Alex Amaral (Rodrigo Molinari) Semana 8 Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.
CRONOGRAMA 06/04 Logaritmos 13:30 07/04 Função logarítmica 16:30 13/04 Exercícios de revisão: funções exponencial e logarítmica 13:30 20/04 Progressão aritmética: definição e termo geral 13:30
27/04 Progressão aritmética: soma 13:30 28/04 Progressão geométrica: definição e termo geral 16:30
Logaritmos 06 abr 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto
RESUMO Definimos como logaritmo de um número positivo a na base b o valor do expoente da potência de base b que tem como resultado o número a. Ou seja: logb a = X b x = a 2. Sistema neperiano (base e): O número e, chamado de número de euler, pertence ao conjunto dos números irracionais e vale, aproximadamente, 2,7. e = 2,71828... Chamamos a de logaritmando, sendo a > 0, e b de base, sendo b > 0 e b 1 Ex: log2 8 = 3, pois 23 = 8. O logaritmo neperiano, também chamado de logaritmo natural, é o logaritmo de base e e é apresentado pela letra n: ln x log e x Propriedades a) log b 1 = 0. log b 1 = x bx = 1 x = 0 b) log b b = 1. log b b = x bx = b1 x = 1 c) log b b α = α. log b b α = x b α = bx x = α Ex: log3 81 = log3 34 = 4 d) b log ba = a Fazendo b log ba = bx, temos que log b a = x e, da definição desse logaritmo, temos que bx = a. Portanto: b log ba = x = a Ex: 4 log 9 = (2²) log 9 = (2 log 9 )² = 9² = 81 2 2 2 e) log b (p.q) = log b p + log b q f) log b (p/q) = log b p log b q g) log b a α = α.log b a h) log b β a = 1/β. log b a Equações logarítmicas São aquelas em que a variável se encontra no logaritmando ou na base de um logaritmo. Lembrando que o logaritmando é sempre maior que 0 e a base sempre maior que 0 e diferente de 1. Ex: log x 4 + log 4 x = 2 Percebe-se que há uma restrição de que x tem que ser positivo ( x>0 ) e diferente de 1. Fazendo log 4 x = a, temos: a + 1/a = 2 a² + 1 = 2a a² - 2ª + 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos que a = 1. Assim, log4 x = 1, então 4¹ = x. x = 4 e satisfaz a restrição de ser maior que 0 e diferente de 1. 97 Ex: log 27 81 = log 33 34 = 4/3. log33 = 4/3 i)mudança de base: log b a = log c a log b c j) log b a = 1 log a b Sistemas de logaritmos: 1. Sistema decimal (base 10): Nos exercícios, é mais usual usarmos logaritmos na base 10. Dessa maneira, podemos omiti-la. Ex: log 100 = log 10 100 = 2, pois 10² = 100.
EXERCÍCIOS DE AULA 1. Sabendo-se que log x 5+log y 4=1 e log x y=2, o valor de x+y é: a) 120 b) 119 c) 100 d) 110 e) 115 2. Ao digitar corretamente a expressão log 10 ( 2) em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real. Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão log 0,1 (log 10 (log 0,1 (x))) seja um número real. 3. 4. Sejam α e β constantes reais, com α> 0 e β> 0, tais que log 10 α= 0,5 e log 10 β = 0,7. a) Calcule log 10 αβ, onde αβ indica o produto de α e β. b) Determine o valor de x E R que satisfaz a equação O número real x que satisfaz a equação log2(12-2x) = 2x é: a)log25 b) log2 c)2 d)log 2 e) log23 3 1 x 4 5 log ( + 1) = log ( x 1) 4 98 5. Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação: log ( x + 1) = log ( x 1) 1 4 4 Então: a) S é um conjunto unitário e S E ]2, + [. b) S é um conjunto unitário e S E ]1, 2[. c) S possui dois elementos distintos S E ]-2, 2[. d) S possui dois elementos distintos S E ]1, + [. e) S é o conjunto vazio
EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Um número N é obtido triplicando-se a base e o expoente de 2y, em que y E R. Se N é igual ao produto de 2y por xy, qual é o valor de log x? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a)2,04 b)2,08 c)2,12 d)2,26 e)2,28 2. Sendo x e y números reais e y 0, expresso o logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log2 3. 3. Sabe-se que 16x = 9 e log32 = y. Nessas condições, é verdade que a) x = 2y b) y = 2x c) x. y = 1/2 d) x. y = 2 e) x + y = 4 99 4. x 1 x x O conjunto solução da equação (log24)2 + log2 2 (log100)4 0 é: 2 = a){0,1/2} b){0,-1} c){-1,1/2} d){-1} e){0} 5. O conjunto-verdade da equação logx + log( x + 1) log 6 = 0 é: a){3} b){2,-3} c){-2,3} d){2,3} e){2}
6. Em notação científica, um número é escrito na forma p.10q, sendo p um número real tal que 1 p 10 e sendo q um inteiro. Considerando-se log 2 = 0,3, o numéro 2 255, quando escrito na notação científica, terá p igual a: a) 2 b) 3 c) 5 d) 10 7. Calcule o menor valor inteiro de n tal que 2 n > 5 20, sabendo que 0,3 < log 2 < 0,302 10 8. A raiz da equação log log (3x 3) = 2 pertence ao intervalo: a)[1,2] b)[2,4] c)[4,6] d)[6,8] e)[8,10] 2 2 100 QUESTÃO CONTEXTO O uso da tecnologia biométrica vem se consolidando mundialmente nos últimos dois anos. De acordo com estudo realizado pela consultoria norte-americana Tractica, esse mercado de reconhecimento de impressões digitais, íris e voz está sendo incorporado em vários países e em diferentes segmentos que vão desde sistemas de acesso da população pouco escolarizada a benefícios governamentais até o acesso restrito a áreas estratégicas dentro de uma empresa ou governo. A expectativa é de que esse mercado cresça cerca de 25% ao ano até 2024. http://www.investimentosenoticias.com.br/noticias/tecnologia/uso-da- -biometria-deve-crescer-mais-de-25-ao-ano-ate-2024 Considerando fixa a taxa de crescimento anual da tecnologia biométrica apresentada no texto, em quantos meses o seu uso dobrará no mercado internacional? Considere log 2 = 0,3.
GABARITO 01. Exercícios para aula 1. d 2. 0 < x < 0,1. 3. a)1,2 b)12 4. e 5. b 03. Questão contexto 36 meses. 02. Exercícios para casa 1. a 2. x log2 3 y 3. c 4. d 5. e 6. d 7. 47 8. d 101