PRODUTOS DE VETORES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
3.1 PRODUTO ESCALAR Chama-se prodto escalar (o prodto interno sal) de dois vetores =x 1 i + y 1 j+z 1 k e v= x 2 i + y 2 j+z 2 k, e se representa por.v, ao número real. v=x 1 x 2 + y 1 y 2 +z 1 z 2 Este prodto também é indicado por <,v> e lê-se escalar v Exemplo: Se 3i 5 j 8 k e v 4i 2 j k, tem-se v. 34 ( 5) ( 2) 8 ( 1) 12 10 8 14
3.2 MÓDULO DE UM VETOR Módlo de m vetor v=(x,y,z), representado por v, é o número real não negativo v v. v o, em coordenadas, v ( x, y, z).( x, y, z) o v ( x y z ) Exemplo: Se v (2,1, 2), então: v = 2 1 ( 2) 4 1 4 9 3
Observações: a)versor de m vetor Se o versor do vetor v do exemplo dado for designado por, tem-se: v v v x y z b)distância entre dois pontos A distância d entre os pontos A(x 1,y 1,z 1 ) e B(x 2,y 2,z 2 ) é assim definida: d AB B A e, portanto, d ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2 1 2 1 2 1
3.3 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Para qaisqer qe sejam os vetores =(x 1,y 1,z 1 ), v=(x 2, y 2,z 2 ), w=(x 2, y 2,z 2 ), e m R, é fácil verificar qe: I) somente se II) III). v w. v. w IV) m. v m. v. mv V). 0 0 (0,0,0). v v.. 2
3.4 ÂNGULO DE DOIS VETORES O prodto escalar de dois vetores está relacionado com o ânglo por eles formados. Se 0, v 0 e se θ é o ânglo formado por eles, então:. v v cos Prova: Aplicando a lei dos cossenos ao triânglo ABC, temos: v v 2 v cos (1) b a a b c 2bc cos c
Por otro lado, de acordo com as propriedades II, III e V do prodto escalar : (2) Comparando as igaldades (2) e (1): logo: v v 2. v 2 v 2. v v 2 v cos. v v cos. v v.. v w. v. w. 2
Observações: v. 0 v. 0 v. 0 cos 0 cos 0 cos 0 0º 90º 90º 180º 90º agdo o nlo obtso o raso reto
3.4.1 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES Da fórmla cos v. v. v v cos vem: 3.4.2 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES Dois vetores são ortogonais qando: v. 0 Exemplo:
3.5 ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Ânglos diretores de m vetor v=xi+yj+zk são os ânglos α, β e γ qe v forma com os vetores i, j e k, respectivamente. Os cossenos diretores de ses ânglos diretores são dados por: v. i ( x, y, z).(1,0,0) x cos v i v 1 v v. j ( x, y, z).(0,1,0) y cos v j v 1 v v. k ( x, y, z).(0,0,1) z cos v k v 1 v
3.5.1 PROPRIEDADES I) O versor do vetor v=(x,y,z) v ( x, y, z) x y z o,, v v v v v cos,cos,cos II) Como o versor de v é m vetor nitário, tem-se: cos,cos,cos 1 mas: cos, cos, cos cos cos cos logo: cos cos cos 1 cos cos cos 1 e:
3.6 PRODUTO VETORIAL Dados os vetores =x 1 i+y 1 j+z 1 k e v=x 2 i+y 2 j+z 2 k, tomados nesta ordem chama-se prodto vetorial dos vetores e v, e se representa por x v (o v ), ao vetor: v=(y z - z y )i-(x z z x ) j (x y y x ) k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de m determinante de 2º ordem: y1 z1 x1 z1 x1 y1 v= i- j+ k y z x z x y i j k v= x y z 1 1 1 x y z
Lê-se: vetorial v Exemplo: Cálclo do prodto vetorial dos vetores 5i+4j+3k e v=i+k v v
v é ortogonal simltaneamente aos vetores e v e se sentido é dado pela regra da mão direita
3.7 PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL I) = 0, qalqer qe seja o i j k = x y z II) 1 1 1 x y z 1 1 1 v = -v i j k v= x y z 1 1 1 x y z i j k v = -x -y -z x y z 1 1 1 anticomtativa
III) (v + w) = v + w w x i y j z k 3 3 3 v + w (x x ) i ( y y ) j ( z z ) k 2 3 2 3 2 3 i j k (v + w) = x y z 1 1 1 x x y y z z 2 3 2 3 2 3 i j k i j k v + w = x y z x y z 1 1 1 1 1 1 x y z x y z 3 3 3
IV) m v = m v = mv i j k m v = m x y z 1 1 1 x y z V) v = 0 se, e somente se, m dos vetores é nlo o se eles forem colineares. i j k v = 0 0 0 x y z VI) v = v sen mv mx i my j mz k i j k v = mx my mz x y z
Relações entre os vetores canônicos: i j = j k = i k = k i j
3.8 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL Geometricamente, o módlo do prodto vetorial dos vetores e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores AB e v AC Área h h Área v sen vsen v = v sen Área = v
3.9 PRODUTO MISTO Chama-se prodto misto dos vetores nesta ordem, ao número real prodto misto por, v, w. 3 3 3, tomados. Indica-se o, v e w i j k y2 z2 x2 z2 x2 y2 v w x2 y2 z2 i- j+ k y3 z3 x3 z3 x3 y3 x y z. v w y z x z x y. v w =, v, w =x +y +z y z x z x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z 1 1 1, v, w x y z x y z 3 3 3
Exemplo: Calclar o prodto misto dos vetores: 2i +3j+5k, v i +3j+3k e w 4i -3j+2k. 2 3 5, v, w 1 3 3 4 3 2 _ + 232-1 3 5 334 534 1 32 3 3 2 12 15 36 60 6 18 63 60 618 27
3.10 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO I) a)se m dos vetores for nlo 0 0 0 b)se dois deles são colineares mx my mz c)se três são coplanares escalar é nlo., v, w 0 x2 y2 z2, v, w 0 x y z 3 3 3, v, w x y z 0 v w x y z 3 3 3 então prodto. v w
Se forma análoga, dizemos qe qatro pontos A, B, C e D pertencem a m mesmo plano, se os vetores são coplanares o AB, AC, AD 0 II)O prodto misto independe da ordem circla dos vetores:, v, w v, w, w,, v Mas mda de sinal qando trocamos as posições de dois vetores consectivos:, v, w v,, w Esta propriedade cíclica, se deve a propriedade dos determinantes referente à troca de das linhas e circlação de linhas.
III) IV), v, w r, v, w, v, r, v, mw, mv, w m, v, w m, v, w
3.11 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO Geometricamente, o prodto misto é igal, em módlo, ao volme do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores AD, v AB e w AC V área da base altra V A b A b v h w h cos V v w cos V v fazendo: a v w w cos
V a cos 1. a a cos. a a cos 2 comparando (1) com (2) V. a. v w =, v, w