1 Fonte: http://www.solbrilhando.com.br/lazer_e_diversao/cartoons_e_tiras.htm Módulo V Estamos no Módulo V e você com certeza é um vencedor... Neste Módulo apresentaremos os Sistemas Lineares e a famosa Regra de Cramer para resolver os Sistemas Lineares. Mas Quem é esse Cramer?????
2 Ele é GABRIEL CRAMER Professor de matemática suíço nascido em Genebra, que publicou a famosa regra de Cramer para solução de equações (1750), no Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques. Um dos três filhos de Jean Isaac Cramer, médico em Genebra, e de Anne Mallet, foi educado em Genebra e tinha somente 18 anos quando conseguiu seu doutorado (1722) com uma tese sobre a teoria do som. Dois anos depois passou a ocupar a cadeira de filosofia da Académie de Clavin, em Genebra. Como além do brilhante jovem, ainda disputavam a vaga os talentosos Amédée de la Rive e Giovanni Ludovico Calandrini, o conselho da universidade resolveu dividir a cadeira em duas, ficando a de filosofia pura com De la Rive e a de matemática para Calandrini e o jovem suíço. Ambos ainda dividiram o assunto de matemática de modo que ele com geometria e mecânica e Calandrini com álgebra e astronomia (1724). Depois de dois anos ensinando, foi indicado para um viagem de aprendizagem pela Europa (1727-1729), onde conheceu os maiores matemáticos de então, estudando com Johann e Daniel Bernoulli, Euler, Halley, de Moivre, Stirling, 'sgravesande, Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut, entre outros. De volta a Genebra (1729), voltou a ensinar e a publicar trabalhos científicos em várias entidades como nas Academias de Paris (1734) e de Berlim (1748/1750/1752) como também na Royal Society de Londres. Manteve permanente e extensa correspondência com os principais matemáticos de sua época, foi eleito Fellow da Royal Society (1749) e morreu três anos depois, em Bagnols-sur-Cèze, França. Fonte: http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/
3 Sistemas de Equações Lineares Sistema de equações lineares é qualquer conjunto de equações lineares. Exemplo: Os valores x = 1 e y = 2 representam a solução do sistema. Substituindo-se x = 1e y = 2 em cada equação, a igualdade é verificada. Veja: Dizemos que o par (1, 2) é solução do sistema de equação. Classificação Um sistema de equações lineares pode ser: Possível e determinado: solução única. Possível e indeterminado: infinitas soluções. Impossível: não tem solução.
4 Regra de Cramer A resolução de um sistema de equações lineares através da regra de Cramer é baseada em determinantes. Exemplo: Determinante principal: O determinante formado pelos coeficientes das incógnitas: 1 1 2 = 1 1 1 = 9 2 1 1 Determinantes das incógnitas: Substitui-se a coluna dos valores conhecidos, nas colunas das incógnitas x, y e z respectivamente:
5 Resposta: Divide-se cada determinante das incógnitas pelo determinante principal, obtendo-se x, y e z : x 18 x = = = 2 x 9 y 0 y = = = 0 9 y 18 z = = = 2 9 (2;0;2) 1) Resolva os seguintes sistemas utilizando a regra de Cramer: Soluções: 1) determinante principal: Repete-se após a 3ª linha, a 1ª e a 2ª linhas:
6 = 1+ 3 + 1 1+ 1+ 3 = 8 determinante das incógnitas:repete-se, após a 3ª linha, a 1ª e a 2ª linhas: x = 6 + 2 + 6 + 2 = 16 y = 2 + 6 + 2 + 18 = 24 z = 18 + 2 + 6 + 2 = 8
7 Resposta: x x = y y = z z = 16 x = 8 y = 24 8 z = 8 8 x = 2 y = 3 z = 1 ( 2, 3, 1) = 12 4 + 1+ 3 2 + 8 = 6 x = + 6 + 5 + 1+ 3+ 1 10 = + 6
8 y = 0 z = 6 4 5 + 3 + 10 4 = 6 x x = y y = z z = 6 0 6 x = y = z = 6 6 6 x = 1 y = 0 z = 1 ( 1, 0, 1) Resposta
9 = 3 4 + 4 + 2 24 + 1 = 24 x = 3 4 + 4 + 2 24 + 1 = 24 y = 3 2 + 12 + 2 12 + 3 = 0 z = 6 + 12 + 2 6 12 2 = 0 x x = y y = z z = 24 0 0 x = y = z = 24 24 24 x = 1 y = 0 z = 0
10 (1, 0, 0 ) Resposta = 4 + 6 + 2 1+ 3 16 = 10 x = 15 + 10 5 40 = 20 y = 20 10 + 5 5 = 10
11 z = 5 + 10 + 15 20 = 0 x x = y y = z z = 20 10 0 x = y = z = 10 10 10 x = 2 y = 1 z = 0 ( 2, 1, 0 ) Resposta 2) Discuta o sistema linear Solução: m 1 = = m 1 1 1 0 m 1 0 m 1 m 1 = 0
12 m 1 = 0 m = 1 m = 1 x = 2 1 = 2 1 = 3 1 1 y = m 2 1 1 1 2 y = = 1 2 = 3 1 1 O sistema será: - possível e determinado para m 1 - impossível para m = 1 3) O sistema linear determinar essa solução: admite uma única solução. Usando a regra de Cramer, Solução: 4 5 = = 12 10 = 2 ( 0) 2 3 14 5 x = = 42 30 = 12 6 3
13 4 14 y = = 24 28 = 4 2 6 Então: x x = y y = x = 6 y = 2 Então, ( 6, 2 ) é a única solução do sistema dado. 4) Discutir e resolver o sistema linear. Solução: 2 1 = = 4 3 = 7 ( 0), o sistema é possível e determinado. 3 2 13 1 x = = 26 9 = 35 9 2 x x = 35 x = 7 x = 5 2 13 y = = 18 39 = 21 3 9
14 y y = 21 y = 7 y = 3 Então, a única solução do sistema é (5, 3 ). 5) Discutir o sistema linear Solução: 1 K = = 2 K 1 2 Se 0 2 K 0 K 2 K 2, o sistema é possível e determinado. Se = 0 2 K = 0 K = 2 K = 2, devemos calcular x e y. 1 2 x = = 2 6 = 4 3 2
15 1 1 y = = 3 1 = 2 1 3 Como, x e 0, o sistema é impossível. Portanto: - para K 2, o sistema é possível e determinado; - para K = 2, o sistema é impossível. 6) Determinar os valores de a para que o sistema linear seja possível e determinado: Solução: Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter: 0 a 3 3 0 a a a 2 2 9 0 9 a 3 e a 3 Logo, o sistema será possível e determinado sempre que a 3 e a 3. 7) Para que valores dos coeficientes a e b o sistema Possível e indeterminado?
16 Solução: = 0 a 2 1 1 = a 2 = 0 a = 2 No entanto, apenas sabendo que = 0 não garante que o sistema seja possível e indeterminado; ele poderá ser, mas também poderá ser impossível (que não é o caso desejado). Então, devemos ter: x = 0 e y = 0 x = 0 2 2 b 1 = 0 2b 2 = 0 b = 1 y = para a = 2 e b = 1 2 2 y = = 2 2 = 0 1 1 Logo, o sistema é possível e indeterminado para a = 2 e b = 1.
17 8) O sistema é possível e determinado. Calcular a solução desse sistema: Solução: Fazendo 1 m x = e 1 n y =, o sistema toma a forma: 1 1 = = 3 2 = 5 2 3 3 1 m = = 9 1 = 10 1 3 1 3 n = = 1 6 = 5 2 1 m m = 10 m = 5 m = 2 n n = 5 n = 5 n = 1
18 Logo, 1,1 2 é a solução do sistema dado. Consideremos dois casos: 1 0 caso: o número de equações é maior que o número de incógnitas ( n m ). Exemplo: 1) Resolver o sistema Solução: Consideremos um sistema formado por duas equações, de modo que 0. 1 1 = = 1 2 = 3 0 2 1
19 Esse sistema é possível e determinado, e sua única solução é: x x = y y = 12 3 x = y = 3 3 x = 4 y = 1 - Vejamos se ela é, também, solução da 3 a equação: x 2y = 6 ( x = 4 e y = 1) 4 2( 1) = 4 + 2 = 6 { } Logo, o sistema inicial é possível e determinado, com solução = ( 4; 1). Exemplo: 2) Resolver o sistema Solução: = 1 1 2 1 = 2 1 = 3 0 Esse sistema é possível e determinado, e sua única solução é: 3 1 x = = 3 9 = 12 9 1
20 x x = 12 x = 3 x = 4 y = 1 3 2 9 y = 9 6 y = 3 y y = 3 y = 3 y = 1 Testando (4, 1) na 3 a equação: x = 4 e y = 1 x 2y = 1 4 2 ( 1) = 1 4 + 2 = 1 6 1 Então, o par (4, 1) não é solução da 3 a equação: Logo, o sistema inicial dado é impossível, pois não há um par que seja solução simultaneamente das três equações, ou seja, Solução = 0
21 Exemplo: 3) Resolver o sistema Solução: 2 4 = = + 12 12 = 0 3 6 = 0 6 4 x = 36 36 0 9 6 = + = 2 6 y = = + 18 18 = 0 3 9 = 0 x = 0 y = 0 Então, o sistema dado é possível e indeterminado, e sua solução geral é obtida através de uma das equações: x 2K = 3
22 Logo, Solução = ( 3+ 2 K, K ) { } K R Exemplo: 4) Resolver o sistema Solução: 1 1 = = 2 2 = 0 2 2 3 1 x = = 6 6 = 0 6 2 1 3 y = = 6 6 = 0 2 6 = 0 x = 0 y = 0 Se verificarmos no sistema
23 1 1 = = 3 3 = 0 3 3 3 1 x = = 9 8 = 1 0 8 3 1 3 y = = 8 9 = 1 0 3 8 Logo, esse sistema é impossível. Se não existe solução para esse sistema, o mesmo se pode dizer para o sistema inicial dado: Solução = 0 2 0 caso: o número de equações é menor que o número de incógnitas ( n m ). Um sistema desse tipo ( n m ) nunca será possível e determinado, pois, para se obter um sistema n n a partir dele, uma das incógnitas terá valor indeterminado. Exemplo: Resolver o sistema Solução: - Fazendo z = K, obtemos o sistema 2 2, com 0.
24 1 1 = = 3 2 = 5 2 3 1+ 3K 1 x = = 3 9K 2 + 4K = 5K 5 2 4K 3 1 1+ 3K y = = 10K 2 2 4K x x = y y = 5K 5 10K x = y = 5 5 x = K + 1 y = 2K { } A solução geral é: ( K +1;2 K; K ) Existem casos em que as equações são equivalentes, como por exemplo: Se dividimos a 1 a equação por 2, termos teremos:
25 x 3y + 2z = 3 Se dividimos a 2 a x 3y + 2z = 3 equação por 3, teremos: Logo, o sistema é possível e indeterminado, e a sua solução geral será: y = e z = β 2x 6 + 4β = 6 2x = 6 + 6 4β x = 3 + 3α 2β { } Logo, ( 3 3 2 β,, β ) +. Existem casos em que o sistema é impossível: Se dividirmos a 1 a equação por 2, teremos: x 3y + 2z = 3 Se dividirmos a 2 a x 3y + 2z = 5 equação por 3, teremos: Comparando as duas igualdades, verificamos que o sistema é impossível. S = 0
26 Exemplo: Resolver o sistema x y z = 0 2x + y + 4z = 0 Esse sistema não é impossível (é homogêneo) e não é determinado (2 equações e 3 variáveis). Logo, um sistema desse tipo se afirma que é possível e indeterminado. 1 1 = = 1 + 2 = 3 0 2 1 K 1 x = = K 4K = 3K 4K 1 1 K y = = 4K 2K = 6K 2 4K x x = y y = x = 3K 3 y = 6K 3 x = K y = 2K
27 Solução geral: S = ( K, 2 K, K) Fonte: http://postcards.ig.com.br/index.php?step=sendcard&ec_id=197 Exercícios sobre matrizes 1) Calcule 2A + 3B para: a) 1 3 A = 5 4 e 1 0 B = 2 3 b) 1 4 A = 3 7 2 1 e 1 1 B = 3 2 4 3
28 c) 1 2 A = 3 5 1 3 e 10 1 7 B = 1 0 3 2) Calcule os seguintes produtos: 1 3 a) [ 0 2 1 5] 0 2 2 9 1 1 3 1 0 b) ( ) Exercícios sobre determinantes 1) Calcule os determinantes abaixo: a) 2 5 1 7 a b b) 1 5 c) 1 2 3 9 7 4 2 3 1
29 d) 1 2 0 7 3 0 4 4 1 2) Para quais valores de a e b o determinante 3) Utilize a fórmula a 2a 2 1 a 3 b pode ser zero? a a a a a a a a a a a a = a a + a para calcular os 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 31 32 33 a a a determinantes abaixo: a) 2 5 7 3 1 2 4 7 5 b) 1 0 3 3 2 1 1 4 7 a b c c) 2 1 3 3 1 4 i j k d) 2 1 1 1 0 3
30 1) Solução: a) 1 3 1 0 2 + 3 5 4 2 3 2 2 2 2 = 2 6 3 0 = + 10 8 6 9 1 6 = 16 17 2 2 2 2 2 2 = b) 1 4 1 1 2 3 7 + 3 3 2 2 1 4 3 3 2 3 2 = 2 8 3 3 = 6 14 + 9 6 4 2 12 9 3 2 3 2 =
31 5 5 = 15 20 16 11 3 2 c) 1 2 10 1 7 2 3 5 + 3 = 1 0 3 1 3 2 4 30 3 21 = 6 10 + 3 0 9 = 2 3 2 6 3 2 Não é possível realizar a operação, pois matrizes não são do mesmo tipo. A B 3 2 2 3 2)Solução: 0 2 1 5 = 0 6 3 15 + 2 4 ( 0 9 1 4 27 0) ( 8 31) = + + + = 1 2 1 2
32 Solução exercícios sobre determinantes 1) a) 2 5 14 5 9 1 7 = = det( A ) = 9 a b b) = 5a b 1 5 det( B) = 5a b 7 + 81+ 16 42 12 18 = 32 det( C ) = 32 3 14 = 11 det( D ) = 11
33 2) a 2a 2 1 a 3 b = 0 2 a b a a 2 a b 1 2 = 0 3 2 2a = 0 3 a 0 = 3 3a 2 3 2 2 ( ) 2 a b = 3 2 0 2 a = 0 a = 0 3b 2 = 0 3b = 2 b = 2 3 a = 0 ou 2 b = 3 3)Soluções: a) 2 5 7 3 1 2 4 7 5 1 2 3 2 3 1 2 5 + 7 = 7 5 4 5 4 7
34 2( 5 14) 5 ( 15 8) + 7( 21+ 4) = 38 35 + 175 = 102 b) 1 0 3 3 2 1 1 4 7 2 1 3 1 1 0 4 7 + 3 3 2 = 1 7 1 4 = 14 4 + 3 ( 12 + 2) = 10 + 42 = 52 a b c c) 2 1 3 3 1 4 1 3 2 3 2 1 a b + c = 1 4 3 4 3 1 ( 4 3) ( 8 9) ( 2 3) = a b + c = a + b c i j k d) 2 1 1 1 0 3 1 1 2 1 2 1 i j + k = 0 3 1 3 1 0 ( 3 0) ( 6 1) ( 0 1) i j + + k + =
35 = 3i 7 j + k 4) O produto M N na matriz a) não se define 1 M = 1 1 b ) é uma matriz de determinante nulo c) é a matriz identidade de ordem 3 d) é uma matriz de uma linha e uma coluna e) não é matriz quadrada pela matriz N = ( 1 1 1) : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5) (UESP) Se o determinante da matriz p p p 2 2 4 4 4 1 é igual a 18, então o determinante da matriz p p p 1 2 2 4 2 1 é igual a: a) -9 b) -6 c) 3 d) 6 e ) 9
36 Solução: Foi dividida por (-2) a 2 a coluna da 1 a matriz, então 18 = 9. 2 Fonte: www.nilsonamadeu.com