Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa ESTATÍSTIA Exame Fial ª Época 6 de Juho de 00 Ateção:. Respoda a cada grupo em folhas separadas. Idetifique todas as folhas.. Todas as respostas devem ser devidamete justificadas.. aso teha alguma dúvida, apresete a sua própria iterpretação fudametada para resolver o problema. Não isista com os docetes com pergutas de matéria. Grupo I ( valores) omete as seguites frases um máximo de três lihas. Respostas apeas do tipo Falso ou Verdadeiro ão terão cotação alguma. Apreseta-se uma já resolvida para exemplificar como é possível ser sucito. 0. Num esaio de hipótese simples cotra composta, só se defie se a hipótese alterativa for bilateral Falso. Num esaio de hipótese simples cotra composta ão se defie pois a hipótese alterativa ão é especificada.. Se um esaio de hipótese a hipótese ula for rejeitada com %, etão também o será com %.. Uma amostra aleatória produz sempre estimadores cetrados. Se um esaio a hipótese ula for rejeitada com % mas ão o for com %, ada se pode dizer do p- value respectivo. Grupo II ( valores) Supõe-se que a percetagem de portugueses que tomam a vacia cotra a gripe é 0,0. A probabilidade de um idivíduo vaciado ão apahar gripe durate um surto epidémico é 0,, equato que a probabilidade de um idivíduo ão vaciado ão ser cotagiado é 0,8. Numa Uiversidade Portuguesa há 600 aluos, e para simplificar aceitamos que o que se passa com qualquer um dos aluos é ão iformativo sobre o que se passa com qualquer um dos outros, o que respeita à vaciação e à susceptibilidade à gripe. alcule as seguites probabilidades:
a) A probabilidade de um idivíduo seleccioado ao acaso estar cotagiado. b) A probabilidade de mais de 00 aluos terem sido vaciados. c) Supoha que o úmero de idivíduos que chegam, por hora, ao Hospital A SERINGA com vírus da gripe tem distribuição de Poisso de valor médio 8. i) alcule a probabilidade de uma dada hora chegarem mais do que idivíduos ao referido Hospital. ii) Em média quatos idivíduos chegam, por dia ( horas), ao Hospital A SERINGA com vírus da gripe. iii) Qual a probabilidade do itervalo de tempo etre chegadas de idivíduos com vírus da gripe ao Hospital A SERINGA exceder miutos. Grupo III (, valores) Seja X, X,..., X uma amostra aleatória de dimesão de uma distribuição N( ; ) osidere os seguites estimadores potuais para : X X X ˆ X X X 6 ˆ ˆ ˆ ˆ a) Quais deles são cetrados? b) Aalise-os sob o poto de vista da eficiêcia relativa. O que pode cocluir? Grupo IV (, valores) O Sr. Joaquim tem um supermercado e um café a zoa da Grade Lisboa. osidere as variáveis aleatórias e W que defiem os lucros diários do café (em Euros) e os lucros diários do supermercado (em Euros), respectivamete. As variáveis aleatórias e W são idepedetes com distribuição ormal: N( 00, 0) e W N(, ) W W a) alcule a probabilidade de um dia os lucros do supermercado serem superiores aos do café. b) Supoha que observou os lucros do supermercado durate cico dias. alcule a probabilidade da variâcia amostral dos lucros, calculada esses cico dias, ser superior a 66,.
c) Qual a distribuição das seguites variáveis aleatórias 0 ( i ) i i) 0 ii) 00 0 / 0 0 i ( ) i 0 Grupo V (6 valores) O Director da revista KARAS está iteressado em estudar o comportameto dos leitores da mesma. Para tal, decidiu observar o tempo de leitura (em miutos) em 6 leitores seleccioados aleatoriamete, dode resultou um tempo médio de leitura igual 0 miutos. Admita que o tempo de leitura da revista KARAS é ormalmete distribuído com desvio padrão miutos. a) Determie um itervalo de cofiaça para o tempo médio de leitura da revista KARAS com margem de erro (semi amplitude do itervalo de cofiaça) de 6,687. Qual a percetagem de itervalos de cofiaça que ão cotêm o verdadeiro valor do tempo médio? b) Teste, a um ível de sigificâcia de %, a hipótese de o tempo médio de leitura ser igual a 00 cotra a hipótese alterativa de ser iferior; calcule o valor-p (pvalue) do teste. c) Supodo que o verdadeiro tempo médio de leitura é igual a miutos, calcule a probabilidade de ão rejeitar a hipótese ula (defiida a alíea aterior). Que erro está associado a esta decisão? d) O Director da revista KARAS descofia que o tempo médio de leitura da revista VIP7 é superior ao da revista KARAS. Supoha que foram observados os tempos de leitura em 8 leitores da revista VIP7, seleccioados aleatoriamete, tedo-se obtido um tempo médio igual a 8, miutos. Admita que o tempo de leitura da ova revista ( VIP7 ) é ormalmete distribuído com desvio padrão miutos. O que pode dizer acerca da descofiaça do Director da Revista KARAS? (use um ível de sigificâcia de %)
Tópicos de resolução: Grupo I Pode ser, pode ão ser. Se o valor do estatística do teste se ecotrar só a região de rejeição de %, é verdade. Mas pode-se ecotrar ENTRE o valor crítico (limiar) de % e de %. Nessa altura só se rejeita para %. A frase equato afirmação é falsa. laro que ão! A propriedade de cetragem ou ão eviesameto de um estimador depede do desig do estimador e ão da iformação de per se. Exemplo: por muito aleatória, idepedete e bem seleccioada que teha sido a amostra X, X, X, o X X X estimador ˆ é eviesado. Falso. O p-value está de certeza etre 0.0 e 0.0. Porquê? Faça um deseho! Grupo II a) V V 0,0 0,80 0,0 0, 0,8 0,8 - ão estar cotagiado V - ão tomar a vacia da gripe P(tomar a vacia da gripe) = P(V) = 0,0 P( \V) = 0, P( \ V ) = 0,8 P() = P(V) P(\V) + P( V ) P(\ V ) = 0,0 [-0,] + 0,80 [-0,8] = 0,68 b) = 600 X - º de aluos, em 600, vaciados
X B(600; 0,0) Usado a aproximação à distribuição Normal com = p = 600 0,0 = 0 = pq = 600 0,0 0,80 = 6 00 0, 0 P(X > 00) = -P(X 00) = - P(Z ) = - P(Z -,) = - 0,0 = 6 0,767 c) Y - úmero de idivíduos que chegam, por hora, ao Hospital A SERINGA com vírus da gripe Y P( H = 8) i) P(Y > ) = - P(Y ) = - 0,6 = 0,06 ii) Em média chegam D = 8 = idivíduos ao Hospital A SERINGA com vírus da gripe. iii) Resolução do problema em miutos W m itervalo de tempo etre chegadas, em miutos, de idivíduos com vírus da gripe ao Hospital A SERINGA W m Exp( m = 8/60) P(W > ) = - P(W ) = - (-e -(8/60)* ) = -0,866 = 0, Resolução do problema em horas W H itervalo de tempo etre chegadas, em horas, de idivíduos com vírus da gripe ao Hospital A SERINGA W H Exp( H = 8) P(W H > 0,) = - P(W H 0,) = - (-e -(8*0,) ) = -0,866 = 0, Grupo III X X a) ˆ E EX X EX EX E
X X X 6 ˆ E EX X X EX EX EX E 6 6 ˆ ˆ Todos os estimadores são cetrados ou ão eviesados para. ˆ E E ˆ ˆ Eˆ Eˆ E b) X X Var ˆ Var Var X X Var X Var X X X X6 Var ˆ Var Var X X X6 Var X Var X Var X6 ˆ ˆ Var ˆ Var Var ˆ ˆ Var ˆ Var ˆ 0 7 7 ˆ Var ˆ Var Var ˆ, ˆ é mais eficiete do que ˆ e este por sua vez é mais eficiete do que ˆ. Grupo IV a) W N( 00, 0 ) P(W > ) = P(W- > 0) = P(Z > -0,68) = P(Z < 0,68) = 0,6808 b) P(S ( )S 66, > 66,) = P( ) = P(,06 ) ( ) = 0,0 c) Qual a distribuição das seguites variáveis aleatórias i) A variável aleatória apresetada tem distribuição de um qui-quadrado com graus de liberdade. ii) A variável aleatória apresetada tem distribuição t-studet com graus de liberdade. a) Grupo V
O itervalo de cofiaça para o verdadeiro valor do tempo médio é dado por: x Z ;x Z dado que pretedo um itervalo com uma margem de erro igual a 6,687 = etão: Z, 0 6,687;0 6,687 ou seja o itervalo de cofiaça para o verdadeiro valor do tempo médio de leitura é dado por 8,8 ; 6,687 6,687 = Z 6,687 = Z Z, 6 = 0,0 6 A percetagem de itervalos de cofiaça que ão cotêm o verdadeiro valor do tempo médio é 0%. b) H 0 : = 00 H : < 00 = 0,0 X Z N(0;) se Z Z 0 Rejeito H 0 Z 0 0 00 6,667 Z Z, 0 0,6 omo Z 0 < -,6 Rejeito H 0 ao ível de sigificâcia = 0,0. Valor- p (p-value) = P(Z < -, 667) = 0,008 c) = Rejeito H 0 quado Z 0 < -,6 ou equivaletemete quado X <, 8 P(rejeitar H \ = ) = - P( X <, 8\ = ) =- P(Z < - 0,) =- 0,78 = 0,67
O erro associado a esta decisão é o erro de ª espécie ou erro do tipo II. d) H 0 : = H : > (X X) ( ) Z N(0;) se Z 0 Z Rejeito H 0 Z (8, 0) 6 8,8 Z Z0, 0,6 omo Z 0 >,6 Rejeito H 0 ao ível de sigificâcia = 0,0. A descofiaça do director da revista é fudametada.