Capítulo 3 Derivada e Diferencial

Capítulo 3 Derivada e Diferencial Objetivos Determinar a equação de retas tangentes a uma curva em um determinado ponto Resolver problemas que envolvam retas paralelas e normais à reta tangente de uma curva em ponto Calcular derivadas pela de nição Derivar qualquer função, usando as regras de derivação Determinar as derivadas laterais Derivar funções compostas (regra da cadeia) Derivar implicitamente uma função Encontrar a derivada de funções parametrizadas Determinar derivadas de ordem superior Interpretar geométrica e sicamente derivadas e diferenciais Resolver problemas que envolvam diferenciais

77 3 Introdução O Cálculo Diferencial é o ramo da matemática que tem como foco o estudo do movimento e da variação deste movimento Seu objeto de estudo são as funções As idéias que usaremos aqui foram introduzidas no século XVII por Newton e Leibnitz A intenção de Cálculo Diferencial é o de medir os incrementos ou variações de grandezas, isto é, problemas do tipo: dada uma função, medir o seu incremento Eemplo : a A velocidade é a variação da distância em relação ao tempo, isto é, o incremento da distância na unidade de tempo é a velocidade b O peso de um animal aumenta regularmente 5 quilos por mês, isto é, o seu incremento em quilos por mês é 5 3 Reta Tangente Sejam = f () uma curva do R Sejam P e Q dois pontos distintos desta curva, cujas coordenadas são ( 0 f ( 0 )) e ( f ( )), respectivamente = f = f ( ) ( ) 0 0 P α s Q = f ( ) 0 A inclinação da reta secante s, que passa pelos pontos P e Q, é m s = tg () = f ( ) f ( 0 ) 0 = Sunpondo que o ponto P se mantém o e Q se move sobre a curva na direção de P Assim, a inclinação da reta secante irá variar À medida que Q se aproima de P a inclinação da reta secante varia cada vez menos até atingir uma posição limite Este limite é chamade de inclinação da reta tangente (t) à curva no ponto P

78 t = f = f ( ) ( ) 0 0 P Q s = f ( ) 0 De nição : Dada uma curva = f (), seja P ( 0 f ( 0 )) um ponto sobre ela A inclinação da reta tangente à curva em P é dada por quando este limite eiste m t Q!P f ( ) f ( 0 ),! 0 0 De nindo = 0 + Se! 0, então! 0 Assim, podemos reescrever o coe ciente angular da reta tangente como m t!0 f ( 0 + ) f ( 0 )!0 Sabemos que a equação geral de uma reta é 0 = m ( 0 ), onde m é o coe ciente angular da reta Dessa forma, podemos escrever a equação da reta tangente à curva = f () no ponto P ( 0 f ( 0 )) é f ( 0 ) = m t ( 0 ) Eemplo : Encontre a inclinação da reta tangente à curva = +6+9, no ponto P ( 0 0 ) Solução: Pela de nição, sabemos que a inclinação da reta tangente à curva = + 6 + 9 no ponto P ( 0 0 ) é f( m t 0 +) f( 0 )!0 ( 0 +) +6( 0 +)+9 ( 0 +6 0+9) =!0 m t 0 +() +6 (!0 0 + () + 6) = 0 + 6!0 Logo, o coe ciente angular da reta tangente é 0 + 6

79 Determine a equação da reta tangente à curva = 3 + 5, no ponto cuja abcissa é 4 Solução: Sabemos que, a equação da reta tangente à curva = f () = 3 + 5, no ponto de abcissa 4, é onde: f (4) = 3 (4) + 5 = 53 m t 4 f(4+)!0 f(4) f (4) = m t ( 4), 3(4+) +5 53!0 Logo, a equação da reta tangente é 53 = 4 ( 4) ) = 4 43 Geometricamente, 3(6+8+() ) 48!0 4+3() =!0 50 50 4 3 Considere à curva = p Determine a equação da reta tangente a curva e paralela a reta r : 8 3 + 3 = 0 : Solução: Seja t a reta tangente à curva = f () = p e paralela a reta r : = 6 + Como as retas t e s são paralelas, então m t = m s = 6 () Por outro lado, a inclinação da reta tangente é f( m t 0 +) f( 0 )!0!0 p 0 + p 0 = 0 0 Resolvendo-se o limite acima, obtém-se: m t = p 0 () Comparando () e (), tem-se: p 0 = 6 ) 0 = : 44 Logo, a equação da reta tangente no ponto P f 44 t : = 6 ) t : = 6 + 44 8 Geometricamente, 44 é 3

80 4 Determine a equação da reta normal à curva = 3 no ponto P ( ) : Solução: Sejam s e t as retas normal e tangente, respectivamente, à curva = 3 no ponto P ( ) : Como as retas t e s são normais, então m t :m s = () Por outro lado, a inclinação da reta tangente em P é m t!0 f(+) f() (+) 3 = 0!0 0 Resolvendo-se o limite acima, obtém-se: m t = 3 () Substituindo () em (), tem-se que: m s = 3 : Dessa forma, a equação da reta normal no ponto P ( ) é s : = 3 ( ) ) s : = 4 3 Geometricamente, 3 4 4 33 Derivadas Derivada de uma função num ponto De nição : A derivada de uma função f () num ponto 0, denotada por f 0 ( 0 ) é de nida pelo limite quando este limite eiste f 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) ( 0 ),!0 Lembrando que: = 0 +, podemos escrever f 0 ( 0 ) como f 0 ( 0 )! 0 f ( ) f ( 0 ) 0 Geometricamente, f 0 ( 0 ) representa a inclinação da reta tangente à curva = f () no ponto P ( 0 f ( 0 ))

8 Derivada de uma função De nição 3: A derivada de uma função = f (), denotada por f 0 () tal que seu valor em qualquer Df é de nido por quando este limite eiste f 0 f ( + ) ()!0 f (), Dizemos que f é derivável quando eiste a derivada em todos os pontos de seu domínio Observações: (i) Da de nição, temos que o coe ciente angular da reta tangente a uma curva = f (), em um ponto P ( 0 f ( 0 )), é m t = f 0 ( 0 ) (ii) Na de nição 3, o quociente f(+) f() é chamado Quociente de Newton Outras notações de derivada: f 0 () = 0 = D f = d d Eemplo 4: Seja f () = + Determine f 0 (3) Solução: Pela de nição de derivada de uma função num ponto, em 0 = 3, temos que: f 0 (3)!0 f(3+) Portanto, f 0 (3) = 6 f(3) ((3+) +) (3 +)!0 0+6+() 0 = 6!0 Eemplo 5: Determine a derivada de cada uma das funções: f () = +3 Solução: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 ()!0 f(+) f()!0 (+) (+)+3 (+ )(+3) ( )(++3)!0 (+3)(++3) 5!0 (+3)(++3) +3 5 ) f 0 () = 5!0 (+3)(++3) (+3)

8 f () = 3 Solução: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 ()!0 f(+) f() (+) 3 3 = 0!0 0 De nindo u 3 = + e a 3 = Se! 0, então u! a Dessa forma, f 0 a () u 3 a 3 u!a u mas a = 3p, então: f 0 () = 3 3p =, u!a u +au+a 3a 34 Diferenciabilidade Como a de nição de derivadas envolve limites, a derivada de uma função eiste quando o limite da de nição 3 eiste Esses pontos são chamado pontos de diferenciabilidade para f, e os pontos onde este limite não eist são chamados de pontos de não-diferenciabilidade para f Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a curva = f () tem uma reta tangente,e os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tangente De modo informal, os pontos de nãodiferenciabilidade mais comumente encontrados podem ser classi cados como: picos, pontos de tangência vertical e pontos de descontinuidade 0 0 Pico Ponto de tangência vertical Ponto de descontinuidade Intuitivamente, os picos são pontos de não-diferenciabilidade, uma vez que não há como desenhar uma única reta tangente em tal ponto Por um ponto de tangência vertical entendemos um lugar na curva onde a reta secante tende a uma posição limite vertical Neste pontos, o único candidato razoável para a reta tangente é uma reta vertical naquele ponto Mas as retas verticais tem inclinações in nitas logo, a derivada (se eistisse) teria um valor nito real lá, o que eplicaria intuitivamente por que a derivada não eiste no ponto de tangência vertical Q P Q P Q 0 0 0 Eercício 6: Prove que a função f () = jj não é diferenciável em = 0

83 que: Solução: Pela de nição de derivada de uma função em um ponto, temos f 0 (0) f 0 (0) = f(0+)!0 f(0), se > 0, se < 0!0 j0+j j0j jj!0 jj Como os limites laterais são diferentes, dizemos que o limite lim!0 eiste Conseqüentemente, f 0 (0) não eiste Observação: A função f() = jj é contínua em = 0 e no entanto não é derivável em = 0 não Continuidade de funções deriváveis Vejamos um teorema que nos garante a continuidade da função nos pontos em que esta é derivável Teorema: Se uma função = f() é derivável em = a, então é contínua em = a Demonstração: Devemos mostrar que lim f () = f ( 0 ), ou seja, que lim (f () f ( 0 )) =!0!0 0 Note que: lim!0 (f ( 0 + ) f ( 0 ))!0 f(0 +) f( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) : : lim!0!0 {z } =0 f( Por hipótese, f é derivável então lim 0 +) f( 0 ) eiste e é igual a f 0 (!0 0 ) Dessa forma, lim (f ( 0 + ) f ( 0 )) = 0!0 Por propriedades de limites, tem-se que: lim f ( 0 + ) = f ( 0 )!0 De nindo = 0 + Se! 0, então! 0 Portanto, lim f () = f ( 0 ) :! 0 Observações: (i) Convém notar que o recíproco deste teorema não é necessariamente correto, isto é, uma função = f() pode ser contínua em = a e, no entanto, não derivável em = a Pode-se observar isso, no eemplo 6 (ii) O teorema acima nos garante que nos pontos de descontinuidade a função não pode ter derivada Embora com isto não se queira dizer que nos demais eista

84 Eemplo 7: A função = f () é de nida e contínua para todo R +, mas f 0 () = p não é de nida para = 0 Portanto, não eiste 0 para R 35 Derivadas Laterais De nição 4: Seja = f () uma função de nida em = 0, então a derivada à direita de f () em 0 indica por f+ 0 ( 0 ) é de nida por f 0 + ( 0 ) = caso o limite eista f ( 0 + ) f ( 0 ) lim!0 + De nição 5: Seja = f () f ( ) f ( 0 ),! + 0 0 uma função de nida em = 0, então a derivada à esquerda de f () em 0 indica por f 0 ( 0 ) é de nida por f 0 ( 0 ) = lim!0 caso o limite eista f ( 0 + ) f ( 0 )! 0 f ( ) f ( 0 ) 0, Do teorema da unicidade dos limites teremos que, se então f é derivável em 0 f 0 + ( 0 ) = f 0 ( 0 ), iguais Eemplo 8: Seja f () =, se < 3 8, se 3, calcule a derivada em = 3 Solução: Sabemos que f 0 (3) eiste se as derivadas laterais eistirem e forem As derivadas laterais são: f 0 f(3+) f(3) (3) = lim!0!0 6+ 6 = f+ 0 f(3+) f(3) 8 3 8+3 (3) =!0 +!0 + Como f+ 0 (3) 6= f 0 (3), então f não é derivável em = 3 Eemplo 9: Seja f () = ( ) jj Encontre f 0 (0) : Solução: Aplicando a de nição de módulo, podemos reescrever f como, se 0 f () = ( ), se < 0 O grá co de f é: 4

85 Geometricamente, concluímos f não é derivável em = 0, pois apresenta um pico neste ponto Mostremos analiticamente que f 0 (0) não eiste As derivadas laterais são: (0+) (0+) 0!0 + f+ 0 f(0+) f(0) (0)!0 + f 0 f(0+) f(0) (0)!0!0 Conclusão: f 0 (0) não eiste, pois f+ 0 (0) 6= f 0 (0) : = (0+) +(0+) 0 = 36 Regras de Derivação A derivada de uma função é de nida como um limite e usamos este limite para calcular alguns casos simples Vamos desenvolver agora alguns teoremas importantes, que possibilitaram calcular derivadas de forma mais e ciente Derivada de uma função constante Teorema: Se f() = k, com k R, então f 0 () Demostração: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 ()!0 f(+) f()!0 k k!0 0 = 0 Eemplo 0: Se f () = 0, então f 0 () = 0 Regra da Potência Teorema: Se f () = n, com n N, então f 0 () = n n Demostração: Pela de nição de derivada, temos que: f 0 f(+) f() (+) () n!0!0 () Pelo binômio de Newton, sabemos que ( + ) n = n + n n n(n ) + n () + + n () n + () n Substituindo em (), segue que: n n + f 0 ()!0 n n +!0 Portanto, f 0 () = n n Eemplo : (a) Se f () = 7, então f 0 () = 7 6 (b) Se f () =, então f 0 () = n(n ) n () ++n() n +() n n n(n ) n () + + n () n + () n = n n

86 Observação: Se n Q, o teorema acima continua verdadeiro Derivada do produto de uma constante por uma função Teorema: Se f for uma função diferenciável em e c for um número real constante, então cf também é diferenciável em e d () (cf ()) = cdf d d Demonstração: De na g () = cf () Pela de nição de limite, temos que: g 0 g(+) g() cf(+) cf() f(+) f() () = c lim!0!0!0 Como f é diferenciável em, então f 0 () eiste Assim, Portanto, g 0 () = cf 0 () (cf ()) 0 = cf 0 () : Eemplo : (a) Se f () = 3 4, então f 0 () = 3 (b) Se f () = 3, então f 0 () = 3 Derivada de soma e diferença de funções Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em, então f g também é diferenciável em e d df () dg () [f () g ()] = d d d Demonstração: De nindo h () = f () + g () Pela de nição de limite, temos que: h 0 ()!0 h(+) h() f(+)+g(+) f() g() :!0 Reagrupando os termos e aplicando a propriedade do limite da soma de funções, tem-se que: h 0 ()!0 f(+) f() g(+) g() + lim!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que h 0 () = f 0 () + g 0 () Portanto, a derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, (f () + g ()) 0 = f 0 () + g 0 ()

87 Eemplo 3: Se f () = 6 3p + 3 + 7 Determine f 0 () Solução: Aplicando a propriedade da derivada da soma, temos que: f 0 () = (6 3p + 3 + 7) 0 = (6 3p ) 0 + (3 ) 0 + (7) 0 : Pelas propriedades da derivada de uma constante por uma função e da derivada de uma função constante, segue que: 0 f 0 () = 6 3 + 3 ( ) 0 + 0: Aplicando a regra da potência, obtém-se: f 0 () = 6: 3 + 3: = 6 + = 6 + 3 3 3p Regra do Produto Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em, então f:g também é diferenciável em e d dg () df () [f () :g ()] = f () + g () d d d Demonstração: De nindo h () = f () :g () Pela de nição de limite, temos que: h 0 ()!0 h(+) h() f(+):g(+) f():g()!0 Somando e subtraindo f () :g ( + ), segue que: f(+):g(+) f():g(+)+f():g(+) f():g() h 0 ()!0 Rearranjando os termos e aplicando a propriedade do limite da soma de funções, tem-se que: h 0 ()!0 f(+):g(+) f():g(+) g(+)(f(+) f()) f():g(+) f():g()!0 f()(g(+) g()) + lim + lim!0!0 Aplicando a propriedade do produto de limites, temos que: f(+) f() h 0 () g ( + ) : lim + lim!0!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que: h 0 () = g () :f 0 () + f () :g 0 () f () : lim g(+) g()!0 Eemplo 4: Se f () = p Determine f 0 () Solução : Pela regra do produto, temos que: f 0 () = ( ) 0 p 0 p + = + p = 5 3 Solução : Reescrevendo f, temos que: f () = 5 Pela regra do produto, obtemos que: f 0 () = 5 5 ) f 0 () = 5 3

88 Observação: O teorema anterior é válido para mais de duas funções, vejamos para três Se f() = u():v():w(), então e assim sucessivamente f 0 () = u 0 ():v():w() + v 0 ():u():w() + w 0 ():u():v() Regra do Quociente Teorema: Se f e g forem funções diferenciáveis em e g () 6= 0, então f g também é diferenciável em e d d f () g () = g () :f 0 () f () :g 0 () (g ()) Demonstração: De nindo h () = f() Pela de nição de limite, temos que: h(+) h() g() f(+) g(+) f() g() h 0 ()!0!0 Somando e subtraindo f () :g (), segue que:!0 g():f(+)+f():g() f():g() g(+)f() g():f(+) g(+)f() :g():g(+) h 0 ()!0 g():g(+) Rearranjando os termos e aplicando a propriedade do limite da soma de funções, tem-se que: h 0 ()!0 g()(:f(+) f()) f()( g()+g(+)) lim g():g(+)!0 g():g(+) : lim :f(+) f() f() lim!0 g(+)!0!0 Como f e g são funções diferenciáveis, segue que: h 0 () = :f 0 f() () g 0 () = g():f 0 () f():g 0 () g() (g()) (g()) Portanto, 0 f () = g () :f 0 () f () :g 0 () g () (g ()) g():g(+) : lim!0 g(+) g() Eemplo 5: Se f () = + Determine f 0 () 3 Solução: Pela regra do quociente, temos que: f 0 () = (3 ):( +) 0 ( +)(3 ) 0 (3 ) = (3 ): ( +)3 0 (3 ) = 3 6 (3 ) Regra da Cadeia Teorema: Sejam = f(u) e u = g(), duas funções deriváveis A derivada da função em relação a é igual ao produto da derivada da função em relação a u pela derivada da função u em relação a, isto é, d d = d du :du d ou d d = f 0 (g()) :g 0 ()

89 Demonstração: Formemos separadamente o quociente de Newton em ambas as funções, assim: + = f (u + u) ) = f (u + u) f (u) ) f(u+u) f(u) = u u () u + u = g ( + ) ) u = g ( + ) g () ) u = g(+) g() () Notemos que, os primeiros membros de () e (), nos dão uma razão entre o acréscimo de cada função e o acréscimo da correspondente variável Os segundos membros de () e (), nos dão as mesmas razões de outra forma Escolhemos os primeiros membros por ser uma notação mais conveniente e façamos o produto, assim: = u : u Fazendo! 0, então u! 0 pois, u() é derivável e portanto contínua De onde vem que: lim!0 u!0 Da de nição de derivadas vem: Portanto, (a) = p 5 + d d =d du :du d u : lim!0 u ou d d = f 0 (g()) :g 0 () ((f g) ()) 0 = f 0 (g()) :g 0 () Eemplo 6: Determine as derivadas das funções abaio: Solução: De nindo u = 5 + Então, = p u Assim, d du = p u e du d = 5 Pela regra da cadeia, temos que: d = d : du ) d = d du d d p d :5 ) = 5 u d p 5+ (b) = 3p p Solução: De nindo v =, u = p v e = 3p u Pela regra da cadeia, temos que: d d = d du : du d () mas, du = du dv d dv d Temos que:

90 dv = 4 d du dv = p v d d = 3 3p u Assim, substituindo em (), segue que: d = d 3 3p : u p : (4 ) ) d = 4 v d 6 3p p = 4 : 6( ) 5 6 (c) = ( ) 4 : + 3 Solução: Pela regra do produto, temos que: 0 = ( ) 4 0 + + 3 + 3 0 ( ) 4 : () Pela regra da cadeia, temos que: ( ) 4 0 = 4 ( ) 3 ( ) 0 = 4 (4 ) ( ) 3 : () Pela regra do quociente, segue que: 0 + 3 = 3 6 () (3 ) Substituindo () e () em (), temos que: 0 = 4 (4 ) ( ) 3 + + 3 6 ( ) 4 3 (3 ) 0 = ( ) 3 (3 ) (54 4 35 3 + 90 50 + 8) (d) = 3p( +) Solução: Reescrevendo a função, temos que: Pela regra do produto, temos que: = + 3 0 = ( ) 0 ( + ) 3 + ( + ) 3 0 : () Pela regra da cadeia, temos que: ( + ) 0 3 = 3 ( + ) 3 ( + ) 0 = 4 3 ( + ) 3 4 = : () 3( +) 3 Substituindo () em (), temos que: 0 = ( + ) 3 + 4 3( +) 3 0 = 3( +) 3 (3 + 5)

9 Derivada das funções trigonométricas Derivada da Função Seno: Se f () = sin, então f 0 () = cos Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: f 0 ()!0!0 f(+) f()!0 sin cos()+sin() cos sin(+) sin sin sin [cos() ]+sin() cos!0 Aplicando propriedades de limites, temos que: f 0 cos() sin() () sin : lim + lim cos : lim!0!0!0!0 f 0 () = sin 0 + cos ) f 0 () = cos Portanto, Eemplo 7: Se f () = sin p 3 f 0 () = cos :, determine f 0 () Solução: De nindo u = p 3, então = f (u) = sin u Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (sin u) 0 :u 0 = u 0 : cos u 0 = (3 ) 0 p : cos 3 0 = (3 ) (3 ) 0 : cos p 3 0 = p 3 cos p 3 3 Derivada da Função Cosseno: Se f () = cos, então f 0 () = sin Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: f 0 ()!0 f(+) f()!0 cos(+) cos cos() sin() sin cos!0 cos cos [cos() ] sin() sin!0 Aplicando propriedades de limites, temos que: f 0 cos() () cos : lim!0!0 sin() lim sin : lim!0!0 f 0 () = cos 0 sin ) f 0 () = sin Portanto, f 0 () = sin : Eemplo 8: Se f () = cos sin p +, determine f 0 ()

9 Solução: De nindo u = sin p +, então = f (u) = cos u Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (cos u) 0 :u 0 = u 0 : sin u 0 = sin p + 0 p : sin sin + 0 = cos p p 0 + : + : sin sin p + 0 = p + cos p + : sin sin p + 3 Derivada da Função Tangente: Se f () =tg(), então f 0 () = sec Demonstração: Escrevendo a função tangente como um quociente, temos que: f () = tg () = sin cos : Derivando pela regra do quociente, temos que: f 0 () = cos (sin )0 sin (cos ) 0 cos Portanto, = cos +sin cos = cos = sec f 0 () = sec : psin Eemplo 9: Se f () =tg ( ), determine f 0 () Solução: De nindo u = p sin ( ), então = f (u) =tg(u) Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (tg (u)) 0 :u 0 = u 0 : sec u 0 = (sin ( )) 0 : sec psin ( ) psin 0 = (sin ( )) (sin ( )) 0 : sec ( ) 0 = cos( ) psin psin( ) sec ( ) 4 Derivada da Função Cotangente: Se f () =cotg(), então f 0 () = cossec () Demonstração: Escrevendo a função cotangente como um quociente, temos que: f () = cotg () = cos sin : Derivando pela regra do quociente, temos que: f 0 () = sin (cos )0 cos (sin ) 0 sin = sin cos sin = sin = cossec ()

93 Portanto, f 0 () = cossec () : Eemplo 0: Se f () =cotg( + + ), determine f 0 () Solução: De nindo u = + +, então = f (u) =cotg(u) Pela regra da cadeia, temos que: 0 = f 0 (u) :u 0 = (cotg (u)) 0 :u 0 = u 0 :cossec u 0 = ( + + ) 0 :cossec ( + + ) 0 = ( + ) :cossec ( + + ) 5 Derivada da Função Secante: Se f () = sec (), então f 0 () =tg() sec Demonstração: Escrevendo a função secante como um quociente, temos que: f () = sec = cos = (cos ) : Derivando pela regra da cadeia, temos que: f 0 () = Portanto, (cos ) (cos ) 0 = sin cos = sin cos : cos f 0 () = tg () sec : =tg() sec 6 Derivada da Função Cossecante: Se f () =cossec(), então f 0 () = cotg()cossec() Demonstração: Escrevendo a função cossecante como um quociente, temos que: f () = cossec () = sin = (sin ) : Derivando pela regra da cadeia, temos que: f 0 () = (sin ) (sin ) 0 = cos Portanto, sin = cos : = sin sin f 0 () = cotg () :cossec () : Eemplo : Se f () =cossec 4p sec (), determine f 0 () Solução: De nindo u = 4p sec (), então = f (u) =cossec(u) Pela regra da cadeia, temos que: 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = cotg() :cossec() u 0 :cotg(u)cossec(u) p 0 p p 4 sec () :cotg 4 sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 3 4 4 (sec ()) 0 4 cotg sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 3 4 4 tg() sec ()cotg 4 sec () 4 cossec sec () (sec ()) p p 4 4 tg()cotg 4 sec () 4 cossec sec () :

94 Observação: Todos os teoremas demonstrados até aqui, são generalizados, com o uso da função composta: Se f (u) = sin u, então f 0 (u) = u 0 cos u Se f (u) = cos u, então f 0 (u) = u 0 sin u 3 Se f (u) =tg(u), então f 0 (u) = u 0 sec u 4 Se f (u) =cotg(u), então f 0 (u) = u 0 cossec (u) 5 Se f (u) = sec u, então f 0 (u) = u 0 tg(u) sec (u) 6 Se f (u) =cossec(u), então f 0 (u) = u 0 cossec(u)cotg(u) Derivada da função eponencial Teorema: Se = a, com a > 0 e a 6=, então 0 = a ln a Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: f(+) f() 0 = f 0 ()!0!0 Pelas propriedades de limites, temos que: 0!0 a a : lim = a ln a!0 Portanto, 0 = a ln a a (+) a a (a ) :!0 Caso particular: Se a = e, então para = e, segue que 0 = e ln e ) 0 = e Derivada da função logarítmica Teorema: Se = log a, com a > 0 e a 6=, então 0 = log a e Demonstração: Pela de nição de limite, temos que: 0 = f 0 ()!0!0 log a (+ ) De nindo = u 0 = log a lim f(+) + u! u Portanto, f()!0 log a!0, ou seja, u = u = log a log a (+) + 0 = log a e: log a!0 = log a lim!0 log a ( + ) + : Se! 0, então u! Assim, lim u! + u u = log a e:

95 Caso particular: Se a = e, então para = log e = ln, segue que 0 = ln ) 0 = Derivada de uma função eponencial composta Teorema: Se = u v, onde u = u () e v = v () são funções de, deriváveis em um intervalo I e u () > 0, 8 I, então 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0 Demonstração: Usando propriedades de logaritmo, podemos escrever a função = u v, como = e ln uv ) = e v ln u Note que: = (g f) () = g (f ()), onde g (w) = e w e w = f () = v ln u Pela regra da cadeia, temos que: 0 = g 0 (w) :w 0 ) 0 = e w : (v ln u) 0 ) 0 = e w v 0 ln u + v u0 u ) 0 = e v ln u (v 0 ln u + v:u :u 0 ) Por propriedade de logaritmo, segue que: 0 = e ln uv (v 0 ln u + v:u :u 0 ) ) 0 = u v (v 0 ln u + v:u :u 0 ) Portanto, 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0 obtém-se: Resumo: Aplicando a regra da cadeia para as funções compostas abaio, Se = a u, com a > 0 e a 6=, então = u 0 :a u ln a Se = e u, então = u 0 e u 3 Se = log a u, com a > 0 e a 6=, então = u0 u log a e 4 Se = ln u, então = u0 u 5 Se = u v, então 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0 p = 5 +3 Eemplo : Determine a derivada das funções: Solução: De nindo u = p + 3, então = 5 u Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = ( + 3) 0 = ( + 3) : ( + 3) 0 = 4+3 p : +3

96 Pela regra de derivação da função eponencial composta, temos que: p 0 = 5 u ln 5:u 0 ) 0 = 4+3 p 5 +3 ln 5 +3 = ln (sin (e )) Solução: De nindo u = sin (e ), então = ln u Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = (sin (e )) 0 ) u 0 = (e ) 0 cos (e ) u 0 = ( ) 0 (e ) cos (e ) ) u 0 = e cos (e ) Pela regra de derivação da função logaritmo composta, temos que: 0 = u0 u ) 0 = e cos(e ) sin(e ) = e cotg(e ) : p e 3 = e Solução: De nindo u = p e, então = ln u Pela regra da cadeia, temos que: 0 u 0 = e ) u 0 = e 0 e = e e u 0 = e = p e Pela regra de derivação da função eponencial composta, temos que: 0 = u 0 e u ) 0 = p p e e 4 = sec e 3p + +cossec + Solução: Aplicando propriedades de derivadas, temos que: 0 = sec 3p + + cossec + De nindo u = 3p + e v = + Pela regra da cadeia, temos que: u 0 = ( + ) 0 3 ) u = ( + ) 3 3 0 = sec 3 p + 0 + cossec + 0 : Pela regra do quociente, temos que: v 0 = 0 ) v 0 = (+)( )0 ( )(+) 0 = + (+) (+) Pela regra de derivação de funções trigonométricas composta, temos que: 0 = u 0 sec (u)tg(u) v 0 cotg(v)cotg(v) 0 = 3p sec p 3 + tg 3p + cotg 3 (+) (+) + cotg +

97 5 = (sin ) Solução: De nindo u = sin e v = Pela regra de derivação de uma função eponencial composta, temos que: 0 = v:u v :u 0 + u v : ln u:v 0 0 = (sin ) (sin ) 0 + (sin ) ln (sin ) : ( ) 0 0 = (sin ) cos + (sin ) ln (sin ) 0 = (sin ) cos + ln (sin ) sin 0 = (sin ) (cotg () + ln (sin )) Derivada de funções hiperbólicas Como as funções hiperbólicas são de nidas em termos das funções eponenciais, a derivação dessas funções se resume na derivação de funções eponenciais Eemplo 3: Mostre que se f () = sinh, então f 0 () = cosh : Solução: Lembre que: f () = sinh () = e e Assim, f 0 () = (sinh ()) 0 = e Portanto, f 0 () = cosh : e 0 = e +e = cosh são: Analogamente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas, que Se f (u) = sinh u, então f 0 (u) = u 0 cosh u Se f (u) = cosh u, então f 0 (u) = u 0 sinh u 3 Se f (u) =tgh(u), então f 0 (u) = u 0 sech (u) 4 Se f (u) =cotgh(u), então f 0 (u) = u 0 cossech (u) 5 Se f (u) =sech(u), então f 0 (u) = u 0 tgh(u)sech(u) 6 Se f (u) =cossech(u), então f 0 (u) = u 0 cossech(u)cotgh(u) Observação: A demonstração das derivadas das funções hiperbólicas ca como eercício! Eemplo 4: Determine a derivada das funções:

98 = cosh (( 3 + ) e 4 ) Solução: De nindo u = ( 3 + ) e 4 Então: = cosh u Pela regra do produto, temos que: u 0 = ( 3 + ) (e 4 ) 0 + ( 3 + ) 0 e 4 u 0 = (4 3 + 3 + 8) e 4 ) u 0 = 4 ( 3 + ) e 4 + 3 e 4 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = (cosh u) 0 = u 0 sinh u ) 0 = (4 3 + 3 + 8) e 4 sinh (( 3 + ) e 4 ) =tgh ln +3 4 Solução : De nindo u = ln Derivando o ln, temos que: 0 +3 4 = +3 4 +3 4 Assim, =tgh(u) = ( +6) u 0 = 5 +3 + 3 +3 4 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = u 0 sech (u) ) 0 = + 3 +3 sech ln +3 4 Solução : De nindo u = ln +3 Assim, =tgh(u) 4 Aplicando as propriedades de ln para reescrever a função u, temos que: u = ln ( + 3) 4 ln ) u 0 = 4 = + +3 3 +3 Pela regra de derivação de funções hiperbólicas, temos que: 0 = u 0 sech (u) ) 0 = + 3 +3 sech ln 3 = q cotgh (t + ) +3 4 Solução: De nindo u =cotgh(t + ) Então, = p u Pela regra da cadeia, temos que: 0 = p u :u0 ) 0 = p cossech (t + ) (t + ) 0 cotgh(t+) 0 = (t+)cossech (t+) pcotgh(t+) 37 Derivação Implícita De nição 6: Quando a relação entre e é dada por uma equação da forma F ( ) = 0, dizemos que é uma função implítica de

99 Uma equação em e pode implicitamente de nir mais do que uma função de :Por eemplo, se resolvermos a equação + = 9, () para em termos de, obtemos = p 9 Assim, encontramos duas funções que estão de nidas implicitamente por (), são f () = p 9 f () = p 9 Os grá cos dessas funções são semicírculos do círculo + = 9 que estão localizados acima e abaio do eio das ordenadas + = 9 f () = p 9 f () = p 9 4 4 4 4 0 0 3 Observe que o círculo completo não passa no teste da reta vertical, e portanto, não é o grá co de uma função de Contudo, os semicírculos superior e inferior passam no teste da reta vertical Nem sempre é possível de nir a forma eplícita de uma função de nida implicitamente Por eemplos, as funções 3 + = 3, 4 + 3 + ln = 0, não podem ser epressas na forma = f () O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função assim de nida, sem a necessidade de eplicitá-la Derivada de uma função dada implicitamente Suponhamos que F ( ) = 0 de ne implicitamente uma função derivável = f () A derivada de uma função na forma umplícita é obtida usando a regra da cadeia Assim, é possível determinar 0 sem eplicitar Eemplo 4: Derive implicitamente as funções abaio + = 9 Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( + ) 0 = (9) 0 ) d d + = 0 ) d = d d d 3 + = 3 Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( 3 + ) 0 = (3) 0 ) 3 + d d = 3 ()0 ) 3 + d d ) ( 3) d d = 3 3 ) d = 3 3 d 3 = 3 + 3 d d

00 3 4 + 3 + ln = 0 Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: ( 4 + 3 + ln ) 0 = (0) 0 ) 4 3 d d ) 4 3 + 3 + d d d + 3 + 3 + d = 0 d d = 3 ) d d = 3 4 4 +3+ 4 7 + ln (sin ( )) = e 3 + Solução: Derivando ambos os membros com relação a, temos que: 7 6 0 + (sin( )) 0 sin( ) = (6 + ) e 3 + ) 7 6 0 + ( ) 0 cos( ) sin( ) = (6 + ) e 3 + ) 7 6 0 + ( + 0 )cotg( ) = (6 + ) e 3 + ) (7 6 + cot ( )) 0 = (6 + ) e 3 + cotg( ) ) 0 = (6 +)e 3 + cot( ) 7 6 + cot( ) Eemplo 5: Determine o(s) ponto(s) em que a reta tangente à curva C : + + 3 = 9 é horizontal Solução: Sabemos que a reta tangente é horizontal nos pontos em que m t = d = 0: d Derivando implicitamente a equação que descreve C, temos que: + 0 + + 0 3 0 = 0 ) d = () d + 3 Se + 3 6= 0, então d = 0, = () d Substituindo em C, temos que: 3 + 6 9 = 0 ) + 3 = 0, ou seja, = 3 ou = Substituindo estes valores em (), obtemos: P ( 3 6) e P ( ) Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos P e P, pois satisfazem a condição () 38 Derivada da função inversa Eemplo 6: Considere a função = f () = Solução: Como = d Determine e d + d d, derivando pela regra do quociente, obtemos que + d d = ( + )

0 Para determinar d, iremos escrever em função de e, a seguir, derivar d com relação a Se = g () = Lembrando que =, então d + = d ( ), temos que: d d ( + ) = Observe que, d d = d d Neste eemplo, veri camos uma aparente relação que eiste entre a derivada de uma função e a derivada de sua inversa Para determinarmos um relação entre as derivadas de f e f, suponha que ambas as funções são diferenciáveis, e seja = f () (#) Reescrevendo esta equação como = f (), e diferenciando implicitamente com relação a, resulta que d() = d (f ()) ) = f 0 () d ) d = d d d d f 0 () A partir de (#) obtemos a seguinte fórmula que relaciona a derivada de f com a derivada de f d d f () = f 0 (f ()) Podemos enunciar este resultado como: Teorema: Seja = f () uma função de nida em um intervalo aberto (a b) Suponhamos que f () admite uma função inversa = g () contínua Se f 0 () eiste e é diferente de zero para qualquer (a b), então g = f é derivável e g 0 () = f 0 () = f 0 (g ()) Em outras palavras, se = f () admita uma função inversa então d d = d d

0 Derivada das funções trigonométricas inversas Derivada da função Arco Seno: Seja f : [ ]! de nida por f () = arcsin Então, = f () é derivável em ( ) e 0 = p Demostração: Sabemos a função arco seno é a inversa da função seno, ou seja, = arcsin, = sin Como (sin ) 0 eiste e é diferente de zero 8 da função inversa, temos que:, pelo teorema da derivada 0 = (sin ) 0 = cos Pela identidade trigonométrica, temos que: cos = p sin Assim, 0 = p sin = p Portanto, 0 = p Derivada da função Arco Cosseno: Seja f : [ ]! [0 ] de nida por f () = arccos Então, = f () é derivável em ( ) e 0 = p Demostração: Sabemos a função arco cosseno é a inversa da função cosseno, ou seja, = arccos, = cos Como (cos ) 0 eiste e é diferente de zero 8 (0 ), pelo teorema da derivada da função inversa, temos que: 0 = (cos ) 0 = sin Pela identidade trigonométrica, temos que: sin = p cos Assim, 0 = p cos = p Portanto, 0 = p

03 3 Derivada da função Arco Tangente: Seja f : R! de nida por f () =arctg() Então, = f () é derivável e 0 = + Demostração: Sabemos a função arco tangente é a inversa da função tangente, ou seja, = arctg (), = tg () Como (tg ()) 0 eiste e é diferente de zero 8 da função inversa, temos que:, pelo teorema da derivada 0 = (tg ()) 0 = sec Pela identidade trigonométrica, temos que: sec = tg () + Assim, 0 = tg () + = + Portanto, 0 = + 4 Derivada da função Arco Cotangente: Seja f : R! (0 ) de nida por f () =arccotg() Então, = f () é derivável e 0 = + Demostração: Sabemos a função arco cotangente é a inversa da função cotangente, ou seja, = arccotg (), = cotg () Como (cotg ()) 0 eiste e é diferente de zero 8 (0 ), pelo teorema da derivada da função inversa, temos que: 0 = (cotg ()) 0 = cossec Pela identidade trigonométrica, temos que: cossec = cotg () + Assim, 0 = cotg () + = + Portanto, 0 = + 5 Derivada da função Arco Secante: Seja f () = arcsec (), de nida para jj Então, = f () é derivável para jj > e 0 = jj p Demostração: Sabemos a função arco secante é a inversa da função secante, ou seja, = arcsec (), = sec () = ) = arccos cos

04 Pela regra da cadeia, nos pontos em que eiste a primeira derivada, temos que: 0 p = q = p = p p = jj p Portanto, : q = 0 = jj p 6 Derivada da função Arco Cossecante: Seja f () =arccossec(), de nida para jj Então, = f () é derivável para jj > e 0 = jj p Demostração: Sabemos a função arco cossecante é a inversa da função cossecante, ou seja, = arccossec (), = cossec () = ) = arcsin sin Pela regra da cadeia, nos pontos em que eiste a primeira derivada, temos que: 0 = q p = p = jj p Portanto, : q = 0 = jj p Para funções compostas, usando a regra da cadeia, temos que: Se = arcsin u, então 0 = u0 p u Se = arccos u, então 0 = u 0 p u 3 Se =arctg(u), então 0 = u0 +u 4 Se =arccotg(u), então 0 = u 0 +u 5 Se = arcsec (u), então 0 = u 0 juj p u 6 Se =arccossec(u), então 0 = u 0 juj p u Eemplo 7: Determine a derivada das funções f () = arcsin [ln ( )] Solução: De nindo u = ln ( ) Então, u 0 = 0 = p u0 u = p = (ln( )) ( ) p ln ( )

05 f () = arcsec e 3 Solução: De nindo u = e 3 Então, u 0 = ( + 3 3 ) e 3 0 u = 0 juj p = (+33 )e 3 u je 3 j p e 3 3 f () =arccossec ln p + Solução: De nindo u = ln p + = ln ( + ) Então, u 0 = 0 = u 0 juj p u = ( +)jln p +j p ln p + + Derivada das funções hiperbólicas inversas Pelo capítulo anterior, sabemos que a função = arg sinh também pode ser escrita como = ln + p + Assim, de nindo u = + p +, segue que: 0 = + p + 0 + p + = + p + + p + ) 0 = p + : Logo, se = arg sinh, então 0 = p + Por desenvolvimento análogo podem ser obtidas as derivadas das demais funções hiperbólicas inversas A seguir, apresentamos as derivadas das funções hiperbólicas inversas compostas Se = arg sinh u, então 0 = u0 p u + Se = arg cosh u, então 0 = p u0 u, para u > 3 Se = arg tgh(u), então 0 = u0 u, para juj < 4 Se = arg cotgh(u), então 0 = u0 u, para juj > 5 Se = arg sech(u), então 0 = u 0 u p u, para 0 < u < 6 Se = arg cossech(u), então 0 = u 0 juj p +u, para u 6= 0:

06 Eemplo 7: Determine a derivada da função = arg tgh cosh (6) Solução: Se u = cosh (6), então: u 0 = cosh (6) sinh (6) = 6 sinh () Assim, 0 = u0 = 6 sinh() u cosh 4 (6) 39 Derivada de uma função na forma paramétrica Função na forma paramétrica Considere a equação + = a () A equação () representa um círculo de raio a Pelos conhecimentos da Geometria Analítica, podemos epressar e como funções de uma paramâmetro t, da seguinte forma: a a t a = a cos t = a sin t, com t [0 ] () a As epressões () e () representam a mesma curva Na equação (), a função é apresentada na forma implícita As equações (), epressam a função na forma paramétrica Sejam = (t) = (t), com t [a b], (3) Então a cada valor de t correspondem dois valores e Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado do plano Se as funções = (t) e = (t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P ( (t) (t)) descreve uma curva no plano As equações (3) são chamadas equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro Derivada de uma função na forma paramétrica Seja uma função de, de nida pelas equações paramétricas (3) Suponhamos que as funções = (t), = (t) e sua inversa t = t () são deriváveis A função = (), através das equações (3), podem ser vista como função composta = (t ()) (4)

07 Aplicando a regra da cadeia em (4), segue que: d d = d dt dt d Como = (t) e t = t () são deriváveis, pelo teorema da derivada para funções inversas, temos que: Logo, dt d = d dt d d = d dt d dt ) t 0 () = 0 (t) ) d d = 0 (t) 0 (t) : = t 3 Eemplo 8: Derive a função representada parametricamente por = t 4 3 Solução: Temos que: 0 (t) = 6t e 0 (t) = 4t 3 Logo, a derivada da função respresentada parametricamente é d d = 0 (t) 0 (t) = 4t3 6t = 3 t t () Para apresentar a derivada d d Neste caso, como = t 3, então t = 3 q + Substituindo em d, temos que: d em termos de, deve-se escrever t como t = d 3p 4 d = 3 3p + Eemplo 9: Considere a função representada parametricamente por p (t) = cos 3 t (t) = p sin 3 : t Determine as equações das retas tangente e normal ao grá co da função no ponto onde t = 4 Solução: Determinando o coe ciente angular, pela derivação de funções dada parametricamente 0 (t) = 3 p cos t: sin t 0 (t) = 3 p sin : t cos t Então, d = 0 (t) = d 0 (t) Em t =, segue que 4 d 3p sin cos t 3 p = sin t = cos t: sin t cos t d t= 4 tan t = :

08 E ainda, 4 = p cos 3 4 4 = p sin 3 4 ) 0 4 = 0 4 = A equação da reta tangente no ponto é = ) = + : O coe ciente anguar da reta normal é m n = m tg, ou seja, m n = Assim, a equação da reta normal é = ) = : 30 Derivadas de Ordem Superior Se a derivada f 0 de uma função f for ela mesma diferenciável, então a derivada de f 0 será denotada por f 00, sendo chamada de derivada segunda de f À medida que tivermos diferenciabilidade, poderemos continuar o processo de diferenciar derivadas para obter as derivadas terceira, quarta, quinta e mesmo as derivadas mais altas de f As derivadas sucessivas de f são denotadas por f 0, f 00 = (f 0 ) 0, f 000 = (f 00 ) 0, f (4) = (f 000 ) 0, f (5) = f (4) 0, Chamadas de derivadas primeira, segunda, terceira e assim por diante Acima da derivada terceira, ca muito estranho continuar a usar linhas para indicar derivadas Assim sendo, denotamos por inteiros entre parênteses a indicação da ordem das derivadas Nesta notação, a derivada de ordem arbitrária é denotada por f (n) : n-ésima derivada de _ f Derivadas sucessivas também podem ser denotadas por 0 = f 0 () ) d = d [f ()] d d 00 = f 00 () ) d = d d d d [f ()] = d d [f ()] d 000 = f 000 () ) d3 = d d [f ()] = d3 [f ()] d 3 d d d 3 Em geral, escrevemos (n) = f (n) () ) dn d n = dn [f ()] : dn Eemplo 30: Obtenha a epressão da n-ésima derivada das funções abaio: = 5 3 3 + + 5 Solução: Temos que: 0 = 5 4 9 + 00 = 0 3 8 +

09 000 = 60 8 (4) = 0 (5) = 0 (6) = 0 Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = 0, 8n 6 = a, para a > 0 e a 6= Solução: Temos que: 0 = ln a:a 00 = ( ln a) :a 000 = ( ln a) 3 :a (4) = ( ln a) 4 :a Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( ln a) n :a, 8n N 3 = sin Solução: Temos que: 0 = cos = sin + 00 = sin = sin + 000 = cos = sin + 3 (4) = sin = sin + 4 Determinando algumas derivadas, observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = sin + n, 8n N

0 4 = ln (3 + ) Solução: Temos que: 0 = 3 3+ 00 = 3:3 (3+) 000 = 3:3::3 (3+) 3 (4) = 3:3::3:3:3 (3+) 4 Observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( )n+ 3 n (n )! (3 + ) n, 8n N 5 = +a Solução: Observe que, = ( + a) Assim, temos que: 0 = ( + a) 00 = ( + a) 3 000 = :3: ( + a) 4 (4) = :3:4: ( + a) 5 Observamos que a forma geral da n-ésima é (n) = ( ) n ( + a) (n+) n! = ( )n n! n+, 8n N ( + a) Eemplo 3: Determine a constante k para que () = k cotgh() sech() seja solução da equação : 0 + cot gh () : cos sech () = 0 Solução: Reescrevendo () = k cotgh() sech(), temos que: () = k cosh : = k = k (sinh ) sinh cosh sinh Assim, 0 () = k (sinh ) cosh = k cosh : sinh Observe que, : 0 + cotgh() : cossech () = k Logo, k cosh sinh + cotgh() : cossech () = ( k + ) cotgh() : cossech () sinh :

: 0 + cotgh() : cossech () = 0, ( k + ) cotgh() : cossech () = 0 Dessa forma, a igualdade é satisfeita se, e somente se, k + = 0 ou cotgh() : cossech () = 0 ) k = ou cosh = 0: sinh Conclusão: Se k = então () = k cotgh() sech() é solução da equação diferencial dada 3 Diferenciais e Aproimação Linear Local 3 Incrementos Seja = f () uma função Sempre é possível considerar uma variação da variável independente Se varia de 0 a, de nimos o incremento ou acréscimo de, denotado por, como = 0 Se = f () e se varia de 0 a, então há uma correspondente variação no valor de que vai de 0 = f ( 0 ) até = f ( ), ou seja, o incremento em produz um incremento em, onde = 0 = f ( ) f ( 0 ) () Q 0 P 0 Os incrementos podem ser positivos, negativos ou nulos, dependendo da posição relativa do pontos inicial e nal Por eemplo, na gura anterior, os incrementos e são positivos Observe que, as epressões = 0 e = 0, podem ser reescritas como = 0 + e = 0 + Com esta notação podemos escrever () como = f ( 0 + ) f ( 0 ) Em um ponto qualquer, omitindo-se os subscritos, temos que: Geometricamente, = f ( + ) f ()

+ Q P + A razão pode ser interpretada como a inclinação da reta secante que passa pelos pontos P ( f ()) e Q ( + f ( + ) ), e, portanto, a derivada de com relação a pode ser epressa como Gra camente, d d!0 f ( + )!0 = f ( ) f () + = f ( + ) f ( ) + 3 Diferenciais Os símbolos d e d que aparecem na derivada são chamados de diferenciais, e o nosso objetivo é de nir estes símbolos de tal forma que se possa tratar d como d uma razão Com essa nalidade, vamos considerar como o e de nir d como uma variável independente, para a qual possa ser atribuído um valor arbitrário Se f for diferenciável em, então de nimos d pela fórmula d = f 0 () d Se d 6= 0, podemos dividir esta epressão por d Assim, d d = f 0 () Como a inclinação da reta tangente a = f () em é m t = f 0 (), as diferenciais d e d podem ser vistas como o avanaço (d) e a elevação (d) correspondentes dessa reta tangente Para ver a diferença entre o incremento e o diferencial d, vamos atribuir às variáveis independentes d e o mesmo valor (d = ) Dessa forma, temos que: (i) representa a variação ao longo da curva =f (), quando são percorridas unidades na direção

3 (ii) d representa a variação ao longo da reta tangente =f (), quando são percorridas d unidades na direção = f ( ) d d = + d ( + ) Eemplo 3: Seja = Determine o incremento e o diferencial d em = 3 para d = = 4 unidades Solução: Observe que d = pode ser escrita na forma diferencial como d d = d Para = 3, temos que: d = 6d ) d = 4 unidades ao longo da reta tangente = f (3 + ) f (3) ) = f (7) f (3) = 40 unidades ao longo da curva Assim, d = 6 unidades 50 40 30 0 0 d 0 0 3 4 5 6 7 Eemplo 3: Seja = ln Determine o incremento e o diferencial d em = para d = = 3 unidades Solução: Observe que d = pode ser escrita na forma diferencial como d d = d Para =, temos que: d = d ) d = 3 = 0:75 unidades ao longo da reta tangente 4 = f ( + ) f () ) = f 7 f () = ln 7 ln = 0:559 6 unidades ao longo da curva Assim, d = 0:90 38 unidades 33 Aproimação Linear Local Uma função diferenciável em P é dita localmente linear em P, quando P é um ponto de diferenciabilidade de uma função f, pois quanto maior for a ampliação em P, mais o segmento da curva contendo P se parecerá com uma reta não-vertical, que é a reta tangente a curva em P

4 = f ( ) f ( ) 0 0 Observe que, a equação da reta tangente no ponto ( 0 f ( 0 )) é dada por f ( 0 ) = f 0 ( 0 ) ( 0 ) Como = f (), para valores de próimos de 0, tem-se que f () f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 ) Esta aproimação é chamada de aproimação linear local e é melhor a medida que! 0 De nindo = 0, podemos escrever a apromação como f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) 3 0 3 Eemplo 33: Calcule um valor aproimado de 3p 65 5 Solução: Seja a função = 3p Assim, a aproimação linear local para f f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ) 3p 0 + 3p 0 + + 3 3p (+) 0 Observe que: 65 5 = 64 + 5: Assumindo 0 = 64 e = 5, pela aproimação dada em (+), segue que 3p p 65 5 3 64 + ( 5) = 4 03 3 3 3p (64) Obsere que, o valor calculado diretamente é 3p 65 5 = 4 03 Assim, a diferença entre o valor eato e aproimado, em valor absoluto, é é Eemplo 34: Calcule uma valor aproimado para tg(45 4 0 30 00 ) : Solução: Seja = f () a função de nida por f () =tg() Assim, a aproimação linear local para f é f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ) tg( 0 + ) tg( 0 ) + sec ( 0 ) (#) Observe que: 45 4 0 30 00 = 45 + 4 0 30 00 : Assumindo 0 = 45 e = 4 0 30 00 Devemos transformar para radianos: Transformando 30 00 para minutos, tem-se que: 30 00 = Transformando 4 0 + 0 = 9 0 para graus, tem-se que: 9 0 = 9 = 3 0 40 0

5 3 E, nalmente, transformando 40 para radianos, obtém-se: 3 = 40 400 Portanto, pela aproimação dada em (#), tem-se que tg(45 4 0 30 00 ) tg(45 ) + sec (45 ) 400 ) tg(45 4 0 30 00 ) 0067 Eemplo 35: Determine uma aproimação linear local para f () = sin em torno de = 0 Use esta aproimação para encontrar sin ( ) Solução: Pela aproimação linear local, temos que: f ( 0 + ) f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) Para 0 = 0, temos que f () f (0) + f 0 (0) ) sin () sin 0 + (cos 0) ) sin () : (I) Para determinar um valor aproimado de sin ( ), é necessário transformar para radianos A seguir, basta aplicar a relação dada em (I) Transformando para radianos, obtém-se: = 80 90 Assim, pela aproimação dada em (I), tem-se que sin ( ) = 0 03 490 7 90 Note que este valor está bem próimo do valor eato, que é sin ( ) = 0 0348995: 34 Diferenciais de ordem superior Se = f () uma função e d = f 0 () d a diferencial desta função Se denomina diferencial segunda de = f () e se representa por d a epressão d = f 00 () d A diferencial terceira de = f () e se representa por d 3 a epressão d 3 = f 000 () d 3 E assim sucessivamente, a epressão da diferencial n-ésima é d n = f (n) () d n Eemplo 36: Obtenha a diferencial n-ésima da função = e Solução: Temos que: d = e ( + ) d d = e ( + ) d d 3 = e ( + 3) d 3 Observamos que a diferencial n-ésima é d n = e ( + n) d n, 8n N

6 3 Interpretação Mecânica da Derivada Velocidade Sabemos que velocidade é a variaçãoo do espaço percorrido num determinado intervalo de tempo Supondo que um corpo se move em linha reta e que s (t) respresente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t Então no intervalo de tempo entre t e t + t, o corpo sofre um deslocamento s = s (t + t) s (t) De nimos a velocidade média como v m = s s (t + t) s (t) ) v m = t t A velocidade média não nos diz nada a respeito da velocidade do corpo num determinado instante t Para determinar a velocidade instantânea, isto é, a velocidade num instante t devemos fazer t cada vez menor (t! 0) Assim, a velocidade neste instante é o limite das velocidade médias v = v (t) v s (t + t) m t!0 t!0 t s (t) ) v = s 0 (t) Aceleração Lembre que a aceleração é a variação da velocidade num certo intervalo de tempo gasto Por racicínio análogo ao anterior, segue que a aceleração média no intervalo de t até t + t é a m = v v (t + t) v (t) ) a m = t t Para obter a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo t cada vez menores A aceleração instantânea é a = a (t) a v (t + t) m t!0 t!0 t v (t) ) a = v 0 (t) = s 00 (t) Eemplo 37: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento retilíneo e sua posição num instante t é dada por s (t) = t Determinar: t+ (a) a posição no instante t = (b) a velocidade média do corpo para t [ 4] (c) a velocidade do corpo no instante t = (d) a aceleração média do corpo para t [0 4] (e) a aceleração no instante t = Obs: Considere o tempo medido em segundos e a distância em metros

7 Solução: (a) A posição do corpo no instante t = é s () = 3 m (b) Para t [ 4], temos que t = Assim, a velocidade média do corpo é v m = s(t+t) s(t) s(4) s() = = m=s: t 5 (c) A velocidade instantânea é v (t) = s 0 (t) = (t+) Então, em t =, obtém-se v () = s 0 () = 9 m=s (d) Para t [0 4], temos que t = 4 A aceleração média do corpo é a m = v(4) v(0) = 6 m=s 4 5 (e) A aceleração instantânea é a (t) = v 0 (t) = (t+) 3 Logo, em t =, temos que a () = 7 m=s 33 Taa de Variação Sabemos que a velocidade é a razão da variação do deslocamento por unidade de variação de tempo Então, dizemos que s 0 (t) é a taa de variação da função s (t) por unidade de variação de t Analogamente, dizemos que a aceleração a (t) = v 0 (t) representa a taa de variação da velocidade v (t) por unidade de tempo Toda derivada pode ser interpretada como uma taa de variação Dada uma função = f (), quando a variável independente varia de a +, a correspondente variação de será = f ( + ) f () Assim, a taa de variação média de com relação a é dada por f ( + ) = f () A taa de variação instantânea é de nida como d d!0 ) f 0 f ( + ) ()!0 f () Eemplo 37: Seja V o volume de um cubo de cm de aresta (a) Calcule a razão da variação média do volume quando varia de 3 cm à 3 cm (b) Calcule a razão da variação instantânea do volume por variação em centímetros no comprimento de aresta, quando = 3 cm Solução: (a) Sabemos que o volume de um cubo é V = 3 Quando varia de 3 cm à 3 cm, temos que = 0 cm Então, a razão da variação média do volume V = V (+) V () ) V V (3) V (3) = = 7 9 cm 3 0 (b) A variação instantânea do volume é dada por V 0 () = 3 Em = 3, temos que: V (3) = 7 cm 3

8 34 Taas Relacionadas Nos problemas de taas relacionadas busca-se encontrar a taa segundo a qual certa quantidade está variando em relação a outras quantidades, cujas taas de variação são conhecidas Eemplo 38: O lado de um quadrado ` (em m) está se epandindo segundo a equação ` = +t, onde a variável t representa o tempo Determine a taa de variação da área deste quadrado em t = s Solução: Sejam: t : tempo (em s) ` : lado do quadrado (em m) A : área do quadrado (em m ): Sabemos que, a área de um quadrado é da = da d` ) da dt d` dt dt ) da A (`) = ` Como ` é uma função do tempo, pela regra da cadeia, temos que = ` d` = ( + dt t ) d` dt = (4 + t ) t = 4t 3 + 8t dt Para t = s, temos que: A 0 () = t= ) A 0 () = 48 m =s da dt Eemplo 39: Suponhamos que um óleo derramado através da ruptura do tanque se espalha em uma forma circular cujo raio cresce em uma taa constante de m=s Com que velocidade a área do derramamento de óleo está crescendo quando o raio dele for 0m? Solução: Sejam: t : tempo (em s) r : raio (em m) A : área da circunferência (em m ): O óleo está se espalhando em forma circular, a área do derramamento é A (r) = r Como r é está variando com o tempo, pela regra da cadeia, temos que da = da dr ) da = r dr () dt dr dt dt dt Sabemos que o raio cresce em uma taa constante de m=s Substituindo em (), temos que: da dt = r : Para o raio r = 0m, temos que: A 0 (0) = r=0 ) A 0 (0) = 0 m =s da dr m=s, ou seja, dr dt = Eemplo 40: Uma escada de 50 cm de comprimento está apoiada num muro vertical Se a etremidade inferior da escada se afasta do muro na razão de 90

9 cm=s, então com que rapidez está descendo a etremidade superior no instante em que o pé da escada está a 40 cm do muro? (I), temos que: d dt Solução: Sejam: : distância do pé da escada ao muro (em m) : distância do topo da escada ao chão (em m) t : tempo (em s): Nosso objetivo é determinar d, para = 4 m dt Fazendo um esboço, pelo teorema de Pitágoras, temos que: + = (5 ) (I) Como e variam no tempo, derivando implicitamente com relação ao tempo d + = 0 ) d = d (II) dt dt dt Por (I), se = 4 m, então = 4 5 m: Substituindo em (II) e ainda, lembrando que d dt d dt = 0 48 m=s = 90 cm=s, obtém-se Eemplo 4: Acumula-se areia em monte com a forma de um cone cuja altura é igual ao raio da base Se o volume da areia cresce a uma taa de 0 m 3 =h, a que razão aumenta à área da base quando a altura do monte é de 4 m Solução: Sejam: h : altura do monte de areia (em m) r : raio da base (em m) A : área da base (em m ): V : volume de areia (em m 3 ) A área da base corresponde a área de um circulo, isto é, A = r Pela regra da cadeia, a razão que aumenta à área da base é da = da dr ) da = r dr (I) dt dr dt dt dt Precisamos encontrar uma relação para dr dt Como o monte de areia tem a forma de um cone, seu volume é V = 3 r h (II) Lembre que, o raio e a altura são iguais Assim, substituindo r = h em (II), temos que V = 3 r3 (III) Aplicando a regra da cadeia em (III), temos que dv = dv dr ) dv = r dr ) dr = dv dt dr dt dt dt dt r dt Como dv = 0 m 3 =h, temos que dr = 0 : dt dt r Substituindo em (I), temos que: da = r 0 = 0 dt r r Se h = r = 4, então da dt = 5 m =h