Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1

Elementos de um polígono lados consecutivos vértice ângulo interno ângulo externo 11.2

Polígonos convexos e não convexos Polígono convexo: uma reta r que passa por qualquer par de vértices consecutivos mantém os demais vértices no mesmo semiplano. Polígono não convexo: a reta não mantém os demais vértices no mesmo semiplano. 11.3

Diagonais de um polígono número de vértices: 7 número de diagonais relativas a um dos vértices: 4 número de vértices: 8 número de diagonais relativas a um dos vértices: 5 número de vértices: 9 número de diagonais relativas a um dos vértices: 6 11.4

Diagonais de um polígono Considerando um polígono com n lados, observamos que: de um único vértice partem (n 3) diagonais; há n vértices, logo temos n(n 3) diagonais; cada diagonal tem extremidade em dois vértices, por isso foi contada duas vezes. 11.4

Diagonais de um polígono Exemplo O número de diagonais de um decágono é: Logo, o decágono tem 35 diagonais. 11.5

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer Exemplos Quadrilátero (4 lados) Heptágono (7 lados) Decágono (10 lados) número de triângulos formados: 2 número de triângulos formados: 5 número de triângulos formados: 8 4 2 (Número de lados menos 2) 7 2 (Número de lados menos 2) 10 2 (Número de lados menos 2) 11.6

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer Considerando um polígono de n lados: podemos decompor esse polígono em (n 2) triângulos pelas diagonais que partem de um vértice; sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 11.6

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer i 1 + e 1 = 180º i 2 + e 2 = 180º i 3 + e 3 = 180º i 4 + e 4 = 180º + = i n + e n = 180º S i + S e = n 180º 11.7

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer Considerando S i = (n 2) 180º, temos: S i + S e = n 180º (n 2) 180º + S e = n 180º n 180º 360º + S e = n 180º S e 360º = 0 S e = 360º 11.7

Quadriláteros Todo polígono com quatro lados é chamado de quadrilátero. Considere o quadrilátero ABCD abaixo, os elementos desse quadrilátero são: vértices: A, B, C e D lados: diagonais: ângulos internos: ângulos externos: â, b, c e d perímetro: AB + BC + CD + DA 11.8

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo S = (n 2) 180º S = (4 2) 180º S = 2 180º = 360º 11.9

Paralelogramos Todo quadrilátero convexo que tem os lados opostos paralelos é um paralelogramo. Algumas características: é uma das bases. é a altura relativa ao lado. 11.10

Paralelogramos Classificação dos paralelogramos Losangos Retângulos Quadrados Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes. Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes. Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes. 11.11

Propriedades dos paralelogramos Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. 11.12

Propriedades dos paralelogramos Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. 11.12

Propriedades dos paralelogramos As diagonais de um paralelogramo cruzam-se nos respectivos pontos médios. 11.12

Propriedades dos paralelogramos Existem propriedades específicas para alguns paralelogramos: As diagonais de um retângulo são congruentes. As diagonais de um losango estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos e são perpendiculares entre si. ABb CD AC BD 11.12

Trapézios Todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos é um trapézio. Algumas características: Os lados paralelos e são as bases, é a base maior e é a base menor. é a altura do trapézio (segmento perpendicular às duas bases). 11.13

Trapézios Classificação dos trapézios Trapézio isósceles Trapézio escaleno Trapézio retângulo Trapézios isósceles são trapézios cujos lados não paralelos são congruentes. Trapézios escalenos são trapézios cujos lados não paralelos não são congruentes. Trapézios retângulos são trapézios que têm um lado perpendicular às bases. Estes trapézios também são escalenos. 11.14

Propriedades dos trapézios isósceles Os ângulos adjacentes a uma das bases de um trapézio isósceles são congruentes. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. 11.15

Áreas de quadriláteros e triângulos Área do retângulo A = b h Área do quadrado A = a a = a 2 11.16

Áreas de quadriláteros e triângulos Área do paralelogramo A = b h Área do triângulo 11.16

Áreas de quadriláteros e triângulos Área do trapézio Área do losango 11.16

Polígonos regulares Um polígono que tem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de polígono regular. Exemplos 11.17

Ângulos de um polígono regular 11.18

Circunferência e círculo Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano, denominado centro da circunferência. A distância constante é a medida do raio da circunferência. Circunferência Círculo é a região do plano formada por uma circunferência e sua região interna. Círculo 11.19

Elementos de uma circunferência Corda é um segmento cujas extremidades são dois pontos quaisquer da circunferência. Raio é um segmento cujas extremidades são o centro e um ponto qualquer da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. A medida do diâmetro (d) é o dobro da medida do raio (r), ou seja, d = 2r. 11.20

Posições relativas de uma reta a uma circunferência Reta externa à circunferência A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é maior que a medida r do raio (d > r). 11.21

Posições relativas de uma reta a uma circunferência Reta tangente à circunferência A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é igual à medida r do raio (d = r). 11.21

Posições relativas de uma reta a uma circunferência Reta secante a uma circunferência A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é menor que a medida r do raio (d < r). 11.21

Propriedades das retas secantes e tangentes Se uma reta s passa pelo centro O de uma circunferência e é perpendicular a uma reta secante dessa circunferência, então a reta s intercepta a corda secante em seu ponto médio M. determinada pela reta e : raios da circunferência : corda da circunferência s é perpendicular a t 11.22

Propriedades das retas secantes e tangentes Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência. P e Q pertencem à reta t P pertence à circunferência e Q é externo à circunferência é raio da circunferência 11.22

Propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência Dois segmentos, e, tangentes a uma circunferência nos pontos A e B são congruentes. 11.23

Exercício resolvido R1. Determinar o valor de x. Resolução A corda é secante à circunferência de centro O e o segmento é perpendicular à secante, então, pela propriedade da reta secante a uma circunferência, divide a corda pela metade; logo, mede 9. 11.24

Exercício resolvido R1. Resolução Temos ainda que e são raios da circunferência, assim: OB = OC = 15 Como o triângulo MOB é retângulo, temos: x 2 + 9 2 = 15 2 x = 12 11.24

Exercício resolvido R2. Determinar o valor de x, sabendo que A e B são centros de suas respectivas circunferências e C e D são pontos de tangência da reta t com as circunferências. Resolução Como C e D são pontos de tangência, então os segmentos e são perpendiculares à reta t; logo, e são raios das circunferências e medem 4 e 2, respectivamente. Portanto, o quadrilátero ABCD é um trapézio de altura x. 11.25

Exercício resolvido R2. Resolução Temos: BD = EC = 2 AC = EC + AE 4 = 2 + AE AE = 2 AB = 4 + 4 + 2 = 10 O triângulo AEB é retângulo, então: (AB) 2 = (AE) 2 + (EB) 2 10 2 = 2 2 + x 2 x = 4 11.25

Exercício resolvido R3. Dada uma circunferência inscrita num triângulo ABC, e considerando D, E e F como pontos de tangência dessa circunferência com os lados, e, respectivamente, determinar a medida do segmento, sabendo que mede 20 cm, mede 25 cm e mede 16 cm. Resolução 11.26

Exercício resolvido R3. Resolução Temos: AB = AD + DB 20 = AD + x AD = 20 x Pela propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência, temos: AD = AE AE = 20 x BD = BF = x Então: CF = 25 x 11.26

Exercício resolvido R3. Resolução Mas: CF = CE CE = 25 x Então, como AC = CE + AE, temos: 16 = (25 x) + (20 x) 2x = 29 x = 14,5 Logo, o segmento mede 14,5 cm. 11.26

Arco de circunferência Dois pontos distintos, C e D, de uma circunferência dividem-na em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada arco de circunferência. Indicamos o arco menor por e o arco maior por Os pontos C e D são chamados extremidades do arco. 11.27

Arco de circunferência Quando as extremidades de um arco dividem a circunferência em dois arcos de mesma medida, chamamos cada arco de semicircunferência. 11.27

Ângulo central Chamamos de ângulo central de uma circunferência qualquer ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência. A medida, em grau, de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente a esse arco. Indicamos a medida do arco por: med( ) Então: med(aôb) = med( ). 11.28

Ângulo inscrito Ângulo inscrito é todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência. é um ângulo inscrito que determina o arco. O ângulo inscrito determina o arco. O ângulo central AÔB também determina o arco. 11.29

Ângulo inscrito Todo ângulo inscrito na semicircunferência é reto. 11.29

Ângulo excêntrico Ângulo excêntrico é todo ângulo cujo vértice não é um ponto pertencente à circunferência. Os ângulos são ângulos excêntricos interiores. é um ângulo excêntrico exterior. 11.30

Ângulo excêntrico Medida de um ângulo excêntrico interior: Medida de um ângulo excêntrico exterior: 11.30

Exercício resolvido R4. Determinar o valor de x em cada um dos casos. a) c) b) d) 11.31

Exercício resolvido R4. Resolução a) Como x é a medida do ângulo inscrito, temos: b) Como os arcos e medem 160º e 40º, respectivamente, e x é a medida do ângulo excêntrico interior, então: 11.31

Exercício resolvido R4. Resolução c) Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior e os arcos e medem 40º e 80º, respectivamente, temos: d) Como x é a medida do ângulo inscrito, temos: 11.31

Exercício resolvido R5. Determinar x. Resolução Temos: med ( ) = 180º e med ( ) = 115º Então: med ( ) = 180º 115º = 65º Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior, temos: 11.32

Exercício resolvido R6. Determinar o valor de x sabendo que O é o centro da circunferência. Resolução Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é isósceles, pois e são raios da circunferência, então: med ( ) = med ( ) = 23º Portanto: 11.33

Exercício resolvido R6. Resolução Como é ângulo central, então: med ( ) = med ( ) = 134º E como x é a medida do ângulo inscrito na circunferência, temos: 11.33

Área do círculo A área de um círculo, cuja medida do raio é r, é dada por: A = r 2 Exemplo Vamos determinar a área de um círculo cujo raio mede 4 cm. Então, a área do círculo é 16 cm 2. 11.34

Área de um setor circular Setor circular é a região do círculo delimitada por um de seus ângulos centrais. Exemplo Vamos calcular a área do setor circular destacado. 11.35

Área da coroa circular A coroa circular é a região compreendida entre duas circunferências concêntricas (que possuem o mesmo centro), que estão em um mesmo plano e que têm raios de medidas diferentes. A = R 2 r 2 11.36

Área da coroa circular Exemplo Vamos calcular a área da coroa circular destacada. A = 5 2 3 2 = 25 9 = 16 11.36