ROTEIRO DE RECUPERAÇÃO 3 - MATEMÁTICA Nome: Nº 3ª Série Data: / /01 Professores: Décio, Diego, Luciano e Sami Nota: (Valor 1,0) 3º Bimestre 1. Apresentação: Prezado aluno, A estrutura da recuperação bimestral paralela do Colégio Pentágono pressupõe uma revisão dos conteúdos essenciais que foram trabalhados neste bimestre. O roteiro de recuperação vai auxiliá-lo a planejar e organizar seus estudos. Para isso, sugerimos que: Anote tudo o que tiver para fazer. Fazer um esquema pode ajudar Faça um planejamento de estudos, estabelecendo um horário para desenvolver as diversas tarefas. Planejar significa antecipar as etapas que você precisa fazer e entregar; não deixe para depois o que pode ser feito hoje... Estabeleça prioridades: onde você tem mais dúvidas? Como se organizar para resolvê-las? Para que você aproveite essa oportunidade, é necessário comprometimento: resolva todas as atividades propostas com atenção, anote em um caderno suas dúvidas e leve-as para as aulas de recuperação. Sempre que possível, aproveite a monitoria de estudos. Procure esclarecer todas as dúvidas que ficaram pendentes no bimestre que passou. Tudo o que for fazer, faça bem feito!. Conteúdos Para ajudar em sua organização dos estudos, vale lembrar quais foram os conteúdos trabalhados neste bimestre: Arcos trigonométricos Função seno/cosseno Relação fundamental da trigonometria Análise Combinatória Progressão geométrica PG Matrizes Determinantes Geometria Analítica Ponto, reta e circunferência
3. Objetivos: Temas conceitos Arcos trigonométricos Função seno/cosseno Relação fundamental da trigonometria Análise Combinatória Progressão geométrica PG Matrizes Determinantes Objetivos para os alunos Introduzir conceitos básicos da trigonometria analítica: arcos trigonométricos e suas unidades de medidas de arcos, graus e radianos. Definir o ciclo trigonométrico e esclarecer as interpretações geométricas dos arcos negativos, bem como dos arcos maiores do que 30 graus. Estudar as técnicas de redução ao primeiro quadrante, explorando o conceito de arcos côngruos e algumas simetrias do ciclo trigonométrico. Compreender as funções seno e cosseno conceito, período, domínio, imagem e representação gráfica e fazer a análise de seu sinal. Deduzir a relação fundamental da trigonometria a partir do teorema de Pitágoras e das simetrias do ciclo trigonométrico. Observar casos particulares (sen(x) = 0 ou cos(x) = 0). Praticar a aplicação da relação fundamental de trigonometria na simplificação de expressões trigonométricas. Permutações, combinações e arranjos Estabelecer os conceitos de permutações. Calcular o número de permutações: simples, com repetição e cíclicas. Estudar o conceito de combinação e praticar o cálculo do número de combinações simples. Apontar diferenças entre arranjo e combinação. Estudar as particularidades das progressões geométricas, compreender suas principais propriedades e apresentar as expressões algébricas para o termo geral e para o produto dos primeiros termos da PG. Concluir os estudo das progressões geométricas apresentando as expressões para a soma dos primeiros termos e para a soma dos infinitos termos das progressões geométricas convergentes Iniciar o estudo da álgebra linear básica introduzindo e formalizando o conceito de matriz, suas notações e classificações. Apresentar leis de formação para matrizes. Definir a igualdade, a transposta e a adição de matrizes. Apresentar as matrizes identidade e nula. Compreender o conceito de produto interno de sequências finitas, a fi m de formalizar o processo para efetuar o produto de matrizes. Investigar a existência do produto de matrizes, estudar suas propriedades e apresentar os conceitos de matriz inversa, simétrica, antissimétrica, idempotente e ortogonal. Apresentar o conceito de determinante de uma matriz quadrada e alguns dos algoritmos usados para calcular esses determinantes, com o Teorema de Laplace e a regra de Sarrus Estudar as diversas propriedades dos determinantes, como as que antecipam seu valor nulo e as que definem os determinantes das matrizes transpostas e
Geometria Analítica inversas e das matrizes triangulares. Apresentar os Teoremas de Binet e Jacobi, introduzindo o conceito de combinação linear. Conceituar os elementos básicos da geometria analítica: coordenadas do ponto, distância entre dois pontos, coordenadas do ponto médio, coordenadas do baricentro de um triângulo, área de um triângulo e condição de alinhamento entre três pontos. Apresentar as equações da reta: equações geral, segmentária e paramétrica, coeficiente angular e equação reduzida. Conceituar e demonstrar as condições de paralelismo e perpendicularismo. Calcular a distância de ponto à reta. Equação da circunferência Desenvolver o conceito de circunferência: equação geral e reduzida. Determinar o centro e o raio de uma circunferência.. Materiais que devem ser utlilizados e/ou consultados durante a recuperação: Apostila de sala e livro de exercícios; Listas de estudos; Anotações de aula feitas no próprio caderno. Prova mensal Prova bimestral Simulados 5. Etapas e atividades Veja quais são as atividades que fazem parte do processo de recuperação: a) refazer as provas mensais e bimestral para identificar as dificuldades encontradas e aproveitar os momentos propostos para esclarecer as dúvidas com o professor ou monitor da disciplina. b) refazer as listas de estudos. c) revisar as atividades realizadas em aula, bem como as anotações que você fez no caderno. c) fazer os exercícios do roteiro de recuperação.. Trabalho de recuperação e forma de entrega Após fazer as atividades sugeridas para o processo da recuperação paralela, entregue os exercícios do roteiro de estudos em folha de bloco. O Trabalho de recuperação vale 1 ponto. Para facilitar a correção, organize suas respostas em ordem numérica. Não apague os cálculos ou a maneira como você resolveu cada atividade; é importante saber como você pensou! É muito importante entregar o Trabalho na data estipulada.
TRABALHO DE RECUPERAÇÃO 1. (UEL) João publicou na Internet um vídeo muito engraçado que fez com sua filha caçula. Ele observou e registrou a quantidade de visualizações do vídeo em cada dia, de acordo com o seguinte quadro. Dias Quantidade de visualizações do vídeo em cada dia 1 x 1x 3 3x...... Na tentativa de testar os conhecimentos matemáticos de seu filho mais velho, João o desafiou a descobrir qual era a quantidade x, expressa no quadro, para que a quantidade total de visualizações ao final dos 5 primeiros dias fosse 105. Sabendo que o filho de João resolveu corretamente o desafio, qual resposta ele deve fornecer ao pai para informar a quantidade exata de visualizações representada pela incógnita x? Apresente os cálculos realizados na resolução deste item.. (UFPR) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um π lago possa ser descrita pela função F(t) 1cos t, 1 sendo t o tempo em horas medido a partir das 0h00 da manhã. a) Qual a variação de temperatura num período de horas? b) A que horas do dia a temperatura atingirá 3ºC? 3. (UNIFESP) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. Determine as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s.
. (PUCRJ) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A (, 13) e C (1, 5). Determine a equação da reta r que passa pelo ponto M (ponto médio de AC) e pelo ponto P (1,1), justificando sua resposta. 5. (UFPR) Considere a função f definida pela expressão cos(x) senx 0 f(x) det cos x 1 0 1 0 Calcule f(0) e f =.. Considere a circunferência C : (x 1) (y 3) 9 Determine se o ponto A (, 3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.. Responda os itens abaixo: a) Na figura abaixo, os arcos AMB, ADC e CEB têm, respectivamente, raios 30 cm, 10 cm e 0 cm. Determine os comprimentos desses arcos. O que podemos concluir? b) Se a α = 1 30, determine o valor de sen α. cos α. (UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A ( a ij ) 3 X 3 a seguir, onde a ij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar roupas do tipo i.
5 A 0 Responda justificando: 0 1 3 1 a) Quantas unidades do material 3 serão empregados para fabricar roupas do tipo? b) Calcule o total de unidades do material 1 que serão empregados para fabricar 5 roupas do tipo 1, roupas do tipo e duas roupas do tipo 3? 9. Responda os itens a seguir: cosθ senθ a) Considere a matriz A 3 1 3. Sabendo-se que senθ cos θ, em que 0 θ π, calcule o senθ 0 cosθ determinante da matriz inversa de A, indicado por Det A -1. b) Sabendo que 10, calcule os determinantes das seguintes matrizes. 3 5 1 5 3 11 3 a) 5 1 5 3 11 3 11 b) 5 1 1 3 11 c) 5 10 10. (IFSUL- adaptada) Uma empresa de informática constatou que o custo total C(x) em reais para produzir seus equipamentos é dado pela função C(x) det A detb 10x, na qual x é o número de equipamentos 0 x 1 x x produzidos, com A e B 0 1 0. Determine : 1 1 x x a) O custo total C(x). b) O custo total para a produção de 10 unidades do equipamento. 11. (UERJ) Em 195, o engenheiro Gordon Moore divulgou em um artigo que, a cada ano, a indústria de eletrônicos conseguiria construir um processador com o dobro de transistores existentes no mesmo processador no ano anterior. Em 195, ele atualizou o artigo, afirmando que, de fato, a quantidade de transistores dobraria a cada dois anos. Essa última formulação descreve uma progressão que ficou conhecida como Lei de Moore e que permite afirmar que um processador que possuía 1 10 transistores em 195 evoluiu para um processador com 10 transistores em 19. Admitindo um processador com 31 10 transistores em 009, calcule a quantidade de transistores que a evolução desse processador possuirá em 019, segundo a Lei de Moore.
1. (PUCRJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? 13. (UEMA) Buscando incentivar a inserção das pessoas com deficiência no mercado de trabalho, uma filial dos Correios da cidade de São Luís contratou um cadeirante como encarregado da separação de correspondências. Para executar este trabalho, o novo funcionário foi designado para uma sala que dispunha de três mesas. Suponha que os centros dessas mesas sejam representados pelos pontos A, B e C de coordenadas (5, ), (3, ) e (1, ), respectivamente, tomando como origem o canto da sala. Nessas condições, a) esboce a figura que representa a disposição das mesas na sala em questão. b) quais as distâncias que cada mesa mantém entre si, em metros? c) qual a área do espaço compreendido entre as mesas? 1. (UFTM) Na figura, as retas r e s estão representadas no plano cartesiano, e P é o ponto de intersecção entre elas. Determine: a) As equações das retas r e s. b) A equação e o perímetro da circunferência de centro P que tangencia o eixo das ordenadas. 15. (UFU) Se r e s são as retas perpendiculares, conforme esboçadas a seguir, determine a ordenada do ponto P, que é a interseção de r e s.