ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller
Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V
Base de um Espaço Vetorial Exemplos:
Base de um Espaço Vetorial II) B gera IR 2
Exemplos: Base de um Espaço Vetorial
Base de um Espaço Vetorial
Base de um Espaço Vetorial Observação: Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado. Por exemplo, o conjunto B={(1, 2, 1), (-1, -3, 0)} IR 3 é LI e gera o subespaço: S = {(x, y, z) IR 3 / 3x y z = 0} Então, B é base de S, pois B é LI e gera S.
Base de um Espaço Vetorial Teorema: Se B = {v 1, v 2,..., v n } for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais de n vetores será linearmente dependente. De fato: Seja B = {w 1, w 2,..., w m } um conjunto qualquer de m vetores de V, com m > n. Pretende-se mostrar que B é LD. Para tanto, basta mostrar que existem escalares x 1, x 2,..., x m não todos nulos tais que: x 1 w 1 + x 2 w 2 +... + x m w m = 0 (1)
Base de um Espaço Vetorial Como B é uma base de V, cada vetor w i B é uma combinação linear dos vetores de B, isto é, existem números i, i,..., i tais que: w 1 = 1 v 1 + 2 v 2 +... + n v n w 2 = 1 v 1 + 2 v 2 +... + n v n (2)...... w m = 1 v 1 + 2 v 2 +... + n v n Substituindo (2) em (1), obtemos:
Base de um Espaço Vetorial x 1 ( 1 v 1 + 2 v 2 +... + n v n ) + x 2 ( 1 v 1 + 2 v 2 +... + n v n ) +... + x m ( 1 v 1 + 2 v 2 +... + n v n ) = 0 ou reordenando os termos: ( 1 x 1 + 1 x 2 +... + 1 x m ) v 1 + ( 2 x 1 + 2 x 2 +... + 2 x m ) v 2 +... + ( n x 1 + n x 2 +... + n x m ) v n = 0
Base de um Espaço Vetorial Tendo em vista que v 1, v 2,..., v n são LI, os coeficientes dessa combinação linear são nulos: Esse sistema linear homogêneo possui m variáveis x 1, x 2,..., x m e n equações. Como m > n, existem soluções não-triviais, isto é x i 0. Logo, B = {w 1, w 2,..., w m } é LD. 0...... 0... 0... 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 m n n n m m x x x x x x x x x
Base de um Espaço Vetorial Corolário: Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. De fato: Sejam A ={v 1, v 2,..., v n } e B ={w 1, w 2,..., w m } duas bases de um espaço vetorial V. Pelo teorema anterior, m = n.
Base de um Espaço Vetorial Exemplos: A base canônica do IR 3 tem três vetores, logo qualquer outra base do IR 3 terá também três vetores. A base canônica de M(2,2) tem quatro vetores, logo toda a base de M(2,2) terá quatro vetores.
Dimensão de um Espaço Vetorial Seja V um espaço vetorial: Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se dim V = n. Se V não possui base, dim V = 0. Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e dim V =.
Dimensão de um Espaço Vetorial Exemplos: 1. dim IR 2 = 2, pois toda base de IR 2 tem dois vetores. 2. dim IR n = n. 3. dim M(2,2) = 4. 4. dim M(m,n) = m x n. 5. dim P n = n + 1. 6. dim {0} = 0
Dimensão de um Espaço Vetorial Observações: I. Seja V um espaço vetorial com dim V = n. Se S é um subespaço de V então dim S dim V. Se considerarmos, por exemplo, o espaço vetorial V = IR 3, dim V = 3. A dimensão de qualquer subespaço do IR 3 só poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto temos: 1. dim S = 0, então S = {0} é a origem. 2. dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem. 3. dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. 4. dim S = 3, então S é o próprio IR 3.
Dimensão de um Espaço Vetorial II. Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD. III. Sabemos que um conjunto B é base de um espaço vetorial V se B for LI e se B gera V. No entanto, se dim V = n, para obtermos uma base de V basta que apenas uma das condições seja satisfeita, pois a outra ocorrerá automaticamente. Assim: Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma base de V.
Dimensão de um Espaço Vetorial Exemplo: O conjunto B = {(2, 1), (-1, 3)} é uma base do IR 2. De fato: Como dim IR 2 = 2 e os dois vetores dados são LI, eles formam um base do IR 2.
Dimensão de um Espaço Vetorial Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V. Exemplo: Sejam os vetores v 1 = (1,-1,1,2) e v 2 = (-1,1,-1,0). Completar o conjunto {v 1, v 2 } de modo a formar uma base do IR 4.
Dimensão de um Espaço Vetorial Como dim IR 4 = 4, uma base terá quatro vetores LI. Já temos dois vetores v 1 e v 2 que são LI. Precisamos, primeiramente escolher um vetor v 3 que não seja combinação linear de v 1 e v 2, para que o conjunto {v 1,v 2,v 3 } seja LI. Para completar, escolhemos um vetor v 4 que não seja combinação linear de v 1, v 2 e v 3. Assim o conjunto {v 1,v 2,v 3,v 4 } é LI e, é uma base de IR 4. Por exemplo: {(1,-1,1,2), (-1,1,-1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0) é uma base do IR 4.
Dimensão de um Espaço Vetorial Teorema: Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base do espaço vetorial V. Então, todo vetor v V se exprime de maneira única como combinação linear de B. De fato: Tendo em vista que B é uma base de V, para v V pode-se escrever: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n (1)
Dimensão de um Espaço Vetorial Supondo que o vetor v pudesse ser expresso como outra combinação linear dos vetores, ter-se-ia: v = b 1 v 1 + b 2 v 2 +... + b n v n (2) Subtraindo, membro a membro, a eq. (2) da eq. (1), temos: 0 = (a 1 b 1 )v 1 + (a 2 b 2 )v 2 +... + (a n b n )v n Tendo em vista que os vetores da base são LI: a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0, a n b n = 0
Dimensão de um Espaço Vetorial Isto é: a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n Os números a 1, a 2,..., a n são, pois, univocamente determinados pelo vetor v e pela base {v 1, v 2,..., v n }.
Componentes de um vetor Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base de V. Tomemos v V sendo: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +... + a n v n Os números a 1, a 2,..., a n são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base B e representados por: v B = (a 1, a 2,..., a n ) => vetor-coordenada
Componentes de um vetor ou v B a a... a 1 2 n => matriz-coordenada
Componentes de um vetor Exemplo: No IR 2, consideremos as bases: A={(1,0), (0,1)}, B={(2,0),(1,3)} e C={(1,-3), (2,4)} Dado o vetor v = (8,6), tem-se: (8,6) = 8(1,0) + 6(0,1) v A = (8,6) (8,6) = 3(2,0) + 2(1,3) v B = (3,2) (8,6) = 2(1,-3) + 3(2,4) v C = (2,3)
Componentes de um vetor Gráfico: Base B={(2,0),(1,3)} (8,6) = 3(2,0) + 2(1,3) v B = (3,2)
Espaços Vetoriais Isomorfos Consideremos o espaço vetorial V = P 3 = {at 3 + bt 2 + ct + d/a, b, c, d IR} e seja B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } uma base de P 3. Fixada uma base, para cada vetor v P 3, existe uma só quádrupla (a 1, a 2, a 3, a 4 ) IR 4 tal que: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4
Espaços Vetoriais Isomorfos Reciprocamente dada uma quádrupla (a 1, a 2, a 3, a 4 ) IR 4, existe um só vetor em P 3 da forma a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 Assim sendo, a base B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } determina uma correspondência biunívoca entre os vetores de P 3 e as quádruplas (a 1, a 2, a 3, a 4 ) em IR 4.
Espaços Vetoriais Isomorfos A correspondência biunívoca em P 3 e IR 4 preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar e, nesse caso, dizemos que os espaços P 3 e IR 4 são isomorfos. De forma análoga: M(2,2) é isomorfo a IR 4 P 2 é isomorfo a IR 3 e assim por diante. Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V = n, então V e IR n são isomorfos.