MODELO DE DECISÃO PARA ESCOLHA DE PORTFOLIO DE INVESTIMENTOS Rodrigo José Pires Ferreira UFPE Cx. Postal 7462, Recife PE, 50.630-970 rodrigo@ufpe.br Adiel Teixeira de Almeida Filho UFPE Cx. Postal 7462, Recife PE, 50.630-970 ataf@ufpe.br Fernando Menezes Campello de Souza UFPE Cx. Postal 7462, Recife PE, 50.630-970 fmcs@hotlink.com.br RESUMO Este artigo apresenta uma modelagem de um problema de decisão no mercado financeiro onde deseja-se escolher um portfolio de investimentos de forma a minimizar o risco, utilizando indicadores econômicos para predizer investimentos futuros baseado em dados históricos. O modelo de decisão é baseado na teoria da decisão e análise bayesiana caracterizado por sua estrutura matemática. Em seguida é apresentado um estudo de caso no mercado financeiro brasileiro considerando dados de Janeiro de 1998 a Junho de 2005. PALAVRAS CHAVE. Análise de Investimentos. Teoria da Decisão. Análise Bayesiana. Economia e Finanças ABSTRACT This work presents one approach for financial market through a decision theory point of view, where the main decision is to choose based on economic indexes (to predict future investments based in historical data) that investment portfolio which minimizes the risk involved. The decision model is based on Decision Theory and Bayesian Analysis and the following application uses financial market data from the period of January of 1998 to June of 2005 as information for the decision model and Bayesian Analysis. KEYWORDS. Investment Analysis. Decision Theory. Bayesian Analysis. Economics and Finance. [ 651 ]
1. Introdução Diante do cenário financeiro, podemos perceber diversas oscilações das aplicações devido a vários movimentos macroeconômicos, tais como ataques terroristas, eleições presidenciais, decisões políticas e outros. Em virtude da complexidade envolvida nas decisões sobre investimentos se faz necessária a construção de um modelo que auxilie o investidor a entender melhor o problema, para obter mais informação sobre os riscos envolvidos em suas decisões econômicas. Este trabalho traz uma contribuição a luz da teoria da decisão, uma abordagem com algumas distinções do trabalho de Bezerra (2003b). 2. Modelo de Decisão para Escolha de Portfolio de Investimentos O modelo de decisão desenvolvido neste trabalho é baseado na teoria de decisão, uma teoria que permite modelar o comportamento racional do decisor em situações de incerteza, onde o problema pode ser tratado através de uma abordagem probabilística adequada. A estrutura matemática da teoria da decisão pode ser encontrada em CAMPELLO DE SOUZA (2002). 2.1 O Espaço das Ações Num problema de portfolio é comum o investidor ter um capital fixo e decidir sobre que percentual deste capital investir em um conjunto de aplicações (ativos financeiros). Neste trabalho o espaço de ações consiste de um vetor dos percentuais das aplicações a investir. Para n aplicações o espaço de ações pode ser representado por : n A = {a 1, a 2,..., a n } e a = 1 (1) i= 1 i Supondo que o investidor deseja aplicar seu capital em três tipos de ativos, BOVESPA, DOWN JONES e NASDAQ. Este espaço será denotado por A = {a 1, a 2, a 3 } e a 1 + a 2 + a 3 = 1. A Figura 1 apresenta a representação gráfica do espaço de ações em três dimensões. O investidor deverá escolher um ponto deste plano que corresponde aos percentuais que se vai investir nas aplicações financeiras, a 1, a 2 e a 3. Figura 1 Espaço de Ações Caso o investidor estabeleça que em certas situações possa não investir uma parte do montante do capital, basta ele estabelecer uma aplicação que represente o não investimento. Desta forma tem-se uma maneira mais genérica de tratar o problema, uma recomendação quando existe um risco elevado em investir nas demais ações, onde talvez reservar uma quantia para não investir seja a melhor solução. O espaço de ações possui n-1 graus de liberdade, devido a restrição de que a soma dos percentuais das aplicações deve ser igual a um. [ 652 ]
2.2 O Espaço dos Bens O espaço dos bens deste problema de decisão é o retorno do capital investido. Seja r t o retorno da ação no período t, V t o valor da aplicação no período t, tem-se Vt Vt 1 r t = (2) V t 1 Seja R t, o retorno acumulado para t períodos sucessores, tem-se t R t = ( 1+ r i ) (3) i= 1 Como para cada aplicação temos um retorno diferente, o retorno acumulado é um vetor com um elemento para cada aplicação, assim tem-se R = {R t1, R t2,..., R tn } O cálculo do espaço dos bens é obtido através do retorno acumulado de t períodos sucessores a data do investimento, multiplicando-se pelo valor aplicado. Seja M o montante de capital a investir, o valor do bem é obtido pela seguinte equação: n P = M ( a i R ti ) (4) i= 1 2.3 Os Estados da Natureza O espaço dos estados da natureza é representado pelo vetor dos retornos dos índices acumulados em que se vai investir nos próximos t períodos, ou seja, não se sabe quais os retornos acumulados futuros. A incerteza presente neste elemento é o que fundamenta o desenvolvimento do modelo de decisão. Para viabilizar o cálculo das distribuições de probabilidade sobre este elemento este espaço pode ser tratado como discreto destacando apenas se houve retorno ou não, assumindo valores um ou zero respectivamente. θ = { θ θ,..., } (5) 1, 2 θ n É importante destacar a diferença existente entre o espaço dos estados da natureza, θ, e o espaço dos bens, P. Sabe-se que o mercado irá definir os estados da natureza e o investidor através da sua decisão obterá um determinado retorno, ou seja, θ será representado por um vetor de tamanho n e P será um valor obtido pelo produto interno entre o vetor dos percentuais das aplicações, A, e os retornos dessas aplicações, R, para um determinado horizonte de tempo. 2.4 O Conjunto das Observações O espaço de observações pode ser baseado em um vetor de indicadores econômicos como, por exemplo, o produto interno bruto, a taxa de juros, a inflação e outros. Seja k o número de indicadores que se deseja observar, tem-se X = { x x,..., } (6) 1, 2 x k Este espaço também pode ser tratado como discreto da mesma forma que os estados da natureza. [ 653 ]
2.5 A Função conseqüência A função conseqüência é um mecanismo probabilístico que visa estimar a probabilidade de obter-se o bem P dado que foi tomada uma determinada decisão e ocorreu certo estado da natureza. Baseado no teorema central do limite, pode-se assumir por hipótese que os retornos acumulados seguem uma distribuição normal condicionado para cada estado da natureza, seja μ θ i e σ θ i respectivamente a média e o desvio padrão estimados para cada aplicação i condicionados ao estado da natureza θ, logo a função conseqüência: n P( p θ, a) = a Normal( p, μ θ, σ ) (7) i= 1 i i θ i onde 2 ( p μ ) 1 2 2σ Normal ( p, μ, σ ) = e (8) σ 2π Para o caso com três aplicações teríamos uma distribuição normal para cada variável aleatória, retorno da aplicação, condicionada a um determinado estado da natureza. Um exemplo na Figura 2 percebe-se que a função conseqüência será obtida através de uma média ponderada das densidades de probabilidades pelos percentuais a investir nas aplicações financeiras. Figura 2 Distribuições Normais para Função Conseqüência, P(p θ,a) 2.6 A Distribuição a priori sobre os estados da natureza A distribuição a priori sobre os estados da natureza, π(θ), pode ser estimada diretamente a partir da freqüência relativa da série histórica do retorno acumulado dos índices, como também pode se obter através do uso do conhecimento de um especialista. 2.7 A Função de verossimilhança A função de verossimilhança, P(x θ) caracteriza a probabilidade de se acontecer determinada observação dado que um estado da natureza se concretizará em m períodos seguintes. Esta função representa o canal de comunicação das observações com a natureza e pode ser obtida a partir do histórico dos dados associando de forma apropriada as observações com os estados da natureza. Assumindo que as observações e os estados da natureza estejam definidos como discretos, esta função será uma matriz de dimensão (k x n), onde k é o número de observações e n o número de estados da natureza. [ 654 ]
2.8 As Regras de Decisão A utilização de regras de decisão neste problema de decisão pode ser inviável devido a possível grande quantidade de regras necessárias para analisar o problema, recomenda-se o uso do método extensivo, onde para cada observação tem-se uma recomendação de ação. 2.9 A Função Utilidade A função utilidade mede a valoração que o decisor atribui sobre o retorno acumulado da sua carteira de investimentos em um determinado período, isto é, mede-se a utilidade sobre os bens. Esta função pode assumir diferentes formatos para investidores diferentes, e para o mesmo investidor em períodos diferentes. Através desta função pode se observar se o investidor é avesso, propenso ou neutro ao risco. A função utilidade é denotada por U(p). Métodos de edução da função utilidade podem ser encontrados em CAMPELLO DE SOUZA (2002). Segundo Bezerra (2003a) utilizando o método de Markowitz para decidir o portfolio em que se deve investir, não se considera o risco sistemático. O uso da função utilidade com a teoria da decisão permitirá considerar este risco. Maiores detalhes sobre o método de seleção de portfolio de Markowitz pode ser encontrado em MARKOWITZ(1952) e RUBINSTEIN(2002). 2.10 A Função Perda A função perda, representa o prejuízo associado a uma tomada de decisão e a ocorrência de um estado da natureza, é medida pelo negativo da utilidade esperada e é denotada por L(θ,a). Assim tem-se: L( θ, a) = U ( p) P( p θ, a) dp (9) p 2.10 O Risco de Bayes O risco de uma ação dado que foi observado x será obtido por r a ( x) = L( θ, a) P( x θ ) π ( θ ) (10) θ A ação a ser escolhida é aquela que minimiza r a (x) para uma determinada observação. 2.11 Visão Geral do Modelo Através da Figura 3 podemos visualizar todos os elementos do modelo de decisão e suas interações. [ 655 ]
Figura 3 Visão Geral do Modelo de Decisão 3. Estudo de Caso Baseado em dados reais obtidos sobre indicadores do mercado financeiro e índice de ativos do período de Janeiro de 1998 a Junho de 2005, deseja-se decidir sobre quanto investir nos ativos BOVESPA, DOWN JONES e NASDAQ, nos próximos seis meses. 3.1 O Espaço das Ações Foram selecionados 7 pontos do espaço de ações, estes valores podem ser visualizados na Tabela 1. 3.2 O Espaço dos Bens Espaço de ações a 1 a 2 A 3 A 0 1 0 0 A 1 0 1 0 A 2 0 0 1 A 3 1/3 1/3 1/3 A 4 1/2 1/4 ¼ A 5 1/4 1/2 ¼ A 6 1/4 1/4 ½ Tabela 1 Espaço de ações Assumindo que o investidor aplicará uma quantia de R$ 100.000,00, e o retorno acumulado dos próximos seis meses pertencerá a faixa dos limites das distribuições normais da função conseqüência, de modo que a integral obtenha um valor próximo da unidade para este intervalo, os limites encontrados foram [0.4; 2], logo o intervalo dos bens é P = [ 40.000,00; 200.000,00]. A Tabela 2 apresenta a estatística descritiva dos retornos acumulado em seis meses das aplicações BOVESPA, DOWN JONES E NASDAQ. [ 656 ]
Retorno Acumulado N Média Desvio Padrão Mínimo Máximo R t1 83 1,100231 0,279246 0,551817 1,714154 R t2 83 1,017122 0,102458 0,729719 1,255703 R t3 83 1,030471 0,254115 0,500953 1,714859 3.3 Os Estados da Natureza Tabela 2 Estatística Descritiva dos Retornos Acumulados Tomando o conjunto do retorno acumulado discreto, para cada série, onde atribui-se valores iguais a um, caso o retorno acumulado para o período de seis meses seguintes seja maior que um, e zero em caso contrário. Como temos três séries, o conjunto dos elementos do estado da natureza será um vetor com três coordenadas onde cada coordenada é apresentada de forma dicotomizada, θ = θ 1 x θ 2 x θ 3, mas para facilitar a manipulação dos dados, este conjunto será representado por um conjunto de oito elementos, onde θ 0 =[0,0,0]; θ 1 =[0,0,1]; θ 2 =[0,1,0]; θ 3 =[0,1,1]; θ 4 =[1,0,0]; θ 5 =[1,0,1]; θ 6 =[1,1,0]; θ 7 =[1,1,1]; Através da Tabela 3 podemos visualizar a distribuição de freqüência dos estados da natureza, destaca-se os maiores percentuais ao primeiro e último estado, que representam retorno menor e maior do que um nas três aplicações respectivamente. Tabela de Freqüência Quantidade Percentual θ 0 24 28,91566 θ 1 1 1,20482 θ 2 4 4,81928 θ 3 4 4,81928 θ 4 7 8,43373 θ 5 5 6,02410 θ 6 8 9,63855 θ 7 30 36,14458 Tabela 3 Tabela de freqüência dos estados da natureza Na Figura 4 observa-se o histograma das freqüências dos estados da natureza e a dispersão destes estados ao longo do tempo. Figura 4 Histograma e Diagrama de Dispersão dos Estados da Natureza [ 657 ]
3.4 O Conjunto das Observações O conjunto das observações foi definido pelos indicadores X = {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 }, segue as definições dos indicadores abaixo: x 0 assume o valor de 1 se o PIB do Brasil tiver uma variação positiva e 0 nos casos contrários; x 1 assume o valor de 1 se a taxa de juros do Brasil tiver uma variação negativa e 0 nos casos contrários; x 2 assume o valor de 1 se a taxa de inflação do Brasil tiver uma variação negativa e 0 nos casos contrários; x 3 assume o valor de 1 se a taxa de juros nos Estados Unidos tiver uma variação negativa e 0 nos casos contrários; x 4 assume o valor de 1 se a taxa de inflação nos Estados Unidos tiver uma variação negativa e 0 nos casos contrários; A combinação destes indicadores retorna 32 possíveis tipos de observações, o histograma das freqüências das observações e a dispersão deste elemento ao longo do tempo é apresentado na Figura 5. As observações 2,7,11,14,15,19,21,26,27,29 não teve ocorrências e foram excluídas da análise. 3.5 A Função Conseqüência Figura 5 Histograma e Diagrama de Dispersão das Observações Para estimação da função conseqüência, baseado na hipótese de normalidade dos retornos acumulados, os valores das médias e desvios padrão foram estimados para cada estado da natureza, como mostra a Tabela 4, e os gráficos destas distribuições na Figura 6. Função Conseqüência μ 1 σ 1 μ 2 σ 2 μ 3 σ 3 θ 0 0,818674 0,124775 0,910393 0,057312 0,815978 0,13494 θ 1 0,95107 0,093348 0,998183 0,037496 1,022466 0,197789 θ 2 0,96148 0,036388 1,042315 0,044541 0,807054 0,125022 θ 3 0,827264 0,11888 1,038888 0,012127 1,151457 0,137964 θ 4 1,037133 0,041615 0,952268 0,02861 0,894509 0,121738 θ 5 1,248194 0,254549 0,971488 0,026565 1,201687 0,292729 θ 6 1,103262 0,066784 1,04111 0,032901 0,87821 0,156663 θ 7 1,374598 0,185079 1,113216 0,075179 1,259782 0,162674 Tabela 4 Estimativa das médias e desvios padrão do retorno acumulado para cada ativo [ 658 ]
Figura 6 Distribuições Normais para Função Conseqüência, P(p θ,a) 3.6 A Distribuição a Priori sobre os Estados da Natureza A distribuição a priori foi obtida pela freqüência relativa dos estados da natureza no período de Janeiro de 1998 a Junho de 2005. A Tabela 5 mostra os valores estimados. 3.7 A Função de Verossimilhança Distribuição a Priori π(θ) θ 0 28,92% θ 1 1,20% θ 2 4,82% θ 3 4,82% θ 4 8,43% θ 5 6,02% θ 6 9,64% θ 7 36,14% Tabela 5 Distribuição a Priori A função de verossimilhança foi obtida pela freqüência relativa das ocorrências passadas associando os estados da natureza com as observações. A Tabela 6 mostra os valores estimados. As células vazias representam valor igual a zero. X 0 X 1 X 3 X 4 X 5 X 6 X 8 X 9 X 10 X 12 X 13 θ 0 0,042 0,042 0,083 0,125 0,292 θ 1 θ 2 0,250 0,250 θ 3 0,250 0,250 θ 4 0,143 0,143 0,286 0,143 θ 5 0,400 θ 6 0,125 0,125 0,125 0,125 θ 7 0,100 0,067 0,033 0,133 0,033 0,033 0,133 0,033 [ 659 ]
X 16 X 17 X 18 X 20 X 22 X 23 X 24 X 25 X 28 X 30 X 31 θ 0 0,042 0,083 0,125 0,042 0,042 0,042 0,042 θ 1 1,000 θ 2 0,250 0,250 θ 3 0,250 0,250 θ 4 0,143 0,143 θ 5 0,200 0,200 0,200 θ 6 0,250 0,250 θ 7 0,133 0,033 0,033 0,033 0,033 0,067 0,033 0,067 Tabela 6 Função de Verossimilhança 3.8 A Função Utilidade A função utilidade adotada neste estudo de caso é a linear, parametrizada segundo os limites do espaço dos bens [0.4; 2], de modo que a escala de utilidade seja [0; 1]. 0.4 U ( p) = p 2 0.4 (11) 3.9 A Função Perda e o Risco de Bayes A função perda está definida em (9) e o risco de Bayes em (10) e como resultados temos: A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 x 0-0,0255-0,0190-0,0222-0,0222-0,0230-0,0214-0,0222 x 1-0,0032-0,0039-0,0032-0,0034-0,0033-0,0035-0,0033 x 3-0,0053-0,0048-0,0036-0,0046-0,0048-0,0046-0,0043 x 4-0,0265-0,0222-0,0223-0,0237-0,0244-0,0233-0,0233 x 5-0,0075-0,0055-0,0066-0,0065-0,0068-0,0063-0,0066 x 6-0,0116-0,0125-0,0098-0,0113-0,0114-0,0116-0,0109 x 8-0,0550-0,0517-0,0533-0,0533-0,0538-0,0529-0,0533 x 9-0,0075-0,0055-0,0066-0,0065-0,0068-0,0063-0,0066 x 10-0,0075-0,0055-0,0066-0,0065-0,0068-0,0063-0,0066 x 12-0,0777-0,0733-0,0757-0,0756-0,0761-0,0750-0,0756 x 13-0,0128-0,0103-0,0102-0,0111-0,0115-0,0109-0,0109 x 16-0,0408-0,0318-0,0339-0,0355-0,0368-0,0346-0,0351 x 17-0,0032-0,0039-0,0032-0,0034-0,0033-0,0035-0,0033 x 18-0,0202-0,0175-0,0189-0,0188-0,0192-0,0185-0,0188 x 19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 x 20-0,0233-0,0213-0,0220-0,0222-0,0225-0,0220-0,0222 x 21 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 x 22-0,0075-0,0055-0,0066-0,0065-0,0068-0,0063-0,0066 x 23-0,0107-0,0094-0,0098-0,0099-0,0101-0,0098-0,0099 x 24-0,0328-0,0280-0,0258-0,0289-0,0299-0,0287-0,0281 x 25-0,0205-0,0223-0,0244-0,0224-0,0219-0,0224-0,0229 x 28-0,0179-0,0190-0,0212-0,0194-0,0190-0,0193-0,0198 x 30-0,0184-0,0150-0,0166-0,0167-0,0171-0,0163-0,0167 x 31-0,0042-0,0048-0,0031-0,0040-0,0041-0,0042-0,0038 Tabela 7 Risco de Bayes [ 660 ]
Como resultado do modelo todo o capital deve ser aplicado em BOVESPA para a maioria das observações, X={x 0, x 3, x 4, x 5, x 8, x 9, x 10, x 12, x 13, x 16, x 18, x 20, x 22, x 23, x 24, x 30 }. Investir em DOWN JONES quando X = {x 1, x 6, x 17, x 31 } e NASDAQ para X= {x 25, x 28 }. 4. Conclusões Podemos concluir que o modelo é bastante apropriado para utilização no mercado financeiro, as distribuições de probabilidade podem ser atualizadas e serão incorporadas pelo modelo para futuras decisões. Surpreendentemente as ações que eram compostas por mais de uma aplicação não foram recomendadas pelo modelo, acredita-se que isto ocorre em virtude do risco de Bayes ser baseado no valor esperado da perda, talvez um novo elemento de variância das aplicações possa ser incorporado ao modelo para satisfazer esta necessidade. 5. Referências. Bezerra, D. C. (2003a). Carteira de Investimento Usando Teoria da Decisão. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção - Universidade Federal de Pernambuco. Bezerra, D. C. (2003b). Escolha no Mercado Financeiro Usando Teoria da Decisão. XXXV SBPO, Natal-RN. Campello de Souza, F. M. (2002). Decisões Racionais em Situações de Incerteza. Editora Universitária da UFPE, ISBN: 85-7315-178-1. Markowitz, H. (1952) Portfolio Selection. The Journal of Finance, Vol 7, No. 1. pp. 77-91. Rubinstein, M. (2002) Markowitz s "Portfolio Selection": A Fifity-Year Retrospective. The Journal of Finance, Vol LVII, No. 3, pp. 1041-1045. [ 661 ]