Matemática ª série Ensin Médi v. Eercícis 0) a),76 0 tg 7 tg 0,57 9,7 0 0) 6, cm e 9, cm tg 0 0,89,7670 6 5 cm b) 9,06 8 cm 6 sen 6 8 tg 6 a 5 0,889 8 9,060 cm c) 6,88 5 6,050 a 5 a 0,55 cm tg a 0,69 0, 55 6,050 cm tg 6 5 0,765 5 6,88 d) 0 7 0) a) sen a 0 55 0,599, 9,6 cm
Cm triângul é isósceles ( ânguls e lads iguais) s catets medem. Pr Pitágras: 0 + 9 + 9 8 8 u 8 (nã cnvém).,, b) 8 sen 0 5,5 6 d) 7 7 Cm triângul é isósceles tems catets cm medida. Pr Pitágras: 5 6 + 56 8 8 u 8 (nã cnvém) 8 8.,,8 cs 5 7 0,707 7 9,8996 0) C 9( + ) C 9 6 ; Nã c) a 8 0 5 z D 5 C a a α + α + α 80 6α 80 α 0 Lg: α 0 α 60 α 90 Usand terema angular de Tales, cnseguims cmpletar s ânguls DC ˆ e D ˆ. C nã é triângul retângul, pis nã pssui ângul ret. O triângul CD é isósceles, lg: D DC
sen 0 8 0,5 8 9 cs 0 8 8 9 5,57 z + z (9 ) + (9 ) z + z 86 z 86 u 86 (nã cnvém) z 86 z 9 6 z,05 C + C 9 + 5,57 C,57 C z C,05 0 0,6 m 06) 6 e 8 M 0 R Em MNQ tems: tg 0 8 MQ 8 MQ MQ N NPQ tems: tg 0 PQ 8 PQ 8 PQ 8 P 0 0 N Q 8 05) 0 0 0 cs 0 8 NP 8 NP NP 6 0 0m 0 D cmpletar s ânguls d triângul D percebems que triângul é isósceles, lg: D D 0 m. sen 60 0 0 C N PRN tems: cs 0 NP 6 8,8 MQ PQ 8 6
Observaçã Pdems reslver também pr cngruência, aqui é uma ba prtunidade para se cmentar que é cngruência, e prvar para s aluns que s triânguls NPQ e NPR sã cngruentes, pis pssuem s mesms ânguls e cmpartilham a mesma hiptenusa. ssim tems: cs 60 0 0 0 m (P) C 0 + + (P) C 0 +,6 + 0 (P) C 9,6 m N 08) 900 m R P 0 0 8 Q 50 0 Cm é catet adjacente a 0 em NPR e 8 é catet adjacente a 0 em NPQ, lg: 8. E triângul MPR também é cngruente as utrs dis triânguls supracitads. ssim, NP, pis ambs sã as hiptenusas ds triânguls, cm essa ideia pde-se reslver a questã cm uma única cnta: cs 0 8 NP 8 NP 8 pr cngruência. NP 6 e cs 60 50 50 900 m 09),5 m H 50 07) 9,6 m u 0( + ) m 0 m C P tg 60 50 50 50,5 m 0),8 m S sen 60 0 0 0,6 m 5 m 75
sen 75 5 0,9659 5,895 m ) 5 < α < 6 α 8,5 m 0,8 ) E 69, m tg 60 60 60 60. 0,6 m + 0,8 m sen α 0, 8 8, 5 sen α 0,09 α ~ 5,5 ) 5,5 m 0 00,7 m 0º tg 0 00 0,58 00 58 m tg 0 0,60 5,95 m 5) h +,7 h 58 +,7 h 59,7 m ) C 0º sen 60 60 60 0. 0 60º 60 km 0 90 tg 60 90 90 90 55,889 tg 0 90 +
90 90 + 90 + 70 80 m 6) tg 0 + +,7 ( + ),6 +,7,6,7,7 km 0 00 9) C F tg 0 00 00 00. 0,577 5,8 0 6 C 7) C,7 8) D sen 0, 7 d d. 0,,7 d 5 d 0 0) C tg 0 6 6 + + 6 km 90 0 0 5 w 0 km tg 5 sen 0 0 0 0
tg 0 0 0 0. 0 (90 ) 0 + w 70 0 + w 900 00 + w w 80 w 0 b 6 a + b ) 8 + 6 C + 6 d w + w 0 + 0 α w 50 ) e 6 + sen 60 sen α. sen α. sen α 8 5 ) 8 m a sen 5. b sen 60. C 5 0 5 + 0 + α 80 α 5 0 α 0 D cs 60 a a a cs 5 b b Lei ds sens: 0 sen 5 0 + sen 0 (0 + ). sen 5 0. sen 0 (0 + ). 0. (0 + ) 0 0 + 0.
0 + 0 6 0., 0 8 m ) C 5 0 0 b) m 6) c 0 sen 56 CD D CD 0,89 9, 87 CD,5 m 05 α C c 5 C 0 + 05 + α 80 α 5 sen 0 0 sen 5. sen 5 0. sen 0. 0,707 0. 0,5, m c + ( )... sen 5 c 6 + 8. c c 0 u c 0 (nã cnvém) 7) 70 m 5) a) 9, m D α 50 C 56 9 6 5 m C 80 C5 50 + 80. 50. 80. cs 60 9 + 6 + α 80 α 6 500 + 600. 000. 900 ± 900 70 m u 70 m (nã cnvém) 5 D sen 6 sen 6 D 57,0 0, 876 D 9,87 m 8) 8,7 m 00 7 M 80
00 + 80. 00. 80. cs 7 90000 + 00 8000. 0,68 00 5500 7960 ±8,7 8,7 m u 8,7 m (nã cnvém) 9) 6, km 80 km 5 pós h: 60 km distância percrrida pr 80 km distância percrrida pr 60 km 80 + 60. 60. 80. cs 5 600 + 600 9600. 0,89 0000 786, 5,69 6, km u 6, km (nã cnvém) 0),58 km b) π 80 π 5 5 π π 80 c) π 80 π 0 0 π π 80 d) 7 π 6 80 π 0 0 π 7 π 80 6 e) π X d Y 80 π 70 00 km 60 km 8 0 d 00 + 60. 00. 60. cs 8 d 90000 + 600 76000. 0,67 d 0600 890 d 6680 d,58 km u d,58 km (nã cnvém) 70 π π 80 f) 5 π 80 π 00 00 π 5 π 80 g) π 9 ) a) π 6 80 π 0 0 π π 80 6 80 π 0 0 π π 80 9
h) 5 π 6 6) π 6 m 80 π 50 50 π 5 π 80 6 0,5m d ) a) π 80 60 b) π 80 90 c) π 80 5 d) π 80 5 5 6 e) π. 80 5 5 08 f) π. 80 5 g) π. 80 9 9 0 h) π. 80 6 6 0 ) a) 90 b) 57 0' c) 70 d) 77 0' e) 5 f) 55 g) h) 5 ) a) 0 min b) h0min 5) 98 vlta. π. R V.,. 00 V 56 m 500 km 500000 m Númer de vltas (NV): 60. π. 0,5 60 60 60π π 6 m 0,5 m 7) a) 5 vltas; º quadrante (0 ) 80 800 0 60 5 b) 6 vltas; º quadrante (90 ) 50 60 90 60 6 c) vltas (sentid hrári); º quadrante 00 + 080 0 60 d) vltas; º quadrante 5π 5 080 5 5 60 e) vltas; º quadrante π 6 90 NV 500000 56 NV 98,0 vltas 90 70 0 60 0
f) vlta; º quadrante 7π 8 8º0' 60º º0' 8 0 60 8) a) º quadrante 60 + 0 00 60 π 0 9π 60 Os arcs π e 9 nã sã cngruen- π tes. 0) a) 550 0 0 60 determinaçã psitiva 0 EG: α 0 + k. 60, k Z 00 60 b) º quadrante b) 65 + 60 5 60 6 60 50 0 60 7 c) º quadrante 95 600 5 87π 9) a) Sim 90 0 50 60 0 60 0 50 00 (70) 0 60 5 55 determinaçã psitiva 55 EG: α 55 + k. 60, k Z c) π 05 05 70 5 60 determinaçã psitiva 5 EG: α 5 + k60, k Z d) 00 70 00 60 determinaçã psitiva 00 EG: α 00 + k60, k Z 90 50 00 Os arcs 90 e 00 sã cngruentes. b) Nã π 80 9π 0 ) a) sen 900 900 70 80 60 sen 900 sen 80 sen 900 0 80 70 0 60 0 080 60 60
b) 60 0 80 60 sen 6π sen 90 sen 6π sen 0 sen 60 sen 80 sen 60 0 sen 6π 0,5 c) 900 70 80 60 sen 8π + sen π π sen 6 0 + () 0,5,5 80 80 sen (900 ) sen 80 sen (900 ) 0 d) 765 70 5 60 sen 765 sen 5 sen 765 e) 0 800 0 60 5 0 0 sen (0 ) sen 0 sen (0 ) f) 600 600 0 60 0 sen 600 sen 0 sen 600 0 ) sen 8π sen 0 sen 8π sen 0 sen 8π 0 sen π sen 990 sen π sen 70 sen π ) sen π sen. π sen π 0 sen π π sen π. sen. π sen +. 0 + ) a) cs 50 cs 90 cs 50 0 b) cs (900 ) cs 80 cs (900 ) c) cs 60 cs 80 cs 60 d) cs 6π cs 080 cs 6π cs 0 cs 6π e) cs π cs 980 cs π cs 80 cs π f) cs 7 π cs 60 cs 7 π cs 70 cs 7 π 0
5) cs 5 π cs 50 8) a) 5º cs 5 π cs 70 cs 5 π 0 cs 5 π cs 5 cs 5 π cs 5 cs 5 π 5π cs. + cs 5π 5 cs π + cs 5π 0 6) a) sen 50 sen 0 sen 50 0,5 b) cs 50 cs 0 cs 50 7) a) sen 0 sen 60 sen 0 b) cs 0 cs 60 cs 0 0,5 c) sen 5 sen 5 sen 5 cs 5 cs 5 cs 5 5 (80 5 ) sen 5 cs 5 b) 5 π 50 6 50 (80 0 ) 50º sen 5 π 6 cs 5 π 6 c) 590 50 50 (80 0 ) 590 50 sen 590 cs 590 d) sen 9 π 855 855 5 5 (80 5 ) 855 5 sen 5 + cs 5 0
sen 5 cs 5 e) 5 (80 + 5 ) sen 7 π 6 π π sen 0 + sen sen 6 7π sen 6 0 + 5 sen 5 cs 5 9) sen 0 sen 0 b) cs π 6 cs π cs π cs π 0 sen 0 cs 60 cs 00 cs 60 cs 60 cs 60 sen 0 + cs 60 + 0 π π cs cs 6 π π cs + cs + 0 50 a) sen 90 sen 0 sen 90 sen 0. 6 sen 90 b) cs 6 π cs 960 cs 6 π cs 0 cs 6 π cs 60 cs 6 π 5) a) sen 0 0 sen π c) cs π 0 sen π sen π cs π π π cs sen π π sen + cs sen 5 π 6
0 + 5) f() + cs α + sen α f() 0, para α π sen 0 P + + P + + P + cs 0 5) +. cs π π + sen 0 +. 0 + () 0 0 ± cs α O cs α O' 0 0,5 0,5 '' O' O' '' cs α 0,5. cs α '' cs α 0,5 cs α a ' ' cs α O 0, 5 0,5. cs α O' 55) s(t) λ cs ( t ) π 6 a) S() 000 λ? 000 λ cs 0 000 λ λ 00 b) s(t) 00 cs ( t ) π 6 ( t ) 000 00 cs π 6 ( t ) cs π 999 6 Cm cs α varia entre e, nã eiste ( t ) t para cs π 999. 6 Lg nenhum mês haverá 000 dações. 56) a) 900 70 80 60 tg 900 tg 80 tg 900 0 5) 0 0º b) 50 60 80 60 tg (50 ) tg (80 ) tg (50 ) tg (80 ) tg (50 ) 0 c) 500 0 60 60 5
tg 500 tg 60 tg 500 d) 05 70 5 60 tg (05 ) tg (5 ) tg (05 ) tg 5 tg (05 ) e) tg π tg 980 tg π tg 80 tg π 0 f) tg π tg 780 tg π tg 60 tg π +. + 6 9 + 6 + 6 + 6 59) tg π m. cs π + sen π 0. ( ) m + m + 0 + m 5 m m 5 60) a) 50 0. 57) sen π + cs π tg π + 0 0 58) sen 8 π sen 80 sen 8 π sen 0 sen 8 π b) 50 (80 0 ) tg 50 tg 0 tg 50 cs 5π cs 900 cs 5π cs 80 cs 5π tg 6π tg 90 tg 6π tg 0 c) 0 0 80 + 60 tg 0 tg 60 tg 0 tg 6π 8π sen cs5π π tg 6 ( ) + 0 0 60 0 tg 0 tg 0 tg 0 6
d) 5 e) 5 5 80 + 5 tg 5 tg 5 tg 5 tg π cs 50 + tg π 90 0 tg 90 tg 0 tg 90 tg 0 tg 90 6) a) tg π + tg π + tg 5 π + () + b) tg (60 ) + tg (0 ) + tg (0 ) tg (00 ) + tg (0 ) + tg (0 ) tg 60 + tg 60 tg 60 tg 60 f) tg 6 π tg 960 6) a) ctg 60 tg 60. 960 0 tg 960 tg 0 tg 960 tg 60 tg 960 b) ctg 5 tg 5 tg 5 c) ctg 0 tg 0 tg 0. 6) cs 50 cs 50 50 50 d) 990 70 +. 60 ctg 990 ctg 70 tg 70 sen 70 cs 70 cs 70 sen 70 0 0 cs 50 tg π tg 5 e) 0 0 +. 60 ctg 0 ctg 0 nã eiste tg 0 f) 0 0. 60 ctg (0 ) ctg 0 tg 0. 7
g) π 0 + 6. π ctg π ctg 0 h) 7π π +. π ctg 7π ctg π i) 7 π π +. π ctg 7 ctg π π 6) 0º nã eiste tg 0 tg π nã eiste tg π 66) Prfessr(a), vale a pena cmentar aqui que, quand α + β 90 e sen α cs β, cnsequentemente sec α cssec β. a) sec 60 cs 60 b) cssec 0 sen 0 c) sec 5 cs 5. + m > 0 + m > 0 m > () m > m > m R / m > 65) ctg α tg α 8 m 8 m 8 (m ) 8m 8 8m 0 m 0 8 m 5 d) cssec 5 _ sen 5 sen. 5 e) 50 80 +. 60 sec 50 sec 80 cs 80 f) 900 80 +. 60 sec 900 sec 80 cs 80 g) 0. 60 sec (0 ) sec 0 cs 0. h) π π + 6. π cssec π cssec π eiste sen π nã 8
i) 9 π π +. π cssec 9 π cssec π sen π. j) π π + π cssec π cssec π sen π 67) π cs π +. tg sen π π π ct g. cssec + sec π +. 0 0. cssec π + sec π 0 + cs π 0 + 9