CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO CURSO: Física DISCIPLINA: Ifomática paa o Esio de Física CONTEUDISTA: Calos Eduado Aguia AULA 4 TÍTULO: Movimeto Obital META DA AULA Desevolve métodos uméicos e pogamas Logo paa estuda o movimeto plaetáio. OBJETIVOS Espeamos que, após o estudo do coteúdo desta aula, você seja capaz de: Recoece em que situações a pouca pecisão do método de Eule pode compomete a solução uméica de equações de movimeto; Utiliza o método de Eule-Come como alteativa ao método de Eule; Faze pogamas Logo que calculem umeicamete movimetos obitais.
Itodução Movimeto Obital O movimeto de um plaeta em too do Sol é detemiado pela equação de movimeto 2 d m = F = GMm 2 3 dt ode é a distâcia do Sol ao plaeta, M é a massa do Sol (suposta se muito maio que a massa m do plaeta) e G é a costate gavitacioal. A pati dessa equação, Newto demostou que as óbitas plaetáias têm a foma de elipses, com o Sol em um dos focos, tal como foa obsevado po Keple. Ele também mostou que tajetóias paabólicas e ipebólicas são possíveis, coespodedo a movimetos que ão ficam limitados a uma egião fiita em too do Sol. De maeia geal, as tajetóias em um campo gavitacioal têm a foma de seções côicas. Em coodeadas polaes, elas são dadas pela fómula Os paâmetos d e e são dados po d = ecosθ v d = GM e = 2 2 0 0 2 0 v0 GM ode 0 e v 0 são o aio e velocidade em um poto de etoo da óbita (ode a velocidade adial se aula; veja a Figua 4. paa o caso da elipse). Figua 4.. Óbita elíptica. 2
O paâmeto e é camado de exceticidade. Se e = 0, a tajetóia é cicula; paa 0 < e <, ela é uma elipse; e = coespode a uma paábola; e > a uma ipébole. Os esultados acima ão são difíceis de obte, mas o pocedimeto usual exige um coecimeto de cálculo acima das possibilidades dos aluos da escola média. A coseqüêcia disso é que o estudo do movimeto plaetáio costuma se eduzido às óbitas ciculaes. É possível, cotudo, usa métodos uméicos paa fugi dessas limitações. Resolvedo umeicamete as equações de movimeto, podemos estuda as óbitas ão ciculaes de uma foma que é fácil de se compeedida e exploada pelos aluos. Com isso, abimos espaço paa aboda tópicos impotates, como as leis de Keple e o movimeto dos cometas. O poto de patida da solução uméica pode se o método de Eule, que já discutimos em detale ao tata do movimeto de pojéteis. Po esse método, se e v são a posição e velocidade do plaeta o istate t, teemos o istate t + = t + + + v v v + a + ode a = GM 3 O pogama mostado a segui é um pocedimeto Logo, keple, que usa o método de Eule paa taça a tela do computado a tajetóia de um plaeta que é ataído po uma estela. O pocedimeto keple tem dois paâmetos, e v, que são a distâcia iicial 0 ete o plaeta e a estela, e a velocidade iicial v 0 do plaeta. No pogama, a posição iicial é um poto de etoo, ou seja, o veto velocidade é pepedicula ao veto posição (veja a Figua 4.). Note que as uidades que escolemos são tais que GM = e m =. apeda keple : :v atibua "GM ;cte. gavitacioal * massa sola atibua "m ;massa do plaeta atibua " 0.0 ;itevalo de tempo atibua "s 00 ;escala (pixel / uid. comp.) atibua "tmax 20 ;tempo máximo atibua "x : ;codições iiciais atibua "y 0 atibua "vx 0 atibua "vy :v atibua "t 0 3
desapaeçatat ;apaga a tatauga ;desea a estela useada mudexy 0 0 uselápis aco 360 6 pite ;coloca a tatauga a posição iicial useada mudexy (:x*:s) (:y*:s) uselápis ;calcula e desea a tajetóia façaequato [passo] [:t<:tmax] apeda passo foça ;calcula a foça atibua "ax :fx/:m ;calcula aceleação atibua "ay :fy/:m atibua "x :x + :vx*: ;passo pelo método de Eule atibua "y :y + :vy*: atibua "vx :vx + :ax*: atibua "vy :vy + :ay*: atibua "t :t + : mudexy (:x*:s) (:y*:s) ;move a tatauga apeda foça atibua "3 potêcia aizq(:x*:x + :y*:y) 3 atibua "fx -:GM*:m*:x/:3 atibua "fy -:GM*:m*:y/:3 Podemos ve que a estutua do pogama é essecialmete a mesma do pocedimeto pojetil, que usamos paa estuda o movimeto de pojéteis. Note que o pogama só temia quado t>tmax ou, etão, quado pessioamos o botão Paa a jaela de comado. Teste o pogama executado o comado keple. Isso coespode às codições iiciais 0 = e v 0 = que, as uidades que utilizamos (GM = ), devem poduzi uma tajetóia cicula. Etetato, o que obtemos com o pogama ão é um cículo, mas uma espial cujo aio aumeta com o tempo, como mostado a Figua 4.2. A causa desse eo já foi discutida ateiomete: a solução uméica é uma solução apoximada. Ela seá tato melo quato meo fo o salto de tempo, mas uca seá exata. Se dimiuimos o valo de, o eo o cálculo da tajetóia deve se eduzido. Veifique isto usado = 0.00 4
o pogama, o luga do = 0.0 do pimeio cálculo. Você ecotaá uma tajetóia mais póxima da cicula, ou seja, o aio da óbita ão aumeta tato a cada evolução. No etato, ote que esta maio pecisão foi obtida à custa de toa o pogama muito mais leto. Se calculamos uma tajetóia elíptica, executado keple 2 0.4, po exemplo, veemos que, mesmo com = 0.00, estamos loge de obte uma elipse. É clao que, eduzido aida mais o valo de, podeemos obte uma óbita suficietemete pecisa. Mas também é fácil pecebe que pecisões azoáveis exigião tempos de cálculo muito logos. Figua 4.2. Óbita calculada com o método de Eule. O método de Eule-Come O poblema de pecisão pode se ameizado usado-se métodos uméicos mais eficietes que o de Eule. Paa movimetos peiódicos, é possível obte uma meloia sigificativa a pecisão do cálculo sem muito esfoço, usado o método de Eule-Come v + + v + a + v A úica difeeça em elação ao método de Eule oigial é o uso da velocidade v +, em vez de v, o cálculo da posição +. Isto equivale a esceve v + + +, que é uma apoximação tão boa quato a que foi utilizada paa obte o método de Eule, 5
v +. O método de Eule modificado é tão fácil de pogama quato o oigial basta toca a odem das lias que atualizam posição e velocidade. O pogama a segui mosta como isso pode se feito o pocedimeto passo usado em keple. apeda passo foça ;calcula a foça atibua "ax :fx/:m ;calcula aceleação atibua "ay :fy/:m atibua "vx :vx + :ax*: ;passo pelo método de Eule-Come atibua "vy :vy + :ay*: atibua "x :x + :vx*: atibua "y :y + :vy*: atibua "t :t + : mudexy (:x*:s) (:y*:s) ;move a tatauga Modifique o pogama keple, de foma a calcula a tajetóia com o método de Eule- Come. Tome = 0.0 e execute keple. Note como a pecisão do cálculo meloou. Veifique se uma tajetóia elíptica é obtida com keple 2 0.4. Ifomações sobe a póxima aula Na póxima aula, usaemos o pogama keple paa estuda váios aspectos do movimeto plaetáio. 6