx x 4 x 4x 5 + 8 dx dxdy 4x 4 x dx dy x 5 : 4 x 4x + 8x 4 x dx 4 x dx Dividindo os valores obtemos: R.: (x C ; y C ) ; 8 5. y C 8 :5 5 8 5 : 9 Teste Tipo de Matemática II - Resolução. Integrais de linha (a) (v.) Calcule o integral de linha do campo escalar f : R! R ao longo do caminho c : [a; b]! R quando: f(x; y; z) x, c(t) ( sin(t); cos(t); ) com t [; ] : R.: A função integranda é x sin(t). A derivada da parametrização é dc(t) dt ( cos(t); sin(t); ), a sua norma vale dc(t) dt O integral é simplesmente: q( cos(t)) + ( sin(t)) q 4 cos (t) + 4 sin (t) p 4 : 4

sin(t) dt 4 sin(t) dt 4 [ cos(t)] 4 [ ( )] 8: (b) Considere o campo vectorial F (x; y; z) (x + yz; y + xz; xy). i. (v.) Mostre que existe (x; y; z) : R! R tal que O (x; y; z) F. Calcule (x; y; z). R.: O rotacional de F deve ser zero para existir um potencial. Assim: r F 4 @ @x @ @y @ @z 5 4 F (x; y; z) F (x; y; z) F (x; y; z) 5 6 4 @F (x;y;z) @y @F (x;y;z) @z @F (x;y;z) @x @F (x;y;z) @z @F (x;y;z) @x @F (x;y;z) @y 7 5 4 x y z x y 5 4 z como rotf existe (x; y; z) tal que O (x; y; z) F (x; y; z). Para obter o potencial podemos primitivar por exemplo F (x; y; z) em ordem a x : (x; y; z) F (x; y; z) dx + C (y; z) (x + yz) dx + C (y; z) x + xyz + C (y; z) : Fazendo o mesmo em ordem a y para F (x; y; z) temos: (x; y; z) F (x; y; z) dy + C (x; z) (y + xz) dy + C (x; z) y + xyz + C (x; z) : Fazendo o mesmo em ordem a z para F (x; y; z) temos: (x; y; z) F (x; y; z) dz + C (x; y) xydz + C (x; y) xyz + C (x; y) : Comparando o mesmo potencial (x; y; z) obtido em cada um dos casos determinamos as funções C (y; z), C (x; z) e C (x; y) : (x; y; z) xyz + x + C (y; z) xyz + C (x; z) + y xyz + C (x; y) : Neste caso C (y; z) y + c, C (x; z) x + c e C (x; y) x + y + c, fazendo c obtemos o potencial: (x; y; z) xyz + x + y ii. (v.) Calcule o integral de linha de F quando o ponto inicial é (; ; ) e o ponto nal é (; ; ). R.: Basta calcular (x ; y ; z ) (x ; y ; z ) :: + + :: + + 8. 5 ; 4

. Integrais de superfície (a) (v.) eja a superfície V (x; y; z) R : x + y z e z e a função densidade de massa (x; y; z) z. Calcule a massa do cone. R.: É necessário calcular a norma do produto vectorial fundamental. Uma parametrização do cone será: logo 8 < (r; ) :! @ (r; ) @ (r; ) P (r; ) 4 @r @ A norma de! P (r; ) é! P (r; ) x r cos y r sin z r cos sin 54 r sin r cos r ; ; 5 4 r cos r sin r cos + r sin 5 4 r cos r sin r q ( r cos ) + ( r sin ) + r pr cos + r sin + r p r + r p r p A densidade (r; ) r, vindo a massa do cone dada pelo integral: r: p r drd p r dr p r 6p : (b) (v.) Considere (x; y; z) R : x + y + z 9 uma esfera orientada com a normal a apontar para o exterior da superfície. eja! F (x; y; z).! I F! n d;! n representa o vector normal unitário a. Calcule este integral. R.: É um dos exercícios mais simples do teste. Como a esfera é uma superfície fechada, regular e orientável e a função é diferenciável, o teorema de Gauss a rma:! F! n d div! F dv; onde V é o volume do sólido encerrado pela superfície esférica de raio. A divergência de! F (x; y; z) é @F (x;y;z) @x + @F (x;y;z) @y + @F (x;y;z) @z @x @x + @y @y + @z @z + +. Assim o integral vale! F! n d div! F dv dv dv vol (esfera) 4 8:. Resolva as equações diferenciais V V V V 5 44

(a) (v.) y (t) + t y (t) t, com y () : R.: É uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo y (t) + a (t) y (t) b (t) (mas também é separável e pode ser resolvida de outra forma). O factor integrante é (t) e R tdt e t, a solução é y (t) Cte + b (t) (t) dt e t Cte + te t dt e t Cte + e t e t Cte+: (t) O problema de Cauchy tem solução Ou seja y (t). y () ) Cte +, Cte : (b) (v.) t y (t) + t y (t) + t y (t) ; com y () e: R.: Esta é uma equação separável t y (t) + t y (t) + t y (t), t y (t) t y (t) + + t y (t), t y (t) t + t y (t y (t) y (t) t + t t, y (t) y (t) t primitivam-se ambos os membros e obtém-se + t; log jy (t)j log jtj t + t + Cte, y (t) elogjtj t+ t +Cte, y (t) Ate t+ t em que A e Cte. O problema de Cauchy tem solução y () e, e A::e +, e Ae, A e. (c) (v.) Uma casa estava a uma temperatura (T ()) de dez graus no início da manhã. Entretanto a temperatura exterior (T ext ) é de graus. A constante de inércia térmica é de :465h : Quanto tempo demorou a casa a atingir os vinte graus? Para resolver o problema necessita de saber que log ' ; 69 e a equação diferencial a resolver dt (t) é dt (T (t) T ext ). Considere como unidade a hora. R.: Primeiro há que resolver a equação diferencial, que é uma equação separável: dt (t) dt (T (t) T ext ), dt (t) (T (t) T ext ) dt primitivndo ambos os membros obtém-se log jt (t) T ext j t + Cte, T (t) T ext e t+cte T (t) T ext + Ae t ; em que A e Cte, substituímos as constantes conhecidas T (t) + Ae :465t : Falta resolver o problema de Cauchy, em t a temperatura era de o C, logo T () + Ae, A o C: 45

A solução ca T (t) e :465t ; o tempo que a casa demora a atingir os o C é obtido resolvendo a equação e :465t, e :465t, t log ; 69 :465 :465 horas: 4. (v.) Desenhe uma espiral com cinco trocos inscrita num rectângulo dourado com lado menor de 8cm. 5. (v.) Tendo como unidade dez centímetros, represente com régua e compasso as raízes de cinco e seis. 6. (.v.) Indique, segundo o modulor de Le Corbusier, quais seriam, no seu entender, as alturas de uma secretária, um estirador, a altura do assento de uma cadeira e de uma mesa de cabeceira. Indique quais os elementos do modulor usado e se pertencem à sequência encarnada (base :89m) ou sequência azul (base :6m). R.: A sequência do modulor vermelho é a coluna da esquerda, a do Modulor Azul corresponde à coluna da direita : : : : : : v 6 :94 a 6 :596 v 5 :6498 a 5 :85 v 4 :6687 a 4 :9757 v :4796 a :5547 v :698645 a :8679 v :4 a :9679 v :89 a :6 v :959 a :65668 v 4:7888 a 5:965 v 7:7478 a 9:579 v 4 :55 a 4 5:489 : : : : : : A secretária que tenho em casa corresponde a a :5547m, o meu estirador corresponde a v :698645m (outras medidas poderiam ser aceitáveis) o assento terá a altura v :4796m e a mesa de cabeceira poderá ser de a :5547m se o leito for ligeiramente inferior em altura. 7. (v.) Demonstre que a sequência do modulor de Le Corbusier é de Fibonacci. R.: Basta considerar que qualquer termo da série azul ou vermelha obedece à relação n n ; n ; em que +p 5 é a razão dourada. Na sequência vermelha temos :89m e na vermelha :6m. Repare que +, assim, por exemplo para todo o n temos n n, n ( + ) n, n n + n, n n + n ; logo o enésimo termo da sequência é a adição dos dois termos anteriores. O termo de ordem zero é a base de cada uma das sequências, :89m e :6m. O termos de ordem podem-se ver na tabela do exercício 6. As sequências podem-se calcular até qualquer ordem, em ambos os casos, de forma única sabendo que são sequências de Fibonacci. 46