MAE0524: Análise Bayesiana de Dados

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1 MAE0524: Análise Bayesiana de Dados Aula 4: Introdução ao Pensamento Bayesiano Gualberto Segundo Agamez Montalvo Instituto de Matemática e Estatística - USP 25 de fevereiro de 2016 G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

2 Sumário 1 Introdução 2 Uso do histograma para construção da priori subjetiva 3 Aplicação. 4 Referências. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

3 Sumário Introdução 1 Introdução 2 Uso do histograma para construção da priori subjetiva 3 Aplicação. 4 Referências. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

4 Introduc a o Introduc a o G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

5 Introdução Introdução G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

6 Introdução Introdução G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

7 Introdução Introdução Exemplo: Suponha que uma pessoa está interessada em aprender os hábitos de sono de estudantes universitários americanos. Ela ouve que os médicos recomendam oito horas de sono para um adulto médio. Pergunta de interesse: qual é a proporção de estudantes universitários que têm pelo menos oito horas de sono? G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

8 Introdução Introdução O valor da proporção p é desconhecido. No ponto de vista Bayesiano, as crenças de uma pessoa sobre a incerteza nessa proporção são representadas por uma distribuição de probabilidade (a priori). Suponha-se que a densidade a priori para p é denotado por G(p). Se considerarmos um sucesso como dormir pelo menos oito horas e tomamos uma amostra aleatória com s sucessos e f fracassos, então a função de verossimilhança é dada por L(p) p s (1 p) f, 0 < p < 1. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

9 Introdução Introdução A densidade a posteriori para p é proporcional ao produto da densidade a priori e a função de verossimilhança, isto é, g (p dados) g (p) L (p). Assim, para uma amostra de 27 alunos, onde 11 deles tinham dormido pelo menos oito horas de sono na noite anterior, temos que: g (p dados) g (p) p 11 (1 p) 16. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

10 Sumário Uso do histograma para construção da priori subjetiva 1 Introdução 2 Uso do histograma para construção da priori subjetiva 3 Aplicação. 4 Referências. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

11 Uso do histograma para construção da priori subjetiva Método de força bruta Um método de força bruta de resumir cálculos computacionais posteriores para uma densidade a priori arbitrária g(p) é dado por Escolher uma grade de valores de p sobre um intervalo que cobre a densidade a posteriori. Calcular o produto da verossimilhança L(p) e a priori g(p) sobre a grade. Normalizar cada produto pela divisão da soma dos produtos. Este passo é a aproximação da densidade a posteriori de uma distribuição de probabilidade discreta sobre a grade. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

12 Uso do histograma para construção da priori subjetiva Método de força bruta Usando o comando sample do software R, obtemos uma amostra aleatória com substituição de uma distribuição discreta. O resultante obtido ao aplicar este método pode ser interpretado como uma amostra aproximada da distribuição a posteriori. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

13 Uso do histograma para construção da priori subjetiva Método de força bruta Exemplo: Uma abordagem simples para avaliar uma a priori para p é escolher uma lista de plausíveis valores deste e depois atribuir pesos aos mesmos. A pessoa no nosso exemplo divide o rango de p em dez subintervalos: (0.0, 0.1), (0.1, 0.2),, (0.9, 1.0). Isto pode ser visto com uma a priori continua para p. Com base em seu conhecimento prévio, são atribuídos a estes valores os seguintes pesos 1.0, 5.2, 8.0, 7.2, 4.6, 2.1, 0.7, 0.1, 0.0, 0.0 G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

14 Exemplo Uso do histograma para construção da priori subjetiva Passo 1: > library(learnbayes) > midpt <- seq(0.05, 0.95, by = 0.1) > prior <- c(1, 5.2, 8, 7.2, 4.6, 2.1, 0.7, 0.1, 0, 0) > prior <- prior/sum(prior) > curve(histprior(x,midpt,prior), from=0, to=1, + ylab="prior density",ylim=c(0,.3)) G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

15 Exemplo Uso do histograma para construção da priori subjetiva G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

16 Exemplo Uso do histograma para construção da priori subjetiva Passo 2: > s <- 11 > f <- 16 > curve(histprior(x,midpt,prior) * dbeta(x,s+1,f+1), + from=0, to=1, ylab="posterior density") G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

17 Exemplo Uso do histograma para construção da priori subjetiva G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

18 Exemplo Uso do histograma para construção da priori subjetiva Passo 3 e 4: > p <- seq(0, 1, length=500) > post <- histprior(p, midpt, prior) * dbeta(p, s+1, f+1) > post <- post/sum(post) #Probabilidades a posteriori > ps <- sample(p, replace = TRUE, prob = post) > hist(ps, xlab="p", main="",breaks=60) G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

19 Exemplo Uso do histograma para construção da priori subjetiva G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

20 Sumário Aplicação. 1 Introdução 2 Uso do histograma para construção da priori subjetiva 3 Aplicação. 4 Referências. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

21 Aplicação Aplicação. Estimação da média da distribuição normal com uma a priori discreta: é de interesse estimar a média da queda de neve por ano µ (em polegadas) para uma grande cidade na costa leste dos Estados Unidos. Suponha que y 1,, y n (queda de neve anual) segue uma distribuição normal com média µ e desvio padrão conhecido σ = 10 polegadas. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

22 Aplicação Aplicação. Usando a função discint, encontrar um intervalo de 80% de probabilidade para µ dado que sabemos a priori que µ g (µ) e que foi observado que a queda de neve anual atinge a 38.6, 42.4, 57.5, 40.5, 51.7, 67.1, 33.4, 60.9, 64.1, 40.1, 40.7 e 6.4 polegadasem diferentes anos. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

23 Aplicação Aplicação. > sigma <- 10 > mu <- c(20, 30, 40, 50, 60, 70) > prior <- c(0.10, 0.15, 0.25, 0.25, 0.15, 0.10) > y <- c(38.6, 42.4, 57.5, 40.5, 51.7, 67.1, 33.4, , 64.1, 40.1, 40.7, 6.4) > L <- function(mu,sigma,y){ + ybar <- mean(y) + n <- length(y) + exp(-(n*(mu-ybar)^2)/(2*sigma^2)) + } G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

24 Aplicação Aplicação. > like <- L(mu,sigma,y) > post <- prior*like/sum(prior*like) > dist <- cbind(mu,post) > discint(dist,0.8) $prob [1] $set [1] > cumsum(post) [1] e e e e e e+00 G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

25 Sumário Referências. 1 Introdução 2 Uso do histograma para construção da priori subjetiva 3 Aplicação. 4 Referências. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26

26 Referências. Albert, Jim (2009). Bayesian Computation with R. Springer, 2a.Edição. G.S. Agamez Montalvo IME - USP 25 de fevereiro de / 26