Teoria de decisão Bayesiana e clássica: determinação de preços

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1 Teoria de decisão Bayesiana e clássica: determinação de preços Mário Hissamitsu Tarumoto 1 Luan Cauê Cherubini 2 Olga L.Anglas R.Tarumoto 1 1 Introdução A teoria da decisão é uma abordagem sistemática para a tomada de decisões racionais, adequada em situações de incerteza que de forma geral, parecem estar associados a algum tipo de loteria. O responsável pela tomada de decisão busca obter o melhor resultado. Ela pode ser entendida como um ramo da estatística que trata da situação prática de tomada de decisões racionais. Preocupa-se em enxergar o problema de forma lógica em situações incertas. A frase: Uma boa decisão deve ser uma consequência lógica daquilo que se tem, daquilo que se sabe e daquilo que se pode fazer (CAMPELLO DE SOUZA, 2007), ilustra bem a necessidade do procedimento nesta área. No que tange à teoria econômica, a determinação de preços está presente em abordagens que enfocam, especificamente, o comportamento da empresa. Embora a questão do valor seja abordada por diversos economistas, pertencentes às mais diversas escolas de pensamento econômico, destaca-se a Teoria da Decisão, que apresenta uma estrutura sob o qual é possível avaliar vários critérios e assim a empresa determina preços, que nem sempre busca só a maximização dos lucros. Neste trabalho, o intuito principal foi o de realizar um estudo a respeito da teoria da decisão, sob o enfoque clássico e posteriomente o Bayesiano. Foi realizada uma aplicação prática, e nesta, as duas teorias aplicadas proporcionaram resultados semelhantes. 2 Material e métodos O desenvolvimento do trabalho se deu através de pesquisa bibliográfica, buscando uma aplicação prática. Neste tópico serão descritos alguns conceitos estudos e que possibilitarão a realização da aplicação. Desta forma a parte teórica serão apresentados como material. As decisões têm significado apenas no contexto dos objetivos. Se não houver um objetivo a ser alcançado, não interessa muito qual a decisão a tomar. Nas empresas, as decisões devem ser tomadas em função de suas estratégias: crescer, diversificar, internacionalizar ou inovar. Estes são os alvos que condicionam as decisões de gestão. A especificação estrutural envolve a 1 Dep.Estatística FCT/UNESP. tarumoto@fct.unesp.br 2 Aluno do Curso de Graduação em Estatística FCT/UNESP 1

2 identificação dos elementos do problema de decisão, isto é, os eventos incertos, as alternativas possíveis, os parâmetros desconhecidos e as relações estruturais. Um problema de decisão é especificado pela tripla (, Θ, U), em que: = {α i} é o espaço de todas as alternativas viáveis. O decisor deve conseguir construir uma lista exaustiva e mutuamente exclusiva de todas as ações alternativas. Não será possível escolher uma alternativa que não foi incluída; Θ = {θ j} é o espaço dos estados da natureza, que é a descrição completa dos fatores externos independentes do tomador de decisão, então são estados que podem ocorrer fora do controle do decisor. Este também deve ser mutuamente exclusivo e deve descrever exaustivamente todas as situações possíveis. Uij = U(αi; θj) é o espaço das consequências que também podem ser chamados de resultados, ou seja, é a consequência de se escolher uma dada alternativa de decisão, quando ocorrer certo estado da natureza. Cada combinação alternativa de decisão/estado da natureza resultará em uma consequência para o decisor, que podem ser representadas em Matriz de resultados. Neste trabalho serão abordados apenas métodos para lidar com problemas onde serão consideradas apenas essas ações em consenso juntamente com os estados da natureza aceitos, tal que, para que o decisor possa tomar uma decisão, as mesmas precisam estar bem definidas. Um conceito de utilidade, às vezes chamado de cardinal fraca, é derivado a partir de determinados axiomas de comportamento e aplicável ao caso das escolhas em situações de risco. Von Neumann e Morgernstern (1944) apresentaram um dos resultados mais importantes da teoria da decisão que compara duas ações através de suas utilidades esperadas. Considere o conjunto de todas as funções de probabilidade, ou ações. O Teorema de Von Neumann e Morgernstern (VNM) afirma que a comparação entre ações (loterias) pode ser feita através de comparações quantitativas dos valores esperados das utilidades das consequências quando ponderadas pelas distribuições de probabilidade das respectivas loterias. Será definida uma relação de preferência entre as loterias a fim de encontrarmos uma base racional para uma boa tomada de decisão. Para λ (0,1]: λ 1+ (1 λ) 2 (1) A expressão (1) é uma combinação linear convexa, que pode ser lida como uma loteria, tal que, o individuo ganha o bem P, relacionado com a ação 1 com probabilidade λ e Q, relacionado com a ação 2 com probabilidade (1 λ), onde P e Q pode ser qualquer ação que agrega algum tipo de valor. 2

3 Os axiomas a seguir foram desenvolvidos por Von Neumann e Morgenstern (1944). Aqui, a importância dessa teoria é a representação da relação de preferência ( ) definida acima por uma função real, chamada de função utilidade, obtida a partir de um conjunto de axiomas. Os tomadores de decisão podem ter diferentes atitudes frente ao risco. No contexto da teoria da utilidade, a aversão ao risco é uma propriedade estabelecida a partir da função de Bernoulli. Segue direto da definição de aversão ao risco que um tomador de decisão é avesso ao risco se, e somente se, E[u(x) ] u[e(x)] (2) A desigualdade (2) é conhecida como a desigualdade de Jensen. Se a desigualdade de Jensen é satisfeita, então, pela própria definição de concavidade, a função utilidade de Bernoulli é côncava. A figura 1 representa uma função utilidade côncava, referente a um indivíduo avesso ao risco. Por outro lado, a propensão ao risco equivale à convexidade da função utilidade de Bernoulli. Na figura 2 temos uma função utilidade convexa que representa as preferências de um tomador de decisão propenso ao risco. Figura 1: Função utilidade Figura 2: Função utilidade - Avesso ao risco - - Propenso ao risco Finalmente, se um indivíduo for neutro ao risco, a sua função utilidade de Bernoulli é tanto convexa quanto côncava e, portanto, linear. Neste caso, o indivíduo é indiferente entre uma loteria e um algum outro prêmio como certo. Assim, podemos sumarizar a relação entre as atitudes frente ao risco e o formato das funções utilidades de Bernoulli do seguinte modo: Aversão ao risco u (x) 0 x (utilidade marginal decrescente) Função u convexa. Neutralidade ao risco u (x)=0 x (utilidade marginal constante) Função u linear. Propensão ao risco u (x) 0 x (utilidade marginal) Função u côncava. A natureza escolhe θ, o decisor escolhe, e o sistema escolhe uma consequência U com probabilidade. Segundo Migon e Gamerman (1997) Uma regra de decisão δ é uma função 3

4 definida em Z com valores em. A cada decisão δ(x) e a cada possível valor do parâmetro θ fica associado uma perda, que pode ser interpretado como a punição que se sofre por tomar a decisão δ quando o valor do parâmetro é θ, podendo esta associação ser determinística ou probabilística, onde que nesse trabalho será abordado somente às regras de decisão não randomizadas, ou determinística. O que se quer é uma regra δ que produza a menor perda possível, em termos de preferência do decisor (preferência estas representadas pela sua função utilidade e consequentemente a uma função perda), dado θ. Como não é possível a implementação de procedimentos que minimizem diretamente a função de perda, pois essa depende de θ, que é desconhecido, o estatístico procura minimizar a função risco através de alguns procedimentos clássicos, como por exemplo, a regra minimax, ou através da utilização de procedimentos Bayesianos, como por exemplo, o critério pela posteriori. No caso Bayesiano, é adicionado algo mais ao quadro geral do problema de decisão que vem sendo analisado até agora. Será assumido que se tem também uma distribuição de probabilidade a priori nos estados da natureza. Isto é, supor que π( ) é conhecida. As regras de decisão são preferidas de acordo com a desejabilidade das suas consequências. Isto é uma decorrência dos axiomas da preferência. Portanto deve-se preferir as regras que dão as consequencias que têm mais altas utilidades, ou com o sinal trocado deve-se preferir as regras que dão as consequencias que têm os menores valores esperados das perdas. Gamerman & Migon (1997) definem, Uma regra de decisão δ* é ótima, se tem risco mínimo, isto é, R(δ*) < (δ), δ. Esta regra será denominada regra de Bayes e seu risco, o risco de Bayes. No critério pela posteriori, ao cálcular as regras de Bayes usa-se a distribuição a posteriori, que é resultado da combinação, da função de verossimilhança com a distribuição a priori. É o resultado da combinação de dois corpos de evidência. Dependendo das expressões analíticas envolvidas esse cálculo pode ser complexo, sendo a única alternativa disponível, muitas vezes, a aplicação de métodos numéricos. Se existir flexibilidade na escolha da distribuição a priori, é sempre conveniente trabalhar com as chamadas distribuições conjugada. 3 Resultados e discussões Para fins de aplicação prática, foram utilizados os trabalhos realizados pela Empresa Júnior de Estatística (Ejest) da FCT/UNESP. Atualmente para a realização de assessoria estatística em trabalhos acadêmicos, a Ejest cobra uma taxa simbólica de R$ 100,00 para cada trabalho executado, sem levar em consideração o grau de dificuldade ou de urgência. Como de fato um fim didático, é aceitável considerar que os verdadeiros valores dos projetos podem 4

5 assumir finitos valores contínuos em um intervalo de R$80,00 a R$120,00 (Θ={θj}), como sendo um preço abaixo da concorrência, porém nesse trabalho essa variação foi discretizada e pode assumir apenas três valores, R$80,00 (θ1), R$100,00 (θ2) e R$120,00 (θ3). A fim de prever o possível estado que irá ocorrer, o diretor de projetos juntamente com o diretor financeiro, agora deve decidir entre cobrar R$80,00 (ação a1), cobrar R$100,00 (ação a2) ou cobrar R$120,00 (ação a3) ( = { }), observe que o espaço das ações é o mesmo dos estados da natureza ( = Θ). O principio da Verossimilhança torna explícita a idéia condicional natural de que apenas as observações (x) devem ser relevantes para conclusões ou evidências a respeito de Θ. 4 Conclusões Foi analisado apenas três (Utilidade, Perda Absoluta e Perda Quadrática) de muitos outros existentes na literatura. Os resultados via Utilidade, com base nas preferências, retornou sempre a mesma decisão como ótima, esse fato deve-se à dedução das preferências estar fortemente relacionado com trabalhos mais bem planejados e elaborado ou seja os que de fato valem R$120,00. Inicialmente seria usada apenas a Perda Quadrática, mas devido toda a crítica de que essa perda introduz uma penalidade que cresce muito fortemente com o valor do erro cometido, foi analisado outro tipo de Perda, a Absoluta. 5 Bibliografia BOLFARINE, H.; SANDOVAL, M.C. Introdução à Inferência Estatística, Coleção Matemática Aplicada, Editora Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, CAMPELLO DE SOUZA, F.M. Decisões Racionais em Situação de Incerteza. 2. ed. versão ampliada, Editora Universitária da Universidade Federal de Pernambuco, Recife, CUSINATO, R.T. Teoria da Decisão sob Incerteza e a hipótese da Utilidade Esperada: Conceito Analítico e Paradoxos. Dissertação de Mestrado (Economia), Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, MIGON, H.S. ;GAMERMAN, D. Inferência Estatística: Uma abordagem integrada, Coleção Textos de Métodos Matemáticos n. 27, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de janeiro, Rio de Janeiro, MOTTA, J. Decisões de preço em clima de incerteza: Uma contribuição da análise Bayesiana. ERA- Revista de Administração de Empresas, São Paulo, v.37, n. 2, p , Abr/Jun NASCIMENTO, F. S.; LOPES, H. C. Estratégia de determinação de preço no setor moveleiro de Santa Maria (RS), Perspectiva Econômica, v.6, n.1:91-190, Jan/Jun SILVA, Paulo Afonso Lopes. Fundamentos da Teoria da Decisão. IX SINAPE, IME-USP, São Paulo,