Lista de exercícios Professora: Graciela Moro Mudança de base. Sejam β {( ) ( )} β {( ) ( )} β { ) ( )} e β {( ) ( )} bases ordenadas de R. (a) Encontre a matrizes mudança de base: i. [I β β ii. [I β β iii. [I β β iv. [I β β. (b) Quais são as coordenadas do vetor v ( ) em relação à base i. β ii. β iii. β iv. β. [ 4 (c) As coordenadas de um vetor u em relação à base β são dadas por [u β Quais as coordenadas do vetor u em relação à base: i. β ii. β iii. β 4. a) Encontre as coordenadas do vetor p + t + t + t em relação base α { + t t + t t + t } de P b) O conjunto β { t t + t } é LI ou LD? Justique sua resposta 5. Sejam P 4 { p a + a x + a x + a x + a 4 x 4 a a a a a 4 R } α { x x x x 4} e β { x 4x 8x 6x 4}. (a) Determine [I α β. (b) Se [p α 4 determinar [p β 5 (c) Determine o polinômio p cujas coordenadas são dadas no item b) acima. {[ } a b 6. Considere o seguinte subespaço de M : W d. Sejam α β {[ {[ [ [ [ } [ } (a) Detemine [I α β π (b) Se [v β e determine [v α. 7. Sejam α e β bases de R. Determine a base β sabendo que α {( ) ( ) ( )} e a matriz mudança de base de α para β é [I α β {( ) ( ) ( )} 8. Seja α uma base para um subespaço de M e [I α β onde β é também uma base para um subespaço de M
(a) Determine a base β. (b) Se [v β determine [v α. 9. Seja E um espaço vetorial qualquer e α {u u u } uma base de E. Considere ainda os vetores v u + u v u + u u e v u. (a) Determine a matriz S de mudança da base β {v v v } para a base α {u u u }. (b) Calcule as coordenadas do vetor w v + v v na base {u u u }. 4. Sejam α e β bases de um espaço vetorial V ( ) (a) Mostre que det [I α β [Iβ α (b) Determine [I α α Algumas respostas [. a) i) [I β β b) i) [v β c) i) [u β ( ) ( ) 4 4 [ ii. [I β β ii. [v β ii. [u β ( 5 ) ( ) + iii. [v β 4. a) [p α b) Linearmente independente. 5. a) [I α β 4 b) [p β 4 8 5 6 6 6. a) [I α β π + e b) [v α 7. β {( ) ( ) ( )} {( ) ( 5 8. a) β 4 ) ( )} 4 4 b) [v α 9. a) [I β α b) [w α 4. b) [I α α I n π e [ 6 6 ( ) iii. [I β β iii) [u β + ( ) iv. [I β β iv. [v β ( c) p(x) + x + x + 4x + 5x 4 ) [
Transformações lineares. Em cada item decida se a transformação que leva a gura azul na gura vermelha é linear e explique porquê.. Verique se as funções dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso justique sua armação: (a) T : R 4 R dada por T (x y z t) (x + y z + t). (b) L : R R dada por L(x y) xy. ( ) a b (c) S : M( ) R S (a + b ) (d) G : M(5 5) M(5 5); G(A) AB + I 5 ; onde B diag(d d d d 4 d 5 ) é uma matriz diagonal e I 5 é a matriz identidade de ordem 5. (e) F : P P tal que F (p) p + q; p P e q(t) t + ; t R. (f) S : R R dada por S(x y) (x + y x y). [ [ a b a b (g) T : M( ) R dada por det (h) T : R R; T (x) x. [ a b (i) T : M P ; T a + dt (j) S : R R tal que S(x y z) (x a 5z); onde a α R é uma constante. (k) T : P n P n tal que T (p(x)) p (x) + x p (x). Encontre a transformação linear T do plano no plano que é uma reexão em torno da reta y 6x. 4. O operador linear T (x y z) ( x + z y x z) é a rotação de um ângulo θ em torno do eixo y. Determine o valor do ângulo θ. 5. Considere o triângulo de vértices ( ) ( ) e ( ). Determine a imagem destes vértices ao ser aplicada a transformação T que faz uma rotação anti-horária de 6. Faça um desenho da imagem. 6. Seja T : P P um operador linear tal que T (p o )(t) + t T (p )(t) t + t e T (p )(t) + t t onde p i (t) t i ; i. (a) Encontre T (p). (b) T é injetora? Justique sua resposta. (c) T é sobrejetora? Justique sua resposta. (d) T é bijetora? Justique sua resposta. 7. a) Encontre a transformação T : R M( ) tal que T ( ) [ [ ; T ( ) b) Usando a transformação T encontrada no item a) calcule T (; 999) c) A transformação é bijetora? Justique sua resposta.
4 8. Seja T : R R uma transformação linear denida por T ( ) ( ); T ( ) ( ) e T ( ) ( ). Determinar uma base de cada um dos seguintes subespaços: (a) N(T ). (b) N(T ) Im(T ) (c) N(T ) + Im(T ) 9. Sejam α {( ); ( )} e β {( ); ( ); ( )} bases de R e R ; respectivamente e [T α β (a) Encontre a transformação linear T. (b) Encontre uma base para Ker(T ) e uma base para Im(T ). (c) Encontre uma base γ de R tal que [T α γ. Encontre a transformação linear T : R R tal que T ( ) ( 6 5 5 ) e T ( 4) ( ). Determine dimim(t ) e dimn(t ). T é inversível? Se for determine T.. Considere o operador linear em R tal que T ( ) (; ; ) T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; 4). O operador T é um isomorsmo? Em caso armativo determine o isomorsmo inverso.. Considere a transformação linear T : P R tal que T () ( ); T (x+x ) ( ) e T ( x) ( ). Encontre T.. Considere o operador linear T : R R denido pela reexão de um vetor v (x y z) através da origem. Determine a expressão do operador T. 4. Usando inversão matricial mostre que: (a) A transformação inversa de uma reexão em torno da reta y x é a reexão em torno da reta y x. (b) A transformação inversa de uma reexão em torno de um eixo coordenado é a reexão em torno daquele próprio eixo. 5. Seja T : P P a transformação denida por T (p(x)) xp(x ). Encontre [T γ β { x x x } e γ { x x }. em relação às bases β 6. Encontre uma transformação linear T : R R cujo núcleo é gerado por ( ) e ( ) e a imagem é gerada pelo vetor ( ). 7. Encontre uma transformação linear T : R 4 R 4 cujo núcleo é gerado por ( ) e ( ). 8. Mostre que se a matriz transformação [T é inversível então N(T ) { }. 9. Se T : V W é uma transformação linear tal que T (w) T (u) + T (v) então w u + v?. Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear T : P M satisfazendo simultaneamente as seguintes condições: (i) o elemento p(x) + x pertence ao N(T ); (ii) o elemento q(x) [ x + x não pertence ao N(T ); (iii) o elemento A pertence à Im(T ).. Seja T : V W uma transformação linear. (a) Mostre que o núcleo de T é um subespaço de V. (b) Mostre que a imagem de T é um subespaço de W.. Seja T : P P a transformação linear denida por T (p(x)) xp (x).
5 (a) Quais dos seguintes polinômios pertencem ao N(T )? i. ii. x iii. x (b) Quais dos polinômios do item a) pertencem a Im(T)? (c) Descreva N(T ) e Im(T ).. Quando possível dê exemplos de transformaç es lineares satisfazendo: (a) T : R R tal que dimn(t ). (b) T : R R tal que N(T ) {( )}. (c) T : R R tal que Im(T ) {( )}. (d) T : R R tal que N(T ) {(x y z) R : z x}. (e) T : R R tal que Im(T ) {(x y z) R y x z} 4. Seja T : P P denida por T (p) p. Determine a matriz T em relação às bases α { t t t } e β { + t + t } isto é [T α β. 5. Mostre que se uma transfomação linear é injetora então N(T ). 6. Seja β a base canônica de M. Se T : M P é dada por: ( ) a b T a + (b + c)x + (c d)x + dx (a) Encontre [T β α onde α { + x + x + x } é base de P (b) Faça o escalonamento da matriz [T β α (c) Determine dimker(t ). (d) Determine dimim(t ). 7. Se A M(n n) é inversível então: (a) dimn(a) (b) dimim(t A ) 8. Determine dimn(t ) sabendo que: (a) T : R 6 R 8 com dim(im(t )) ; (b) T : V W com T sobrejetiva dimv 5; dimw ; (c) T : V W com T injetiva; (d) T : R 4 R 4 sabendo que existe a inversa de T. 9. Explique em cada caso abaixo porque não existe uma transformação linear: (a) T : R 4 R cujo núcleo seja a origem; (b) T : R 5 R 6 que seja sobrejetiva; (c) T : R R que seja injetiva; (d) T : R 7 R 6 tal que dimn(t ) dimim(t ); (e) T : R 4 R com N(T ) [( ); ( ) e Im(T ) [( ); ( 4). Responda as seguintes questões: (a) Se T : R 5 R 6 é uma transformação linear podemos ter dimim(t ) > 6? Justique sua resposta. (b) Existe alguma transformação linear T : R R tal que T ( ) ( ) e T ( ) ( )? Justique sua resposta. (c) A transformação T : P P denida por T (p(t)) tp(t) + p()p () é linear? (d) Se T : R R é um operador linear e se a imagem de T é um plano que passa pela origem que tipo de objeto geométrico é o núcleo de T?
6 [. Seja T : R R tal que [T (a) T (u) u. (b) T (v) v.. Encontre os vetores u e v tais que. Sejam F G : R R transformações lineares dadas por F (x y z) (x + y z + y z) e G(x y z) (x + y y z x + z). (a) Determine F G. (b) Determine uma base para N(F G). (c) Determine uma base para Im(F G). (d) F G é isomorsmo? Justique sua resposta.. Seja T : R R o operador linear denido por T (x y z) (x x y x+y+z). Mostre que (T I) (T 9I). 4. Sejam R S T três transformaç es lineares de R em R. Se [R T tal que R S T. e [S encontre 5. Sejam as transformações lineares S : P P e T : P P denidas por S(a + bx) a + (a + b)x + bx e T (a + bx + cx ) b + cx. (a) Determine (SoT )( + x x ). (b) É possível calcular (T os)(a + bx)? Em caso armativo calcule (T os)(π + πx)?. 6. Considere o operador T : P P denida por T (p(x)) p (x) + p(x) e a transformação linear S : P R denida por S(a + bx + cx ) (a + b c a b). (a) Verique se S é isomorsmo. Se for determine S. (b) Determine uma base para N(SoT ) é uma base para Im(SoT ). (c) Seja β { + x; x x } uma base de P e α {( ); ( ); ( )} base do R. Determine [SoT β α. [ 7. Considere a transformação linear T : R 4 a a + b M denida por T (a b ) e a transformação ( ) [ b + a b a c c b linear S : M M denida por S. Verique se SoT é um isomorsmo. Em caso b a + d armativo determine o isomorsmo inverso (S T ) 8. No plano uma rotação anti-horária de 45 é seguida por uma dilatação de. Ache a aplicação T que representa esta transformação do plano. 9. Determine a transformação linear T : R R que representa uma reexão da reta y xseguida de uma dilatação de fator na direção x e um cisalhamento de fator na direção vertical. 4. Analise se a seguinte armação é verdadeira ou falsa: "Se T : R R é uma rotação de um ângulo θ (em sentido anti-horário) em torno da origem seguida de uma dilatação de fator então T é uma contração de fator seguida de uma rotação de um ângulo θ em torno da origem". 4. Encontre a transformação linear T : R R denida pela rotação de π (sentido anti-horário) seguida de uma 6 reexão através da reta y x. A seguir faça um esboço da Im(T ) se a transformação T for aplicada ao retângulo de vértices ( ) ( ) ( ) e ( ). 4. Seja T : R R é a projeção do vetor v (x y z) no plano x + y + z. Encontre T (x y z). 4. Seja T : R R denida pelo triplo da reexão do vetor v (x y z) no plano x y + z. Encontre T (x y z). 44. Seja L : R R onde T é a rotação de π em torno do eixo z seguida de uma rotação de π Encontre L(x y z). em torno do eixo y.
7 [ x 45. Aplicando a transformação T y obtém-se como imagem: [ [ x y a todos os pontos da circunferência da gura acima 46. Identique a(s) transformação(ões) linear(es) explicitando a (s) sua(s) respectiva(s) expressão(ões) algébrica(s): Algumas respostas. a) É linear. Mostre que a denição é satisfeita. b) Não é linear pois T ( ) ( ). a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Não f) Sim g) Não h) Não i) Sim j) É transformação linear se a k) Sim ( ) 5x + y x + 5y. T (x y) 7 7 4. 5. 5π 4 6. (a) T (a + bt + ct ) (a + c) + (a + b + c)t + (b c)t (b) Sim pois N(T ) + t + t (c) Sim. (Você pode justicar usando o teorema da dimensão)
8 (d) Sim pelos itens (b) e (c). [ x + y x y 7. (a) T (x y) x y x + y [ (b) T ( 999) (c) Não pois T não é injetora (dimn(t ) ) e T não é sobrejetora (dimim(t ) 4) 8. (a) α {( )} (b) N(T ) Im(T ) ( ). Logo não a base de N(T ) Im(T ) é o conjunto vazio. (c) β {( ) ( ) ( )} ( x y 9. (a) T (x y) x y ) x + y (b) Como N(T ) { } sua base é o conjunto vazio. Além disso β Im(T ). {( ) ( )} é base para a (c) Uma possibilidade é γ {( ) ( ) ( )} ( 4x + y. T (x y) x + y ) dimn(t ) dimim(t ). T não é inversível pois não é bijetora. 5 5 (. T (x y z) y x + z x y + z ) 4. T (a b c) (a b c) + ( a + b + c)x + (a b c)x. T (x y z) ( x y z) 5. [T γ β 9 6 6. Uma possibilidade é: T (x y z) (x y x + y x y) 7. Uma possibilidade é: T (x y z w) (w y x ) 9. Como T é linear podemos escrever T (w) T (u + v). Isso não implica que w u + v pois não temos a hipótese de que T é injetora. [ a b c b. T (a + bx + cx b b. (a) Apenas p(x) N(T ). (b) Apenas p(x) x Im(T ). (c) N(T ) {p(x) bx + cx ; b c R} 4. [T α β 6. (a) [T β α (b) (c) dimn(t )
9 (d) dimim(t ) 4 7. a) dimn(a) b) dimim(a) n 8. a) dimn(t ) b) dimn(t ) c) dimn(t ) d) dimn(t ) 9. Use o teorema da dimensão no núcleo e da imagem.. (a) Não pois dimn(t ) 5 (b) Não pois o conjunto {( ) ( )} não forma uma base para o R (c) Não (d) O N(T ) é uma reta que passa pela origem.. a) u (x ) b) v (x x). (a) (F G)(x y) (x + y z x + y + z x + z) (b) β {( )} é uma base para N(F G) (c) Uma das bases é α {( ) ( )} (d) Não. Justique sua resposat baseado nos itens (b) e (c) 5. a) (S T )( + x x ) 4x b) (T S)(π + πx) π + 4πx ( ) ( ) a + c a c 6. (a) S (a b c) + x + bx (b) A base de N(S T ) é o conjunto vazio. Uma base para Im(S T ) é α {( ) ( ) ( )} (c) [Ss T β α ([ ) a b 7. (S T ) (a + b + c a b a + b + c a b c + d) ( 6x ) 6y 6x + 6y 8. T (x y) 9. T (x y) ( y x 6y) 4. Verdadeira. 4. ( x y z 4. T (x y z) x + y z ) x y + z 4. T (x y z) ( x + y z x + y + z x + y + z) ( y + ) z y + z 44. L(x y z) x 45. letra b) 46. A transformação linear é T (x y) ( x x + 5y ). Uma forma de obter isso é considerar T como uma dilatação de na direção x e 5 de oy. na direção y seguida de um cisalhamento em y de um fator α e uma reexão através