Introução ao rocessamento e íntese e imagens ransformações e Visualiação: Matries Homogêneas Júlio Kioshi Hasegawa Fontes: Esperança e Cavalcanti UFRJ; raina e Oliveira 4 U; e Antonio Maria Garcia ommaselli - notas e Aula e CG 9 Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformações Um sistema gráfico que permita ao utiliaor efinir objetos eve incluir a capaciae e simular o movimento e a manipulação e objetos seguno eterminaas regras operações efinias como ransformações e visualiação ransformações e visualiação envolvem operações com vetores e matries o tipo soma e multiplicação além e conhecimentos básicos e álgebra e geometria. Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ontos e Vetores D onto: Denota posição no plano Vetor: Denota eslocamento isto é inclui a noção e ireção e magnitue vetor - intensiae ireção e magnitue Ambos são normalmente epressos por pares e coorenaas em D r v v v v Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ontos e Vetores D onto: Denota posição no plano Vetor: Denota eslocamento isto é inclui a noção e ireção e magnitue vetor - intensiae ireção e magnitue Ambos são normalmente epressos por pares e coorenaas em D r v v v v Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Operações com ontos e Vetores D oma e vetores t v + u Multiplicação e vetor por escalar u v ubtração e pontos v Q oma e ponto com vetor Q + v v Q Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa v v u v
ontos e Vetores D Eercício : Calcular a istância entre os pontos. 333 34 53 Eercício : Determinar o vetor efinio pelos pontos.e. Calcular o vetor unitário. Móulo e vetor v a + b / u v/ v Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformações Lineares em D Uma transformação linear Isogonal ' ' a b + + b a + + e f Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformações Lineares em D Uma transformação linear afim ' ' a+ b+ c+ + e f Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Forma Matricial - D Mais conveniente para uso em um computaor: Então uma transformação linear afim poe ser escrita one f e D c b a A ' ' ' D A + ' + f e c b a ' '
ransformação e pontos - D ós-multiplicação pela matri e transformação: a b [ X][ ] [ ] c * * [ a c b ] + + Leva a um resultao iferente a ré-multiplicação: [ ][ X] a b c [ a+ b c+ ] [ ' ' ] Não é comutativa Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformação e pontos - D Consiere: [] [ ] e [A].4.6.3.5 Eercício : Calcule: [][A] Eercício : Calcule:[A] [] Eercício 3: Consiere -> [D] [3 -] Calcule: A. + D ransformações em coorenaas cartesianas + ranslação Escala R Rotação Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação roblemas computacionais: Rotação e Escala - são trataas através e multiplicações. ranslações são trataas como aições/subtrações. ara tratar o mesmo moo toas as 3 transformações e uma forma consistente. Epressar os pontos em Coorenaas Homogêneas aiciona-se uma terceira coorenaa ao ponto; Assim um ponto é representao por uma tripla W; Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D conjuntos e coorenaas homogêneas W e ''W' representam o mesmo ponto se e somente se um é múltiplo o outro. Eemplo: 36 e 46 As coorenaas homogêneas 64 84 3 representam o ponto cartesiano 3. Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D t t tw resulta numa linha no espaço para t. caa ponto tem iferentes representações homogêneas não é permitio e w é iferente e ero poemos iviir w por ela obteno o mesmo ponto /w /w. Os números /w e /w são chamaos e Coorenaas Cartesianas o ponto homogêneo. Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D ranslação para coorenaas homogêneas ' ' O que acontece se translaarmos um ponto e para e epois e para? '
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D Composição e transformações? e ] [ " ' " '
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D Composição e transformações e ] [ " ' " ' + +
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação -D Escala Verificar proutos uplos
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D Composição e transformações 3 ] s s s [s s s e s s " ' " '
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação - D Composição e transformações 3 s s s s s e s s ] [ " ' " '
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Coorenaas Homogêneas e Matries e ransformação -D Rotação cos cos sen sen θ θ θ θ Qual o resultao após a rotação e um ponto e θ e epois e - θ?
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformação Afim D Coor. Homogênea + + + + c b a c b a
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformações D Aicionais: Refleão
Refleão em Relação à Reta [D] Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformações D Aicionais: cisalhamento hearing cisalhamento em sh hearing cisalhamento em sh
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformações D Aicionais: cisalhamento cisalhamento na ireção e istorção na ireção e - respectivamente ref sh sh ref sh sh sh ref + ref sh +
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Composição e ransformações. Efetuar uma translação levano à origem.. Efetuar a Rotação esejaa. 3. Efetuar uma ranslação oposta à realiaa em. levano a posição anterior. Θ Θ Θ Θ Θ cos cos sen sen R
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Composição e ransformações Escala e um objeto em relação a um ponto arbitrário. Escala e rotação e uma casa em relação ao ponto s s
ransformação Winow-to-Viewport Janela em Coorenaas o muno e porta e visualiação em coorenaas e tela Duas portas e visão associaas a mesma janela Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformação Winow-to-Viewport Especificar uma região retangular em coorenaas o muno chamaa e janela e coorenaas o muno e uma região retangular corresponente em coorenaas e tela chamaa e orta e Visualiação Viewport; transformação composta por 3 passos:. A janela especificaa pelo seu canto inferior esquero e canto superior ireito é primeiramente translaaa para a origem as coorenaas e muno;. A seguir o tamanho a janela é escalonao para ser igual ao tamanho a porta e visualiação; 3. Finalmente a translação é usaa para posicionar a porta e visualiação Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformação Winow-to-Viewport M jp u v min min u ma ma Multiplicano M jp [ ] temos: u min min v ma ma v min min min min u ma umin vma vmin min + umin min + vmin ma min ma min Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformação Winow-to-Viewport com clipping rimitivas gráficas e saía em coorenaas o muno são recortaas pela janela. O seu interior é apresentao na tela viewport Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
ransformações em 3D X fora a página Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformação Homogênea w V Um ponto V no espaço poe ser representao em coorenaas homogêneas por one 3 v w v w v w ewéofatoreescalarealenãonulo.
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformações em 3D Vetores e pontos em 3D ransformação linear afim V V V V r l i h g k f e j c b a
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa RANLAÇÃO em 3D É ossível translaar um ponto u nas ireções X Y e Z ou em uma ireção arbitrária a partir a aplicação a relação
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ranslação I 3 t t t t t t t t t t t + + + + ' Observe que translações são comutativas: + t + v + v + t
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Consiere a transformação homogênea e o ponto A transformação homogênea transforma o ponto u em um ponto v RANLAÇÃO em 3D -Eemplo
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Consiere a transformação homogênea e o ponto A transformação homogênea transforma o ponto u em um ponto v. RANLAÇÃO em 3D -Eemplo
RANLAÇÃO em 3D -Eemplo ranslaar o ponto v e uniae na ireção X na ireçãoye3na ireção Z. Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa 3 3 3 v RANLAÇÃO em 3D -Eemplo ranslaar o ponto v e uniae na ireção X na ireçãoye3na ireção Z.
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Refleão no eio X Refleão nos 3 eios - Refleão no eio Y Refleão no eio Z - -
ECALA em 3D Especificaa por três fatores que multiplicam os vetores unitários Escala uniforme entretanto é uma operação ortogonal ou homotética isto é preserva os ângulos ara obter refleão em torno o plano usar fatores e escala - escala Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ECALA em 3D Escala em um ponto
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Rotação em torno os eios coorenaos As rotações em torno os eios X e Y são cos sin sin cos θ θ θ θ cos sin sin cos θ θ θ θ cos sin sin cos θ θ θ θ Rotação em torno e Z é aa pela matri
Deformação - shear É uma transformação e eformação one um eio é entortao em relação aos emais e o vetor unitário o eio é levao em [h h ] então a matri e transformação é aa por inclinação h h Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Eemplo Um ponto 3 7 foi rotacionaopor 3 graus sobre o eio e translaao e uniaes no eio 5 uniaes no eio e 3 uniaes no eio. Qual a nova posição o ponto? Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Eemplo Dao que: 3 7 Usamos a efinição e encontramos: cos3 sen3 sen3 cos3 5 3 Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Dao que: Usamos a efinição e encontramos: 5.5 9 7 3 3 5 cos3 3 3 cos3 sen sen Eemplo
Composição e transformações em 3D Em nossa notação usamos pré-multiplicação: ara compor transformações temos: e e então Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Composição e transformações em 3D ransformar e 3 a posição inicial em a para a posição final em b. Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Composição e transformações em 3D olução:. ranslaar para a origem.. Rotacionar o segmento em relação ao eio e forma que ele fique no plano. 3. Rotacionar o segmento em relação ao eio e forma que ele fique sobre o eio. 4. Rotacionar o segmento 3 em relação ao eio e forma que ele 3 fique no plano. Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Composição e transformações em 3D rimeiro asso: ranslaar para a Origem Aplicano a e 3 temos: 3 3 3 3 3
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Composição e transformações em 3D eguno asso: Rotacionar em Relação ao eio Y ângulo utiliao 9 o θ θ - 9 o 9 cos cos 9 D D sen D D sen θ θ θ θ D + + 9 " D R θ
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Composição e transformações em 3D erceiro asso: Rotacionar em Relação ao eio X " " cos D sen D φ φ " " D + + 9 9 R R R R θ φ θ φ agora está sobre coinciino o eio positivo
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa Composição e transformações em 3D Quarto asso: Rotacionar em Relação ao eio Z 3 3 3 3 3 9 R R θ φ e 3 com sobre o eio 3 3 3 3 cos D sen D α α 3 3 3 D + R R R R M 9 θ φ α
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa ransformações Rígias Não moificam a forma imensões/ângulos o objeto ão compostas e uma rotação e uma translação l i h g k f e j c b a ubmatri e Rotação Vetor e ranslação l i h g k f e j c b a
Composição e transformações em 3D A submatri 33 o canto superior esquero R agrega as transformações e escala e rotação enquanto a última coluna à ireita agrega as translações M r r r 3 r r r 3 r 3 r r 3 33 t t t Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa
Introução ao processamento e síntese e imagens Júlio Kioshi Hasegawa 9 8 7 6 5 4 3 r r r r r r r r r 33 rotation matri 3 translation matri perspective global scale Matri e ransformação Homogênea 3D