Incerteza. Universidade Federal de Santa Catarina. From the SelectedWorks of Sergio Da Silva. Sergio Da Silva

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1 Universidade Federal de Santa Catarina From the SelectedWorks of Sergio Da Silva 009 Incerteza Sergio Da Silva Available at:

2 Incerteza Hal R. Varian Intermediate Microeconomics, 8th edition Capítulo 1 Consumo contingente Os mercados de seguros e de ações existem para reduzir riscos. Quando o consumidor decide que seguro de automóvel fazer ou se vai investir no mercado de ações, ele está preocupado com uma distribuição de probabilidade de obter cestas de bens diferentes. A distribuição de probabilidade se refere a uma lista de diferentes resultados (quantidades de consumo diferentes e à probabilidade associada a cada resultado. Exemplo 1. O consumidor possui $100 e pensa em comprar o bilhete de número 13, que custa $5. Se este número for sorteado, ele ganha $00. Os resultados são: sair 13 ou não. A dotação inicial de riqueza é $100. Se o consumidor resolver comprar o bilhete, e ganhar, fica com $100 $5 $00 = $95; se não ganhar, fica com $100 $5 = $95. A distribuição dos resultados é, então, $95 e $95. Exemplo. O consumidor possui ativos no valor de $ Seu carro, que vale $10000, pode ser roubado com a probabilidade de 1%. A distribuição de probabilidade será, então, 1% de chance de ele ficar com $5000 (= $35000 $10000 e 99% de chance de continuar com $ O seguro oferece um meio de alterar essa distribuição de probabilidade. Pagando o prêmio de $1 pelo seguro, o consumidor receberá $100 da seguradora em caso de roubo. O consumidor pode, então, comprar $10000 (valor do carro de seguro pagando um prêmio de $100. Agora ele terá 1% de chance de ficar, em caso de roubo, com $34900 (= $35000 (dotação inicial $10000 (perda pelo roubo do carro $10000 (indenização do seguro $100 (custo do prêmio do seguro e 99% de chance de ficar com $34900 (= $35000 (dotação inicial $100 (custo do prêmio do seguro. Assim, o consumidor ficará com a mesma riqueza ($34900 independentemente de ocorrer ou não o roubo. Este seguro é dito completo ( compreensivo. Em relação aos dados do exemplo, o consumidor poderá querer também comprar menos seguro, dependendo de sua preferência em relação ao risco. Em geral, comprando $ K de seguro e pagando o prêmio de γ K, a aposta feita será: ou π 1 = 0.01 de chance de ficar com c1 = $5000 K γ K (1 π = 0.99 de chance de ficar com c = $35000 γ K. ( Aqui, os dois estados da natureza são: ocorrer o roubo (com probabilidade π 1 ou não (com probabilidade π. Como ocorre um estado ou o outro, π1 = π e π = 1 π. Um plano contingente de consumo é a especificação do que será obtido em cada estado da natureza: quanto dinheiro o consumidor terá em caso de roubo e quanto terá se não ocorrer o roubo. O consumidor faz sua escolha refletindo suas preferências de consumo em diferentes circunstâncias. No ponto de dotação da Figura 1, o consumo contingente c 1 é de

3 $5000 no estado da natureza em que ocorre o roubo e de c = $35000 no estado em que não ocorre. Escolhendo fazer o seguro, o consumidor poderá sair do ponto de dotação. Ele reduz c 1 (seu consumo contingente no estado da natureza em que não ocorre o roubo em γ K para obter mais de c (consumo contingente no estado da natureza em que ocorre o roubo na quantidade K γ K. O consumidor que escolhe fazer o seguro deve ter preferências convexas, pois prefere distribuir seu consumo em cada estado da natureza de forma balanceada. O seguro é um meio de transferir riqueza de estados da natureza bons para estados ruins. A inclinação da reta orçamentária que passa pela dotação é dada por: c γ K γk γ c1 K γ K K(1 γ 1 γ = = =. (3 Perceba que o preço do consumo contingente no estado da natureza em que não ocorre o roubo é 1 γ (o custo de oportunidade de se ter reduzido c e o preço no estado em que ocorre o roubo é γ (o custo de oportunidade de se ter reduzido c 1. No equilíbrio, a taxa marginal de substituição se iguala a razão dos preços e, portanto, γ TMS =. (4 1 γ Do ponto de vista do vendedor de seguros (seguradora, há o atacado e o varejo. No atacado, a seguradora vende o risco para terceiros, geralmente fundos de pensão, no mercado de resseguro. Exemplo: Lloyd s de Londres. No varejo ocorre a venda para os consumidores finais. O mercado de resseguro cobre até mesmo terremotos e furacões através da emissão de títulos (fundos-catástrofe. O fundo-catástrofe é um título de estado contingente que somente é pago na hipótese de ocorrer o evento especificado. Se não ocorrer o sinistro, o investidor

4 recebe a taxa de juros. Se ocorrer e, além disso, o dano superar o montante do título, o investidor perde o principal e os juros. Opções e outros derivativos são também títulos de estado contingente. Funções utilidade e probabilidades A taxa à qual o consumidor desejará reduzir seu consumo contingente em caso de não ocorrer roubo em troca de mais consumo contingente no estado de natureza de roubo dependerá da sua estimativa da probabilidade de ocorrência do roubo. As suas preferências dependerão então da crença da probabilidade de ocorrência de cada estado da natureza. A função utilidade dependerá, então, não apenas das quantidades consumidas, mas também das probabilidades: uc ( 1, c, π1, π. Como os dois estados se excluem (roubo ou não roubo, π = 1 π1. Exemplo 3: substitutos perfeitos. Se os dois consumos contingentes forem substitutos perfeitos: uc (, c, π, π = π c π c. ( Como o formato desta função utilidade coincide com o valor esperado (o nível médio de consumo contingente nas duas situações, ela é chamada de função utilidade do valor esperado. Exemplo 4: Cobb-Douglas. Se a combinação dos consumos contingentes for não-linear na forma: uc (, c, π,1 π = cc. (6 π 1 π 1 1 Tomando a sua transformação monotônica na forma de log natural: ln uc (, c, π, π = π ln c π ln c. ( Esta versão (7 da Cobb-Douglas é a função utilidade do valor esperado na forma de log natural. Utilidade esperada Exemplo 5: Von Neumann-Morgenstern. Outro formato da função utilidade do valor esperado, que é um caso mais geral do que (7, é dado por: uc (, c, π, π = π vc ( π vc (. ( Se o estado da natureza 1 for certo, π 1 = 1, e vc ( 1 será a utilidade do consumo contingente no estado 1. Se o estado da natureza for certo, π = 1, e vc ( será a utilidade do consumo contingente no estado. Logo, π 1 vc ( 1 π vc ( será a utilidade média (ou esperada do

5 consumo contingente ( c1, c. Esta é a função utilidade esperada ou função Von Neumann- Morgenstern (VNM. Note que (8 possui a propriedade de utilidade esperada, enquanto (6 não apresenta. Além, disso, nem toda transformação monotônica preserva a propriedade de utilidade esperada. Porém, há uma exceção. A transformação afim positiva vu ( = au b, a > 0, onde multiplicamos a utilidade original por um número positivo e adicionamos uma constante é capaz de representar as mesmas preferências, já que preserva a propriedade de utilidade esperada. A utilidade esperada é razoável As preferências em relação a escolhas incertas devem realmente apresentar a forma funcional de utilidade esperada, como (5 e (7. Isto porque apenas um dos estados da natureza ocorre: roubo ou não. Em outras palavras, os consumos contingentes devem realmente ser substitutos perfeitos. Além disso, é razoável pensar que a decisão de fazer seguro independe do estado da natureza de não ocorrer o roubo. As escolhas planejadas em um estado da natureza independem das escolhas no outro estado. Esta hipótese de independência implica que a função utilidade deve ser aditiva nas diferentes cestas de consumo contingente: uc (, c, c = π uc ( π uc ( π uc (, que é a função utilidade esperada. Portanto, a taxa marginal de substituição entre os bens 1 e independe da quantidade do bem 3: TMS U( c, c, c π u( c c1 c1 = =. (9 U c1 c c3 π u c 1 (,, ( c c Aversão ao risco Exemplo 6. O consumidor possui $10 e pensa em fazer uma aposta onde pode ganhar $5 com 50% de chance ou perder $5 com 50% de chance. Se ele ganhar, sua riqueza aumentará para $15; se perder ficará com $5. Portanto, sua riqueza w torna-se aleatória. O valor esperado da riqueza é dado por: 1 1 Ew= ( 15 5 = = 10. Porém, a utilidade esperada desta aposta é calculada como: 1 1 uw ( = u($15 u($5.

6 Portanto, a utilidade esperada é a média de u (5 e u (15, que é representada pelo ponto no meio da reta ligando u (5 e u (15 na Figura. Na Figura, veja que w = 10 gera uma utilidade u (10 maior do que a utilidade esperada 1 1 u(15 u(5. Por causa disso, ele prefere a coisa certa (sure thing à aposta. Prefere ficar com 10 (que gera uma utilidade maior a apostar, que gera uma utilidade menor. O consumidor não apostará mesmo que o valor esperado da riqueza seja igual a 10 também: ele será avesso ao risco. Na Figura, este resultado é representado pelo formato côncavo da curva de utilidade da riqueza uw: ( sua inclinação diminui à medida que w aumenta. Se a utilidade fosse convexa, o consumidor seria propenso ao risco. Se fosse linear, ele seria neutro ao risco. Exemplo 7. A demanda do consumidor por seguro pode ser obtida combinando-se (3, (4 e (9: TMS π u( c 1 = c1 π u c =, (10 1 (1 ( c γ 1 γ onde π1 = π e π = 1 π. A seguradora terá que pagar K no caso de roubo, que ocorre com probabilidade π ; nada pagará se não houver roubo, que ocorre com probabilidade 1 π. Contudo, ela sempre receberá o prêmio γ K. O seu lucro esperado P será, então, P= γ K πk (1 π 0 = γk πk. No situação de break even, onde o valor esperado do seguro se iguala as custos, a companhia de seguro oferece a taxa justa. Neste caso em que o lucro esperado é igual a zero:

7 P= γ K π K = 0 K( γ π = 0 γ = π. (11 Para o consumidor, na situação de break even, (11 em (10: π u( c1 c1 (1 π uc ( c π π = 1 π uc ( 1 (1 π uc ( c1 c π = 1 π uc ( 1 uc ( =. (1 c c 1 Portanto, a utilidade marginal de $1 de renda adicional no caso de ocorrência do roubo deve ser igual à utilidade marginal de $1 de renda adicional no caso de não ocorrência. Se o consumidor for avesso ao risco, a utilidade marginal da riqueza decai à medida que ele acumula mais riqueza. Portanto, se c 1 > c, a utilidade marginal em c 1 será menor do que em c. Logo, se as utilidades marginais forem iguais, como em (1, estará implícito que c = c. (13 1 Considerando (13, (1 e (: 5000 K γ K = γ K K γ K γ K = K = $ Assim, se a taxa γ for justa, o valor do seguro K que o consumidor avesso ao risco deseja terá que ser igual à perda total em caso de roubo ($ O consumidor escolherá o seguro completo. Diversificação Ao diversificar um investimento, pode-se reduzir o risco mantendo-se o mesmo retorno esperado. Exemplo 8. Um consumidor avesso ao risco pensa em investir $100 em duas empresas: de óculos de sol e de capas de chuva. Ele conhece a previsão de que, no próximo verão, haverá 1 dias de sol em igual número a dias de chuva: probabilidade = para cada estado. As ações das empresas custam o mesmo: $10 por unidade. A previsão de analistas é que, se o verão for chuvoso, a ação da empresa de capas de chuva dobrará de valor: de $10 para $0, enquanto a ação da empresa de óculos de sol terá seu valor reduzido pela metade: de $10 para $5. O inverso ocorreria para um verão ensolarado. Apostando em um verão ensolarado, o consumidor investirá todo o seu dinheiro em ações da empresa de óculos (comprando 10 unidades. Ele poderá ter seu retorno dobrado (de

8 $100 para $00 se o verão for realmente ensolarado. Mas, se for chuvoso, o seu retorno será reduzido à metade: de $100 para $50. Analogamente, apostando em um verão chuvoso, o consumidor investirá todo o seu dinheiro em ações da empresa de capas de chuva (comprando 10 unidades. Ele poderá ter seu retorno dobrado (de $100 para $00 se o verão for realmente chuvoso. Porém, o seu retorno poderá se reduzir à metade (de $100 para $50 se o verão for ensolarado. Partindo de $100, sua riqueza poderá dobrar ou se reduzir pela metade, se o consumidor investir exclusivamente em uma das ações. O valor esperado nas duas situações será: 1 1 E = $00 $50 = $15. Se comprar 5 ações de cada empresa, o consumidor diversificará seu investimento. Poderá garantir o valor esperado de $15, em vez de correr o risco de dobrar ou reduzir sua riqueza pela metade. Partindo de sua riqueza inicial de $100, ele investirá $50 nas ações da empresa de óculos e $50 nas ações da empresa de capas de chuva. Em caso de verão ensolarado, o retorno das ações da empresa de óculos de sol dobrará (de $50 para $100, enquanto o retorno das ações da empresa de capas de chuva cairá pela metade (de $50 para $5. O consumidor ficará com $15. Em caso de verão chuvoso, o retorno das ações da empresa de óculo de sol cairá pela metade ($5, mas o retorno das ações da empresa de capas de chuva dobrará ($100. O consumidor ficará de novo com $15. Quer chova ou faça sol, o consumidor garantirá que seu retorno seja de $15. Distribuição do risco Exemplo 9. Podemos imaginar que mil consumidores se defrontem com o problema anterior do seguro contra roubo. Cada consumidor possui $35000 e há a probabilidade de 0.01 de perder $10000 pelo roubo do carro. Para cada consumidor, o valor esperado da perda será: 0.01 $10000 = $100. Para os mil consumidores, as perdas totalizarão 1000 $100 = $100000, o que significa que haverá dez perdas em média ( = 10. Supondo que as probabilidades de roubo sejam independentes, a perda de um consumidor não afetará a de outro. A riqueza esperada de cada consumidor será, como vimos, Ew= ( 0.99 $ = $ Porém, há um alto grau de risco envolvido: 0.01 $10000 = $100. Este risco poderá ser diversificado se cada consumidor passar seu risco para o grupo: se o carro de alguém for roubado, perdendo $10000, cada um dos mil consumidores contribuirá com $10 para ele. O consumidor recuperará então os $10000 ( = $ Os 10 roubos são apenas uma média. Em um ano poderão ocorrer 8 roubos e em outro poderão ocorrer 1. Assim, há o risco adicional de cada consumidor pagar $1 (ou $8 em vez de $10. Contudo, esse risco pode também ser reduzido fazendo com que a contribuição de $10 por ano seja fixa. Nos anos de 8 roubos, $ seriam depositados em um fundo de reserva para compensar os anos de 1 roubos. Além disso, o dinheiro do fundo poderia também ser aplicado.

9 Mercado de ações e risco Assim como o mercado de seguro, o mercado de ações permite diversificar o risco. Os proprietários de uma empresa podem emitir ações para distribuir seu risco entre todos os acionistas. Os proprietários convertem, então, o fluxo de retornos ao longo do tempo em um pagamento de montante fixo. Os acionistas também podem realocar seus riscos. Seus ativos podem ser distribuídos entre ações de várias empresas. Há um risco no mercado de ações também no nível agregado: em determinado ano o mercado de ações como um todo pode ir mal, embora possa ter melhor desempenho em outro ano. Maximização da utilidade esperada Exemplo 10. O consumidor pensa em aplicar uma quantia x de sua riqueza inicial w em um ativo de risco, que pode apresentar um retorno positivo r > 0 ou negativo r < 0. O resultado r ocorre com probabilidade π enquanto r ocorre com probabilidade 1 π. A sua riqueza final W será, em cada caso, e W = ( w x (1 r x= w x x r x= w r x W = ( w x (1 r x= w x x r x= w r x. Já a utilidade esperada da aplicação será: EU( x = πu( w r x (1 π u( w r x. Diferenciando em relação a x, encontramos a taxa de variação da utilidade em resposta a x : EU ( x = πu ( w r x r (1 π u ( w r x r. (14 Se o consumidor for avesso ao risco, sua função utilidade será côncava: u ( < 0, w. Assim, diferenciando (14: EU ( x = π r u ( w r x r (1 π r u ( w r x r EU x = u w r x r u w r x r <. (15 ( π ( (1 π ( 0 Precisamos saber como a utilidade esperada aumenta, depois que a primeira unidade monetária for aplicada no ativo. Para isso, fazemos 0 x = em (14: EU (0 = πu ( w r (1 π u ( w r [ π π ] EU (0 = u ( w r (1 r, (16

10 onde o termo dentro dos colchetes fornece o retorno esperado: Er ( π r (1 π r. (17 Dado que a riqueza aumenta a utilidade u ( w > 0, se o retorno esperado for negativo, isto significa que a primeira unidade aplicada no ativo reduz a utilidade. Por (16, EU (0 < 0. Já que a segunda derivada é negativa (equação (15 porque o agente é avesso ao risco, isto implica que a utilidade continua a diminuir com a unidade seguinte aplicada no ativo. Isto nos leva a concluir que a utilidade esperada será maior em x = 0. Assim, o consumidor avesso ao risco não aplica nada no ativo de risco (Figura 3. Se o retorno esperado for positivo, a primeira unidade aplicada no ativo aumentará a utilidade. Isto significa que o consumidor aplicará em outra unidade e, por (16, EU (0 > 0. Neste caso, a quantidade ótima x > 0, indicando que alguma parte da riqueza será investida quando os retornos esperados forem positivos (Figura 4. O máximo é encontrado igualando (14 a zero: EU x = u w x r r u w x r r = (18 ( π ( (1 π ( 0 π = u ( w x r r (1 π u ( w x r r

11 π (1 π ( u ( w x r r = u w x r r. (18 Como a segunda derivada é negativa, x é um máximo global. Exemplo 11: imposto. Na presença de um imposto t que visa desestimular o investimento em um ativo ( 0< t < 1, os retornos depois que o imposto for pago serão dados por: e (1 tr (1 tr. Temos agora que reescrever (14 para: EU ( x = π u ( w (1 trx (1 tr (1 π u ( w (1 trx (1 tr. (19 Igualando a zero encontramos a nova quantidade investida no ativo de risco x : EU x = u w trx tr u w trx tr = ( π ( (1 (1 (1 π ( (1 (1 0 = (1 t π u ( w (1 t r x r (1 π u ( w (1 t r x r 0 π u w t r x r u w t r x r =. (0 ( (1 (1 π ( (1 0 Note que, se

12 x x = 1 t (1 for substituído em (0: x x π u ( w (1 t r r (1 π u ( w (1 t r r = 0 1 t 1 t chegaremos de novo a (18: π u w x r r u w x r r =. (18 ( (1 π ( 0 Sendo assim, (1 é verdadeira. Assim, se for introduzido um imposto sobre o ativo de risco (t de t = 0 para t = 0.1, digamos, então (1 t (de 1 para 0.9. Por (1, x pois x x = (1 t. Este curioso resultado mostra que tributar um ativo de risco incentiva ainda mais o investimento nele. Sergio Da Silva 010 sergiodasilva.com