. Frmaçã de Images Dams me de frmaçã de imagem à capacidade de algus sistemas de fcalizar (ccetrar), em uma dada regiã d espaç a luz prveietes de uma fte putual. Esta regiã de a luz cverge é chamada de imagem da fte putual. Pdems pesar que um bjet extes é frmads pr ifiitas ftes putuais de luz deslcadas espacialmete uma das utras, desta frma se um sistema é capaz de frmar a imagem de uma fte putual de luz, ele será capaz de frmar a imagem de um bjet extes. Para eteder feôme da frmaçã de imagem ã precisams empregar frmalisms cmplicads. A frmaçã de imagem pde ser perfeitamete descrita utilizad-se um tratamet simples para a luz, chamad de Óptica Gemétrica. N mdel da óptica gemétrica, a luz é descrita pr rais que represetam a direçã de prpagaçã da luz. a óptica gemétrica pde ser pesada cm limite da óptica dulatória quad cmprimet da da da luz vai a zer, e pde ser empregad quad as dimesões ds bjets que iteragem cm a luz sã muit maires que cmprimet de da da luz... Pricípis básics da óptica gemétrica N mdel de óptica gemétrica, a luz se prpaga um mei hmgêe em trajetórias retilíeas, cm velcidade c3 0 8 m/s vácu e cm velcidades meres fra dele. A trajetória da luz pde ser represetada pr rais. Pdems represetar uma fte putual cm um pt d qual emergem rais istrpicamete em tdas as direções (Figura.). Um bjet extes pde ser represetad cm um cjut de ftes putuais. Figura. Fte Putual Defie-se ídice de refraçã de um mei material cm c/v [.] este úmer pur, mede quatas vezes a velcidade um mei é mer que vácu. Quad a luz ectra uma iterface etre dis meis crrem s feômes de reflexã e refraçã. Ist é parte da luz ã csegue cruzar a iterface retrad a mei de rigem (dad rigem a rai refletid - Figura.) e parte da luz cruza a iterface (dad rigem a rai refratad - Figura.3). Para ir de um pt a utr, a luz (rai) segue pricípi de Fermat (míima açã mer temp), cm csequêcia dist, s âguls frmads etre rai icidete e a rmal, e rai refletid e a rmal sã iguais. Pr utr lad, âgul frmad etre feixe icidete e a rmal e rai refratad e a rmal seguem a lei de Sell:
se se [.] i i r r Figura. Reflexã especular A luz tede a adar percurs mair mei de é velz para percrrer trajet mer temp: Figura.3 Refraçã segud Pricípi de Fermat.. Frmaçã de images Quad exergams um bjet (Figura.4) é prque s rais emitids pr ele, cletads pel ss cristali frmam a imagem a ssa retia. Figura.4 Observaçã visual de uma fte putual Se a ivés de bservar s rais emitids diretamete pel bjet, cletarms s rais (prveietes d bjet, mas refletids espelh, segud a lei de reflexã), terems a
sesaçã de que eles vêm de uma psiçã que está atrás d espelh (Figura.5). Este feôme é chamad de frmaçã de imagem, e é uma prpriedade úica ds espelhs plas (para qualquer psiçã d bjet). A imagem frmada pr espelhs plas está sempre iterir d espelh (imagem virtual), situad à mesma distâcia de sua superfície que bjet. Figura.5 Frmaçã de imagem pr um espelh pla N cas ds rais refratads, a frmaçã de imagem ã é perfeita pis a psiçã da imagem depederá ds rais cletads u d pt de bservaçã. Neste cas a imagem é chamada de pseud-imagem (Figura.6). I I O Figura.6 Frmaçã de pseud-imagem a refraçã Pde haver frmaçã perfeita de imagem, para algumas gemetrias particulares de superfícies de espelh e para bjets situads em determiadas psições. Cm pr exempl, uma parábla frma perfeitamete a imagem de um bjet situad ifiit em
seu fc u vice-versa (Figura.7). Já uma elipse frma a imagem de uma fte putual que está em um de seus fcs exatamete utr fc da elipse (Figura.7). Figura.7 Frmaçã de imagem perfeita pr um refletr parabólic e utr eliptic Etretat, elas gemetrias ã ferecem muita liberdade e servem apeas para aplicações restritas de frmaçã de imagem..3. Superfícies esféricas e óptica paraxial.3.. Espelhs Esférics Vejams que actece se a ivés de um espelh pla, tiverms um espelh esféric, cfrme ilustrad a Figura.8. Figura.8 Frmaçã de imagem real pr um espelh esféric Cm cada rai prveiete da fte putual (situada eix) é refletid espelh esféric, frmad cm a rmal à superfície mesm âgul (da mesma frma que crre a reflexã um espelh pla), a traçarms diverss rais prveiete da mesma fte putual, verems que s rais refletids ã frmam uma imagem perfeita. Etretat, se traçarms apeas s rais próxims a eix, terems frmaçã de imagem perfeita. Cm está é uma situaçã desejável, chamarems está situaçã de aprximaçã paraxial (Figura.9).
Figura.9 Aprximaçã Paraxial Na aprximaçã paraxial csiderams que: ) A reflexã u refraçã a iterface esférica actece ã pt real de ctat cm a superfície mas pla tagete a vértice da superfície esféric (perpedicular a eix óptic eix de simetria da superfície esférica). ) A rmal à superfície este pt é defiida pela liha frmada etre pt de ctad etre esta superfície e rai icidete e cetr de curvatura da superfície. 3) Os âguls frmads etre s rais prveietes d bjet e eix óptic sã muit peques e pdems utilizar a aprximaçã : tg se rads assim, tgγ h / i γ tgβ h / β tgδ h / R δ Pela Figura.9. é pssível verms que: + δ γ + β δ β δ δ γ prtat, substituid-se β, γ e δ dads pr [.3]: β + γ δ [.3] [.4] [.5] u h h h + [.6] i R i R f + [.7] que é checida cm equaçã d espelh esféric. Defiirems e i cm psitivs a cfiguraçã utilizada (bjet e imagem reais). Defiirems cm e i egativs (u
virtuais) quad ã huver cvergêcia física etre s rais. Adtarems também cm cveçã R>0 para espelhs côcavs em relaçã a rai icidete R<0 para espelhs cvexs em relaçã a rai icidete.3.. Diptrs Esférics O mesm racicíi pde ser utilizad para a refraçã uma iterface esférica (Figura.0): Figura.0 Frmaçã de Imagem paraxial pr um diptr esféric Neste cas, aprximams a lei de Sell cm: se se [.8] E utilizams a mesma gemetria aterir: δ δ β β α α R h tg i h tg h tg / / / [.9] ( ) / / / δ β δ α δ β δ α + + + + [.0] prtat: δ β δ α + + + + [.]
β ( )δ α + [.] ( ) + [.3] i R Da mesma frma que para letes defiirems e i psitivs quad huver cvergêcia física ds rais e egativs quad huver cvergêcia virtual. Etretat, para s rais, adtarems aqui cveçã psta a de espelhs: R<0 para superfícies côcavas em relaçã a rai icidete R>0 para superfícies cvexas em relaçã a rai icidete Prtat pdems ccluir que a refraçã uma úica superfície esférica também tem a prpriedade de frmar imagem..3.3. Letes Fias Para terms uma lete cmpleta, precisams de duas iterfaces. Pdems etretat utilizar resultad btid acima para uma úica superfície esférica vezes, desde que csiderems que a imagem feita pela primeira superfície é bjet para a seguda (Figura.): Figura. Traçad de Rai através de uma lete (frmada pr dióptrs esférics) + c i R Ptêcia d primeir diptr [.4] + c Ptêcia d segud diptr [.5] i R fazed: i + e [.6] supd que a lete é muit fia (e0),
smad-se as duas equações + [.7] i R + [.8] i i R + ( ) [.9] i R R ( ) + [.0] i f R R que é a checida equaçã da lete fia a aprximaçã paraxial Cm pde ser bservad, quad,i f 0 i 0 f i Da mesma frma utilizad a cveçã de siais para s rais das superfícies tems (Figura.): Figura. Cveçã de siais para letes.3.4. Determiaçã Gráfica da Imagem A ivés de utilizar as Equações btidas acima (lete fia u espelh), pdems também ectrar a psiçã e aumet da imagem, frmada pr um sistema óptic paraxial (espelh esféric, diptr u lete fia) fazed traçad gráfic da imagem. Cm para se determiar um pt bastam duas retas (rais), basta traçarms através d sistema óptica a saída de dis rais quaisquer que divergem da pta da cabeça de um bjet. Ode s rais refletids u refratads paraxialmete se ectrarem será a imagem. Para fazer este traçad, etretat, é cveiete utilizarms certs rais particulares cuja trajetória é checida:
) Um rai que passa pel cetr de curvatura da superfície (u cas da lete fia pel cetr da lete) ã sfre desvi ) Um rai que etra sistema óptic paralel a eix-óptic, sai cvergid para fc-imagem 3) Um rai que passa pel fc bjet d sistema óptic sai paralel a eix óptic. Um exempl de traçad pde ser vist a Figura.3. Figura.3 Exempl de determiaçã gráfica da Imagem paraxial Defiims também cm aumet trasversal da imagem m: y i m y se m > 0 bjet é direit, se m< 0 bjet é ivertid [.] Sbre a frmaçã de images pr superfícies esféricas é imprtate tar que: ) A frmaçã de imagem através de superfícies esféricas só existe detr da aprximaçã paraxial. ) Para cas de letes cm fc da lete depede d ídice de refraçã d vidr da lete ( ), e s ídices de refraçã de tds s materiais variam cm cmprimet de da: ( λ), fc de tda lete varia cm λ que ã crre para espelhs. Este efeit é chamad de aberraçã crmática cm verems adiate. Nte também que, pdems utilizar a mesma fórmula tat para lete cm para espelhs: i f + [.] cm f > 0 para sistemas cvergetes e f < 0 para sistemas divergetes, etretat é iteressate bservar que a cveçã de siais ds Rais de curvatura das superfícies para espelhs e letes é ivertida (cfrme meciad aterirmete).
.4. Sistemas espesss Quad a ivés de uma lete fia, tems uma lete espessa, u um cjut de letes, que pdems fazer (detr de uma aprximaçã paraxial) é utilizar mesm prcedimet que fizems para a lete fia, só que agra cm a espessura da lete (distâcia etre s dis diptrs, u duas letes, diferete de zer). Pdems também utilizar traçad gráfic, traçad primeiramete a imagem feita pel primeir diptr (u lete fia) e depis utilizad esta imagem itermediária cm bjet para segud diptr (u lete fia) e ectrar etã a imagem fial..4. Lete Espessa Utilizad-se a expressã paraxial para primeir dióptr (Figura.4) : + c [.] i R f para segud diptr: f + c [.3] i R cm i + e [.4] Figura.4 Frmaçã de Imagem paraxial pr uma lete espessa substituid-se a [3] em [] e a expressã para a imagem itermediária btid de [] em [], btems: ( f ) + [.5] f + e f i f ( ) checed-se,,, f e f, é pssível facilmete se determiar a psiçã da imagem i. Quad i fc da lete espessa F:
f f + e ef + i f [.6] i F f e f [.7].4.. Sistemas de Letes Fias i F fc da lete espessa, quad e0 + [.8] F f f u, em terms de ptêcia u diptrias das superfícies C c + c de C é a ptecia u diptria da lete. O mesm traçad pde ser aplicad para um cjut de letes utilizad-se agra a ivés da equaçã d dióptr, a equaçã da lete fia para cada lete (Figura.5), assim: da mesma frma, se e 0, /+/i / f [.9] / +/i / f [.30] cm - ( i e) - i + e [.3] Checed-se, f e f e e pde se ectrar i : f + / i / f [.3] f + e f ( ) da mesma frma para f + / i / f ef f + e i F + f e f f [.33] + [.34] F f Na Figura.5. é ilustrad a sluçã gráfica d prblema da imagem para cas de duas letes fias.
Figura.5 Frmaçã de Imagem paraxial pr um sistema de letes fias.4.3. Sistemas Cmplexs Para cas de sistemas cmplexs (frmad pr muitas superfícies), s métds de sluçã, empregads as secções aterires, ã sã muit prátics. Nestes cass é ecessári se utilizar utrs métds. Etre eles pdems citar:.4.3.. Traçad de Rai (Ray tracig) Ns prgramas traçad de rai, uma vez defiidas as superfícies pde-se traçar qualquer rai através delas, via prgramas de cmputadr chamads de Ray tracig. Existem atualmete diverss prgramas cmerciais de traçad de rai (em tda a faixa de preçs) e eles sã utilizads geralmete para se prjetar sistemas óptics. Estes prgramas pdem utilizar traçad de rai real u paraxial..4.3.. Frmalism Matricial N métd matricial cada superfície u prpagaçã de uma dada distâcia pde ser represetada pr uma matriz (X) e cada rai pde ser represetad pr um vetr clua (Figura.6) : y u [.35] û Figura.6 Esquema de Rais utilizads frmalism matricial
de Y altura d rai em uma determiada crdeada z d eix óptic(distâcia a eix, û sua tagete e ídice d mei Cada trasfrmaçã que rai sfre pde ser represetada pr uma matriz. Assim, rai a saída será rai a etrada multiplicad pela matriz que represeta a trasfrmaçã. y a b y [.36] û c d û Pr exempl, uma traslaçã d rai de uma distâcia t, um mei de ídice de refraçã pde ser represetada pela matriz: t / Τ [.37] 0 Uma lete fia de distâcia fcal f pde ser represetada pela matriz: 0 L [.38] / f Desta frma pdems cmpr um sistema cmplex, multiplicad seqüecialmete as matrizes elemetares para cada trasfrmaçã d rai. Cm resultad d prdut de uma matriz X pr utra, ctiua sed uma matriz X, qualquer sistema paraxial cmplex pde ser represetad pr uma úica matriz X, chamada matriz ABCD que represeta sistema td. Pr exempl, um sistema frmad pr duas letes fias separadas de uma distâcia t etre elas pde ser represetad pela matriz: 0 t / 0 S [.39] / f 0 f Ode fc da primeira lete é f e da seguda f..4.3.3. Pts Cardeais / Uma terceira frma alterativa e elegate de se tratar sistemas óptics espesss, u cmpsts fi prpsta pr Gauss em 84, pela defiiçã ds pts cardeais de um sistema óptic. Neste frmalism sistema óptic é tratad cm uma caixa preta, represetada pels seus pts e plas cardeais. Checed-se estes pts (que represetam a respsta d sistema a determiads rais) pde se calcular a respsta d sistema a qualquer rai e cseqüetemete reslver prblema da frmaçã de imagem (determiar sua psiçã e tamah) (Figura.7).
Figura.7 Esquema mstrad s pts cardeais de um sistema óptic espess Os pts cardeais de um sistema óptic sã basicamete de três tips: a) Pts e Plas fcais O pt fcal pricipal é a psiçã de um feixe divergete que após atravessar sistema óptic sai paralel. O pt fcal secudári é para de cverge um feixe de rais que etra sistema óptic paralel a eix óptic. Chamams aida de plas fcais s plas perpediculares a eix óptic que ctém s pts fcais. b) Pts e Plas pricipais O pla pricipal é pla frmad pel prlgamet ds rais divergetes d pt fcal e ds seus respectivs rais que emergem d sistema óptic paralels a eix, e viceversa para pla pricipal secudári. Os plas pricipais sã também chamads de plas cjugads cuj aumet é, u seja, um bjet em PP tem sua imagem PP cm aumet de. Os pts pricipais sã dads pela itersecçã ds plas pricipais cm eix óptic. c) Pts e plas dais Quad um feixe de rais paralels icide em um sistema óptic, um destes rais sai exatamete paralel a feixe de etrada. O cruzamet deste rai de saída cm eix óptic dá pt dal secudári e vice-versa para pt dal primári (Figura.8). Os plas dais sã s respectivs plas perpediculares a eix óptic que ctêm s pts dais. Figura.8 Esquema ilustrad s pts dais Se em ambs s lads d sistema óptic tiverms ar u mesm mei, s pts dais cicidem cm s pts pricipais, cas ctrári,. Da mesma frma se s meis à esquerda e à direita d sistema óptic frem s mesms, a distâcia etre PP e PF e PP e PF será a mesma e é chamada de fc d sistema óptic. Um exempl de cm pde-se utilizar s pts cardeais para calcular graficamete a frmaçã de qualquer imagem é mstrad a Figura.9:
Figura.9 Exempl de determiaçã gráfica da Imagem paraxial de um sistema espess utilizad seus pts cardeais Para se ectrar s pts cardeais de um sistema óptic é ecessári checer a cmpsiçã d sistema óptic. Na Figura.0. é mstrad um exempl de cm ectrar graficamete s pts pricipais de um sistema óptic, frmad pr duas letes fias, de distâcias fcais checidas, e separadas pr uma distâcia checida: F PP PP` F` Figura.0 Exempl de determiaçã gráfica ds pts cardeais para um sistema de duas letes fias de distâcias fcais checidas As psições ds plas pricipais refletem a simetria d sistema. Utilizad s pts cardeais, tds s sistemas espesss pdem ser tratads cm letes fias, e a frmaçã de imagem pde ser reslvida graficamete, da mesma frma que para uma lete fia, bastad para ist checerms as psições ds pts fcais, e pts pricipais..5. Efeits das Aberturas Até agra tratams a frmaçã de imagem ds sistemas óptics apeas sua relaçã cm s parâmetrs gaussias d sistema, que defiem a psiçã e tamah da imagem. Etretat d pt de vista de aplicaçã u utilizaçã de uma imagem ã basta que a imagem de um determiad bjet esteja uma psiçã determiada e cm um determiad aumet. A lumisidade da imagem e camp d bjet que está sed
captad (imagead) pel sistema óptic sã também características muit imprtates. Estas características sã determiadas basicamete pelas dimesões laterais ds sistemas óptics, que ã têm ifluêcia da psiçã e tamah da imagem. Para este estud vams dividir efeit das aberturas em dis tips: Efeit de lumisidade e Efeit de camp..5.. Efeit de Lumisidade A lumisidade da imagem é basicamete determiada pel ce de luz (quatidade de luz ctida ce de luz) que efetivamete etra sistema óptic. Supd que cada pt de um bjet é uma fte putual de luz, quat mair ce de luz captad pel sistema óptic, mair a lumisidade. A tamah efetiv deste ce de luz de etrada sistema óptic, u a disc que represeta a base deste ce e sua psiçã espaç, dams me de pupila de etrada. N cas de uma simples (úica) lete a pupila de etrada é determiada pela própria abertura da lete (supd um bjet eix óptic). A abertura relativa deste ce pde ser caracterizada pela tagete d âgul que ele frma cm eix óptic: Cfrme ilustrad a Figura. ( ) tg D / [.40] Figura. Esquema ilustrad a pupila de etrada e de saída para uma úica lete A pupila de saída é defiida aalgamete cm a base d ce de luz que sai d sistema óptic defiida pr: tg D / i [.4] Nte que, para uma lete fia, embra a base ds ces de etrada e saída seja a mesma, s ces (pupilas) de etrada e saída sã diferetes, pis as psições da imagem e d bjet sã diferetes. A pupila de saída é imprtate para realizar casamet de pupilas etre dis sistemas óptics acplads sem haver desperdíci de luz. Quad sistema óptic é cmpst de diversas letes e/u diafragmas e aberturas, a determiaçã da pupila de etrada e saída ã é tã simples. É ecessári csiderar efeit de cada uma das aberturas presetes sistema óptic e ectrar qual é a abertura física que limita realmete a luz (u lumisidade da imagem). Quad se deseja ctrlar
esta quatidade de luz, é psiciad, aprpriadamete iterir d sistema óptic, uma abertura variável u diafragma. O tamah d ce de etrada e saída defie também a prfudidade de fc (quat mair ce, mair a quatidade de luz, prém mer a prfudidade de fc) e vice-versa. Para se determiar que abertura limita a luz um prcedimet usual é prjetar tdas as aberturas espaç bjet. Depis diss, a partir d bjet eix levata-se um rai, a partir d eix cm icliaçã crescete icliaçã, até que ele seja barrad em uma das aberturas. Este prcedimet é equivalete a traçar s rais ctiuamete através d sistema até que eles sejam barrads. Um exempl é mstrad a Figura.. Figura. Esquema gráfic para determiaçã da pupila de etrada e de saída de um sistema óptic frmad pr duas letes fias A abertura que limita a mer icliaçã de rai espaç bjet é a pupila de etrada d sistema óptic. A abertura física u elemet cuja imagem espaç bjet é a pupila de etrada é diafragma de abertura u (Stp). Para cas d exempl mstrad a Figura.. a pupila de etrada é defiida pr: 3D tg [.4] 4 Td rai que passa pela imagem de uma abertura, passa pel bjet real detr d sistema óptic. A pupila de saída é a imagem da pupila de etrada, prtat é pssível se prjetar a pupila de etrada através de td sistema óptic u simplesmete prjetar diafragma de abertura (Stp) espaç imagem. Assim a pupila de saída será:
D tg [.43] d cm D diâmetr e D espaç imagem e d sua distacias até a imagem de O..5.. Efeit de Camp Para se ectrar camp d bjet que será captad pel sistema óptic, tratamet é similar, só que agra afastams bjet d eix óptic. Precisams traçar ces de luz (rais said d bjet) através d sistema óptic, afastad gradativamete bjet d eix até verificar em que abertura s rais cmeçam a ser barrads. Ist pde ser feit pr utilizad-se um prgrama Ray tracig. Etretat existe uma frma alterativa, utilizad as prjeções das aberturas espaç bjet, já feitas para ectrar a pupila de etrada (Figura.3.). Desta frma, a partir d cetr da pupila de etrada traçam-se rais cm âguls crescetes a partir d eix até que eles sejam barrads pela imagem de alguma abertura, a abertura que limitar primeir rai defiirá camp pla d bjet cm 50% de crte. Este prcedimet é crrespdete a emitir ces de luz pla bjet cm mesma abertura agular da pupila de etrada e ir afastad bjet trasversalmete d eix. Quad cetr d ce é barrad pr uma abertura ist sigifica que apeas 50% da luz (ce de luz) emitid pel pt d bjet ctribuirá para a imagem Nesta situaçã dizems que tems 50% de crte a lumisidade da imagem em relaçã a eix óptic (50% de vigettig). O elemet físic iterir d sistema cuja imagem espaç bjet limita camp é chamad de diafragma de camp u Stp de camp. Aalgamete, rai que liga a extremidade iferir da pupila de etrada à abertura de camp, prlgad até pla d bjet dá a regiã d pla d bjet de a lumisidade é a mesma d cetr (0 % de vigettig). O rai, que ue a extremidade superir da pupila cm a abertura de camp, defie a regiã de crte ttal da imagem (00 % de vigettig). Para evitar situações de a lumisidade cai gradualmete a medida que s afastams d eix óptic (cetr d bjet bservad), sã itrduzids s sistemas cmerciais diafragmas de camp de frma que as psições de 0 a 00% de crte cicidam., evitad assim que a imagem apareça cm s ctrs ebulss. Muitas vezes as abertura também sã itrduzidas para limitar as aberrações.
Figura.3 Esquema de determiaçã d camp para sistema mstrad a Figura..6. Aberrações As aberrações a realidade ã sã defeits de um sistema óptic, mas sim a ã cvergêcia ds rais para um úic pt imagem. Cfrme vims a secçã.3. as superfícies esféricas só frmam imagem a aprximaçã paraxial. Quad saíms da cdiçã de validade desta aprximaçã dizems que ss sistema tem aberraçã esférica. Pdems defiir cm aberraçã de um sistema óptic, tds s efeits que atrapalham a frmaçã de imagem (cvergêcia perfeita ds rais). Assim, vams dividir as aberrações em dis tips: crmáticas e gemétricas..6.. Aberrações Crmáticas As aberrações crmáticas actecem prque ídice de refraçã ds materiais que frmam as letes (sejam vidrs, acrílics u água) varia cm cmprimet de da. Este feôme é chamad de dispersã. Geralmete, para a mairia ds materiais, fra da regiã de absrçã, ídice de refraçã dimiui cm cmprimet de da seguid uma relaçã checida cm Relaçã de Cauchy:
A B 0 + + +... [.44] 4 λ λ A Figura.4. ilustra esta depedêcia. Figura.4 Depedêcia d ídice de refraçã cm cmprimet de da Pr este mtiv fc de uma lete Equaçã [.0]: f R R também é fuçã d cmprimet de da: f ( λ) que causa uma cvergêcia diferete para cada cr ( λ ). Nrmalmete a dispersã ds materiais é medida através ds ídices em determiads cmprimets de da de ftes espectrais: Liha C λ 6563A vermelh Hidrgêi (H) Liha D λ 5893A amarel d sódi (Na) Liha F λ 486A azul d Hidrgêi (H) Liha G λ 434A vileta d Hidrgêi (H) Liha d λ 5875A amarel d Héli (He) A Tabela abaix mstra valr destes ídices para algus vidrs: Vidr NC ND NF NG Crw.4977.5000.5053.5094 Crw óculs.504.530.593.5344 Light flit.57.5760.586.5944 Flit des.6436.6490.667.6746 Defii-se a cm dispersã de um vidr: F c ν ν d u seu ivers d ν F d c [.45]
Geralmete materiais cm alt ídice de refraçã pssuem alta dispersã de ν ( baix ν d ) cm é cas ds vidrs dpads cm chumb (flit). A ptêcia de uma lete fia é dada pr c/f: ( ) R R ( ) g( R) [.46] Prtat sua variaçã cm cmprimet de da c dc d g( R) λ dλ dλ [.47] c c g( R) d ν. c [.48] Assim para uma só lete c 0, sempre, a ã ser que 0 (dispersã seja ula). Quat mair c, mair c. ( ccν). E quat mair a dispersã ν, mair c. Etretat, se utilizarms as duas letes: c c + c cc e [.49] Assim, c c + c e c c ec [.50].6... O Dublet Acrmátic c Se tiverms duas letes de material diferetes sem espaçamet etre elas: c c + c [.5] Para uma lete fia: c ν c c ν c + ν c [.5] c ν c c + c c 0 se c sial pst à c e se ν c ν c ( ) cvergete divergete c ν + cν 0 [.53] C c + c [.54] Prtat para uma dada ptecia ttal desejada c, tems: c c ν ν c ν c ν ν ν [.55]
Nrmalmete utiliza-se uma lete cm mair ptêcia em vidr de baix(a dispersã (Crw) e uma lete divergete de puca ptêcia um vidr de alta dispersã (Flit) (Figura.5a). Esta é a frma utilizada para miimizar a aberraçã esférica em bjetivas de telescópics. Figura.5a Exempl de dublet acrmátic (cimetad) Figura.5b Efeit de cmpesaçã da aberraçã crmática utilizad-se uma lete cvergete e uma divergete (cm se fssem prismas ivertids) Cm ilustrad a figura.5.b), há uma espécie de cmpesaçã etre s dis tips de lete..6... O Dublet cm Espaçamet de ar Pr utr lad se tiverms duas letes de mesm material ν ν cm um espaçamet de ar etre elas, é pssível aularms a aberraçã crmática: C ν c + νc ν cc e 0 [.56] se c + c e e / ( f + f ) cc [.57] Esta é a frma utilizada para crrigir a aberraçã crmática em culares (de micrscópis e de telescópis) e é chamada de cular de Rasde..6.. Aberrações Gemétricas Tirad-se a aberraçã crmática, tds s utrs tips de aberrações sã chamadas de aberrações gemétricas. Existem várias frmas de se tratar matematicamete prblema das aberrações, estas frmas vã desde traçad real de rais até us de teria de perturbações. A frma de crrigi-las, etretat, é sempre a mesma: aumetad úmer de graus de liberdade através d us de diversas letes a ivés de uma só (da mesma frma
cm fi feit cas das aberrações crmáticas). Assim, balacead-se as curvaturas das superfícies de cada lete e utilizad-se diferetes tips de vidrs óptics pdems elimiar u reduzir sigificativamete as aberrações gemétricas. Etretat, as aberrações gemétricas sã muit mais difíceis de se crrigir que as aberrações crmáticas, utilizadse para ist sistemas cm até dezeas de letes..6.. Aberraçã esférica A aberraçã esférica uca pde ser zerada a ã ser para determiadas situações particulares (bjet ifiit u vice-versa) cm us de superfícies ã esféricas, cuj perfil é especialmete prjetad para ist: asférics. A Figura.6. ilustra que é a aberraçã esférica lgitudial. Figura.6 Exempl de Aberraçã esférica Em geral fc lgitudial varia cm a distâcia a quadrad (h ) d rai a eix óptic (Figura.7): Figura.7 Depedêcia d fc cm a altura d rai paralel a eix óptic
Ela, etretat, é sesível a fatr de frma u eqüipartiçã das ptêcias etre as superfícies de uma mesma lete. Esta distribuiçã de curvaturas etre as duas superfícies de uma mesma lete é chamada de bedig. Pdems defiir fatr de frma q de uma lete cm: R + R q [.58] R R A Figura.8. mstra fatr de frma para váris tips de letes, e a Figura.9. mstra gráfic da aberraçã crmática lgitudial em fuçã d fatr de frma. Figura.8 Fatr de frma de letes Figura.9 Aberraçã esférica lgitudial e cma em fuçã d fatr de frma da lete Nte que a aberraçã esférica tem um míim para q 0.43, e que a mair aberraçã esférica crre para uma lete tip meisc. Observad-se também a assimetria da curva da Figura.7, pdems ccluir que, d pt de vista das aberrações esféricas as letes ã sã simétricas, embra sejam quat à frmaçã de imagem. Assim, supd a situaçã mstrada a Figura.30, pdems ccluir que d pt de vista de aberraçã a seguda psiçã de us da lete é mais aprpriada.
Figura.30 Exempl de que fatr de frma depede da frma de utilizaçã de uma mesma lete. Ist pde ser iterpretad cm que se segud cas a refraçã d rai fsse melhr dividida etre as duas superfícies, resultad uma aberraçã mer, pis ela é ã é liear cm a refraçã..6...cma O cma está ilustrad a Figura.3. e pde ser iterpretad cm a aberraçã esférica para rais que ã sã paralels a eix. Figura.3 Exempl de cma O cma pde ser zerad também cm fatr de frma e seu míim é próxim d míim da aberraçã esférica, desta frma a reduzirms a aberraçã esférica reduzims também cma..6..3. Curvatura de Camp Mesm que a aberraçã esférica e cma pssam ser reduzids, quad bjet está fra d eix óptic, mesm sed um bjet pla, se ele fr extes, sua imagem ã cairá exatamete um pla. A curvatura de camp reflete fat de que pla fcal ã é um pla, mas sim um parablóide de revluçã. Ist faz cm que a tetarms fcalizar
uma imagem extesa, pr exempl, um filme ftgráfic u em uma tela de ciema plaa, ela apareça desfcalizada as brdas. Este efeit é chamad de curvatura de camp e este parablóide é chamad de superfície de Petzval. A lete tip meisc, embra teha a mair aberraçã esférica, pssui a mer curvatura de camp, pr ist é utilizada geralmete em máquias ftgráficas baratas simples (cm uma úica lete a bjetiva). N ciema cstuma-se fazer a tela a frma de um parablóide, a direçã mair e cmpesa-se apeas a aberraçã a vertical pr ter a mer dimesã da imagem..6..4. Astigmatism O astigmatism é um defeit a fcalizaçã quad bjet esta fra d eix óptic. É uma espécie de assimetria causada pel deslcamet d bjet em relaçã a eix óptic. Dada uma determiada psiçã d bjet, pdems defiir um pla tagecial que crta sistema óptic e ctém bjet e um pla sagital que crta sistema óptic perpedicular a este pla. Ist faz cm que a imagem de um pt apareça primeiramete alargada hriztalmete (prque a fcalizaçã ds rais pla tagecial crre ates) e depis verticalizada (prque a fcalizaçã ds rais sagitais crre depis). Este efeit está ilustrad a Figura.3. Figura.3 Exempl de Astigmatism Na realidade ist reflete fat de que existem dis parablóides (superfície.de Petzval) para fc: um para rais tageciais e utr para rais sagitais. O astigmatism pde ser causad também pr letes cilídricas e sua imagem de um pt será represetada gráfic pr uma elipse.
O astigmatism é imue a fatr de frma. A úica frma de reduzi-l é itrduzid-se aberturas em psições adequadas e alterad-se espaçamet etre as cmpetes d sistema óptic, u aida, dimiuid a curvatura de camp..6..5. Distrçã Mesm que as quatr aberrações aterires desapareçam existe um quit tip de aberraçã em images extesas, prvcadas pel fat d aumet depeder da distacia d pt bjet a eix óptic (h). Quad aumet cresce cm a distacia, a distrçã recebe me de picussã e quad ele dimiui de distrçã de barril. Um exempl destas distrções está mstrad a Figura. 33. Figura.33 Exempl de Distrçã de Camp A distribuiçã aprpriada das aberturas é melhr mei de ctrle de distrçã, pricipalmete quad sã clcadas de frma assimétricas.